Deflexão em Vigas e Eixos

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DEFLEXÃO EM VIGAS E EIXOS – LINHA ELÁSTICA
• Conforme mencionado anteriormente 
outro critério usado para projeto de 
vigas e eixos é o da deflexão.
• Para melhor compreendê-lo é 
necessário entender o conceito de 
linha elástica, que consiste no 
diagrama de deflexão do eixo 
longitudinal que passa pelo centroide 
de cada área da seção transversal.
• Apoios que resistem á força –
restringem o deslocamento
Ex.: pinos, parafusos
• Apoios que resistem á momento –
restringem a a rotação
Ex.: parede, solda
• Momento interno positivo – concavidade para cima
• Momento interno negativo – concavidade para baixo
Região momento negativo
Deslocamento negativo
Ponto C ponto de inflexão, curva 
passa de côncava para cima a côncava 
para baixo, (o momento nesse ponto é 
nulo.)
Ponto E inclinação da linha elástica é 
0,portanto a deflexão pode ser máxima
• A relação entre o momento interno de uma 
viga e o raio de curvatura da curva da linha 
elástica em um ponto é expresso por:
ρ = raio de curvatura (1/ρ é a curvatura)
M = momento fletor interno na viga onde ρ
deve ser determinado
E = Módulo de Elasticidade
I = Momento de Inércia
EI – Rigidez á Flexão
• A curva da linha elástica para uma viga pode ser expressa matematicamente como 
σ=f(x)
OBS.: Essa é uma equação diferencial não linear de segunda ordem. Sua solução, 
denominada elástica, dá a forma exata da linha elástica considerando, é claro, que as 
deflexões na viga ocorram apenas por flexão. A utilização de matemática superior nos 
fornece soluções da elástica apenas para casos simples de geometria e carga de vigas.
• O método da superposição permite resultados tabulados para várias cargas de 
vigas, como os relacionados nos slides a seguir ou os encontrados em vários 
manuais de engenharia;
• Assim sendo é possível determinar a inclinação e o deslocamento em um ponto 
sobre uma viga submetida a várias cargas diferentes efetuando a soma algébrica 
dos efeitos de suas várias partes componentes.
EXEMPLO: Determine o deslocamento na extremidade C da viga em balanço 
mostrada na figura a seguir. EI é constante.
Da tabela para carga triangular temos os valores de inclinação e deslocamento no 
ponto B:
EXEMPLO: Determine o deslocamento na extremidade C da viga em balanço 
mostrada na figura a seguir. EI é constante.
Como o trecho BC continua reto e θB é pequeno o deslocamento em C será:
• Para facilitar a solução de um número maior de problemas de deflexão, a Equação 
geral da linha elástica pode ser modificada em função do código de engenharia 
adotado, que especifica limites para as deflexões visando questões de tolerância 
e/ou estética.
Premissas
– Considerado o quadrado da inclinação da linha elástica(dv/dx) desprezível
– Cálculo da cortante V através de derivada do Momento em relação á x
– Rigidez á Flexão constante
– Uso de constantes de integração
• As constantes de integração são determinadas pela avaliação das funções para 
cisalhamento, momento, inclinação ou deslocamento em um determinado ponto na 
viga no qual o valor da função é conhecido. Esses valores são denominados 
condições de contorno.
EXEMPLO: Para a viga em balanço a seguir determine os valores de deflexão e 
inclinação da linha elástica.
A
B
C
EXEMPLO: Para a viga em balanço a seguir determine os valores de deflexão e 
inclinação da linha elástica. EI constante
x=L
θ=dv/dx = 0
v=0 para x=L
Condições de contorno
D
EXEMPLO: Para a viga em balanço a seguir determine os valores de deflexão e 
inclinação da linha elástica.
E
Aplicando D e E nas 
equações B e 
C(respectivamente) temos:
EXEMPLO: Para a viga em balanço a seguir determine os valores de deflexão e 
inclinação da linha elástica.
E
Aplicando D e E nas 
equações B e 
C(respectivamente) temos: