3ª Lista Derivada

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Lista de exerc´ıcios de Ca´lculo I
Engenharia Metalu´rgica - PUC Minas
Regras do Produto e Regra do Quociente:
1. Encontre a derivada da func¸a˜o y = (x2 + 1)(x3 + 1) de duas maneiras: usando a
Regra do Produto e fazendo primeiro a multiplicac¸a˜o. As respostas sa˜o iguais?
2. Encontre a derivada da func¸a˜o y =
x− 3x√x√
x
de duas maneiras: utilizando a Regra
do Quociente e simplificando (e transformando em poteˆncia). Verifique que suas
respostas sa˜o equivalentes. Qual me´todo voceˆ prefere?
3. Derive as seguintes func¸o˜es:
1. f(x) = x2ex 2. F (x) =
√
xex
3. f(x) =
ex
x2
4. F (x) =
ex
1 + x
5. g(x) =
3x− 1
2x + 1
6. f(t) =
2t
4 + t2
7. f(x) = (2x3 + 3)(x4 − 2x) 8. Y (u) = (u−2 + u−3)(u5 − 2u2)
9. F (y) =
(
1
y2
− 3
y4
)
(y + 5y3) 10. R(t) = (t + et)(3−√t)
11. y =
t2
3t2 − 2t + 1 12. y =
t3 + t
t4 − 2
13. f(r) = (r2 − 2r)er 14. y = 1
s + kes
15. G(v) =
v3 − 2v√v
v
16. z = w
3
2 (w + cew)
17. y =
1
x4 + x2 + 1
18. f(x) =
√
x− 1√
x + 1
19. F (x) =
x
x + c
x
20. G(x) =
ax + b
cx + d
4. Encontre a primeira e a segunda derivada da func¸a˜o f(x) =
ex
x3
5. Suponha que f(5) = 1, f ′(5) = 6, g(5) = −3 e g′(5) = 2. Encontre os valores de:
(a) (fg)′(5)
(b) (f/g)′(5)
(c) (g/f)′(5)
6. Se f(3) = 4, g(3) = 2, f ′(3) = −6 e g′(3) = 5, encontre:
(a) (f + g)′(3)
(b) (fg)′(3)
(c) (f/g)′(3)
(d) ( f
f−g )
′(3)
7. Se f(x) = exg(x), onde g(0) = 2 e g′(0) = 5, encontre f ′(0).
1
Respostas:
1. f ′(x) = 5x4 + 3x2 + 2x das duas maneiras deve dar a mesma resposta!
2. f ′(x) =
1
2
√
x
− 3 das duas maneiras deve dar a mesma resposta!
Questa˜o 3:
1. f ′(x) = xex(x + 2) 2. F ′(x) =
1
2
√
x
ex(2x + 1)
3. f ′(x) =
ex(x− 2)
x3
4. F ′(x) =
xex
(x + 1)2
5. g′(x) =
5
(2x + 1)2
6. f ′(t) =
8− 2t2
(4 + t2)2
7. f ′(x) = 14x6 − 4x3 − 6 8. Y ′(u) = 3u2 + 2u + 2
u2
9. F ′(y) = 5 +
14
y2
+
9
y4
10.R′(t) = 3 + 3et − 3
2
√
t−√tet − e
t
2
√
t
11. y′ =
2t(1− t)
(3t2 − 2t + 1)2 12. y
′ =
t6 + 3t4 + 6t2 + 2
(t4 − 2)2
13. f ′(r) = er(r2 − 2) 14. y′ = 1 + ke
s
(s + kes)2
15. G′(v) = 2v − 1√
v
16. z′ =
5
2
√
w3 +
1
2
c
√
wew(2w + 3)
17. y′ = − 2x(2x
2 + 1)
(x4 + x2 + 1)2
18. f ′(x) =
1√
x(
√
x + 1)2
19. F ′(x) =
2cx
(x2 + c)2
20. G′(x) =
ad− bc
(cx + d)2
4. f ′(x) =
ex(x− 3)
x4
e f ′′(x) =
ex(x2 − 6x + 12)
x5
5. (a) −16
(b) −20
9
(c) 20
6. (a) −1
(b) 8
(c) −8
(d) 8
7. f ′(0) = 7
2