EDO – Lista 4 Resolvida

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Sumário
a) 𝑦′ = 1 + 𝑡2 − 2𝑡𝑦 + 𝑦2 , 𝑦1 𝑡 = 𝑡 , 𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑣 𝑡
Testar se há solução
𝑦 = 𝑡 → 𝑦′ = 1
1 = 1 + 𝑡2 − 2𝑡2 + 𝑡2 → 1 = 1
Desenvolver solução geral
𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑣
→ 𝑦 = ณ𝑡
𝑦1=𝑡
+
1
𝑣
Derivar solução geral
𝑦 = 𝑡 +
1
𝑣
→ 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 →
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Substituindo na equação
𝑦′ = 1 + 𝑡2 − 2𝑡𝑦 + 𝑦2
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 1 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
→ 1 + 𝑡2 − 2𝑡𝑦 + 𝑦2 = 1 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Há solução!
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Organizando a bagunça
1 + 𝑡2 − 2𝑡𝑦 + 𝑦2 = 1 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑡2 − 2𝑡𝑦 + 𝑦2 = −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑡2 − 2𝑡 𝑡 +
1
𝑣
𝑦
+ 𝑡 +
1
𝑣
𝑦
2
= −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑡2 − 2𝑡2 −
2𝑡
𝑣
+ 𝑡2 +
2𝑡
𝑣
+
1
𝑣2
= −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
−2𝑡2 −
2𝑡
𝑣
+ 2𝑡2 +
2𝑡
𝑣
+
1
𝑣2
= −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
1
𝑣2
= −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −1
Passo 5
Variáveis separáveis
𝑑𝑣 = −𝑑𝑡
Integrar
න𝑑𝑣 = −න𝑑𝑡 → 𝑣 = −𝑡 + 𝑐
Substituir na solução geral
𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑣 𝑡
→ 𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑐 − 𝑡
Passo 6
Passo 7
Passo 8
b) 𝑦′ = −
1
𝑡2
−
𝑦
𝑡2
+ 𝑦2 , 𝑦1 𝑡 =
1
𝑡
, 𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑣 𝑡
Testar se há solução
𝑦 =
1
𝑡
→ 𝑦′ = −
1
𝑡2
−
1
𝑡2
= −
1
𝑡2
−
1
𝑡3
+
1
𝑡2
→ −
1
𝑡2
≠ −
1
𝑡3
Não há solução!
Passo 1
c) 𝑦′ =
2 cos2 𝑡 −𝑠𝑒𝑛2 𝑡 +𝑦2
2 cos 𝑡
, 𝑦1 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 , 𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑣 𝑡
Testar se há solução
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 → 𝑦′ = cos(𝑡)
cos 𝑡 =
2 cos2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡
2 cos 𝑡
→ cos 𝑡 = cos 𝑡
Desenvolver solução geral
𝑦 − 𝑦1 =
1
𝑣
→ 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑦1=𝑠𝑒𝑛 𝑡
+
1
𝑣
Derivar solução geral
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 +
1
𝑣
→ 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎 →
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Substituindo na equação
𝑦′ =
2 cos2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑦2
2 cos 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
→
2 cos2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑦2
2 cos 𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Há solução!
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Organizando a bagunça
2 cos2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑦2
2 cos 𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
2 cos2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 +
1
𝑣
2
2 cos 𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
2 cos2 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 +
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑣 +
1
𝑣2
2 cos 𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
2 cos2 𝑡 +
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑣 +
1
𝑣2
2 cos 𝑡
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
2 cos2 𝑡
2 cos 𝑡
+
2𝑠𝑒𝑛 𝑡
2 cos(𝑡) 𝑣
+
1
2 cos 𝑡 𝑣2
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Passo 5
cos 𝑡 +
𝑡𝑔 𝑡
𝑣
+
1
2 cos 𝑡 𝑣2
= cos 𝑡 −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑡𝑔 𝑡
𝑣
+
1
2 cos 𝑡 𝑣2
= −
1
𝑣2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
−
𝑡𝑔 𝑡
𝑣
𝑣2 −
1
2 cos 𝑡 𝑣2
𝑣2 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= −𝑡𝑔 𝑡 𝑣 −
1
2 cos 𝑡
Ou
𝑣′ = −𝑡𝑔 𝑡 𝑣 −
1
2 cos 𝑡
→ 𝑣′ + 𝑡𝑔 𝑡 𝑣 = −
1
2 cos 𝑡
PVI por fator integrante
𝑣′ + 𝑡𝑔 𝑡 𝑣 = −
1
2 cos 𝑡
𝜇 𝑡 = 𝑒
׬ 𝑝 𝑡 𝑑𝑡 = ׬ 𝑡𝑔 𝑡 =׬
𝑠𝑒𝑛 𝑡
cos 𝑡
→ቊ
𝑢=cos 𝑡
𝑑𝑢=−𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡
=׬ −
𝑑𝑢
𝑢 = − ln 𝑢 =− ln cos 𝑡 =ln
1
cos 𝑡
𝜇 𝑡 = 𝑒ln sec 𝑡 = sec 𝑡
Multiplicar fator integrante
𝑣′ + 𝑡𝑔 𝑡 𝑣 = −
1
2 cos 𝑡
→ sec 𝑡 𝑣′ + sec 𝑡 𝑡𝑔 𝑡 𝑣 = −
sec 𝑡
2 cos 𝑡
Simplificar
sec 𝑡 𝑣′ + sec 𝑡 𝑡𝑔 𝑡 𝑣 → 𝑟𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 →
𝑣′ sec 𝑡 + 𝑠𝑒 𝑐 𝑡 𝑡𝑔 𝑡 𝑣
𝐴𝑛𝑢𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠
→
𝑑
𝑑𝑥
[𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑣]
𝑑
𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑣 = −
sec 𝑡
2 cos 𝑡
→ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑣 = න−
sec 𝑡
2 cos 𝑡
𝑑𝑡
Passo 6
Passo 7
Passo 8
Integrar
න−
sec 𝑡
2 cos 𝑡
𝑑𝑡 = −
1
2
න
𝑑𝑡
cos2 𝑡
= −
1
2
නsec2 𝑡 𝑑𝑡 = −
1
2
𝑡𝑔 𝑡 + 𝑐
𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑣 = −
1
2
𝑡𝑔 𝑡 + 𝑐
Solução geral
1
cos 𝑡
𝑣 = −
𝑠𝑒𝑛 𝑡
2 cos 𝑡
+ 𝑐
𝑣 = −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡 𝑐
Substituir na solução geral
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 +
1
𝑣
→ 𝑣 = −
1
2
𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡 𝑐
Então
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 +
1
−
1
2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + cos 𝑡 𝑐
→ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 +
2
−𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2 cos 𝑡 𝑐
Passo 9
Passo 10
Passo 11
Sumário
a) Família de parábolas: 𝑦 = 𝑘𝑥2 → 𝑘 =
𝑦
𝑥2
Derivando
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑘
Encontrando a inclinação da reta
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑦
𝑥2
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦
𝑥
Inclinação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
2𝑦
𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
2𝑦
Equação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
2𝑦
→ 2𝑦𝑑𝑦 = −𝑥𝑑𝑥 → න2𝑦𝑑𝑦 = −න𝑥𝑑𝑥
𝑦2 = 𝑐 −
𝑥2
2
→ 𝑦 = 𝑐 −
𝑥2
2
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
b) Família de hipérboles: 𝑦𝑥 = 𝑐
Derivando
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑦 = 0
Encontrando a inclinação da reta
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
Inclinação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑦
𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑦
Equação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑦
→ 𝑦𝑑𝑦 = 𝑥𝑑𝑥 → න𝑦𝑑𝑦 = න𝑥𝑑𝑥
𝑦2
2
=
𝑥2
2
→ 𝑦2 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
c) Família de círculos: 𝑥 − 𝑐 2 + 𝑦2 = 𝑐2
Derivando
2 𝑥 − 𝑐 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Encontrando a inclinação da reta
2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2 𝑥 − 𝑐 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2 𝑥 − 𝑐
2𝑦
Inclinação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥 − 𝑐
𝑦
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥 − 𝑐
Equação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥 − 𝑐
→
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑑𝑥
𝑥 − 𝑐
→ න
𝑑𝑦
𝑦
= න
𝑑𝑥
𝑥 − 𝑐
ln 𝑦 = ln 𝑥 − 𝑐
𝑦 = 𝑥 − 𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
d) Família de elipses: 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑐2
Derivando
2𝑥 − 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 → 2𝑥 − 𝑦 − 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
Encontrando a inclinação da reta
2𝑦 − 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 − 2𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 − 2𝑥
2𝑦 − 𝑥
Inclinação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 − 2𝑥
2𝑦 − 𝑥
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑦 − 𝑥
𝑦 − 2𝑥
→
𝑥 − 2𝑦
𝑦 − 2𝑥
Resolver PVI
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥 − 2𝑦
𝑦 − 2𝑥
→ 𝑦′ =
𝑥 − 2𝑦
𝑦 − 2𝑥
(𝑒𝑞. ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔ê𝑛𝑒𝑎𝑠)
𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 =
𝑡𝑥 − 2𝑡𝑦
𝑡𝑦 − 2𝑡𝑥
=
𝑡 𝑥 − 2𝑦
𝑡 𝑦 − 2𝑥
=
𝑥 − 2𝑦
𝑦 − 2𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Substituição por u
𝑢 =
𝑦
𝑥
→ 𝑦 = 𝑢𝑥
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 = 𝐹 𝑢
Retomando a equação
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+ 𝑢 =
𝑥 − 2𝑢𝑥
𝑢𝑥 − 2𝑥
→
𝑥 1 − 2𝑢
𝑥(𝑢 − 2)
→
1 − 2𝑢
𝑢 − 2
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 − 2𝑢
𝑢 − 2
− 𝑢
𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1 − 2𝑢 − 𝑢2 + 2𝑢
𝑢 − 2
=
1 − 𝑢2
𝑢 − 2
𝑥𝑑𝑢 =
1 − 𝑢2
𝑢 − 2
𝑑𝑥 →
𝑑𝑢
1 − 𝑢2
𝑢 − 2
=
𝑑𝑥
𝑥
→
𝑢 − 2
1 − 𝑢2
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
Passo 5
Passo 6
Integrar
න
𝑢 − 2
1 − 𝑢2
𝑑𝑢 = න
𝑑𝑥
𝑥
න
𝑢 − 2
1 − 𝑢2
𝑑𝑢 →
𝐴
1 − 𝑢
+
𝐵
1 + 𝑢
→
𝑢 = −1 → 𝐴 = −
1
2
𝑢 = 1 → 𝐵 = −
3
2
→ න−
1
2
1 − 𝑢
+ න−
3
2
1 + 𝑢
−
1
2
න
1
1 − 𝑢
=
1
2
ln 1 − 𝑢
−
3
2
න
1
1 + 𝑢
= −
3
2
ln 1 + 𝑢
ln 𝑐𝑥 =
1
2
ln 1 − 𝑢 −
3
2
ln 1 + 𝑢 → ln 𝑐𝑥 = ln 1 − 𝑢
1
2 + ln 1 + 𝑢 −
3
2
𝑐𝑥 =
1 − 𝑢
1
2
1 + 𝑢
3
2
Passo 7
Solução geral
𝑐𝑥 =
1 − 𝑢
1
2
1 + 𝑢
3
2
→ 𝑐𝑥 =
1 −
𝑦
𝑥
1
2
1 +
𝑦
𝑥
3
2
𝑥 − 𝑦
𝑥
1
2
𝑥 + 𝑦
𝑥
3
2
= 𝑐𝑥
𝑥 − 𝑦
1
2
𝑥
1
2
𝑥
3
2
𝑥 + 𝑦
3
2
= 𝑐𝑥 →
𝑥 − 𝑦1
2
𝑥
1
2 𝑥 + 𝑦
3
2
= 𝑐𝑥−
1
2
𝑥 − 𝑦
1
2
𝑥 + 𝑦
3
2
= 𝑐
Passo 8
e) Família de parábolas: 2𝑐𝑦 + 𝑥2 = 𝑐2 , 𝑐 > 0
Derivando
2𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥 = 0
Encontrando a inclinação da reta
2𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −2𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
2𝑥
2𝑐
= −
𝑥
𝑐
Inclinação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑐
→
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐
𝑥
Equação da segunda família
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐
𝑥
→ 𝑑𝑦 =
𝑐
𝑥
𝑑𝑥 → න𝑑𝑦 = 𝑐න
𝑑𝑥
𝑥
𝑦 = 𝑐 ln 𝑥
𝑦 = ln 𝑥𝑐
Passo 1
Passo 2
Passo 3
Passo 4
Helder Guerreiro