Aula 13

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CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 13: Teorema do Valor Médio
Objetivos da Aula
• Enunciar e utilizar o Teorema do Valor Médio para Derivadas.
1 Teorema do Valor Médio
Para enunciarmos o Teorema do Valor do Médio, precisamos do seguinte resultado:
Teorema 1 (de Rolle). Seja f uma função contínua que satisfaça as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b)
3. f(a) = f(b)
Então, existe um número c em (a, b) tal que f ′(c) = 0.
A figura a seguir mostra o gráfico de três funções que satisfazem o resultado anterior. Em cada um dos
casos há pelo menos um ponto (c, f(c)) onde a tangente é horizontal e, portanto, f ′(c) = 0.
Exemplo 1. Demonstre que a equação x3 + x− 1 = 0 tem exatamente uma raiz real.
Solução: Pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz. De fato, f é contínua pois é uma função
polinomial, f(0) = −1 e f(1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f(c) = 0. Para verificar que a
equação dada não possui outra raiz real, vamos usar o Teorema de Rolle. Suponha, por contradição, a
equação dada tenha duas raízes a e b. Então f(a) = f(b) = 0. Como f é uma função polinomial, então f
é derivável em (a, b) e contínua em [a, b]. Assim, pelo Teorema de Rolle, existe um c entre a e b, tal que
f ′(c) = 0. Mas,
f ′(x) = 3x2 + 1 ≥ 1 ∀ x
Veja que 3x2 ≥ 0, portanto, f ′(x) nunca pode ser zero, o que contradiz o Teorema de Rolle. Portanto,
a equação não pode ter duas raízes.
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Exemplo 2. Dois corredores começam uma disputa de corrida ao mesmo tempo e terminam empatados.
Mostre que em algum instante, durante a corrida, eles correram com a mesma velocidade.
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Solução: Sejam f(t) e g(t) as funções posições dos corredores 1 e 2, respectivamente. Considere h(t) =
f(t)− g(t) e [t1, t2] o intervalo tempo que durou a corrida. Supondo que os competidores não pararam de
correr , então as funções f e g são contínuas e deriváveis durante [t1, t2] e também h(t1) = h(t2) = 0, pois
eles começam juntos e terminam juntos. Logo, segue do Teorema de Rolle que existem algum instante t∗
tal que h′(t∗) = 0. Logo,
h(t) = f(t)− g(t)⇒ h′(t) = f ′(t)− g′(t)
Então, para o instante t = t∗, temos que
0 = h′(t∗) = f ′(t∗)− g′(t∗)⇒ f ′(t∗) = g′(t∗)
o que evidencia que no instante t∗ os corredores disputavam com a mesma velocidade.
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Teorema 2 (do Valor Médio). Seja f uma função que satisfaz as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a, b]
2. f é derivável no intervalo aberto (a, b)
Então, existe um número c em (a, b) tal que
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a (1)
ou, de maneira equivalente,
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a). (2)
Geometricamente, temos que, dados dois pontos A(a, f(a)) e B(b, f(b)) sobre o gráfico de uma função
derivável. Neste caso, a inclinação da reta secante AB é:
mAB =
f(b)− f(a)
b− a , (3)
que é a mesma expressão mostrada no lado direito da Equação 1. Uma vez que f ′(c) é a inclinação da
reta tangente no ponto (c, f(c)), o Teorema do Valor Médio, nos garante, pela Equação 1 que há, pelo
menos, um ponto P (c, f(c)) sobre o gráfico onde a inclinação da reta tangente é igual à inclinação da reta
secante. Em outras palavras, estamos dizendo que a reta tangente no ponto P é paralela à reta secante
AB. Observe graficamente:
Exemplo 3. Determine c ∈ (0, 4) para o qual a reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 − 5x+ 6 no
ponto P (c, f(c)) seja paralela à reta secante que passa pelos pontos A(0, f(0)) e B(4, f(4)).
Solução: Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O
Teorema do Valor Médio garante a existência de c ∈ (0, 4), tal que:
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a ⇒ 2c− 5 =
f(4)− f(0)
4− 0 ⇒ c = 2.
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Exemplo 4. Se um objeto move-se em uma linha reta com uma função posição s(t). Então a velocidade
média entre t = a e t = b é:
s(b)− s(a)
b− a
e a velocidade em t = c é s′(c). Assim, o Teorema do Valor Médio nos diz que, em algum instante t = c
entre a e b, a velocidade instantânea f ′(c) é igual a velocidade média. Por exemplo, se um carro percorrer
180 km em duas horas, então o velocímetro deve ter passado pela marca dos 90 km/h pelo menos uma vez.
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Observação 1. Em geral, o Teorema do Valor Médio pode ser interpretado como se dissesse que existe um
número no qual a taxa de variação instantânea é igual a taxa de variação média em um intervalo.
Exemplo 5. Suponha que f(0) = 3 e f ′(x) ≤ 5 para todos os valores de x. Quão grande f(2) pode ser?
Solução: Pelos dados do problemas, temos que f é derivável (e, portanto, contínua) em toda parte. Em
particular, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio no intervalo [0, 2]. Então, existe um número c tal que
f(2)− f(0) = f ′(c)(2− 0)
logo
f(2) = f(0) + 2f ′(c) = −2 + 2f ′(c).
Sabemos que f ′(c) ≤ 5 para todo x. Assim, multiplicando ambos os membros dessa desigualdade por
2, temos que 2f ′(c) ≤ 10, logo
f(2) = −3 + 2f ′(c) ≤ −3 + 10 = 7.
Portanto, o maior valor possível para f(2) é 7.
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Os resultados a seguir são consequências do Teorema do Valor Médio.
Corolário 1. Se f ′(x) = 0 para todo x em um intervalo (a, b), então f é constante em (a, b).
Demonstração: Note que se f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), então, ao tomar o intervalo (a, x], segue
do Teorema do Valor Médio que existe c ∈ (a, x) tal que
f(x)− f(a) = f ′(c)(x− a)
Como f ′(c) = 0 então f(x) = f(a). Como x ∈ (a, b) é arbitrário, então f(x) é constante. �
Corolário 2. Se f ′(x) = g′(x) para todo x em um intervalo (a, b), então f − g é constante em (a, b), isto
é, f(x) = g(x) + c, em que c é uma constante.
Demonstração: A demonstração desse resultado utiliza o Corolário 1. Se f ′(x) = g′(x) então
f ′(x) = g′(x)⇒ (f ′ − g′)(x) = 0⇒ (f − g)′(x) = 0⇒ (f − g)(x) = c⇒ f(x) = g(x) + c
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Resumo
Quais são as hipóteses dos teoremas de Rolle e do Valor Médio? Como posso utilizar o teorema de Rolle
para verificar a unicidade de raízes de uma equação? Quais as interpretações geométrica e cinemática do
Teorema do Valor Médio?
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula na seção 4.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios da seção 4.2 do livro texto.
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