lista02_Mecânica das Estruturas II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
TC 036 – MECÂNICA DAS ESTRUTURAS II 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 2 
 
1. Utilizando o Método das Forças, determine a reação de apoio vertical no ponto B da viga a 
seguir. Despreze as deformações provocadas por esforço cortante. Todas as barras têm rigidez 
EI = 2 x 10
5
 kN.m
2
. 
a) Considerando a atuação da carga distribuída mostrada na figura. 
b) Considerando apenas um recalque de 3 mm para baixo do apoio C. 
 
 
2. Utilizando o Método das Forças e o Sistema Principal fornecido, determine o valor do 
hiperestático X1 da viga a seguir. Considere apenas as deformações provocadas por flexão. 
EI = 2 x 10
5
 kN.m
2
 para todas as barras. 
 
 
3. Seja a viga hiperestática representada na figura abaixo. Obtenha o diagrama de 
momentos fletores da viga utilizando o Método das Forças. Despreze o efeito do 
esforço cortante sobre as deformações e considere a rigidez à flexão E.I constante para 
toda a viga. 
 
 
 
 
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4. Seja o pórtico hiperestático abaixo. Utilizando o Método das Forças e considerando 
apenas deformações devidas à flexão, obtenha as reações de apoio e os diagramas de 
momento fletor, esforço normal e força cortante do pórtico. Considere a rigidez à flexão 
EI como constante para toda a estrutura. 
 
 
5. Seja o pórtico hiperestático abaixo. Utilizando o Método das Forças e considerando 
apenas deformações devidas à flexão, obtenha o diagrama de momento fletor do pórtico 
para as situações listadas abaixo. Considere as barras com as seguintes características: 
Colunas : 
264
kN/m 102E ;m 05,0I
 
Viga : 
264
kN/m 102E ;m 10,0I
 
a) Quando atuar na estrutura o carregamento externo indicado na figura abaixo. 
b) Quando ocorrerem apenas os seguintes recalques de apoio em A: 5 mm para baixo 
(vertical) e 3 mm para a esquerda (horizontal). 
c) Quando ocorrerem simultaneamente as situações (a) e (b). 
 
 
 
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6. Utilizando o Método das Forças e considerando apenas deformações por flexão, 
obtenha os diagramas de momento fletor das estruturas hiperestáticas representadas a 
seguir. Considere o módulo de elasticidade (E) constante para todas as barras. 
 
a) I = constante em todas as barras: 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
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7. (Martha, 2001) Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos fletores do 
quadro hiperestático abaixo. Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 10
5
 Nm
2
. 
 
 
 
 
 
 
8. (Martha, 2003) Utilizando o Método das Forças, determine o diagrama de esforços 
normais para a treliça hiperestática ao lado submetida ao carregamento indicado e a um 
aumento uniforme de temperatura de 50 °C em todas as barras. Todas as barras têm o 
mesmo valor para a inércia axial EA = 1,0 x 10
5
 kN e para o coeficiente de dilatação 
térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe-se que o deslocamento axial relativo interno para uma 
variação uniforme de temperatura T é igual a: duT = αTdx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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9. (Martha, 2004) O pórtico a seguir sofreu um aquecimento interno de 20 °C (a 
temperatura externa não variou). Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado 
por esta variação de temperatura. Considere que as barras do pórtico podem se deformar 
axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. 
 
Sabe-se: 
(1) O material tem módulo de elasticidade E = 
10
8
 kN/m
2
 e coeficiente de dilatação térmica α = 
10
–5
 /°C. 
(2) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular, que foi posicionada de modo a 
oferecer a maior resistência ao momento fletor 
atuante: 
h = 0.50 m 
b = 0.20 m 
 
 
 
10. (Martha, 2005) A viga do pórtico ao lado sofreu um aquecimento na face superior de 12 
°C e o engaste da direita sofreu um recalque rotacional de 0.001 rad no sentido horário. 
Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado por estas duas solicitações 
atuando concomitantemente. Considere que as barras do pórtico podem se deformar 
axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação axial 
 
Obrigatoriamente utilize o seguinte Sistema Principal: 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade E = 10
8
 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular indicada abaixo, que foi 
posicionada de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante: 
h = 0.60 m e b = 0.20 m 
 
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11. (Martha, 2008) Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama 
de momentos fletores utilizando o Método das Forças. A viga tem um material com 
módulo de elasticidade E = 10
8
 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /oC. 
A viga tem uma seção transversal com área A = 0.01 m
2
, momento de inércia I = 0.001 
m
4
, altura h = 0,60 m e centro de gravidade no meio de altura. As seguintes solicitações 
atuam na viga concomitantemente: 
 Carga uniformemente distribuída de 4 kN/m ao longo de toda a extensão da viga. 
 Resfriamento das fibras inferiores da viga de Ti = –9.2 oC ao longo de toda a sua 
extensão (as fibras superiores não sofrem variação de temperatura, isto é, Ts = 0 
o
C). 
 Recalque vertical (para baixo) de 1.8 mm (0.0018 m) do apoio esquerdo. 
 Considere que a viga pode se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de 
deformação axial. 
 
 
 
 
12. (Martha, 2009) Considere que a estrutura ao lado sofreu as seguintes solicitações: 
 Variação de temperatura da barra central: as 
fibras superiores sofrem um aquecimento de Ts = 
+20°C e as fibras inferiores sofrem um resfriamento 
de Ti = −10°C. 
 Apoio central sofreu um recalque vertical ρ = 5 
cm, de cima para baixo. 
Determine o diagrama de momentos fletores no 
quadro devido a essas solicitações atuando 
simultaneamente, sabendo que: 
 A altura da seção transversal das barras é h = 
0.50 m e o centro de gravidade da seção transversal 
fica no meio da altura. 
 O coeficiente de dilatação térmica das barras é 
α = 10–5/°C. 
Considere deformações axiais das barras apenas para o efeito térmico. 
 
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RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS: 
 
1. 1.a. 
 kN 48,44
B
V
 
 1.b. 
 kN 50
B
V
 
 
2. X1 = 38,01 kN.m 
3. 
 
4. 
 
 
 
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8 
 
 
 
5.a. 
 
 
 
Última alteração: 02/12/2012 
9 
5.b. 
 
 
5.c. 
 
6. 
6.a. 
 
 
Última alteração: 02/12/2012 
10 
6.b. 
 
 
7. 
 
 
8. 
 
 
 
 
 
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11 
9. 
 
 
10. 
 
 
11. 
 
 
12.