Prova1

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29/09/2010 Professor: Gustavo Hoepfner
SED PROVA 1
Nome: Turma: G Pontos:
Justifique todas as suas afirmac¸o˜es. Boa Prova!
1. (1 ponto) Defina o que e´ uma sequeˆncia convergente. Deˆ exemplo de uma sequeˆncia
convergente na˜o constante e uma na˜o convergente. Justifique.
2. (1 ponto cada) Prove ou deˆ um contra-exemplo:
a) Se lim
n→∞
an = 0 enta˜o
∞∑
n=1
an e´ convergente.
b) Se
∞∑
n=0
an e´ convergente, an > 0, enta˜o
∞∑
n=0
√
an e´ sempre convergente.
c) Se lim
n→∞
xn = c, enta˜o lim
n→∞
|xn| = |c|.
3. (2 pontos) Para quais valores de α a se´rie
∞∑
n=1
1
nα
e´ convergente? Divergente? Justifique.
4. (3 pontos) Determine a se´rie de Taylor da func¸a˜o dada em torno do ponto x0 = 0. Para
quais valores de x a se´rie e´ convergente? Para quais valores de x a se´rie converge para a
func¸a˜o?
a) f(x) =
1
2− x ;
b) g(x) = ax, a > 0.
5. (2 pontos) Mostre que, para 0 < α ≤ 1:
ln(1 + α) =
∞∑
k=1
(−1)k+1α
k
k
.