Resolução da Lista de Exercícios 2 (Equações Exatas e Fatores Integrantes) - Equações Diferenciais

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Resoluc¸a˜o da Lista de Exerc´ıcios 2 - Equac¸o˜es
Diferenciais
Vin´ıcius Fratin Netto
Maio de 2016
Estes exerc´ıcios foram selecionados das listas de Equac¸o˜es Diferenciais do
professor Eduardo Brietzke, do Departamento de Matema´tica da UFRGS,
retirados de http://www.mat.ufrgs.br/˜brietzke/listas.html
1. Determine as soluc¸o˜es das seguintes equac¸o˜es diferenciais:
a) 6x2y + 2xy2 + (2x3 + 2x2y)y′ = 0
Resoluc¸a˜o: Esta equac¸a˜o na˜o e´ separa´vel, mas sua forma sugere que existe uma
possibilidade de encontrarmos uma soluc¸a˜o atra´ves do me´todo das equac¸o˜es ex-
atas. Para isso, primeiramente devemos escrever a equac¸a˜o na forma M(x, y)dx+
N(x, y)dy = 0, a fim de identificarmos M(x, y) e N(x, y). Assim, multiplicando
toda a equac¸a˜o por dx,
(6x2y + 2xy2)dx+ (2x3 + 2x2y)dy = 0,
e obtemos que M(x, y) = 6x2y + 2xy2 e N(x, y) = 2x3 + 2x2y.
Tendo em vista que M(x, y) e N(x, y) sa˜o cont´ınuas, tem derivadas parciais
primeiras cont´ınuas e esta˜o definidas em R2 (portanto, uma regia˜o simplesmente
conexa), verificando que My = Nx saberemos que a equac¸a˜o e´ exata e prosseguire-
mos encontrando a func¸a˜o potencial F (x, y). De fato,
My = (6x
2y + 2xy2)y = 6x
2 + 4xy,
e
Nx = (2x
3 + 2x2y)x = 6x
2 + 4xy.
Portanto, My = Nx e podemos encontrar F (x, y).
1
Lembrando que, escrevendo F (x, y) na forma diferencial e igualando a zero, pela
equac¸a˜o, temos que
Fx = M(x, y) (1)
e
Fy = N(x, y). (2)
Podemos comec¸ar tanto de (1) quanto de (2). Comec¸ando de (1), temos que
Fx = M ⇒ F (x, y) =
∫
M(x, y)dx,
em que esta e´ uma integral parcial, ou seja, tratando y como constante. Com isso,
na˜o havera´ uma constante de integrac¸a˜o que e´ um nu´mero real, e sim uma func¸a˜o
g(y), pois ela sumira´ caso se calcule a derivada parcial em x novamente. Assim,
F (x, y) =
∫
M(x, y)dx =
∫
(6x2y + 2xy2)dx = 2x3y + x2y2 + g(y).
Resta agora descobrir g(y). Para isto, usamos o fato (2). Calculando Fy, temos
que
Fy = (2x
3y + x2y2 + g(y))y = 2x
3 + 2x2y + g′(y),
que, por (2),
Fy = N(x, y)⇒ 2x3 + 2x2y + g′(y) = 2x3 + 2x2y
⇒ g′(y) = 0
⇒ g(y) = C
Portanto, temos que F (x, y) = 2x3y + x2y2 + C. Desta forma, podemos escrever
a equac¸a˜o diferencial como
[F (x, y)]′ = 0⇒ F (x, y) = C.
Assim, notando que a constante da func¸a˜o potencial sera´ absorvida, temos que a
soluc¸a˜o geral impl´ıcita da equac¸a˜o e´ dada por
2x3y + x2y2 = C.
2
b) (2xey − y senx)dx+ (cosx− 2 + x2ey)dy = 0
Resoluc¸a˜o: Procedemos da mesmo forma que no item anterior. Como a equac¸a˜o
ja´ esta´ na forma que queremos, identificamos que M(x, y) = 2xey − y senx e
N(x, y) = cos x− 2 + x2ey. Precisamos verificar se My = Nx. De fato,
My = (2xe
y − y senx)y = 2xey − senx,
e
Nx = (cosx− 2 + x2ey)x = 2xey − senx.
Assim, verificamos que My = Nx e, portanto, a equac¸a˜o diferencial e´ exata.
Novamente, procuramos uma func¸a˜o potencial F (x, y) tal que
Fx = M(x, y) (3)
e
Fy = N(x, y). (4)
Partindo de (3), temos que
Fx = M(x, y)⇒ F (x, y) =
∫
M(x, y)dx
⇒ F (x, y) =
∫
(2xey − y senx)dx
⇒ F (x, y) = x2ey + y cosx+ g(y).
Novamente, para determinarmos g(y), utilizamos a outra condic¸a˜o (4). Calcu-
lando Fy, temos que
Fy = x
2ey + cosx+ g′(y).
Por (4), sabemos que
Fy = N(x, y)⇒ x2ey + cosx+ g′(y) = cos x− 2 + x2ey
⇒ g′(y) = −2
⇒ g(y) = −2y,
em que a constante de integrac¸a˜o foi ocultada porque sempre sera´ absorvida pela
outra constante no fim. Desta forma, obtemos que
F (x, y) = x2ey + y cosx− 2y
3
e, finalmente, chegamos na soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial que e´ dada
por
y cosx+ x2ey − 2y = C.
2. Resolva a equac¸a˜o (3x2y + 2xy + y3)dx + (x2 + y2)dy = 0, encontrando um fator
integrante dependendo so´ de x.
Resoluc¸a˜o: Reconhecendo que M(x, y) = 3x2y + 2xy + y3 e que N(x, y) = x2 + y2,
verificamos se a equac¸a˜o e´ exata checando se My = Nx. Desta forma,
My = 3x
2 + 2x+ 3y2
e
Nx = 2x.
Como My 6= Nx, a equac¸a˜o, de fato, na˜o e´ exata. O enunciado pede para resolvermos a
equac¸a˜o encontrando um fator integrante que depende so´ de x. Assim, µ(x, y) = µ(x).
Sabemos que, multiplicando toda a equac¸a˜o pelo fator integrante e impondo que M ′y =
(µ(x)M(x, y))y = (µ(x)N(x, y)x = N
′
x, o fator integrante satisfaz a equac¸a˜o diferencial
µ′(x)
µ(x)
=
My −Nx
N
. (5)
Uma consegueˆncia disso e´ que o lado direito de (5) deve depender apenas de x. De
fato,
My −Nx
N
=
3x2 + 2x+ 3y2 − 2x
x2 + y2
=
3x2 + 3y2
x2 + y2
=
3(x2 + y2)
x2 + y2
= 3.
Prosseguindo com (5), temos que
µ′(x)
µ(x)
= 3⇒
∫
dµ
µ
=
∫
3dx⇒ ln |µ| = 3x+ C ⇒ µ(x) = Ce3x.
Como na˜o queremos toda a famı´lia de fatores integrantes, e sim apenas um, tomamos
C = 1. Portanto,
µ(x) = e3x.
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial pelo fator integrante, obtemos que
4
e3x(3x2y + 2xy + y3)dx+ e3x(x2 + y2)dy = 0.
Se fizemos tudo certo ate´ aqui, a equac¸a˜o, agora, deve ser exata. Como agoraM ′(x, y) =
e3x(3x2y + 2xy + y3) e N ′(x, y) = e3x(x2 + y2),
M ′y = e
3x(3x2 + 2x+ 3y2) = 3x2e3x + 2xe3x + 3y2e3x
e
N ′x = (e
3x)x(x
2 + y2) + e3x(x2 + y2)x = 3e
3x(x2 + y2) + 2xe3x
= 3x2e3x + 2xe3x + 3y2e3x.
A equac¸a˜o e´ exata! Agora devemos encontrar a func¸a˜o potencial F (x, y).
Lembrando que
Fx = M
′(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3)
e
Fy = N
′(x, y) = e3x(x2 + y2),
temos que escolher uma destas condic¸o˜es e integrar na varia´vel respectiva. Perceba que,
neste caso, e´ muito mais fa´cil comec¸ar pela segunda condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em y
de N ′(x, y) sera´ bem simples do que a integrac¸a˜o da primeira condic¸a˜o, que envolvera´
integrac¸a˜o por partes. Desta forma,
Fy = e
3x(x2 + y2)⇒ F (x, y) = e3x
∫
(x2 + y2)dy = e3x
(
x2y +
y3
3
)
+ g(x),
em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o da integral em y, pois derivarmos parcial-
mente em y, ela sera´ perdida.
Utilizando a primeira condic¸a˜o, temos que
Fx =
[
e3x
(
x2y +
y3
3
)
+ g(x)
]
x
= 3e3x
(
x2y +
y3
3
)
+ e3x(2xy) + g′(x)
= e3x(3x2y + 2xy + y3) + g′(x)
= M ′(x, y) = e3x(3x2y + 2xy + y3),
e, portanto,
g′(x) = 0⇒ g(x) = C.
Como qualquer constante arbitra´ria sempre sera´ absorvida no fim, podemos ignora´-la.
Finalmente, obtemos que
5
F (x, y) = e3x
(
x2y +
y3
3
)
,
e, portanto, a equac¸a˜o diferencial pode ser reescrita como
(F (x, y))′ = 0⇒ F (x, y) = C,
em que chegamos que a soluc¸a˜o geral impl´ıcita e´ dada por
e3x
(
x2y +
y3
3
)
= C
ou, multiplicando tudo por 3 e definindo 3C = C,
(3x2y + y3)e3x = C.
3. Resolva a equac¸a˜o y + (2xy − e−2y)y′ = 0, usando um fator integrante dependendo so´
de y.
Resoluc¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ ana´logo ao anterior. Para obter a equac¸a˜o na forma
diferencial, multiplicamos tudo por dx,
ydx+ (2xy − e−2y)dy = 0,
em que identificamos M(x, y) = y e N(x, y) = 2xy − e−2y. Como
My = 1
e
Nx = 2y,
My 6= Nx e, portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. O enunciado pede para resolvermos a
equac¸a˜o encontrando um fator integrante que depende so´ y. Assim, µ(x, y) = µ(y).
Pelo mesmo racioc´ınio do exerc´ıcio anterior, sabemos que o fator integrante µ(y) sat-
isfaz
µ′(y)
µ(y)
=
Nx −My
M
,
implicando que o lado direito da igualdade deve depender so´ de y. De fato,
Nx −My
M
=
2y − 1
y
= 2− 1
y
.
6
Portanto,
µ′(y)
µ(y)
= 2− 1
y
⇒
∫
dµ
µ
=
∫ (
2− 1
y
)
dy ⇒ ln |µ| = 2y − ln |y|+ C = 2y + ln
∣∣∣∣1y
∣∣∣∣+ C,
Aplicando exponencial dos dois lados,
µ(y) =
Ce2y
y
=
e2y
y
,
em que definimos C = 1, pois queremos apenas um fator integrante, e na˜o a famı´lia.
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial por µ(y), temos que
e2y
y
ydx+
e2y
y
(2xy − e−2y)dy = e2ydx+
(
2xe2y − 1
y
)
dy = 0.
Com isso, a equac¸a˜o deveser exata. Reconhecendo M ′(x, y) = e2y e N ′(x, y) = 2xe2y−
1
y
,
M ′y = 2e
2y
e
N ′x = 2e
2y.
Como M ′y = N
′
x, a equac¸a˜o e´ exata! Agora, precisamos encontrar a func¸a˜o potencial
F (x, y). Lembrando que
Fx = M
′(x, y) = e2y
e
Fy = N
′(x, y) = 2xe2y − 1
y
,
comec¸amos pela primeira condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em x na˜o envolvera´ outros termos
em x. Desta forma,
Fx = e
2y ⇒ F (x, y) =
∫
e2ydx = xe2y + g(y),
em que g(y) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o da integral em x, pois se derivarmos par-
cialmente em x, ela sera´ perdida. Agora, pela segunda condic¸a˜o,
Fy = [xe
2y + g(y)]y = 2xe
2y + g′(y) = N ′(x, y) = 2xe2y − 1
y
,
que implica que
g′(y) = −1
y
⇒ g(y) = −
∫
dy
y
= − ln |y|.
A constante foi ocultada pois sera´ absorvida no final.
7
Assim,
F (x, y) = xe2y − ln |y|,
e, portanto, uma soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial e´ dada por
xe2y − ln |y| = C.
Note que, ale´m desta soluc¸a˜o, a func¸a˜o y = 0 tambe´m e´ soluc¸a˜o, e segue direto
da equac¸a˜o diferencial. A ideia, portanto, e´ a mesma que t´ınhamos nas equac¸o˜es
separa´veis: soluc¸o˜es de equil´ıbrio (y constante que zera os dois lados da equac¸a˜o)
sempre devem ser procuradas quando olhamos para uma equac¸a˜o diferencial.
4. Verifique que a equac¸a˜o
2x−2ex − xy2 + 2xyy′ = 0
admite um fator integrante dependendo so´ de x e resolva a equac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(2x−2ex − xy2)dx+ 2xydy = 0,
em que identificamos M(x, y) = 2x−2ex − xy2 e N(x, y) = 2xy. Desta forma,
My = −2xy
e
Nx = 2y,
e como My 6= Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata.
O enunciado pede para encontrarmos um fator integrante dependendo so´ de x. Assim,
µ(x, y) = µ(x) que deve satisfazer
µ′(x)
µ
=
My −Nx
N
,
e o lado direito desta igualdade deve depender so´ de x. De fato,
My −Nx
N
=
−2xy − 2y
2xy
=
2y(−x− 1)
2xy
=
−x− 1
x
= −1− 1
x
.
Assim,
µ′(x)
µ(x)
= −1− 1
x
⇒
∫
dµ
µ
=
∫ (
− 1− 1
x
)
dx⇒ ln |µ| = −x− ln |x|+ C.
8
Aplicando exponencial dos dois lados,
µ(x) =
Ce−x
x
=
e−x
x
,
em que definimos C = 1.
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial por µ(x),
e−x
x
(2x−2ex − xy2)dx+ e
−x
x
2xydy = (2x−3 − e−xy2)dx+ 2e−xydy = 0.
Devemos verificar se, agora, a equac¸a˜o e´ exata. Notanto que M ′(x, y) = 2x−3 − e−xy2
e que N ′(x, y) = 2e−xy,
M ′y = −2e−xy
e
N ′x = −2e−xy.
Como M ′y = N
′
x, a equac¸a˜o e´ exata! Prosseguindo, devemos encontrar a func¸a˜o poten-
cial F (x, y).
Lembrando que
Fx = M
′(x, y) = 2x−3 − e−xy2
e
Fy = N
′(x, y) = 2e−xy,
comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em y sera´ mais fa´cil do que a
integrac¸a˜o em x por envolver apenas um termo que conte´m y. Assim,
Fy = 2e
−xy ⇒ F (x, y) =
∫
2e−xydy = e−xy2 + g(x),
em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o.
Agora, utilizando a primeira condic¸a˜o,
Fx = [e
−xy2 + g(x)]x = −e−xy2 + g′(x) = M ′(x, y) = 2x−3 − e−xy2,
e, portanto
g′(x) = 2x−3 ⇒ g(x) = 2
∫
x−3dx = −2x
−2
2
= −x−2.
A constante na˜o foi considerada pois sera´ absorvida no fim.
Portanto, temos que
F (x, y) = e−xy2 − x−2
e, finalmente, a soluc¸a˜o impl´ıcita da equac¸a˜o diferencial e´ dada por
y2e−x − x−2 = C.
9
5. Verifique que a equac¸a˜o(
3y + y2 + (2 + y) senx
)
y′ + y cosx = 0
admite um fator integrante dependendo so´ de y, pore´m na˜o admite um fator integrante
que depende somente de x. Resolva a equac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o: Multiplicando a equac¸a˜o por dx,(
3y + y2 + (2 + y) senx
)
dy + y cosxdx = 0,
em que reconhecemos M(x, y) = y cosx e N(x, y) = 3y+ y2 + (2 + y) senx. Calculando
My = cosx
e
Nx = (2 + y) cosx,
mostramos que My 6= Nx e, portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata.
O enunciado pede para verificarmos, primeiro, que a equac¸a˜o admite um fator inte-
grante dependendo so´ de y. Para isso, Nx−My
M
deve depender so´ de y. De fato,
Nx −My
M
=
(2 + y) cosx− cosx
y cosx
=
(1 + y) cosx
y cosx
=
1 + y
y
,
que depende so´ de y. Portanto, a equac¸a˜o admite um fator integrante dependendo so´
de y.
Em seguida, o enunciado pede para verificarmos que a equac¸a˜o na˜o admite um fator
integrante dependendo so´ de x. Para isso, My−Nx
N
na˜o deve depender apenas de x.
Novamente,
My −Nx
N
=
cosx− (2 + y) cosx
3y + y2 + (2 + y) senx
= − (1 + y) cosx
3y + y2 + (2 + y) senx
,
que tem dependeˆncia em y por existir um termo de segundo grau em y no denominador
e apenas de primeiro grau no numerador.
Por u´ltimo, devemos resolver a equac¸a˜o diferencial. Para isso, podemos obter o fator
integrante que depende so´ de y, µ(x, y) = µ(y). Desta forma,
µ′(y)
µ(y)
=
Nx −My
M
=
1 + y
y
=
1
y
+ 1,
10
e, resolvendo para µ(y),∫
dµ
µ
=
∫ (
1
y
+ 1
)
dy ⇒ ln |µ| = ln |y|+ y + C.
Aplicando exponencial dos dois lados,
µ(y) = Cyey = yey,
definindo C = 1.
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial inicial por µ(y),
yey(3y + y2 + (2 + y) senx)dy + (y2ey cosx)dx = 0.
Reconhecendo M ′(x, y) = y2ey cosx e N ′(x, y) = yey(3y + y2 + (2 + y) senx),
M ′y = (2ye
y + y2ey) cosx
e
N ′x = (2 + y)ye
y cosx = (2yey + y2ey) cosx.
Como M ′y = N
′
x, a equac¸a˜o e´ exata! Agora, devemos encontrar a func¸a˜o potencial
F (x, y).
Lembrando que,
Fx = M
′(x, y) = y2ey cosx
e
Fy = N
′(x, y) = yey(3y + y2 + (2 + y) senx),
comec¸amos pela primeira condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em x vai envolver apenas um
termo contendo x. Assim,
Fx = y
2ey cosx⇒ F (x, y) =
∫
y2ey cosxdx = y2ey senx+ g(y),
em que g(y) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o.
Pela segunda condic¸a˜o,
Fy = (y
2ey senx+g(y))y = (2ye
y+y2ey) senx+g′(y) = N ′(x, y) = yey(3y+y2+(2+y) senx),
de onde tiramos que
(2yey+y2ey) senx+g′(y) = yey(3y+y2+(2+y) senx) = (3y2+y3)ey+(2yey+y2ey) senx
e, portanto,
g′(y) = (3y2 + y3)ey ⇒ g(y) =
∫
(3y2 + y3)eydy.
11
Esta integral pode ser calculando utilizando integrac¸a˜o por partes duas vezes, na
primeira parcela, e treˆs vezes, na segunda. Pore´m, ha´ um detalhe que nos ajuda
bastante aqui. Perceba que
(3y2 + y3)ey = (y3ey)′,
pela regra do produto. Assim, a integral se torna
g(y) =
∫
(3y2 + y3)eydy =
∫
(y3ey)′dy = y3ey,
pelo Teorema Fundamental do Ca´lculo! Por isso, vale o conselho: em um ca´lculo com-
plicado, pense de que maneira e´ poss´ıvel reduzir a quantidade de trabalho necessa´ria
para realiza´-lo. A constante final de integrac¸a˜o sera´ absorvida no final.
Por fim, temos que
F (x, y) = y2ey senx+ y3ey = (y + senx)y2ey,
e, finalmente, obtemos que a soluc¸a˜o geral impl´ıcita para a equac¸a˜o diferencial e´ dada
por
(y + senx)y2ey = C.
6. Verifique que a equac¸a˜o
(1 + ex)y − (x+ ex)y′ = 0
admite um fator integrante dependendo so´ de y e tambe´m fator integrante dependendo
so´ de x. Resolva a equac¸a˜o de duas maneiras, cada vez empregando um dos fatores
integrantes.
Resoluc¸a˜o: Multiplicando a equac¸a˜o por dx,
(1 + ex)ydx− (x+ ex)dy = 0,
de onde identificamos M(x, y) = (1 + ex)y e N(x, y) = −(x+ ex). Calculando
My = 1 + e
x
e
Nx = −1− ex = −(1 + ex),
verificamos que a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Portanto, para resolveˆ-la, precisamos procurar
um fator integrante.
12
O enunciado pede para verificarmos que existem fatores integrantes que depende so´
de x e so´ de y. Vamos verificar, primeiro, que a equac¸a˜o admite um fator integrante
dependendo so´ de x. Para isso, My−Nx
N
deve depender so´ de x. De fato,
My −Nx
N
=
1 + ex − (−(1 + ex))
−(x+ ex) = −
2 + 2ex
(x+ ex)
,
que depende so´ de x. Portanto, a equac¸a˜o admite um fator integrante que depende so´
de x. Agora, devemos verificar se ela admite um fator integrante que depende so´ de y.
Para que isso acontec¸a,Nx−My
M
deve depender so´ de y. Novamente,
Nx −My
M
=
−(1 + ex)− 1 + ex
(1 + ex)y
= −2 1 + e
x
(1 + ex)y
= −2
y
,
que depende so´ de y. Portanto, a equac¸a˜o tambe´m admite um fator integrante depen-
dendo so´ de y.
Agora, o enunciado pede para resolvermos a equac¸a˜o utilizando os dois fatores inte-
grantes. Comec¸aremos pela fator integrante que depende so´ de x. Assim, µ(x, y) =
µ(x), que satisfaz
µ′(x)
µ(x)
=
My −Nx
N
= − 2 + 2e
x
(x+ ex)
,
pelo resultado obtido anteriormente.
Resolvendo para µ(x),∫
dµ
µ
= −
∫
− 2 + 2e
x
(x+ ex)
dx⇒ ln |µ| = −2
∫
1 + ex
x+ ex
dx.
Esta u´ltima integral pode ser resolvida atrave´s da substituic¸a˜o u = x + ex, du =
(1 + ex)dx. Assim,∫
1 + ex
x+ ex
dx =
∫
1 + ex
u(1 + ex)
du =
∫
du
u
= ln |u|+ C = ln |x+ ex|,
em que definimos C = 0. Portanto, temos que
ln |µ| = −2 ln |x+ ex| ⇒ µ(x) = 1
(x+ ex)2
.
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial por µ(x),
1
(x+ ex)2
(1 + ex)ydx− 1
(x+ ex)2
(x+ ex)dy =
(1 + ex)
(x+ ex)2
ydx− 1
(x+ ex)
dy = 0.
Devemos checar se a equac¸a˜o e´ exata. Notando que M ′(x, y) = (1+e
x)
(x+ex)2
y e N ′(x, y) =
− 1
(x+ex)
,
M ′y =
(1 + ex)
(x+ ex)2
13
e
N ′x = −
(
− 1
(x+ ex)2
)
(1 + ex) =
(1 + ex)
(x+ ex)2
.
Como M ′y = N
′
x, a equac¸a˜o e´ exata! Agora, devemos encontrar a func¸a˜o potencial
F (x, y). Lembrando que
Fx = M
′(x, y) =
(1 + ex)
(x+ ex)2
y
e
Fy = N
′(x, y) = − 1
(x+ ex)
,
comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois na˜o ha´ nenhum termo em y. Assim,
Fy = − 1
(x+ ex)
⇒ F (x, y) = −
∫
dy
(x+ ex)
= − y
(x+ ex)
+ g(x),
em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o.
Pela primeira condic¸a˜o,
Fx =
[
− y
(x+ ex)
+ g(x)
]
x
= −y −1
(x+ ex)2
(1 + ex) + g′(x) =
1 + ex
(x+ ex)2
y + g′(x).
Como Fx = M
′(x, y),
1 + ex
(x+ ex)2
y + g′(x) = M ′(x, y) =
(1 + ex)
(x+ ex)2
y,
que implica que
g′(x) = 0⇒ g(x) = C.
Esta constante sera´ absorvida no fim.
Portanto, temos que
F (x, y) = − y
(x+ ex)
,
e, finalmente, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial e´
− y
(x+ ex)
= C ⇒ y = C(x+ ex),
em que chamamos −C de C novamente.
Resta agora resolver esta mesma equac¸a˜o diferencial utilizando o fator integrante de-
pendendo so´ de y. Sabemos que µ(x, y) = µ(y) satisfaz
µ′(y)
µ(y)
=
Nx −My
M
= −2
y
,
14
resultado que foi obtido anteriormente. Assim,∫
dµ
µ
= −2
∫
dy
y
⇒ ln |µ| = −2 ln |y|+ C.
Portanto, obtemos que
µ(y) =
C
y2
=
1
y2
,
definindo C = 1.
Multiplicando toda a equac¸a˜o por µ(y),
1
y2
(1 + ex)ydx− 1
y2
(x+ ex)dy =
1 + ex
y
dx− x+ e
x
y2
dy = 0.
Reconhecendo M ′(x, y) = 1+e
x
y
e N ′(x, y) = −x+ex
y2
, calculando
M ′y = −
1 + ex
y2
e
N ′x = −
1 + ex
y2
,
notamos que, como M ′y = N
′
x, a equac¸a˜o e´ exata! Finalmente, devemos encontrar a
func¸a˜o potencial F (x, y). Sabendo que
Fx = M
′(x, y) =
1 + ex
y
e
Fy = N
′(x, y) = −x+ e
x
y2
,
comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois ela envolve apenas uma integrac¸a˜o de y2 no
denominador. Assim,
Fy = −x+ e
x
y2
⇒ F (x, y) = −
∫
x+ ex
y2
dy =
x+ ex
y
+ g(x),
em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o.
Utilizando a primeira condic¸a˜o, temos que
Fx =
[
x+ ex
y
+ g(x)
]
x
=
1 + ex
y
+ g′(x) = M ′(x, y) =
1 + ex
y
,
de onde tiramos que
g′(x) = 0⇒ g(x) = C,
em que a constante sera´ absorvida no fim.
15
Portanto,
F (x, y) =
x+ ex
y
,
e a soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial, novamente, e´ dada por
x+ ex
y
= C ⇒ y = C(x+ ex).
Observac¸a˜o u´til: Antes de resolvermos esta equac¸a˜o e as seguintes, vamos analisar o
que acontece com equac¸o˜es da forma
y′ + f(x)y = g(x). (6)
Estas equac¸o˜es sa˜o equac¸o˜es diferenciais ordina´rias lineares de primeira ordem. Vamos
estuda´-las com mais detalhes nas aulas que vira˜o. O ponto-chave, por agora, e´ observar que
esta equac¸a˜o sempre tem um fator integrante µ(x, y) = µ(x) que depende so´ de x. De fato,
multiplicando toda a equac¸a˜o a por dx e multiplicando por µ(x), temos que
µ(x)[f(x)y − g(x)]dx+ µ(x)dy = 0.
Notando que M ′(x, y) = µ(x)[f(x)y − g(x)] e N ′(x, y) = µ(x), calculando
M ′y = µ(x)f(x)
e
N ′x = µ
′(x),
o crite´rio de exatida˜o nos diz que estas func¸o˜es devem satisfazer
M ′y = N
′
x ⇒ µ(x)f(x) = µ′(x)⇒
µ′(x)
µ
= f(x),
e, portanto,
ln |µ| =
∫
f(x)dx⇒ µ = Ce
∫
f(x)dx = e
∫
f(x)dx,
em que definimos C = 1.
Agora, temos uma fo´rmula para o fator integrante de uma EDOL de primeira ordem.
Isto vai ser u´til nos pro´ximos exerc´ıcios, pois a maioria das equac¸o˜es sa˜o lineares.
Resolva:
16
7. y′ + ay = x
Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(ay − x)dx+ dy = 0,
em que M(x, y) = ay − x e N(x, y) = 1. Como My = a 6= 0 = Nx, a equac¸a˜o na˜o e´
exata e devemos procurar um fator integrante. Como a equac¸a˜o e´ linear, da forma (6),
ela admite um fator integrante µ(x, y) = µ(x) dependendo so´ de x dado por
µ(x) = e
∫
f(x)dx = e
∫
adx = eax.
Multiplicando toda a equac¸a˜o por µ(x), temos que
eaxy′ + ayeax = xeax,
Por construc¸a˜o, podemos escrever o lado esquerdo da igualdade como a derivada de
um produto,
(eaxy)′ = xeax ⇒ eaxy =
∫
xeaxdx⇒ y = e−ax
∫
xeaxdx.
Note que, agora, devemos tomar um cuidado: na integrac¸a˜o, havera´ uma divisa˜o por
a e, assim, devemos considerar separadamente os casos quando a = 0 e a 6= 0. Quando
a 6= 0,
y = e−ax
∫
xeaxdx = e−ax
[
xeax
a
− 1
a
∫
eaxdx
]
= e−ax
[
xeax
a
− e
ax
a2
+ C
]
,
de onde tiramos que a soluc¸a˜o geral e´ dada por
y =
x
a
− 1
a2
+ Ce−ax.
No caso em que a = 0, a soluc¸a˜o geral e´ dada por
y = e0
∫
xe0dx =
x2
2
+ C ⇒ y = x
2
2
+ C.
8. xy′ − y = x2 cosx
Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(−y − x2 cosx)dx+ xdy = 0,
17
em queM(x, y) = (−y−x2 cosx) eN(x, y) = x. Novamente, comoMy = −1 6= 1 = Nx,
a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Pore´m, a equac¸a˜o e´ linear. Colocando na forma (6),
y′ − y
x
= x cosx
e, portanto, obtemos um fator integrante µ(x, y) = µ(x), dado por
µ(x) = e
∫
f(x)dx = e−
∫
1
x
dx = e−ln|x|+C =
C
x
=
1
x
,
em que definimos C = 1. Note que f(x) = 1
x
pois a equac¸a˜o deve ser colocada na
forma (6), ou seja, e´ necessa´rio dividir tudo por x.
Multiplicando a equac¸a˜o por µ(x) e escrevendo o lado esquerdo como a derivada de
um produto,
1
x
y′ − 1
x2
y = cosx⇒
(
y
x
)′
= cosx⇒ y
x
=
∫
cosxdx = senx+ C.
Portanto, a soluc¸a˜o geral e´ dada por
y
x
= senx+ C ⇒ y = x(C + senx).
9. y′ + y tanx = x senx cosx, y(0) = 2
Resoluc¸a˜o: Note que o problema e´ um PVI, portanto devemos aplicar a condic¸a˜o
inicial na soluc¸a˜o geral. Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(y tanx− x senx cosx)dx+ dy = 0.
Como M(x, y) = y tanx − x senx cosx e N(x, y) = 1, My = tanx 6== 0 = Nx e,
portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Pore´m, novamente, ela e´ linear e ja´ na forma que
admite o fator integrante µ(x, y) = µ(x) dado por
µ(x) = e
∫
f(x)dx = e
∫
tanxdx.
A integral no expoente pode ser resolvida lembrando que tanx = senx
cosx
e fazendo a
substituic¸a˜o u = cosx, du = − senxdx:∫
tanxdx =
∫
senx
cosx
dx = −
∫
senx
u senx
du = −
∫
du
u
= − ln |u|+ C = ln
∣∣∣∣ 1cosx
∣∣∣∣+ C.
Assim,
µ(x) = e
∫
tanxdx = eln |
1
cos x
|+C =
C
cosx
=
1
cosx
,
18
em que definimos C = 1. Multiplicando a equac¸a˜o diferencial por µ(x) e usando que
tanx = senx
cosx
,
y′
cosx
+
y senx
cos2 x
= x senx.
Agora, podemos escrever o lado esquerdo como a derivada de um produto,(y
cosx
)′
= x senx⇒ y
cosx
=
∫
x senxdx⇒ y = cosx
∫
x senxdx.
Esta integral pode ser calculada por integrac¸a˜o por partes, de forma que∫
x senxdx = −x cosx+
∫
cosxdx = −x cosx+ senx+ C.
Portanto, a soluc¸a˜o e´ dada por
y = cosx
∫
x senxdx = cosx(−x cosx+ senx+ C).
Resta agora aplicarmos a condic¸a˜o inicial. Para y(0) = 2,
2 = cos 0(−0 cos 0 + sen0 + C) = C,
e, finalmente,
y = (−x cosx+ senx+ 2) cosx.
10. (x2 + 1)
dy
dx
− xy = 1
Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(−xy − 1)dx+ (x2 + 1)dy = 0,
em que M(x, y) = −xy− 1 e N(x, y) = x2 + 1. Como My = −x 6= 2x = Nx, a equac¸a˜o
na˜o e´ exata. Mas, como vimos anteriormente, ela e´ linear! Colocando na forma (6),
y′ − x
x2 + 1
y =
1
x2 + 1
,
temos que o fator integrante µ(x, y) = µ(x) e´ dado por
µ(x) = e
∫
f(x)dx = e
− ∫ x
x2+1
dx
.
19
A integral do expoente pode ser resolvida atrave´s da substituic¸a˜o u = x2+1, du = 2xdx,∫
x
x2 + 1
dx =
∫
x
2xu
du =
1
2
∫
du
u
=
1
2
ln |u|+ C = ln |
√
x2 + 1|+ C.
Assim,
µ(x) = e
− ∫ x
x2+1
dx
= C
1√
x2 + 1
=
1√
x2 + 1
,
em que C = 1.
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial na forma linear por µ(x),
y′√
x2 + 1
− x
(x2 + 1)
3
2
y =
1
(x2 + 1)
3
2
,
que podemos reescrever como(
y√
x2 + 1
)′
=
1
(x2 + 1)
3
2
⇒ y√
x2 + 1
=
∫
1
(x2 + 1)
3
2
dx⇒ y =
√
x2 + 1
∫
1
(x2 + 1)
3
2
dx.
Esta integral pode ser resolver por substituic¸a˜o trigonome´trica. Vamos imaginar um
triaˆngulo como o da figura abaixo:
A partir deste triaˆngulo, temos que
cosθ =
1√
x2 + 1
.
Com isto, ja´ damos conta de uma parte do denominador. Precisamos encontrar um
diferencial em θ. Do triaˆngulo, temos que tan θ = x e, portanto, derivando implicita-
mente,
sec2 θdθ = dx⇒ dθ = dx
sec2 θ
.
20
Mas, pelo triaˆngulo,
sec2 θ =
1
cos2θ
= x2 + 1,
enta˜o a expressa˜o de dθ fica
dθ =
dx
sec2 θ
⇒ dθ = 1
x2 + 1
dx.
Portanto, a integral se torna∫
1
(x2 + 1)
3
2
dx =
∫ (
1√
x2 + 1
)(
1
x2 + 1
dx
)
=
∫
cos θdθ = senθ + C.
Agora, voltamos para a varia´vel utilizando novamente o triaˆngulo,
senθ =
x√
x2 + 1
,
e, portanto, ∫
1
(x2 + 1)
3
2
dx =
x√
x2 + 1
+ C.
Finalmente, conclu´ımos que
y =
√
x2 + 1
∫
1
(x2 + 1)
3
2
dx =
√
x2 + 1
(
x√
x2 + 1
+ C
)
= x+ C
√
x2 + 1
e, portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ dada por
y = x+ C
√
x2 + 1.
11. y′ = e2x + y − 1, y(0) = 1
Resoluc¸a˜o: Novamente, temos um PVI. Portanto, na˜o podemos esquecer de aplicar
a condic¸a˜o inicial. Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(e2x + y − 1)dx− dy = 0,
em que reconhecemos que M(x, y) = e2x + y− 1 e N(x, y) = −1. Como My = 1 6= 0 =
Nx, a equac¸a˜o na˜o e´ exata. Pore´m, novamente, ela e´ linear! Para a equac¸a˜o estar na
forma linear, devemos subtrair y dos dois lados,
y′ − y = e2x − 1,
21
e, agora, sabemos que o fator integrante µ(x, y) = µ(x) e´ dado por
µ(x) = e
∫
f(x)dx = e−
∫
dx = Ce−x = e−x,
em que definimos C = 1. Multiplicando toda a equac¸a˜o por µ(x),
e−xy′ − e−xy = ex − e−x ⇒ (e−xy)′ = ex − e−x ⇒ y = ex
∫
(ex − e−x)dx
e, portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o e´ dada por
y = ex(ex + e−x + C) = 1 + e2x + Cex.
Finalmente, aplicando a condic¸a˜o inicial, para y(0) = 1,
1 = 1 + e0 + Ce0 = 2 + C ⇒ C = −1.
Portanto,
y = 1− ex + e2x.
12. 2xy + 3x2 + (x2 + 2)y′ = 0
Resoluc¸a˜o: Multiplicando toda a equac¸a˜o por dx,
(2xy + 3x2)dx+ (x2 + 2)dy = 0,
em que M(x, y) = 2xy + 3x2 e N(x, y) = x2 + 2. Perceba que, agora, My = 2x = Nx.
Portanto, a equac¸a˜o e´ exata! Basta encontrarmos a func¸a˜o potencial F (x, y).
Lembrando que
Fx = M(x, y) = 2xy + 3x
2
e
Fy = N(x, y) = x
2 + 2,
comec¸amos pela segunda condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em y na˜o tera´ y no integrando.
Assim
Fy = x
2 + 2⇒ F (x, y) =
∫
(x2 + 2)dy = x2y + 2y + g(x),
em que g(x) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o.
Pela primeira condic¸a˜o, temos que
Fx = (x
2y + 2y + g(x))x = 2xy + g
′(x) = M(x, y) = 2xy + 3x2,
22
e, portanto,
g′(x) = 3x2 ⇒ g(x) =
∫
3x2dx = x3,
em que a constante foi ocultada pois sempre sera´ absorvida no fim.
Desta forma, conclu´ımos que
F (x, y) = x2y + 2y + x3.
Portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ dada por
x2y + 2y + x3 = (x2 + 2)y + x3 = C ⇒ y = C − x
3
x2 + 2
.
13. Resolva a equac¸a˜o dx +
(
x
y
− seny
)
dy = 0 procurando x como func¸a˜o de y (con-
siderando
dx
dy
).
Resoluc¸a˜o: Mesmo que, agora, x = x(y), para a determinac¸a˜o da func¸a˜o potencial, a
dependeˆncia entre as varia´veis na˜o importa. Assim, reconhecendo que M(x, y) = 1 e
N(x, y) = x
y
− seny, vemos que My = 0 6= 1y = Nx. Portanto, a equac¸a˜o na˜o e´ exata!
Devemos procurar um fator integrante.
Para verificarmos se a equac¸a˜o diferencial admite um fator integrante dependendo so´
de x, devemos checar se My−Nx
N
depende so´ de x. Calculando,
My −Nx
N
=
0− 1
y
x
y
− seny ,
percebemos que ha´ dependeˆncia em x, portanto devemos procurar um fator integrante
que depende so´ de y. Para isso, Nx−My
M
deve depender so´ de y. De fato,
Nx −My
M
=
1
y
− 0
1
=
1
y
,
que depende so´ de y! Sabemos que µ(x, y) = µ(y) satisfaz
µ′(y)
µ(y)
=
Nx −My
M
=
1
y
⇒
∫
dµ
µ
=
∫
dy
y
⇒ µ(y) = y,
ja´ desconsiderando poss´ıveis constantes.
23
Multiplicando toda a equac¸a˜o diferencial por µ(y),
ydx+ (x− y seny)dy = 0,
em que, agora, M ′(x, y) = y e N ′(x, y) = x − y seny. Desta forma, M ′y = 1 = N ′x e a
equac¸a˜o se torna exata! Falta determinar a func¸a˜o potencial F (x, y).
Finalmente, lembrando que
Fx = M
′(x, y) = y
e
Fy = N
′(x, y) = x− y seny,
comec¸amos pela primeira condic¸a˜o, pois a integrac¸a˜o em x na˜o tera´ termos em x.
Assim,
Fx = y ⇒ F (x, y) =
∫
ydx = xy + g(y),
em que g(y) e´ a ”constante” de integrac¸a˜o.
Pela segunda condic¸a˜o,
Fy = (xy + g(y))y = x+ g
′(y) = N ′(x, y) = x− y seny,
e, portanto,
g′(y) = −y seny ⇒ g(y) = −
∫
y senydy = −(−y cos y +
∫
cos ydy) = y cos y − seny,
desconsiderando as constantes.
Finalmente,
F (x, y) = xy + y cos y − seny,
e, portanto, a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´ dada por
xy + y cos y − seny = C.
RESPOSTAS
1. a) x2y2 + 2x3y = C
b) y cosx+ x2ey − 2y = C
2. (3x2y + y3)e3x = C
24
3. xe2y − ln |y| = C, y = 0
4. y2e−x − x−2 = C
5. (y + senx)y2ey = C
6. y = C(x+ ex)
7. Se a 6= 0, a soluc¸a˜o geral e´ y = x
a
− 1
a2
+ Ce−ax. Para a = 0, y =
x2
2
+ C.
8. y(x) = x(C + senx)
9. y = (−x cosx+ senx+ 2) cosx
10. y = x+ C
√
1 + x2
11. y = 1− ex + e2x
12. y =
C − x3
x2 + 2
13. xy + y cos y − seny = C
25