Cap. 2 ANGULOS Teoria Copia

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CAPÍTULO 2: ÂNGULOS 
 
 
Definição 2.1: Um ponto A de uma reta r divide-a em duas 
partes, cada uma delas denominada semirreta. 
 
 
 Semirreta r1 Semirreta r2 
 r1  r2 
 A 
 
 O ponto A é denominado a origem dessas duas semirretas 
e as mesmas são denominadas semirretas opostas. 
 
 Denotaremos as semirretas com letras minúsculas ou 
através de dois de seus pontos, sendo o primeiro deles a 
origem. Por exemplo, os pontos A e B da reta abaixo 
determinam a semirreta 
AB
, de origem A e a semirreta 
BA
 de 
origem B. 
 Semirreta 
BA
 
 
   
 A B 
 
 Semirreta 
AB
 
 
 
Definição 2.2: Chamamos de ângulo a figura formada por 
duas semirretas que têm a mesma origem. 
 
 B 
 
 
 
 m 
 A C 
 
 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 21 
 As semirretas 
AB
 e 
AC
 são chamadas lados do ângulo e 
a origem comum A, é o seu vértice. 
 
Notações: Um ângulo, bem como sua medida, pode ser 
denotado por qualquer uma das três maneiras seguintes: 
 
i) Â 
 ii) 
mˆ
 
 iii) BÂC ou CÂB. 
 
 
Definição 2.3: Denominamos de ângulo raso ao ângulo cujos 
lados são semirretas opostas. 
 
  
 A 
 
 
2.1. MEDIDA DE ÂNGULOS 
 
 Assim como usamos uma régua para medirmos 
segmentos, medimos ângulos, em graus, com um instrumento 
chamado transferidor. 
 
 O número de graus de um ângulo chama-se a sua medida. 
 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 22 
Definição 2.4: Dois ângulos são ditos congruentes se têm a 
mesma medida. 
 
 Os postulados seguintes referem-se à medição de ângulos. 
 
Postulado 8: Todo ângulo tem como medida, em graus, um 
número maior ou igual a 0 e menor ou igual a 180. A medida de 
um ângulo é zero se, e somente se seus lados são semirretas 
coincidentes. Se seus lados são semirretas opostas sua 
medida é 180o. 
 
Portanto o ângulo de um grau (1o) é aquele cuja medida 
equivale a 
180
1
 do ângulo raso. 
 
 Â = 0o BÂC = 180o 
   
 A B A C 
 
 
 B 
 0o < m < 180o 
 
 m 
 A C 
 
Submúltiplos do grau: Minuto e Segundo 
 
 Se um ângulo de 1o é dividido em 60 ângulos congruentes, 
cada um desses ângulos terá por medida um minuto ( 1' ), e 
se um ângulo de um minuto é dividido em 60 ângulos 
congruentes, cada ângulo tem por medida um segundo 
( 1" ), isto é, 
 
 
 
 
 
 
 
1' = 
60
1
 do grau. 1'' = 
60
1
do minuto. 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 23 
 Um ângulo de  graus,  minutos e  segundos, denota-se 
por: o ' ". 
 
Postulado 9: ( Postulado da adição de ângulos ) 
 Se D é um ponto de interior de um ângulo BÂC, então 
BÂC = BÂD + DÂC. 
 B 
 
 D  
 
 
 
 A C 
 
Postulado 10: Qualquer que seja o número real r com 
0  r  180, podemos construir um único ângulo de ro, a partir 
de uma semirreta dada num plano dado. 
 
 
 
 r o 
 A 
 
Definição 2.5: Um ângulo que mede 90o é denominado ângulo 
reto. Se sua medida é menor que 90o ele é dito agudo e se é 
maior que 90o dizemos que o ângulo é obtuso. 
 
 
 
 
 
 Reto Agudo 
 
 
 
 
 
 
 
 Obtuso 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 24 
Definição 2.6: Se duas retas 
AB
 e 
AC
 formam um ângulo 
reto, diz-se que elas são perpendiculares e escrevemos 
AB

AC
. 
 
 C 
 
 
 
 A B 
 
 
 
 
 Empregaremos o mesmo termo e a mesma notação para 
semirretas e segmentos. Assim se BÂC = 90o, escreveremos: 
AB

AC
, 
AB

AC
 e 
AB

AC
. 
 
 
Definição 2.7: Dois ângulos são ditos complementares se a 
soma de suas medidas é 90o. Cada um deles é denominado o 
complemento do outro. 
 
 
090ˆˆ  ba
 
 
 b 
 a 
 
 
 
Definição 2.8: Dois ângulos são ditos suplementares se a 
soma de suas medidas é 180o. Cada um deles é denominado o 
suplemento do outro. 
 
 
onm 180ˆˆ 
 
 
 m n 
 
 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 25 
Definição 2.09: Dois ângulos são ditos consecutivos se têm o 
mesmo vértice, um lado comum e os outros dois lados situados 
em semiplanos opostos determinados pelo lado comum. 
 
 D 
 
 C 
 
 
 A B 
 
 BÂC e CÂD são ângulos consecutivos. 
 
 
Definição 2.10: Dois ângulos consecutivos, cujos lados não 
comuns são semirretas opostas, são denominados adjacentes. 
 
 
 
 
 a b 
 
 
 Observe que dois ângulos adjacentes são suplementares. 
 
 
Definição 2.11: Dois ângulos são ditos opostos pelo vértice 
se os lados de um deles são as semirretas opostas dos lados 
do outro. 
 
Considere as retas r e s abaixo: 
â e 
bˆ
 são opostos pelo vértice. r 
mˆ
 e 
nˆ
 são também opostos pelo vértice.a m 
 s 
 n b 
 
 
 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 26 
Teorema 2.1: Dois ângulos opostos pelo vértice são 
congruentes. 
 
Hipótese: 
mˆ
 e 
nˆ
 são opostos pelo vértice. 
Tese: 
mˆ
 = 
nˆ
. 
 a n 
 
 m 
 
 
 
 
 Prova: Na figura acima consideremos o ângulo a, 
suplemento tanto do 
mˆ
 como do 
nˆ
. Tem-se: 
 
 â + 
mˆ
 = 180o 
 â + 
nˆ
 = 180o 
Daí, 
 â + 
mˆ
 = â + 
nˆ
  
mˆ
 = 
nˆ
. 
  
 
 
Definição 2.12: Seja D um ponto do interior do ângulo BÂC. 
A bissetriz do ângulo BÂC, é a semirreta 
AD
 tal que BÂD = 
DÂC. 
 
 B 
 
 D 
 
 
 A C 
 
 No próximo capítulo demonstraremos que todo ponto da 
bissetriz de um ângulo é equidistante dos lados do mesmo. 
 
 
 
Cap.2: Ângulos Prof: Sinvaldo Gama 27 
Teorema 2.2: Por um ponto de uma reta pode-se traçar uma 
única reta perpendicular a reta dada. 
 s 
 
 
 
 r r1 
 A 
 
 
 
Hipótese: A é um ponto da reta r (A  r). 
Tese: Existe uma única reta perpendicular a reta r, passando por A. 
 
 Prova: Sejam r uma reta e A um ponto da mesma. Seja r1 
uma das semirretas de r com origem em A e construamos a 
semireta s que forma com r1, no ponto A, um ângulo de 90
o 
(Post. 10). A reta que contém s é perpendicular a r no ponto A. 
Esta perpendicular é única em virtude do Postulado 10. 
 