Lista Algebra Atividade 10

Prévia do material em texto

1
Pontif´ıcia Universidade Cato´lica do Parana´
A´lgebra Linear - Atividade 10 - Professor Mozart
Obs.: Os vetores
→
v1,
→
v2, ...,
→
vk em um espac¸o vetorial V formam uma base para V , se o mesmos
geram V e sa˜o linearmente independentes.
1. O conjunto S e´ uma base para o espac¸o vetorial de V de todas as matrizes 2× 2. Caso seja,
qual e´ a dimensa˜o desta base
?
S =
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
]}
2. Os vetores do conjunto S sa˜o uma base para R2? Caso seja, qual e´ a dimensa˜o desta base
S =
{→
v1,
→
v2
}
= {(−1, 1) , (3, 2)}
3. Os vetores do conjunto S sa˜o uma base para R2? Caso seja, qual e´ a dimensa˜o desta base
S =
{→
v1,
→
v2
}
= {(2, 1) , (4, 2)}
4. Os vetores do conjunto S sa˜o uma base para R3? Caso seja, qual e´ a dimensa˜o desta base
S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3
}
= {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}
5. Os vetores do conjunto S sa˜o uma base para R3?
S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3
}
= {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (2, 3, 0)}
Teorema: Seja S =
{→
v1,
→
v2, ...,
→
vk
}
, um conjunto na˜o nulo de vetores em um espac¸o vetorial
V e seja W = [S]. Enta˜o algum subconjunto de S e´ uma base para W
2
6. Seja S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4,
→
v5
}
um conjunto de vetores em R4. Encontre um subconjunto de S
que seja uma base para W , de modo de que W = [S]. Determine qual e´ a dimensa˜o de W
→
v1= (1, 2,−2, 1) , →v2= (−3, 0,−4, 3) , →v3= (2, 1, 1,−1) , →v4= (−3, 3,−9, 6) , →v5= (9, 3, 7− 6)
7. Seja S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4,
→
v5
}
um conjunto de vetores em R4. Encontre um subconjunto de S
que seja uma base para W , de modo de que W = [S]. Determine qual e´ a dimensa˜o de W
→
v1= (1, 1, 0,−1) , →v2= (0, 1, 2, 1) , →v3= (1, 0, 1,−1) , →v4= (1, 1,−6,−3) , →v5= (−1,−5, 1, 0)
8. Seja S =
{→
v1,
→
v2,
→
v3,
→
v4
}
um conjunto de vetores em R3. Encontre um subconjunto de S que
seja uma base para W , de modo de que W = [S]. Determine qual e´ a dimensa˜o de W
→
v1= (2, 0, 0) ,
→
v2= (1, 1, 1) ,
→
v3= (0, 2, 2) ,
→
v4= (6, 6, 6)