CC NAGEM O tabuleiro de xadrez matematica

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O tabuleiro de xadrez mutilado como ferramenta para o ensino sobre 
a matemática e a ciência II: resolução por analogia de um problema sem 
solução matemática 1 
 
Ronaldo Luiz Nagem - PhD ronaldonagem@gmail.com 
Adelson Fernandes Moreira – Dr. adelson@deii.cefetmg.br 
Evandro Caldeira - evandrocaldeira@yahoo.com.br 
 
Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais - Av. 
Amazonas, 7675 Belo Horizonte – MG 
Modalidade: Comunicação Científica. 
 
Resumo 
 
O presente trabalho é resultado de uma experiência de ensino realizada 
durante a disciplina Metodologia Científica para alunos do primeiro ano de 
graduação em Engenharia de Computação, no ano de 2009. Para diferenciar o 
fazer científico do fazer matemático foi utilizado o tabuleiro de xadrez mutilado 
proposto por Singh. Foram apresentados outros modelos análogos ao tabuleiro, 
reconstruídos a partir do modelo original. 
Os 42 alunos foram desafiados a resolver o problema proposto que era 
cobrir as 62 casas do tabuleiro de xadrez com 31 peças de dominó, sendo que no 
mesmo, faltavam duas casas brancas localizadas em extremos da mesma 
diagonal. 
Na caracterização do fazer científico, ficou evidente o empirismo da 
Ciência, sua transitoriedade, bem como a importância do uso de modelos 
análogos para o desenvolvimento do pensamento científico. 
O fazer matemático indicava impossibilidade de solução para o problema. 
Um dos alunos indicou a solução por meio de um raciocínio analógico. A solução 
por analogia de um problema sem solução matemática gera, a nosso ver, um 
novo problema. 
 A solução para o novo problema caberá agora à matemática: criar um 
modelo matemático para a solução proposta, valendo-se de ‘lentes’ diferentes 
daquelas usadas por Euclides. 
 
 
 
Palavras-chave: Modelos, Analogias, Ensino de Ciências, Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
 Trabalho realizado, em parte, com auxílio da Fundação Cefetminas e da Fundação de 
Amparo a Pesquisa de Minas Gerais – FAPEMIG, Brasil. 
 
 
 
 
 
Abstract 
 
 
This work is a result of an experience teaching on a discipline named 
Scientific Methodology offered to first year students of Computer Engineering, in 
2009. To differentiate the scientific work of mathematical doing was used mutilated 
chessboard proposed by Singh. Other models analogous to board, rebuilt from the 
original, were presented. 
The 42 students were challenged to solve the problem it was proposed to 
cover the 62 houses of the chessboard with 31 dominoes, with the same, missing 
two white houses located at different ends of the same diagonal. 
In doing science characterization was evident empiricism, its transitory 
dimension, and the importance of using analogical models to scientific thought 
development. 
Mathematical doing indicated as impossible the solution problem. One 
student indicated a solution by means of analogical reasoning. The solution by 
analogy to a mathematical problem without solution created a new problem. 
A new solution to the problem it is now up to mathematics: to create a 
mathematical model for the proposed solution, taking advantage of 'lenses' 
different from those used by Euclid. 
 
 
Key words: Models, Analogies, Science Teaching, Mathematics 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Os processos de aprendizagem e desenvolvimento do indivíduo no 
contexto atual, no qual a difusão de informações e a apropriação do 
conhecimento ocorrem de forma acelerada e eficiente em consequência dos 
grandes avanços nos setores científico e tecnológico, têm revelado novas 
estratégias, necessidades e desafios à prática pedagógica. 
 Tais estratégias baseadas no desenvolvimento de ideias consistentes com 
o ponto de vista científico utilizam modelos, analogias e metáforas, pretendendo o 
aumento da aplicação (e uso) da intuição e a mudança conceitual daquelas 
concepções nas quais os estudantes podem dar sentido intuitivo a aspectos de 
uma teoria científica, anteriormente considerados contraintuitivos - processo de 
“ancoragem de intuições“ (CLEMENT, J., BROWN, D. & ZIETSMAN, 1989). 
O uso de pontes construídas através de analogias, “bridging analogies” 
(BROWN, 1994), pretende que os estudantes possam ser capazes de estender 
suas intuições inicialmente válidas para situações-alvo ainda mais difíceis. 
Para Vygotsky (2008), os processos mentais superiores têm sua origem 
nos processos sociais e na constatação de que os processos mentais só podem 
ser compreendidos pelo estudo da mediação de instrumentos e de signos. As 
relações sociais são, portanto, fontes de informações para o estabelecimento de 
relações entre domínios. Aprendizagem e desenvolvimento mental ocorrem 
juntos, porém não são coincidentes, pois a aprendizagem ocorre a todo instante 
enquanto os processos de desenvolvimento mental podem ser favorecidos pelas 
experiências de aprendizagem. 
A evolução intelectual é caracterizada por saltos qualitativos de um nível de 
conhecimento para o outro. A Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) – 
distância entre o nível de desenvolvimento real e o nível de desenvolvimento 
potencial – explica esse processo. Na ZDP, o aprendiz utiliza o raciocínio 
analógico. Ele compara o estranho (potencial=alvo) com o familiar (real=veículo), 
estabelecendo semelhanças e diferenças entre ambos e favorecendo os saltos 
qualitativos entre os níveis de conhecimento real e potencial. Esse processo de 
comparação se faz em meio a interações com colegas mais experientes ou com o 
professor, em determinado ambiente de aprendizagem. 
Em decorrência de tais fatos, Nagem, Carvalhaes & Dias (2001) propõem 
uma metodologia de ensino com analogias (MECA) na qual contempla em seu 
último passo, avaliação, um modelo de estruturas comparativas de semelhanças 
e diferenças entre o alvo e o veículo em um processo de estabelecimento de uma 
analogia. 
Nagem & Carvalhaes (2002) consideram que a construção ou reconstrução 
do modelo deve ser feita em uma relação dialógica aberta entre os atores do 
processo. Uma analogia sem a complementação de explanações acerca do que 
se quer realmente destacar e/ou comparar pode gerar dúvidas e confusões, uma 
vez que a sua interpretação fica inteiramente a cargo do receptor. 
Bachelard (1996) ao analisar exemplos do pensamento, no período pré-
científico - Antiguidade Clássica até fins do séc. XVIII, em que havia o predomínio 
da linguagem metafórica e do uso de imagens, afirmou: “uma ciência que aceita 
as imagens é, mais que qualquer outra, vítima das metáforas”. Portanto, “o 
espírito científico deve lutar sempre contra as imagens, contra as analogias, 
contra as metáforas”. 
Para Bachelard, o uso de metáforas poderia levar o pensamento para 
construções mais metafóricas que reais, impedindo o pensamento abstrato 
necessário ao pensamento científico. Consideram que, na verdade, Bachelard, 
era contrário ao emprego equivocado das analogias e metáforas que poderia 
reforçar os obstáculos epistemológicos. 
 Dreistadt (1968) afirmou que, segundo psicólogos, frequentemente as 
analogias e metáforas eram utilizadas em descobertas, pois cientistas afirmaram 
terem obtido insigths com a ajuda desses recursos. São exemplos que ilustram: A 
teoria ondulatória da luz; A tabela periódica; A árvore da vida. 
Em relação ao ensino de ciências, destacamos os trabalhos de: Driver et 
al, (1999) ao tratar da construção do conhecimento científico em sala de aula de 
química; Laburu, Arruda & Nardi (1998) quando utilizam Lakatos para o 
entendimento da construção do conhecimento em sala de aula em situações de 
contradição e controvérsia. Esses mesmos autores, em 2003, abordam a questão 
do pluralismo metodológico no ensino de Ciências. 
 
 
Modelos 
 
O trabalho de Gutierrez (2005)aborda com intensidade a questão da 
polissemia atual para o conceito de modelo mental definido como um termo 
técnico no âmbito da Ciência Cognitiva. Ao examinar a literatura didática dos 
últimos dez anos, adverte que essa polissemia vem atuando como um obstáculo 
na atividade docente e que impede a abertura para novas formas de compreender 
o pensamento espontâneo dos alunos. 
Mayer (1989) afirma que o uso de modelos melhora a recuperação de 
informações conceituais sobre o entendimento do discurso científico, diminui a 
memorização, incrementa soluções criativas e pode levar ao pensamento 
sistemático sobre o material científico em estudo e destaca ainda: …um modelo 
conceitual é definido como palavras e / ou diagramas que são utilizados para 
ajudar os aprendizes a construírem modelos mentais... 
É interessante notar as questões propostas por Max Wertheimer, citadas 
no texto de Mayer: 
Por que algumas pessoas, quando estão diante de um problema, 
têm ideias inteligentes, realizam invenções e descobertas? O que 
acontece? Quais são os processos que levam uma pessoa para 
tais soluções? O que pode ser feito para ajudar pessoas a serem 
criativas quando eles estão diante de problemas? (MAYER, 
1989). 
 
Moreira, Greca & Palmero (2002) assim conceituam os modelos mentais e 
os diferenciam dos modelos conceituais: 
 
Los modelos mentales son análogos estructurales de estados de 
cosas, eventos u objetos, del mundo. Las personas operan 
cognitivamente con modelos mentales. Entender un sistema físico 
o un fenómeno natural, por ejemplo, implica tener un modelo 
mental del sistema que le permite a la persona que lo construye 
explicarlo y hacer previsiones con respecto a él... (MOREIRA, 
GRECA & PALMERO 2002). 
 
 
Analogias 
 
Considerada como mero ornamento linguístico próprio da linguagem 
literária e poética, a analogia vem ganhando status cognitivo nas últimas décadas. 
Vários autores se referem a elas como facilitadoras da aprendizagem, uma vez 
que estabelecem relações entre o conhecimento já existente – o veículo – com o 
novo conhecimento – o alvo –, possibilitando um melhor entendimento e 
assimilação do novo. Nesse aspecto, as analogias e metáforas podem significar 
uma expansão das perspectivas cognitivas, facilitando os procedimentos 
heurísticos. 
As novas funções decorrem de pesquisas realizadas, principalmente, nas 
áreas de Ciências e do Ensino de Ciências. O termo analogia aqui utilizado, é 
caracterizado pelo processo comparativo de semelhanças e diferenças entre dois 
domínios diferentes (o desconhecido e o conhecido). O termo análogo 
corresponde ao objeto conhecido que será comparado com o desconhecido. 
O reconhecimento da importância da analogia no processo de ensino e de 
aprendizagem levou e tem levado muitos autores a considerarem as 
potencialidades das analogias na Educação e no Ensino de Ciências, sem 
desconhecerem algumas dificuldades/obstáculos que podem ocorrer com o uso 
desse recurso como ferramentas no processo de ensino e de aprendizagem. 
 O termo analogia aqui utilizado é caracterizado pelo processo comparativo 
de semelhanças e diferenças entre dois domínios diferentes (o desconhecido e o 
conhecido). 
O termo análogo corresponde ao objeto conhecido que será comparado 
com o desconhecido. Os trabalhos de Duit, (1991) e Duarte (2005), destacam 
algumas potencialidades das analogias no ensino de ciências: raciocínio 
analógico; percepção; criatividade entre outros. 
O presente trabalho é uma tentativa de estabelecer conexões entre 
raciocínio analógico e a construção de modelos, sejam eles mentais ou 
conceituais. Tanto o processo de reconstrução de modelos – desenvolvido por 
meio da proposição de um novo modelo análogo e o estabelecimento de 
semelhanças e diferenças entre eles, proposto por Nagem et al. 2009 – bem 
como o processo de resolução de problemas por analogias, ampliam as 
possibilidades de despertar o interesse dos alunos por estarem diante de um 
desafio. 
 
 
Procedimentos 
 
Para desenvolver uma atividade sobre a diferença entre o fazer matemático 
e o fazer científico, foi utilizado a proposta do xadrez mutilado de Simon Singh 
(2008) ;foram também mostrados aos alunos outros modelos de tabuleiros 
semelhantes ao de Singh, reconstruídos por analogia. 
A realização dessa experiência se desenvolveu também norteada por uma 
pesquisa qualitativa cujo objetivo era identificar relações entre o raciocínio 
analógico desenvolvido pelos estudantes e os modelos conceituais 
compartilhados nesse processo. 
Segundo ALVES-MAZZOTI & GEWANDSZNAJDER (1998, p.162), a 
escolha do campo e dos participantes de um estudo qualitativo não ocorre 
aleatoriamente: 
 
o pesquisador os escolhe em função das questões de interesse 
de estudo e também das condições de acesso e permanência no 
campo e disponibilidade dos sujeitos”. Desse modo, acredita-se 
que o desempenho dos professores/pesquisadores será 
influenciado pela maneira como os mesmos percebem a situação 
de aprendizagem. Além disso, a pesquisa qualitativa oferece 
maior grau de flexibilidade ao pesquisador para adequação da 
estrutura teórica ao estudo do pensamento e linguagem no ensino 
de ciências. 
 
 
Desenvolvimento da experiência: 
 
1. Apresentação do tabuleiro de xadrez mutilado; 
2. Apresentação do problema: Seria possível cobrir todas as casas do xadrez 
mutilado (agora com 62 casas) com 31 peças de dominó? 
3.questões a serem respondidas: 
a. Como o matemático resolveria o problema? 
b. Como o cientista resolveria o problema? 
c. Seria possível um diálogo entre os dois? 
 
Os alunos foram orientados a anotarem todos os passos dados e após 
essa etapa, foram incentivados a buscarem possibilidades de solução do 
problema e fazer a exposição das mesmas. 
As discussões encorajaram os alunos a apresentarem suas dificuldades 
em estabelecer semelhanças e diferenças entre Ciência e Matemática. Delas 
também surgiram reflexões sobre o tema, tais como: 
 
 A matemática é uma ciência ou uma linguagem? 
 
 A ciência é a única fonte de produção do conhecimento? 
 
 O que caracteriza uma abordagem matemática e uma abordagem 
científica diante de um mesmo problema? 
 
 É possível um diálogo entre as duas abordagens para a produção 
do conhecimento? 
 
 Que contribuição pode dar o pensamento analógico e os modelos 
na construção do conhecimento científico ou no reconhecimento do 
mesmo? 
 
Se for possível pensar em um tabuleiro de xadrez diferente do tradicional, 
seria possível pensar também em uma solução para o problema, diferentemente 
da abordagem científica ou matemática? Os resultados das atividades 
desenvolvidas foram avaliados por meio de um questionário aplicado aos alunos. 
As respostas a esse questionário e as produções dos estudantes, ao longo 
de todo o processo, constituíram a base de dados a partir da qual se buscou 
identificar as relações entre pensamento analógico e modelos conceituais. 
 
 
Resultados e discussão 
 
Embora os resultados em relação às questões apresentadas tenham sido 
semelhantes aos de Nagem et al (2009), será destacado o relato de um aluno 
apresentado em seu trabalho final da disciplina em relação à solução 
apresentada. 
 
Relato: 
 
Problema do Tabuleiro de Xadrez Incompleto Coberto por 31 Peças de 
Dominó. 
 
O estudante, cujo relato é apresentado a seguir, mostra uma visão de 
conhecimento como produção coletiva e como algo em constante modificação. 
Essa perspectiva confere ao aluno a possibilidade de utilizar criativamente seu 
raciocínio analógico na produção da solução do problema. A utilização do 
raciocínio analógico e a consciência de seu uso, ainda que ele não utilize essa 
denominação, é também evidenciada na transcrição abaixo.Nada surge do Nada 
 
A ideia de dobrar o tabuleiro não foi criação espontânea. Lembro-
me que durante a aula, surgiu o assunto do telescópio Hubble e 
as diversas galáxias por ele descobertas. Essa informação aliada 
ao meu conhecimento prévio (conhecimento básico, não é nada 
avançado) sobre a distorção do espaço-tempo foi base para juntar 
as duas informações. 
 
 
É interessante notar que a frase “juntar as duas informações” pode evidenciar 
uma aproximação entre o conhecido e o desconhecido, entre o familiar e o não 
familiar que é uma característica do processo analógico onde se compara dois 
domínios diferentes. 
 
 Esse processo de criação leva a um pensamento curioso: “Até 
que ponto somos os únicos autores de nossas descobertas?” Por 
que eu tive a ideia de dobrar o tabuleiro, mas o professor seria co-
autor por ter me guiado, mesmo que de forma inconsciente, à 
resolução desse problema? Se a resposta para a última pergunta 
for sim, acho que poderíamos dizer que influenciamos na 
produção de conhecimento até quando destruímos algo, porque 
quando fazemos isso, alguém pensará numa forma de evitar que 
a destruição ocorra novamente. Um exemplo disso, são os vários 
tipos de tinta inventados para dificultar o trabalho dos pichadores. 
 
O parágrafo anterior mostra o aluno questionando a autoria e parte de um 
processo de construção de um conhecimento como um processo coletivo 
 
Para que esse processo funcione, o observador deve saber 
como relacionar o problema atual com a sua bagagem de 
conhecimentos aparentemente sem nenhuma relação com a 
questão a ser resolvida. O que eu tentei dizer aqui é que quanto 
mais conhecimento se possui, maiores são as possibilidades de 
“combinação” para a produção de um novo conhecimento. O 
“quanto mais conhecimento” deve ter um limite para o processo 
começar a se degradar, mas não sei dizer nada sobre esse 
limite. 
 
 
 
 
 
 
A importância da imagem na transmissão da informação 
 
O subtítulo acima poderia ser complementado da seguinte forma: A 
importância da imagem na transmissão da informação e da experiência sensório-
social na construção de modelos mentais e conceituas. A experiência do 
estudante com tabuleiros dobráveis foi também uma condição para solucionar o 
problema. A construção de modelos mentais se vale de nossas experiências 
sensoriais e sociais. Elas podem levar a modelos mentais difíceis de serem 
alterados, tendo como referências os modelos conceituais científicos. No entanto, 
podem também ser fontes de rica produção de modelos explicativos e de 
soluções criativas, como será mostrado mais à frente. 
Uma imagem congrega os aspectos relevantes de uma experiência. Uma 
imagem pode ser a expressão de um modelo mental, não acessível diretamente, 
tampouco comunicado em toda sua estrutura e composição. 
 
Para transmitir a minha ideia da resolução do tabuleiro de Xadrez 
- porque ela admite menos interpretações do que a palavra - a 
imagem básica que as pessoas têm do tabuleiro de Xadrez é 
parecida com as 64 casas claras e escuras. Alguns pensam em 
um tabuleiro preto e branco, outros em vidro polido e lustrado. A 
ideia é semelhante,mas o uso de um pode ser completamente 
inviável no caso em que o outro seria. Para quem conhece Xadrez 
como sendo algum prêmio de bingo, o tabuleiro pode ser de papel 
e quem joga Xadrez enquanto dirige, nem tabuleiro usa; apenas 
memoriza a posição das peças. 
 
 
Do texto acima, pode-se aferir a diversidade dos modelos mentais e a 
dificuldade em expressá-los de forma completa. Embora diferentes, os modelos - 
como no caso o modelo de tabuleiro de xadrez - , apresentam vários elementos 
em comum ou pontos em comum expressos na frase “... Alguns pensam em um 
tabuleiro preto e branco, outros em vidro polido e lustrado. A ideia é semelhante, mas o 
uso de um pode ser completamente inviável no caso em que o outro seria... 
Uma mesma realidade não é apreendida da mesma forma por diferentes 
sujeitos. Essa visão mostrada pela transcrição abaixo, destaca mais uma 
característica desse estudante que amplia as possibilidades de aplicação de seu 
raciocínio analógico. 
 
 
Solução Encontrada 
 
A transcrição a seguir mostra como o estudante utilizou um modelo 
conceitual de espaço-tempo para, por meio de um raciocínio analógico, elaborar a 
solução para um problema matemático ‘insolúvel’. Essa transcrição mostra as 
possibilidades decorrentes de se provocar os estudantes com um problema que 
os mobilize, colocando à disposição dos mesmos , instrumentos de pensamento 
como as analogias. 
 
A solução trivial seria distribuir as peças linearmente pelo tabuleiro 
até que se encontre uma solução. No entanto, isso é impossível 
porque qualquer peça de dominó irá sempre ocupar uma casa 
preta e outra branca que sejam vizinhas. Na figura 1, foi feita uma 
distribuição com 30 peças de dominó e restaram duas casas 
brancas nas vizinhanças das casas pretas que foram removidas. 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Para colocar mais uma peça no tabuleiro, as duas casas brancas 
que restaram teriam que ser vizinhas. Para criar essa situação, 
pode-se dobrar o tabuleiro nas diagonais que ainda contêm casa 
vazias. Como o problema não especificou o material do tabuleiro, 
a solução ainda é válida. A figura 2 ilustra como a dobra deve ser 
feita, sendo que a parte mais clara seria a parte de trás do 
tabuleiro. 
 
 
 
 
 Figura 2 
 
 
Na figura 2, é visto que os dois espaços removidos estão 
sobrepostos. Como eles são apenas espaços vazios, é possível 
aproximar mais os lados para que as duas casas brancas fiquem 
vizinhas, conforme ilustra a figura 3. 
 
 
 
 
Figura 3 
 
Agora, com duas casas brancas vizinhas, basta colocar a 31ª 
peça de dominó que falta. 
 
A ideia de dobrar o papel veio de um conceito de Curvatura do 
Espaço-tempo [1] utilizado na teoria da Relatividade Geral de 
Albert Einstein. A figura 4 ilustra como o fenômeno em presença 
de objetos que possuem grande Massa. Lentes Gravitacionais [2] 
ilustram com os cientistas utilizam a distorção do espaço-tempo 
para observar estrelas e tentar localizar a presença de buracos 
negros. Nos links de referências [2] tem uma animação que ilustra 
bem sem a necessidade de muita leitura. 
 
 
 
 
Figura 4 
 
 
Considerações finais 
 
 
O raciocínio analógico se faz presente ao longo de todo o relato do 
estudante, interligando modelos conceituais que ele já conhece com a solução por 
ele proposta. 
Na proposição da solução, desempenha um importante papel o modelo 
conceitual da curvatura do espaço-tempo, apropriada pelo estudante que leva à 
construção de um novo modelo para a solução do problema. 
Certamente, as possibilidades abertas para esse estudante têm também 
relação com seus compromissos epistemológicos e ontológicos, isto é, com sua 
compreensão do conhecimento como provisório e resultante de uma produção 
coletiva, bem como sua compreensão da realidade como passível de 
entendimento e representação de formas variadas e da constatação pessoal de 
que, dada uma realidade, diferentes sujeitos terão dela representações também 
diferentes. 
A metodologia aplicada não nos permitiu buscar elementos dos modelos 
mentais subjacentes às diferentes soluções apresentadas,ou mesmo subjacente 
aos argumentos matemáticos da impossibilidade de solução. Entretanto, o relato 
destacado evidencia as potencialidades do raciocínio analógico na produção, 
explicação e apropriação de modelos conceituais. Portanto, evidencia as 
possibilidades educativas de uma prática que desafia os estudantes com um 
problema eos incentiva a aplicar o raciocínio analógico com a apresentação e 
discussão crítica coletiva de diferentes modelos. 
A solução por analogia de um problema sem solução matemática gera, a 
nosso ver, um novo problema. A solução para o novo problema, caberá agora à 
matemática: criar um modelo matemático para a solução proposta, valendo-se de 
‘lentes’ diferentes daquelas usadas por Euclides. 
 
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Agradecimentos: 
Os autores agradecem aos participantes do GEMATEC - pelas contribuições oferecidas - 
e à Professora Eliane G. S. Fonseca pela revisão final.