Exercícios de Álgebra Linear II - Matrizes Ortogonais

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Lista 5 - A´lgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Encontre uma matriz ortogonal cuja primeira linha seja (0, 1/
√
2,−1/√2).
2. Demonstre:
a. Se uma matriz quadrada P e´ ortogonal, enta˜o P−1 e´ ortogonal.
b. Se P,Q ∈Mn(R) sa˜o matrizes ortogonais, enta˜o PQ e´ ortogonal.
3. Determine todas as matrizes ortogonais da forma
(
1/3 x
y z
)
.
4. As matrizes reais A,B ∈ Mn(R) sa˜o chamadas de ortogonalmente equivalentes se
existe uma matriz ortogonal P ∈ Mn(R) tal que B = P TAP . Mostre que essa
relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia.
5. Determine os poss´ıveis valores do determinante de uma matriz ortogonal quadrada.
6. Se uma matriz ortogonal e´ triangular, prove que ela e´ diagonal e seu quadrado e´
igual a` matriz identidade.
7. Dada uma base ortonormal {u1, u2, u3} ⊂ R3 (considerando o produto interno
usual), sejam n, p ∈ N tais que p = n2 + n + 1. Defina um operador A : R3 → R3
pondo Au1 = v1, Au2 = v2, Au3 = v3, onde
v1 =
1
p
(nu1 + (n + 1)u2 + n(n + 1)u3),
v2 =
1
p
(n(n + 1)u1 + nu2 − (n + 1)u3),
v3 =
1
p
((n + 1)u1 − n(n + 1)u2 + nu3).
Prove que o operador A e´ ortogonal.
8. Pode uma matriz ortogonal ser anti-sime´trica?
9. Deˆ os seguintes exemplos:
a. Uma matriz invert´ıvel cujas linhas sa˜o duas a duas ortogonais mas as colunas
na˜o sa˜o.
b. Uma matriz (na˜o-quadrada) cujas linhas sa˜o ortogonais e teˆm a mesma norma
(induzida pelo produto interno usual) mas as colunas na˜o sa˜o ortogonais.
c. Uma matriz cujas linhas e colunas sa˜o duas a duas ortogonais mas as normas
(induzida pelo produto interno usual) das linhas sa˜o diferentes.
10. Seja V um espac¸o euclidiano. Prove que todo operador ortogonal T : V → V e´ um
isomorfismo.
11. Para que valores de n,m ∈ R o operador linear T : R3 → R3 definido por
T (x, y, z) =
(
x,my +
√
2
2
z, ny +
√
2
2
z
)
e´ ortogonal? Considere o produto interno usual em R3.
12. No espac¸o vetorial V = Mn(R) consideremos o produto interno definido por
〈A,B〉 = tr(BTA).
Dada uma matriz M ∈ V , seja TM : V → V o operador linear definido por TM(X) =
MX, ∀X ∈ V . Mostre que TM e´ ortogonal se, e somente se, M e´ uma matriz
ortogonal.