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CAPÍTULO 2: ÂNGULOS Definição 2.1: Um ponto A de uma reta r divide-a em duas partes, cada uma delas denominada semirreta. Semirreta r1 Semirreta r2 r1 r2 A O ponto A é denominado a origem dessas duas semirretas e as mesmas são denominadas semirretas opostas. Denotaremos as semirretas com letras minúsculas ou através de dois de seus pontos, sendo o primeiro deles a origem. Por exemplo, os pontos A e B da reta abaixo determinam a semirreta AB , de origem A e a semirreta BA de origem B. Semirreta BA A B Semirreta AB Definição 2.2: Chamamos de ângulo a figura formada por duas semirretas que têm a mesma origem. B m A C Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 21 As semirretas AB e AC são chamadas lados do ângulo e a origem comum A, é o seu vértice. Notações: Um ângulo, bem como sua medida, pode ser denotado por qualquer uma das três maneiras seguintes: i)  ii) mˆ iii) BÂC ou CÂB. Definição 2.3: Denominamos de ângulo raso ao ângulo cujos lados são semirretas opostas. A 2.1. MEDIDA DE ÂNGULOS Assim como usamos uma régua para medirmos segmentos, medimos ângulos, em graus, com um instrumento chamado transferidor. O número de graus de um ângulo chama-se a sua medida. Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 22 Definição 2.4: Dois ângulos são ditos congruentes se têm a mesma medida. Os postulados seguintes referem-se à medição de ângulos. Postulado 8: Todo ângulo tem como medida, em graus, um número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 180. A medida de um ângulo é zero se, e somente se seus lados são semirretas coincidentes. Se seus lados são semirretas opostas sua medida é 180o. Portanto o ângulo de um grau (1o) é aquele cuja medida equivale a 180 1 do ângulo raso.  = 0o BÂC = 180o A B A C B 0o < m < 180o m A C Submúltiplos do grau: Minuto e Segundo Se um ângulo de 1o é dividido em 60 ângulos congruentes, cada um desses ângulos terá por medida um minuto ( 1' ), e se um ângulo de um minuto é dividido em 60 ângulos congruentes, cada ângulo tem por medida um segundo ( 1" ), isto é, 1' = 60 1 do grau. 1'' = 60 1 do minuto. Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 23 Um ângulo de graus, minutos e segundos, denota-se por: o ' ". Postulado 9: ( Postulado da adição de ângulos ) Se D é um ponto de interior de um ângulo BÂC, então BÂC = BÂD + DÂC. B D A C Postulado 10: Qualquer que seja o número real r com 0 r 180, podemos construir um único ângulo de ro, a partir de uma semirreta dada num plano dado. r o A Definição 2.5: Um ângulo que mede 90o é denominado ângulo reto. Se sua medida é menor que 90o ele é dito agudo e se é maior que 90o dizemos que o ângulo é obtuso. Reto Agudo Obtuso Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 24 Definição 2.6: Se duas retas AB e AC formam um ângulo reto, diz-se que elas são perpendiculares e escrevemos AB AC . C A B Empregaremos o mesmo termo e a mesma notação para semirretas e segmentos. Assim se BÂC = 90o, escreveremos: AB AC , AB AC e AB AC . Definição 2.7: Dois ângulos são ditos complementares se a soma de suas medidas é 90o. Cada um deles é denominado o complemento do outro. 090ˆˆ ba b a Definição 2.8: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma de suas medidas é 180o. Cada um deles é denominado o suplemento do outro. onm 180ˆˆ m n Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 25 Definição 2.09: Dois ângulos são ditos consecutivos se têm o mesmo vértice, um lado comum e os outros dois lados situados em semiplanos opostos determinados pelo lado comum. D C A B BÂC e CÂD são ângulos consecutivos. Definição 2.10: Dois ângulos consecutivos, cujos lados não comuns são semirretas opostas, são denominados adjacentes. a b Observe que dois ângulos adjacentes são suplementares. Definição 2.11: Dois ângulos são ditos opostos pelo vértice se os lados de um deles são as semirretas opostas dos lados do outro. Considere as retas r e s abaixo: â e bˆ são opostos pelo vértice. r mˆ e nˆ são também opostos pelo vértice.a m s n b Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 26 Teorema 2.1: Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Hipótese: mˆ e nˆ são opostos pelo vértice. Tese: mˆ = nˆ . a n m Prova: Na figura acima consideremos o ângulo a, suplemento tanto do mˆ como do nˆ . Tem-se: â + mˆ = 180o â + nˆ = 180o Daí, â + mˆ = â + nˆ mˆ = nˆ . Definição 2.12: Seja D um ponto do interior do ângulo BÂC. A bissetriz do ângulo BÂC, é a semirreta AD tal que BÂD = DÂC. B D A C No próximo capítulo demonstraremos que todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do mesmo. Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 27 Teorema 2.2: Por um ponto de uma reta pode-se traçar uma única reta perpendicular a reta dada. s r r1 A Hipótese: A é um ponto da reta r (A r). Tese: Existe uma única reta perpendicular a reta r, passando por A. Prova: Sejam r uma reta e A um ponto da mesma. Seja r1 uma das semirretas de r com origem em A e construamos a semireta s que forma com r1, no ponto A, um ângulo de 90 o (Post. 10). A reta que contém s é perpendicular a r no ponto A. Esta perpendicular é única em virtude do Postulado 10.
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