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Resoluc¸a˜o da Lista de Exerc´ıcios 2 - Equac¸o˜es Diferenciais Vin´ıcius Fratin Netto Maio de 2016 Estes exerc´ıcios foram selecionados das listas de Equac¸o˜es Diferenciais do professor Eduardo Brietzke, do Departamento de Matema´tica da UFRGS, retirados de http://www.mat.ufrgs.br/˜brietzke/listas.html 1. Determine as soluc¸o˜es das seguintes equac¸o˜es diferenciais: a) 6x2y + 2xy2 + (2x3 + 2x2y)y′ = 0 Resoluc¸a˜o: Esta equac¸a˜o na˜o e´ separa´vel, mas sua forma sugere que existe uma possibilidade de encontrarmos uma soluc¸a˜o atra´ves do me´todo das equac¸o˜es ex- atas. Para isso, primeiramente devemos escrever a equac¸a˜o na forma M(x, y)dx+ N(x, y)dy = 0, a fim de identificarmos M(x, y) e N(x, y). Assim, multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (6x2y + 2xy2)dx+ (2x3 + 2x2y)dy = 0, e obtemos que M(x, y) = 6x2y + 2xy2 e N(x, y) = 2x3 + 2x2y. Tendo em vista que M(x, y) e N(x, y) sa˜o cont´ınuas, tem derivadas parciais primeiras cont´ınuas e esta˜o definidas em R2 (portanto, uma regia˜o simplesmente conexa), verificando que My = Nx saberemos que a equac¸a˜o e´ exata e prosseguire- mos encontrando a func¸a˜o potencial F (x, y). De fato, My = (6x 2y + 2xy2)y = 6x 2 + 4xy, e Nx = (2x 3 + 2x2y)x = 6x 2 + 4xy. Portanto, My = Nx e podemos encontrar F (x, y). 1 Lembrando que, escrevendo F (x, y) na forma diferencial e igualando a zero, pela equac¸a˜o, temos que Fx = M(x, y) (1) e Fy = N(x, y). (2) Podemos comec¸ar tanto de (1) quanto de (2). Comec¸ando de (1), temos que Fx = M ⇒ F (x, y) = ∫ M(x, y)dx, em que esta e´ uma integral parcial, ou seja, tratando y como constante. Com isso, na˜o havera´ uma constante de integrac¸a˜o que e´ um nu´mero real, e sim uma func¸a˜o g(y), pois ela sumira´ caso se calcule a derivada parcial em x novamente. Assim, F (x, y) = ∫ M(x, y)dx = ∫ (6x2y + 2xy2)dx = 2x3y + x2y2 + g(y). Resta agora descobrir g(y). Para isto, usamos o fato (2). Calculando Fy, temos que Fy = (2x 3y + x2y2 + g(y))y = 2x 3 + 2x2y + g′(y), que, por (2), Fy = N(x, y)⇒ 2x3 + 2x2y + g′(y) = 2x3 + 2x2y ⇒ g′(y) = 0 ⇒ g(y) = C Portanto, temos que F (x, y) = 2x3y + x2y2 + C. Desta forma, podemos escrever a equac¸a˜o diferencial como [F (x, y)]′ = 0⇒ F (x, y) = C. Assim, notando que a constante da func¸a˜o potencial sera´ absorvida, temos que a soluc¸a˜o geral impl´ıcita da equac¸a˜o e´ dada por 2x3y + x2y2 = C. 2 b) (2xey − y senx)dx+ (cosx− 2 + x2ey)dy = 0 Resoluc¸a˜o: Procedemos da mesmo forma que no item anterior. Como a equac¸a˜o ja´ esta´ na forma que queremos, identificamos que M(x, y) = 2xey − y senx e N(x, y) = cos x− 2 + x2ey. Precisamos verificar se My = Nx. De fato, My = (2xe y − y senx)y = 2xey − senx, e Nx = (cosx− 2 + x2ey)x = 2xey − senx. Assim, verificamos que My = Nx e, portanto, a equac¸a˜o diferencial e´ exata. Novamente, procuramos uma func¸a˜o potencial F (x, y) tal que Fx = M(x, y) (3) e Fy = N(x, y). (4) Partindo de (3), temos que Fx = M(x, y)⇒ F (x, y) = ∫ M(x, y)dx ⇒ F (x, y) = ∫ (2xey − y senx)dx ⇒ F (x, y) = x2ey + y cosx+ g(y). Novamente, para determinarmos g(y), utilizamos a outra condic¸a˜o (4). Calcu- lando Fy, temos que Fy = x 2ey + cosx+ g′(y). Por (4), sabemos que Fy = N(x, y)⇒ x2ey + cosx+ g′(y) = cos x− 2 + x2ey ⇒ g′(y) = −2 ⇒ g(y) = −2y, em que a constante de integrac¸a˜o foi ocultada porque sempre sera´ absorvida pela outra constante no fim. Desta forma, obtemos que F (x, y) = x2ey + y cosx− 2y 3 e, finalmente, chegamos na soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial que e´ dada por y cosx+ x2ey − 2y = C. 2. Resolva a equac¸a˜o (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0, encontrando um fator integrante dependendo so´ de x. Resoluc¸a˜o: Reconhecendo que M(x, y) = 3x2y + 2xy + y3 e que N(x, y) = x2 + y2, verificamos se a equac¸a˜o e´ exata checando se My = Nx. Desta forma, My = 3x 2 + 2x+ 3y2 e Nx = 2x. Como My 6= Nx, a equac¸a˜o, de fato, na˜o e´ exata. O enunciado pede para resolvermos a equac¸a˜o encontrando um fator integrante que depende so´ de x. Assim, µ(x, y) = µ(x). Sabemos que, multiplicando toda a equac¸a˜o pelo fator integrante e impondo que M ′y = (µ(x)M(x, y))y = (µ(x)N(x, y)x = N ′ x, o fator integrante satisfaz a equac¸a˜o diferencial µ′(x) µ(x) = My −Nx N . (5) Uma consegueˆncia disso e´ que o lado direito de (5) deve depender apenas de x. De fato, My −Nx N = 3x2 + 2x+ 3y2 − 2x x2 + y2 = 3x2 + 3y2 x2 + y2 = 3(x2 + y2) x2 + y2 = 3. Prosseguindo com (5), temos que µ′(x) µ(x) = 3⇒ ∫ dµ µ = ∫ 3dx⇒ ln |µ| = 3x+ C ⇒ µ(x) = Ce3x. Como na˜o queremos toda a famı´lia de fatores integrantes, e sim apenas um, tomamos C = 1. Portanto, µ(x) = e3x. Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial pelo fator integrante, obtemos que 4 e3x(3x2y + 2xy + y3)dx+ e3x(x2 + y2)dy = 0. Se fizemos tudo certo ate´ aqui, a equac¸a˜o, agora, deve ser exata. Como agoraM ′(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3) e N ′(x, y) = e3x(x2 + y2), M ′y = e 3x(3x2 + 2x+ 3y2) = 3x2e3x + 2xe3x + 3y2e3x e N ′x = (e 3x)x(x 2 + y2) + e3x(x2 + y2)x = 3e 3x(x2 + y2) + 2xe3x = 3x2e3x + 2xe3x + 3y2e3x. A equac¸a˜o e´ exata! Agora devemos encontrar a func¸a˜o potencial F (x, y). Lembrando que Fx = M ′(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3) e Fy = N ′(x, y) = e3x(x2 + y2), temos que escolher uma destas condic¸o˜es e integrar na varia´vel respectiva. Perceba que, neste caso, e´ muito mais fa´cil comec¸ar pela segunda condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em y de N ′(x, y) sera´ bem simples do que a integrac¸a˜o da primeira condic¸a˜o, que envolvera´ integrac¸a˜o por partes. Desta forma, Fy = e 3x(x2 + y2)⇒ F (x, y) = e3x ∫ (x2 + y2)dy = e3x ( x2y + y3 3 ) + g(x), em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o da integral em y, pois derivarmos parcial- mente em y, ela sera´ perdida. Utilizando a primeira condic¸a˜o, temos que Fx = [ e3x ( x2y + y3 3 ) + g(x) ] x = 3e3x ( x2y + y3 3 ) + e3x(2xy) + g′(x) = e3x(3x2y + 2xy + y3) + g′(x) = M ′(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3), e, portanto, g′(x) = 0⇒ g(x) = C. Como qualquer constante arbitra´ria sempre sera´ absorvida no fim, podemos ignora´-la. Finalmente, obtemos que 5 F (x, y) = e3x ( x2y + y3 3 ) , e, portanto, a equac¸a˜o diferencial pode ser reescrita como (F (x, y))′ = 0⇒ F (x, y) = C, em que chegamos que a soluc¸a˜o geral impl´ıcita e´ dada por e3x ( x2y + y3 3 ) = C ou, multiplicando tudo por 3 e definindo 3C = C, (3x2y + y3)e3x = C. 3. Resolva a equac¸a˜o y + (2xy − e−2y)y′ = 0, usando um fator integrante dependendo so´ de y. Resoluc¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ ana´logo ao anterior. Para obter a equac¸a˜o na forma diferencial, multiplicamos tudo por dx, ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0, em que identificamos M(x, y) = y e N(x, y) = 2xy − e−2y. Como My = 1 e Nx = 2y, My 6= Nx e, portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. O enunciado pede para resolvermos a equac¸a˜o encontrando um fator integrante que depende so´ y. Assim, µ(x, y) = µ(y). Pelo mesmo racioc´ınio do exerc´ıcio anterior, sabemos que o fator integrante µ(y) sat- isfaz µ′(y) µ(y) = Nx −My M , implicando que o lado direito da igualdade deve depender so´ de y. De fato, Nx −My M = 2y − 1 y = 2− 1 y . 6 Portanto, µ′(y) µ(y) = 2− 1 y ⇒ ∫ dµ µ = ∫ ( 2− 1 y ) dy ⇒ ln |µ| = 2y − ln |y|+ C = 2y + ln ∣∣∣∣1y ∣∣∣∣+ C, Aplicando exponencial dos dois lados, µ(y) = Ce2y y = e2y y , em que definimos C = 1, pois queremos apenas um fator integrante, e na˜o a famı´lia. Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial por µ(y), temos que e2y y ydx+ e2y y (2xy − e−2y)dy = e2ydx+ ( 2xe2y − 1 y ) dy = 0. Com isso, a equac¸a˜o deveser exata. Reconhecendo M ′(x, y) = e2y e N ′(x, y) = 2xe2y− 1 y , M ′y = 2e 2y e N ′x = 2e 2y. Como M ′y = N ′ x, a equac¸a˜o e´ exata! Agora, precisamos encontrar a func¸a˜o potencial F (x, y). Lembrando que Fx = M ′(x, y) = e2y e Fy = N ′(x, y) = 2xe2y − 1 y , comec¸amos pela primeira condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em x na˜o envolvera´ outros termos em x. Desta forma, Fx = e 2y ⇒ F (x, y) = ∫ e2ydx = xe2y + g(y), em que g(y) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o da integral em x, pois se derivarmos par- cialmente em x, ela sera´ perdida. Agora, pela segunda condic¸a˜o, Fy = [xe 2y + g(y)]y = 2xe 2y + g′(y) = N ′(x, y) = 2xe2y − 1 y , que implica que g′(y) = −1 y ⇒ g(y) = − ∫ dy y = − ln |y|. A constante foi ocultada pois sera´ absorvida no final. 7 Assim, F (x, y) = xe2y − ln |y|, e, portanto, uma soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial e´ dada por xe2y − ln |y| = C. Note que, ale´m desta soluc¸a˜o, a func¸a˜o y = 0 tambe´m e´ soluc¸a˜o, e segue direto da equac¸a˜o diferencial. A ideia, portanto, e´ a mesma que t´ınhamos nas equac¸o˜es separa´veis: soluc¸o˜es de equil´ıbrio (y constante que zera os dois lados da equac¸a˜o) sempre devem ser procuradas quando olhamos para uma equac¸a˜o diferencial. 4. Verifique que a equac¸a˜o 2x−2ex − xy2 + 2xyy′ = 0 admite um fator integrante dependendo so´ de x e resolva a equac¸a˜o. Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (2x−2ex − xy2)dx+ 2xydy = 0, em que identificamos M(x, y) = 2x−2ex − xy2 e N(x, y) = 2xy. Desta forma, My = −2xy e Nx = 2y, e como My 6= Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. O enunciado pede para encontrarmos um fator integrante dependendo so´ de x. Assim, µ(x, y) = µ(x) que deve satisfazer µ′(x) µ = My −Nx N , e o lado direito desta igualdade deve depender so´ de x. De fato, My −Nx N = −2xy − 2y 2xy = 2y(−x− 1) 2xy = −x− 1 x = −1− 1 x . Assim, µ′(x) µ(x) = −1− 1 x ⇒ ∫ dµ µ = ∫ ( − 1− 1 x ) dx⇒ ln |µ| = −x− ln |x|+ C. 8 Aplicando exponencial dos dois lados, µ(x) = Ce−x x = e−x x , em que definimos C = 1. Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial por µ(x), e−x x (2x−2ex − xy2)dx+ e −x x 2xydy = (2x−3 − e−xy2)dx+ 2e−xydy = 0. Devemos verificar se, agora, a equac¸a˜o e´ exata. Notanto que M ′(x, y) = 2x−3 − e−xy2 e que N ′(x, y) = 2e−xy, M ′y = −2e−xy e N ′x = −2e−xy. Como M ′y = N ′ x, a equac¸a˜o e´ exata! Prosseguindo, devemos encontrar a func¸a˜o poten- cial F (x, y). Lembrando que Fx = M ′(x, y) = 2x−3 − e−xy2 e Fy = N ′(x, y) = 2e−xy, comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em y sera´ mais fa´cil do que a integrac¸a˜o em x por envolver apenas um termo que conte´m y. Assim, Fy = 2e −xy ⇒ F (x, y) = ∫ 2e−xydy = e−xy2 + g(x), em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o. Agora, utilizando a primeira condic¸a˜o, Fx = [e −xy2 + g(x)]x = −e−xy2 + g′(x) = M ′(x, y) = 2x−3 − e−xy2, e, portanto g′(x) = 2x−3 ⇒ g(x) = 2 ∫ x−3dx = −2x −2 2 = −x−2. A constante na˜o foi considerada pois sera´ absorvida no fim. Portanto, temos que F (x, y) = e−xy2 − x−2 e, finalmente, a soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial e´ dada por y2e−x − x−2 = C. 9 5. Verifique que a equac¸a˜o( 3y + y2 + (2 + y) senx ) y′ + y cosx = 0 admite um fator integrante dependendo so´ de y, pore´m na˜o admite um fator integrante que depende somente de x. Resolva a equac¸a˜o. Resoluc¸a˜o: Multiplicando a equac¸a˜o por dx,( 3y + y2 + (2 + y) senx ) dy + y cosxdx = 0, em que reconhecemos M(x, y) = y cosx e N(x, y) = 3y+ y2 + (2 + y) senx. Calculando My = cosx e Nx = (2 + y) cosx, mostramos que My 6= Nx e, portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. O enunciado pede para verificarmos, primeiro, que a equac¸a˜o admite um fator inte- grante dependendo so´ de y. Para isso, Nx−My M deve depender so´ de y. De fato, Nx −My M = (2 + y) cosx− cosx y cosx = (1 + y) cosx y cosx = 1 + y y , que depende so´ de y. Portanto, a equac¸a˜o admite um fator integrante dependendo so´ de y. Em seguida, o enunciado pede para verificarmos que a equac¸a˜o na˜o admite um fator integrante dependendo so´ de x. Para isso, My−Nx N na˜o deve depender apenas de x. Novamente, My −Nx N = cosx− (2 + y) cosx 3y + y2 + (2 + y) senx = − (1 + y) cosx 3y + y2 + (2 + y) senx , que tem dependeˆncia em y por existir um termo de segundo grau em y no denominador e apenas de primeiro grau no numerador. Por u´ltimo, devemos resolver a equac¸a˜o diferencial. Para isso, podemos obter o fator integrante que depende so´ de y, µ(x, y) = µ(y). Desta forma, µ′(y) µ(y) = Nx −My M = 1 + y y = 1 y + 1, 10 e, resolvendo para µ(y),∫ dµ µ = ∫ ( 1 y + 1 ) dy ⇒ ln |µ| = ln |y|+ y + C. Aplicando exponencial dos dois lados, µ(y) = Cyey = yey, definindo C = 1. Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial por µ(y), yey(3y + y2 + (2 + y) senx)dy + (y2ey cosx)dx = 0. Reconhecendo M ′(x, y) = y2ey cosx e N ′(x, y) = yey(3y + y2 + (2 + y) senx), M ′y = (2ye y + y2ey) cosx e N ′x = (2 + y)ye y cosx = (2yey + y2ey) cosx. Como M ′y = N ′ x, a equac¸a˜o e´ exata! Agora, devemos encontrar a func¸a˜o potencial F (x, y). Lembrando que, Fx = M ′(x, y) = y2ey cosx e Fy = N ′(x, y) = yey(3y + y2 + (2 + y) senx), comec¸amos pela primeira condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em x vai envolver apenas um termo contendo x. Assim, Fx = y 2ey cosx⇒ F (x, y) = ∫ y2ey cosxdx = y2ey senx+ g(y), em que g(y) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o. Pela segunda condic¸a˜o, Fy = (y 2ey senx+g(y))y = (2ye y+y2ey) senx+g′(y) = N ′(x, y) = yey(3y+y2+(2+y) senx), de onde tiramos que (2yey+y2ey) senx+g′(y) = yey(3y+y2+(2+y) senx) = (3y2+y3)ey+(2yey+y2ey) senx e, portanto, g′(y) = (3y2 + y3)ey ⇒ g(y) = ∫ (3y2 + y3)eydy. 11 Esta integral pode ser calculando utilizando integrac¸a˜o por partes duas vezes, na primeira parcela, e treˆs vezes, na segunda. Pore´m, ha´ um detalhe que nos ajuda bastante aqui. Perceba que (3y2 + y3)ey = (y3ey)′, pela regra do produto. Assim, a integral se torna g(y) = ∫ (3y2 + y3)eydy = ∫ (y3ey)′dy = y3ey, pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo! Por isso, vale o conselho: em um ca´lculo com- plicado, pense de que maneira e´ poss´ıvel reduzir a quantidade de trabalho necessa´ria para realiza´-lo. A constante final de integrac¸a˜o sera´ absorvida no final. Por fim, temos que F (x, y) = y2ey senx+ y3ey = (y + senx)y2ey, e, finalmente, obtemos que a soluc¸a˜o geral impl´ıcita para a equac¸a˜o diferencial e´ dada por (y + senx)y2ey = C. 6. Verifique que a equac¸a˜o (1 + ex)y − (x+ ex)y′ = 0 admite um fator integrante dependendo so´ de y e tambe´m fator integrante dependendo so´ de x. Resolva a equac¸a˜o de duas maneiras, cada vez empregando um dos fatores integrantes. Resoluc¸a˜o: Multiplicando a equac¸a˜o por dx, (1 + ex)ydx− (x+ ex)dy = 0, de onde identificamos M(x, y) = (1 + ex)y e N(x, y) = −(x+ ex). Calculando My = 1 + e x e Nx = −1− ex = −(1 + ex), verificamos que a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Portanto, para resolveˆ-la, precisamos procurar um fator integrante. 12 O enunciado pede para verificarmos que existem fatores integrantes que depende so´ de x e so´ de y. Vamos verificar, primeiro, que a equac¸a˜o admite um fator integrante dependendo so´ de x. Para isso, My−Nx N deve depender so´ de x. De fato, My −Nx N = 1 + ex − (−(1 + ex)) −(x+ ex) = − 2 + 2ex (x+ ex) , que depende so´ de x. Portanto, a equac¸a˜o admite um fator integrante que depende so´ de x. Agora, devemos verificar se ela admite um fator integrante que depende so´ de y. Para que isso acontec¸a,Nx−My M deve depender so´ de y. Novamente, Nx −My M = −(1 + ex)− 1 + ex (1 + ex)y = −2 1 + e x (1 + ex)y = −2 y , que depende so´ de y. Portanto, a equac¸a˜o tambe´m admite um fator integrante depen- dendo so´ de y. Agora, o enunciado pede para resolvermos a equac¸a˜o utilizando os dois fatores inte- grantes. Comec¸aremos pela fator integrante que depende so´ de x. Assim, µ(x, y) = µ(x), que satisfaz µ′(x) µ(x) = My −Nx N = − 2 + 2e x (x+ ex) , pelo resultado obtido anteriormente. Resolvendo para µ(x),∫ dµ µ = − ∫ − 2 + 2e x (x+ ex) dx⇒ ln |µ| = −2 ∫ 1 + ex x+ ex dx. Esta u´ltima integral pode ser resolvida atrave´s da substituic¸a˜o u = x + ex, du = (1 + ex)dx. Assim,∫ 1 + ex x+ ex dx = ∫ 1 + ex u(1 + ex) du = ∫ du u = ln |u|+ C = ln |x+ ex|, em que definimos C = 0. Portanto, temos que ln |µ| = −2 ln |x+ ex| ⇒ µ(x) = 1 (x+ ex)2 . Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial por µ(x), 1 (x+ ex)2 (1 + ex)ydx− 1 (x+ ex)2 (x+ ex)dy = (1 + ex) (x+ ex)2 ydx− 1 (x+ ex) dy = 0. Devemos checar se a equac¸a˜o e´ exata. Notando que M ′(x, y) = (1+e x) (x+ex)2 y e N ′(x, y) = − 1 (x+ex) , M ′y = (1 + ex) (x+ ex)2 13 e N ′x = − ( − 1 (x+ ex)2 ) (1 + ex) = (1 + ex) (x+ ex)2 . Como M ′y = N ′ x, a equac¸a˜o e´ exata! Agora, devemos encontrar a func¸a˜o potencial F (x, y). Lembrando que Fx = M ′(x, y) = (1 + ex) (x+ ex)2 y e Fy = N ′(x, y) = − 1 (x+ ex) , comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois na˜o ha´ nenhum termo em y. Assim, Fy = − 1 (x+ ex) ⇒ F (x, y) = − ∫ dy (x+ ex) = − y (x+ ex) + g(x), em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o. Pela primeira condic¸a˜o, Fx = [ − y (x+ ex) + g(x) ] x = −y −1 (x+ ex)2 (1 + ex) + g′(x) = 1 + ex (x+ ex)2 y + g′(x). Como Fx = M ′(x, y), 1 + ex (x+ ex)2 y + g′(x) = M ′(x, y) = (1 + ex) (x+ ex)2 y, que implica que g′(x) = 0⇒ g(x) = C. Esta constante sera´ absorvida no fim. Portanto, temos que F (x, y) = − y (x+ ex) , e, finalmente, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´ − y (x+ ex) = C ⇒ y = C(x+ ex), em que chamamos −C de C novamente. Resta agora resolver esta mesma equac¸a˜o diferencial utilizando o fator integrante de- pendendo so´ de y. Sabemos que µ(x, y) = µ(y) satisfaz µ′(y) µ(y) = Nx −My M = −2 y , 14 resultado que foi obtido anteriormente. Assim,∫ dµ µ = −2 ∫ dy y ⇒ ln |µ| = −2 ln |y|+ C. Portanto, obtemos que µ(y) = C y2 = 1 y2 , definindo C = 1. Multiplicando toda a equac¸a˜o por µ(y), 1 y2 (1 + ex)ydx− 1 y2 (x+ ex)dy = 1 + ex y dx− x+ e x y2 dy = 0. Reconhecendo M ′(x, y) = 1+e x y e N ′(x, y) = −x+ex y2 , calculando M ′y = − 1 + ex y2 e N ′x = − 1 + ex y2 , notamos que, como M ′y = N ′ x, a equac¸a˜o e´ exata! Finalmente, devemos encontrar a func¸a˜o potencial F (x, y). Sabendo que Fx = M ′(x, y) = 1 + ex y e Fy = N ′(x, y) = −x+ e x y2 , comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois ela envolve apenas uma integrac¸a˜o de y2 no denominador. Assim, Fy = −x+ e x y2 ⇒ F (x, y) = − ∫ x+ ex y2 dy = x+ ex y + g(x), em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o. Utilizando a primeira condic¸a˜o, temos que Fx = [ x+ ex y + g(x) ] x = 1 + ex y + g′(x) = M ′(x, y) = 1 + ex y , de onde tiramos que g′(x) = 0⇒ g(x) = C, em que a constante sera´ absorvida no fim. 15 Portanto, F (x, y) = x+ ex y , e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, novamente, e´ dada por x+ ex y = C ⇒ y = C(x+ ex). Observac¸a˜o u´til: Antes de resolvermos esta equac¸a˜o e as seguintes, vamos analisar o que acontece com equac¸o˜es da forma y′ + f(x)y = g(x). (6) Estas equac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira ordem. Vamos estuda´-las com mais detalhes nas aulas que vira˜o. O ponto-chave, por agora, e´ observar que esta equac¸a˜o sempre tem um fator integrante µ(x, y) = µ(x) que depende so´ de x. De fato, multiplicando toda a equac¸a˜o a por dx e multiplicando por µ(x), temos que µ(x)[f(x)y − g(x)]dx+ µ(x)dy = 0. Notando que M ′(x, y) = µ(x)[f(x)y − g(x)] e N ′(x, y) = µ(x), calculando M ′y = µ(x)f(x) e N ′x = µ ′(x), o crite´rio de exatida˜o nos diz que estas func¸o˜es devem satisfazer M ′y = N ′ x ⇒ µ(x)f(x) = µ′(x)⇒ µ′(x) µ = f(x), e, portanto, ln |µ| = ∫ f(x)dx⇒ µ = Ce ∫ f(x)dx = e ∫ f(x)dx, em que definimos C = 1. Agora, temos uma fo´rmula para o fator integrante de uma EDOL de primeira ordem. Isto vai ser u´til nos pro´ximos exerc´ıcios, pois a maioria das equac¸o˜es sa˜o lineares. Resolva: 16 7. y′ + ay = x Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (ay − x)dx+ dy = 0, em que M(x, y) = ay − x e N(x, y) = 1. Como My = a 6= 0 = Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata e devemos procurar um fator integrante. Como a equac¸a˜o e´ linear, da forma (6), ela admite um fator integrante µ(x, y) = µ(x) dependendo so´ de x dado por µ(x) = e ∫ f(x)dx = e ∫ adx = eax. Multiplicando toda a equac¸a˜o por µ(x), temos que eaxy′ + ayeax = xeax, Por construc¸a˜o, podemos escrever o lado esquerdo da igualdade como a derivada de um produto, (eaxy)′ = xeax ⇒ eaxy = ∫ xeaxdx⇒ y = e−ax ∫ xeaxdx. Note que, agora, devemos tomar um cuidado: na integrac¸a˜o, havera´ uma divisa˜o por a e, assim, devemos considerar separadamente os casos quando a = 0 e a 6= 0. Quando a 6= 0, y = e−ax ∫ xeaxdx = e−ax [ xeax a − 1 a ∫ eaxdx ] = e−ax [ xeax a − e ax a2 + C ] , de onde tiramos que a soluc¸a˜o geral e´ dada por y = x a − 1 a2 + Ce−ax. No caso em que a = 0, a soluc¸a˜o geral e´ dada por y = e0 ∫ xe0dx = x2 2 + C ⇒ y = x 2 2 + C. 8. xy′ − y = x2 cosx Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (−y − x2 cosx)dx+ xdy = 0, 17 em queM(x, y) = (−y−x2 cosx) eN(x, y) = x. Novamente, comoMy = −1 6= 1 = Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Pore´m, a equac¸a˜o e´ linear. Colocando na forma (6), y′ − y x = x cosx e, portanto, obtemos um fator integrante µ(x, y) = µ(x), dado por µ(x) = e ∫ f(x)dx = e− ∫ 1 x dx = e−ln|x|+C = C x = 1 x , em que definimos C = 1. Note que f(x) = 1 x pois a equac¸a˜o deve ser colocada na forma (6), ou seja, e´ necessa´rio dividir tudo por x. Multiplicando a equac¸a˜o por µ(x) e escrevendo o lado esquerdo como a derivada de um produto, 1 x y′ − 1 x2 y = cosx⇒ ( y x )′ = cosx⇒ y x = ∫ cosxdx = senx+ C. Portanto, a soluc¸a˜o geral e´ dada por y x = senx+ C ⇒ y = x(C + senx). 9. y′ + y tanx = x senx cosx, y(0) = 2 Resoluc¸a˜o: Note que o problema e´ um PVI, portanto devemos aplicar a condic¸a˜o inicial na soluc¸a˜o geral. Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (y tanx− x senx cosx)dx+ dy = 0. Como M(x, y) = y tanx − x senx cosx e N(x, y) = 1, My = tanx 6== 0 = Nx e, portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Pore´m, novamente, ela e´ linear e ja´ na forma que admite o fator integrante µ(x, y) = µ(x) dado por µ(x) = e ∫ f(x)dx = e ∫ tanxdx. A integral no expoente pode ser resolvida lembrando que tanx = senx cosx e fazendo a substituic¸a˜o u = cosx, du = − senxdx:∫ tanxdx = ∫ senx cosx dx = − ∫ senx u senx du = − ∫ du u = − ln |u|+ C = ln ∣∣∣∣ 1cosx ∣∣∣∣+ C. Assim, µ(x) = e ∫ tanxdx = eln | 1 cos x |+C = C cosx = 1 cosx , 18 em que definimos C = 1. Multiplicando a equac¸a˜o diferencial por µ(x) e usando que tanx = senx cosx , y′ cosx + y senx cos2 x = x senx. Agora, podemos escrever o lado esquerdo como a derivada de um produto,(y cosx )′ = x senx⇒ y cosx = ∫ x senxdx⇒ y = cosx ∫ x senxdx. Esta integral pode ser calculada por integrac¸a˜o por partes, de forma que∫ x senxdx = −x cosx+ ∫ cosxdx = −x cosx+ senx+ C. Portanto, a soluc¸a˜o e´ dada por y = cosx ∫ x senxdx = cosx(−x cosx+ senx+ C). Resta agora aplicarmos a condic¸a˜o inicial. Para y(0) = 2, 2 = cos 0(−0 cos 0 + sen0 + C) = C, e, finalmente, y = (−x cosx+ senx+ 2) cosx. 10. (x2 + 1) dy dx − xy = 1 Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (−xy − 1)dx+ (x2 + 1)dy = 0, em que M(x, y) = −xy− 1 e N(x, y) = x2 + 1. Como My = −x 6= 2x = Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Mas, como vimos anteriormente, ela e´ linear! Colocando na forma (6), y′ − x x2 + 1 y = 1 x2 + 1 , temos que o fator integrante µ(x, y) = µ(x) e´ dado por µ(x) = e ∫ f(x)dx = e − ∫ x x2+1 dx . 19 A integral do expoente pode ser resolvida atrave´s da substituic¸a˜o u = x2+1, du = 2xdx,∫ x x2 + 1 dx = ∫ x 2xu du = 1 2 ∫ du u = 1 2 ln |u|+ C = ln | √ x2 + 1|+ C. Assim, µ(x) = e − ∫ x x2+1 dx = C 1√ x2 + 1 = 1√ x2 + 1 , em que C = 1. Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial na forma linear por µ(x), y′√ x2 + 1 − x (x2 + 1) 3 2 y = 1 (x2 + 1) 3 2 , que podemos reescrever como( y√ x2 + 1 )′ = 1 (x2 + 1) 3 2 ⇒ y√ x2 + 1 = ∫ 1 (x2 + 1) 3 2 dx⇒ y = √ x2 + 1 ∫ 1 (x2 + 1) 3 2 dx. Esta integral pode ser resolver por substituic¸a˜o trigonome´trica. Vamos imaginar um triaˆngulo como o da figura abaixo: A partir deste triaˆngulo, temos que cosθ = 1√ x2 + 1 . Com isto, ja´ damos conta de uma parte do denominador. Precisamos encontrar um diferencial em θ. Do triaˆngulo, temos que tan θ = x e, portanto, derivando implicita- mente, sec2 θdθ = dx⇒ dθ = dx sec2 θ . 20 Mas, pelo triaˆngulo, sec2 θ = 1 cos2θ = x2 + 1, enta˜o a expressa˜o de dθ fica dθ = dx sec2 θ ⇒ dθ = 1 x2 + 1 dx. Portanto, a integral se torna∫ 1 (x2 + 1) 3 2 dx = ∫ ( 1√ x2 + 1 )( 1 x2 + 1 dx ) = ∫ cos θdθ = senθ + C. Agora, voltamos para a varia´vel utilizando novamente o triaˆngulo, senθ = x√ x2 + 1 , e, portanto, ∫ 1 (x2 + 1) 3 2 dx = x√ x2 + 1 + C. Finalmente, conclu´ımos que y = √ x2 + 1 ∫ 1 (x2 + 1) 3 2 dx = √ x2 + 1 ( x√ x2 + 1 + C ) = x+ C √ x2 + 1 e, portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ dada por y = x+ C √ x2 + 1. 11. y′ = e2x + y − 1, y(0) = 1 Resoluc¸a˜o: Novamente, temos um PVI. Portanto, na˜o podemos esquecer de aplicar a condic¸a˜o inicial. Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (e2x + y − 1)dx− dy = 0, em que reconhecemos que M(x, y) = e2x + y− 1 e N(x, y) = −1. Como My = 1 6= 0 = Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Pore´m, novamente, ela e´ linear! Para a equac¸a˜o estar na forma linear, devemos subtrair y dos dois lados, y′ − y = e2x − 1, 21 e, agora, sabemos que o fator integrante µ(x, y) = µ(x) e´ dado por µ(x) = e ∫ f(x)dx = e− ∫ dx = Ce−x = e−x, em que definimos C = 1. Multiplicando toda a equac¸a˜o por µ(x), e−xy′ − e−xy = ex − e−x ⇒ (e−xy)′ = ex − e−x ⇒ y = ex ∫ (ex − e−x)dx e, portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ dada por y = ex(ex + e−x + C) = 1 + e2x + Cex. Finalmente, aplicando a condic¸a˜o inicial, para y(0) = 1, 1 = 1 + e0 + Ce0 = 2 + C ⇒ C = −1. Portanto, y = 1− ex + e2x. 12. 2xy + 3x2 + (x2 + 2)y′ = 0 Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx, (2xy + 3x2)dx+ (x2 + 2)dy = 0, em que M(x, y) = 2xy + 3x2 e N(x, y) = x2 + 2. Perceba que, agora, My = 2x = Nx. Portanto, a equac¸a˜o e´ exata! Basta encontrarmos a func¸a˜o potencial F (x, y). Lembrando que Fx = M(x, y) = 2xy + 3x 2 e Fy = N(x, y) = x 2 + 2, comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em y na˜o tera´ y no integrando. Assim Fy = x 2 + 2⇒ F (x, y) = ∫ (x2 + 2)dy = x2y + 2y + g(x), em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o. Pela primeira condic¸a˜o, temos que Fx = (x 2y + 2y + g(x))x = 2xy + g ′(x) = M(x, y) = 2xy + 3x2, 22 e, portanto, g′(x) = 3x2 ⇒ g(x) = ∫ 3x2dx = x3, em que a constante foi ocultada pois sempre sera´ absorvida no fim. Desta forma, conclu´ımos que F (x, y) = x2y + 2y + x3. Portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ dada por x2y + 2y + x3 = (x2 + 2)y + x3 = C ⇒ y = C − x 3 x2 + 2 . 13. Resolva a equac¸a˜o dx + ( x y − seny ) dy = 0 procurando x como func¸a˜o de y (con- siderando dx dy ). Resoluc¸a˜o: Mesmo que, agora, x = x(y), para a determinac¸a˜o da func¸a˜o potencial, a dependeˆncia entre as varia´veis na˜o importa. Assim, reconhecendo que M(x, y) = 1 e N(x, y) = x y − seny, vemos que My = 0 6= 1y = Nx. Portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata! Devemos procurar um fator integrante. Para verificarmos se a equac¸a˜o diferencial admite um fator integrante dependendo so´ de x, devemos checar se My−Nx N depende so´ de x. Calculando, My −Nx N = 0− 1 y x y − seny , percebemos que ha´ dependeˆncia em x, portanto devemos procurar um fator integrante que depende so´ de y. Para isso, Nx−My M deve depender so´ de y. De fato, Nx −My M = 1 y − 0 1 = 1 y , que depende so´ de y! Sabemos que µ(x, y) = µ(y) satisfaz µ′(y) µ(y) = Nx −My M = 1 y ⇒ ∫ dµ µ = ∫ dy y ⇒ µ(y) = y, ja´ desconsiderando poss´ıveis constantes. 23 Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial por µ(y), ydx+ (x− y seny)dy = 0, em que, agora, M ′(x, y) = y e N ′(x, y) = x − y seny. Desta forma, M ′y = 1 = N ′x e a equac¸a˜o se torna exata! Falta determinar a func¸a˜o potencial F (x, y). Finalmente, lembrando que Fx = M ′(x, y) = y e Fy = N ′(x, y) = x− y seny, comec¸amos pela primeira condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em x na˜o tera´ termos em x. Assim, Fx = y ⇒ F (x, y) = ∫ ydx = xy + g(y), em que g(y) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o. Pela segunda condic¸a˜o, Fy = (xy + g(y))y = x+ g ′(y) = N ′(x, y) = x− y seny, e, portanto, g′(y) = −y seny ⇒ g(y) = − ∫ y senydy = −(−y cos y + ∫ cos ydy) = y cos y − seny, desconsiderando as constantes. Finalmente, F (x, y) = xy + y cos y − seny, e, portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ dada por xy + y cos y − seny = C. RESPOSTAS 1. a) x2y2 + 2x3y = C b) y cosx+ x2ey − 2y = C 2. (3x2y + y3)e3x = C 24 3. xe2y − ln |y| = C, y = 0 4. y2e−x − x−2 = C 5. (y + senx)y2ey = C 6. y = C(x+ ex) 7. Se a 6= 0, a soluc¸a˜o geral e´ y = x a − 1 a2 + Ce−ax. Para a = 0, y = x2 2 + C. 8. y(x) = x(C + senx) 9. y = (−x cosx+ senx+ 2) cosx 10. y = x+ C √ 1 + x2 11. y = 1− ex + e2x 12. y = C − x3 x2 + 2 13. xy + y cos y − seny = C 25
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