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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1 Redução de Múltiplos Subsistemas Carlos Alexandre Mello 2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Introdução � Sistemas mais complexos são compostos por diversos subsistemas � Queremos representar um múltiplos subsistemas com apenas uma função de transferência para, por exemplo, obter resposta de transiente como vimos antes � Representação de múltiplos subsistemas � Diagramas de Bloco � Grafos de Fluxos de Sinal 3Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Como já vimos, esses são os principais elementos de um diagrama de blocos: G(s)X+ -X(s) E(s) Y(s) Ponto de Soma Ponto de Ramificação Sinal de Entrada Sinal de SaídaSistema 4Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Os blocos podem estar conectados em série (cascata).... Subsistemas Função de transferência equivalente 5Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � ...ou em paralelo Subsistemas Função de transferência equivalente 6Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Com possibilidade de retroalimentação... Subsistemas Função de transferência equivalente 7Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Modificações em Blocos � Equivalência em pontos de soma C(s) = G(s)(R(s) ± X(s)) C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s) C(s) = G(s)(R(s) ± X(s)) C(s) = G(s)R(s) ± G(s)X(s) Bloco G(s) moveu para a Esquerda 8Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Modificações em Blocos � Equivalência em pontos de soma C(s) = G(s)R(s) ± X(s) C(s) = (R(s) ± X(s)/G(s))G(s) C(s) = G(s)R(s) ± X(s) Bloco G(s) moveu para a Direita 9Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Modificações em Blocos � Equivalência em pontos de ramificação 10Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Modificações em Blocos � Equivalência em pontos de ramificação 11Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 1: Redução de diagrama de blocos Diagrama original 12Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo I 13Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo II 14Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 1 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo III 15Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2: Redução de diagrama de blocos Diagrama original 16Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo I 17Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo II 18Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo II ×××× ÷÷÷÷ 19Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo II 20Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo II 21Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo III 22Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 2 (cont.): Redução de diagrama de blocos Passo IV Passo V 23Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3: Encontre a função de transferência T(s)=C(s)/R(s) para o sistema abaixo: 24Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): s2 Passo I 25Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): Passo II 26Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): 27Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): Passo III 28Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): A BX Y+ - C E E = A.C Y = B.E C = X – E ⇒ E = A(X – E) = AX – AE ⇒ E(A + 1) = AX ⇒ E = AX/(A + 1) Y = B.E = ABX/(A + 1) 29Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): 30Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Diagramas de Blocos � Exemplo 3 (cont.): Passo IV Ou: 31Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal � Grafos de fluxo de sinal são uma alternativa para diagrama de blocos � São compostos apenas por nós e arestas � Um sistema é representado por uma linha direcionada indicando a direção do fluxo do sinal através do sistema Exs.: V(s) = R1G1 - R2G2 + R3G3 C1 = V(s)G4 32Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal � Elementos: � Nós: Sinais internos como a entrada comum para vários blocos ou a saída de um somador; representam variáveis � Caminho: É a sequência de nós conectados na direção do fluxo sem incluir nenhuma variável mais de uma vez � Caminho direto: Caminho da entrada para a saída, sem incluir nenhum nó mais de uma vez. � Malha: Caminho que se origina e termina no mesmo nó. � Ganho do caminho: Produto dos ganhos dos ramos que formam um caminho. � Ganho de malha: O ganho do caminho associado com uma malha. � Nó de entrada: Um nó que possui somente ramos que se afastam dele. � Nó de saída: É um nó que possui apenas ramos que se dirigem a ele. 33Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Exemplo 1: Diagrama de Blocos Nós do sistema em cascata Grafo de fluxo de sinal de sistema em cascata 34Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Exemplo 2: Nós do sistema em paralelo Grafo de fluxo de sinal de sistema em paralelo Diagrama de Blocos 35Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Exemplo 3: Nós do sistema com re-alimentação Grafo de fluxo de sinal de sistema com re-alimentação Diagrama de Blocos 36Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Problema: Converta o diagrama de blocos abaixo para grafo de fluxo de sinal: 37Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Problema (cont.): � 1º Passo: Desenhar os nós do sinal 38Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Problema (cont.): � 2º Passo: Conecte os nós, mostrando a direção do fluxo do sinal e identificando cada função de transferência 39Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal Relação ente Diagrama de Blocos e Grafos de Fluxo de Sinal � Problema (cont.): � 3º Passo: Simplificar o grafo de fluxo 40Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Reduzindo grafos de fluxo de sinal para uma única função de transferência que relacione a saída de um sistema a sua entrada � Para diagrama de blocos, a redução é feita através da aplicação sucessiva de relações � Para grafos de fluxo de sinal, a regra de Mason* para redução requera aplicação de uma fórmula *Samuel Jefferson Mason (1953) 41Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Definições: � Ganho de laço: O produto dos ganhos encontrados ao atravessar um caminho que começa e termina no mesmo nó, seguindo a direção do fluxo, sem passar por nenhum outro nó mais de uma vez 4 ganhos de laço: 1. G2H1 2. G4H2 3. G4G5H3 4. G4G6H3 1 2 3 4 42Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Definições: � Ganho do caminho à frente (forward path gain): O produto dos ganhos encontrados ao atravessar um caminho do nó de entrada ao nó de saída na direção do fluxo 2 ganhos de caminho à frente: 1. G1G2G3G4G5G7 2. G1G2G3G4G6G7 43Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Definições: � Laços que não se tocam (Nontouching loops): Laços que não têm qualquer nó em comum. Laços que não se tocam: G2H1 não toca os laços G4H2, G4G5H3 e G4G6H3 44Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Definições: � Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop gain): O produto dos ganhos de laço dos laços que não se tocam tomados 2 a 2, 3 a 3, 4 a 4, etc. 45Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Definições: � Ganho de laços que não se tocam (Nontouching-loop gain): Do exemplo anterior, o produto do ganho de laço G2H1 e do ganho de laço G4H2 é um ganho de laços que não se tocam tomados 2 a 2 � Todos os três ganhos de laços que não se tocam tomados dois a dois de cada vez são: � 1. [G2H1][G4H2] � 2. [G2H1][G4G5H3] � 3. [G2H1][G4G6H3] � No exemplo, não existem três laços que não se tocam, logo, não temos ganhos de laços que não se tocam 3 a 3 46Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � A função de transferência C(s)/R(s) de um sistema representado por um grafo de fluxo de sinal é � onde: � k = número de caminhos à frente � Tk = ganho do k-ésimo caminho à frente � ∆ = 1 - Σ (ganhos de laço) + Σ (ganhos de laços que não se tocam tomados 2 a 2) - Σ (ganhos de laços que não se tocam tomados 3 a 3) + Σ (ganhos 4 a 4) - .... � ∆k = ∆ - Σ (termos de ganhos de laço em ∆ que tocam o k-ésimo caminho à frente). Ou seja, ∆k é formado eliminando de ∆ aqueles ganhos de laço que tocam o k- ésimo caminho à frente 47Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Exemplo 1: Encontre a função de transferência C(s)/R(s) para o grafo de fluxo de sinal abaixo: 48Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Exemplo 1 (cont.): Primeiro, vamos encontrar os ganhos de caminhos à frente � Nesse exemplo, só temos um: G1G2G3G4G5 � A seguir, vamos identificar os ganhos de laço: 1. G2H1 (1) 2. G4H2 (2) 3. G7H4 (3) 4. G2G3G4G5G6G7G8 (4) � Ganhos de laços que não se tocam tomados 2 a 2 � Laços 1 e 2: G2H1G4H2 (5) � Laços 1 e 3: G2H1G7H4 (6) � Laços 2 e 3: G4H2G7H4 (7) 49Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Exemplo 1 (cont.): � Ganhos de laços que não se tocam tomados 3 a 3 � Laços 1, 2 e 3: G2H1G4H2G7H4 (8) � Da Regra de Mason e das definições, calculamos ∆ e ∆k: � ∆ = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] – (8) � ∆k é calculado eliminando de ∆ o ganho de laço que toca o k-ésimo caminho à frente: ∆1 = 1 – G7H4 � ∆1 = 1 – [(1) + (2) + (3) + (4)] + [(5) + (6) + (7)] - (8) = 1 – (3) � Assim: 50Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Regra de Mason � Exemplo 1 (cont.): � Se tivéssemos mais de um caminho à frente, teríamos como resposta uma soma de termos G(s) = [G1G2G3G4G5][1 - G7H4] ∆ 51Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de Estado � Exemplo, considere as seguintes equações de estado: � Primeiro, identificamos os nós para serem as variáveis de estado (no caso, x1, x2 e x3) � Identificamos também nós para as derivadas das variáveis de estado (colocados à esquerda delas) � Temos mais um nó como a entrada r e um para a saída y 52Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de Estado � Exemplo: R(s) sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s) Y(s) 53Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de Estado � Exemplo: � Em seguida, conecte as derivadas às variáveis de estado através de uma integração 1/s R(s) sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s) Y(s) 1/s 1/s 1/s 54Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de Estado � Exemplo: � Vamos construindo agora as equações de estado: � x1’ recebe 2x1 – 5x2 + 3x3 + 2r R(s) sX3(s) X3(s) sX2(s) X2(s) sX1(s) X1(s) Y(s) 1/s 1/s 1/s -5 2 3 2 55Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Grafos de Fluxo de Sinal de Equações de Estado � Exemplo: � Fazendo para todas as equações: 56Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Cascata: 57Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Cascata: � Para funções de primeira ordem: 58Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Cascata: � Para funções de primeira ordem: 59Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Cascata: � Assim, o diagrama completo para: � é.... 60Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Cascata: � Desse grafo de fluxo de sinal: � chegamos às equações de estado: 61Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Cascata: � Análise: Matriz do Sistema Matriz de Entrada Matriz de Saída Polos do Sistema 62Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: � C(s) é a soma de três termos onde cada um é uma função de primeira ordem � Na verdade, cada um é um subsistema com R(s) como entrada 63Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: 64Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: � Equações de Estado: Matriz diagonal 65Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: � Observe que termos uma matriz diagonal indica que cada equação é uma equação diferencial de primeira ordem em uma única variável � Assim, podemos resolver essas equações independentemente � Essas equações são ditas desacopladas 66Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: � Denominador com raízes reais repetidas � 1º Passo: Expansão em frações parciais: 67Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: � Grafo de fluxo de sinal 68Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representações Alternativas no Estado- Espaço � Forma Paralela: � Representação Estado-Espaço: Polos do Sistema 69Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Zero � Problema: Represente o sistema abaixo no modelo estado-espaço (possui zero): � Vamos separar a função de transferência em cascata como fizemos antes: R(s) E(s) R(s) E(s)X1(s) 70Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Zero � Problema (cont.): � Primeiro bloco: � X1(s)/R(s) = 1/(s + 5) ⇒ sX1 + 5X1 = R ⇒ sX1 = R - 5X1 R(s) X1(s) R sX1 X1 1/s Passo1: R sX1 X1 1/s -5 Passo 2: 1 71Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Zero � Problema (cont.): � Segundo bloco: � E(s)/X1(s) = 5s + 5 ⇒ E(s) = 5sX1 + 5X1 EsX1 X1 1/s Passo 1: Passo 2: E(s)X1(s) EsX1 X11/s 5 5 72Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Zero � Problema (cont.): � Juntando os dois e aproveitando os nós X1 e sX1: E sX1 X11/s 5 5 -5 R 1 73Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema: Represente o sistema abaixo no modelo estado-espaço (re-alimentação e zero): � Primeiro, vamos modelar apenas a função de transferência sem nos preocuparmos com a re- alimentação.... 74Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema (cont.): Represente o sistema abaixo no modelo estado-espaço (re-alimentação e zero): 75Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema (cont.): 76Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema (cont.): 77Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema (cont.): 78Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema (cont.): x2’ = -2x2 + 100e = -2x2 + 100(r – c) x1’ = -3x1 + x2 c = 5x1 + x1’ = 5x1 + (x2 – 3x1) c = 2x1 + x2 79Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Representação Estado-Espaço para Sistemas com Re-Alimentação � Problema (cont.): � x1' = -3x1 + x2 � x2' = -200x1 – 102x2 + 100r � y = c(t) = 2x1 + x2 80Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Controlabilidade � Se para um sistema for possível obter uma entrada capaz de transferir todas as variáveis de estado de um estado inicial desejado para um estado final desejado, o sistema é dito controlável; caso contrário, o sistema é não controlável 81Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Controlabilidade No sistema ao lado, o sinal de controle u alcança todas as variáveis de estado do sistema.... Tal sistema é dito controlável. 82Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Controlabilidade Já nesse sistema, a variável x1 não é alcançada pelo sinal de controle u. Se x1 apresentar um comportamento instável, não haveria uma forma de realizar um projeto de re-alimentação para estabilizar x1. Tal sistema é dito não controlável. 83Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Controlabilidade por Inspeção � Considere as seguintes equações de estado: ou Sistema desacoplado: a variável de controle u afeta cada variável de estado 84Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Controlabilidade por Inspeção � Já no sistema: A variável x1 não é controlada pelo controle u. ou 85Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Controlabilidade � Uma planta de n-ésima ordem cuja equação de estado é x’ = Ax + Bu é completamente controlável se a matriz � tiver posto n � CM é chamada de matriz de controlabilidade 86Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Controlabilidade � Exemplo: Considere o sistema abaixo 87Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Controlabilidade � Exemplo (cont.): Matriz de Controlabilidade: 88Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Controlabilidade � Exemplo (cont.): O posto de CM é o número de linhas ou colunas linearmente independentes � Basta escalonar a matriz e verificar o número de linhas não nulas 0 1 -2 1 -1 1 1 -2 4 1 -1 1 0 1 -2 1 -2 4 1 -1 1 0 1 -2 0 -1 3 1 0 -1 0 1 -2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Posto = 3 = n Sistema Controlável 89Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Observabilidade � Se o vetor de estado inicial, x(t0), puder ser obtido a partir de u(t) e y(t) medidos durante um intervalo de tempo finito a partir de t0, o sistema é dito observável; caso contrário, o sistema é dito não observável. 90Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Observabilidade No sistema ao lado, cada variável de estado pode ser observada na saída já que cada uma delas está conectada à saída. 91Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Observabilidade No sistema ao lado, nem todas as variáveis de estado podem ser observadas na saída. 92Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Observabilidade por Inspeção � Podemos explorar a observabilidade a partir da equação de saída de um sistema diagonalizado � Exemplo de um sistema observável: � Exemplo de um sistema não-observável: 93Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Observabilidade � Considere um sistema de n-ésima ordem cujas equações de estado e de saída são: � Um sistema é observável se a matriz de observabilidade dada por: � tem posto igual a n 94Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Observabilidade � Exemplo: Considere o sistema abaixo: 95Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Matriz de Observabilidade � Exemplo (cont.): � Novamente, por escalonamento, encontramos o posto igual a 3 (que é igual à ordem do sistema). � Logo, o sistema é observável 96Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br Exercícios Sugeridos (Nise) � Cap. 5, Problemas: � 1a, 2, 3, 4, 5a, 6, 12, 23, 26, 27, 31, 33a, 33b 97Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br A Seguir.... � Estabilidade
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