7. AREAS Teoria Exercicios Copia

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Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 102 
CAPÍTULO 7 - ÁREAS 
 
 
 O cálculo de áreas de figuras planas está presente em várias 
situações cotidianas. Vejamos algumas dessas situações descritas nos 
problemas abaixo: 
 
Problema 1: Deseja-se construir, com tijolos, um muro de 2,10 m de 
altura, ao longo do contorno de um terreno que mede 12 m de largura e 
30 m de comprimento. Se 32 desses tijolos correspondem a 1 m2 do muro, 
quantos tijolos, aproximadamente, deverão ser comprados? 
 
 
Problema 2: Uma sala de dimensões 4 m x 5 m deverá receber piso de 
cerâmicas quadradas medindo 0,40 m x 0,40 m. Se uma caixa contém 15 
dessas cerâmicas, quantas caixas, aproximadamente deverão ser 
compradas? 
 
 
Problema 3: Numa certa região, o preço do metro quadrado de um terreno 
custa R$ 170,00. Quanto custará um terreno que mede 15 m x 30 m, 
nessa região? 
 
 
 Poderíamos mencionar vários outros exemplos nos quais pode-se 
observar que o cálculo da área de uma superfície plana faz parte do 
cotidiano de muitos profissionais. 
 
 Passaremos agora a desenvolver a teoria correspondente ao cálculo 
de áreas de regiões planas. 
 
 
Definição 7.1: Uma região poligonal é a união de um polígono e seu 
interior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 103 
 Note que uma região poligonal pode ser decomposta em um número 
finito de regiões triangulares, através das diagonais que partem de um 
mesmo vértice do polígono correspondente. 
 
Postulado 13: (Postulado da área) 
 A toda região poligonal corresponde um único número real positivo 
denominado a área da região. 
 
 Uma pergunta natural é, como se obtém tal número? Responder esta 
indagação é objetivo deste capítulo. 
 
Postulado 14: (Postulado da congruência) 
 Se dois triângulos são congruentes, então eles têm a mesma área. 
 
 No que se segue, nos referiremos a área do triângulo, a área do 
quadrado, etc, entendendo-se em cada caso, que estamos nos referindo a 
área da região poligonal correspondente. 
 
 
CALCULANDO ÁREAS: 
 
 Medir uma grandeza é compará-la com outra, da mesma espécie, 
tomada como unidade. Por exemplo, para medirmos o comprimento de 
uma sala tomamos como unidade uma régua de comprimento 1 m. 
 
 Tomamos como unidade de área um quadrado cujo lado mede uma 
unidade de comprimento, isto é, todo quadrado cujo lado meça 1 (1 cm ou 
1 m, etc) terá, por convenção, área igual a 1 (1 cm2 ou 1 m2, etc, 
respectivamente). 
 
 1 m 1 m 
 
( Unidade de comprimento: 1 m ) ( Unidade de área: 1 m2 ) 
 Área = 1 m2 
 1 m 1 m 
 
 
 
 1m 
 
 1 cm 1 cm 
 
( Unidade de comprimento: 1 cm ) ( Unidade de área: 1 cm
2 
) 
 Área = 1 cm
2
 
 1 cm 1 cm 
 
 
 
 1 cm 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 104 
ÁREA DO QUADRADO: 
 
  Exercício 7.1: Qual á área do quadrado cujo lado mede 5 m? 
 
 Solução: Basta dividir cada lado deste quadrado em 5 partes iguais 
e pelos pontos de divisão traçar segmentos paralelos aos seus lados. 
Desta forma o quadrado fica dividido em 25 quadrados de lado 1 m cada. 
Portanto a área pedida é igual a 25 m2. 
 
 1 m 
 
 1 m 
 
 
 Área = 25 m2. 
 
 
 
 
 
 
  Exercício 7.2: Qual a área de um quadrado, cujo lado tem por 
medida um inteiro positivo n? 
 
Solução: 
 1 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Divida cada lado do quadrado em n partes iguais (cada parte medirá 
1). Pelos pontos de divisão trace segmentos paralelos aos lados do 
quadrado. Assim o mesmo ficará dividido em n2 quadrados unitários. 
Sendo A, a área do quadrado dado, tem-se então 
 
 A = n2.1 = n2. 
 
 E quando o comprimento do lado do quadrado não for um número 
inteiro, como proceder para obter a área do mesmo? A resposta a esta 
indagação será dada a seguir. 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 105 
  Exercício 7.3: Qual a área do quadrado cujo lado mede 
5
1
m? 
 1/5 
 
 1/5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solução: Divida o lado do quadrado de lado 1 m em 5 partes iguais. 
Note que este quadrado contém 52 = 25 quadradinhos de lado 
5
1
. 
Portanto, a área do quadrado de lado 1 é igual a 52 x (área do quadrado de 
lado 
5
1
 m), ou seja, 
1 m2 = 52.( área do quadrado de lado 
5
1
 m). 
Assim, a área do quadrado do lado 
5
1
 = 
25
1
m2 = 2
5
1






m2. (Resposta) 
 
 
  Exercício 7.4: Qual a área do quadrado, cujo lado tem por medida 
n
1
, onde n é um inteiro maior do que 1? 
 1/n 
 
 1/n 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 106 
 Solução: Usando o raciocínio do Exercício 7.3, divida o lado do 
quadrado unitário em n partes iguais (cada parte medirá 1/n). O mesmo 
conterá n2 quadradinhos de lado 
n
1
 cada. 
 Seja A é a área de cada um deles, segue-se que 
1 = n2. A  A = 
2
1
n
  A = 21






n
. 
 
 
  Exercício 7.5: Qual a área do quadrado cujo lado mede 3,5 cm? 
 
 Solução: Como 3,5 = 
10
35
, dividindo o lado desse quadrado em 35 
partes iguais, cada uma dessas partes medirá 
10
1
. Assim o quadrado dado 
conterá 352 quadradinhos de lado 
10
1
. 
Pelo Exercício 7.4, cada um desses quadradinhos tem área igual a 2
10
1






. 
Portanto, o quadrado dado terá área igual a 
 
A = 352. 2
10
1






 = 2
10
1
.35 





= 2
10
35






= 3,52. 
 
 
  Exercício 7.6: Qual a área do quadrado cujo lado mede 
n
m
, onde 
m e n são inteiros positivos? 
 
 1/n 
 
 1/n 
 
 
 m/n 
 
 
 
 
 
 m/n 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 107 
A = a.b 
 Solução: Usando o raciocínio do Exercício 7.5, dividindo-se o lado 
desse quadrado em m partes iguais, cada uma dessas partes medirá 1/n. 
Desta forma o quadrado dado conterá m2 quadradinhos de lado 
n
1
. Como 
cada um desses quadradinhos tem área 
2
1
n
 cada, segue-se que se A é a 
área do quadrado dado, então 
A = m2.
2
1
n
 = 
2
2
n
m
  A = 2






n
m . 
 Os exercícios acima mostram que se 
a
 é um número racional 
qualquer, então a área do quadrado de lado 
a
 é igual a 
2a
. Pode-se 
provar que se 
a
 é irracional, o quadrado de lado 
a
 tem área 
2a
. (Veja: 
Medida e forma em Geometria – Elon Lages Lima – SBM) 
 
 
ÁREA DO RETÂNGULO: 
 
 Sejam a e b o comprimento e a largura de um retângulo. 
Construamos um quadrado de lado a + b conforme indica a figura abaixo. 
Noteque este quadrado pode ser decomposto em dois retângulos 
congruentes de lados a e b, um quadrado de lado a e um quadrado de lado 
b. Se A é a área do retângulo dado, então 
 
2A + a2 + b2 = (a + b)2 
 
  
 
 b a 
 
 
 b b A b 
 
 b a 
 
 
 a A a a 
 
 
 
 b a 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 108 
A = 
2
.ba
 
A = 
2
.hb
 
 
ÁREA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO: 
 
 Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem a e b. 
Pelas extremidades desses catetos tracemos perpendiculares aos mesmos 
formando com o triângulo dado um retângulo no qual a hipotenusa do 
triângulo é uma de suas diagonais. Assim, se A é a área do triângulo 
retângulo então 
 
 
 2A = a.b  
 
 
 
 A 
 b 
 
 
 a 
 
 
ÁREA DO TRIÂNGULO: 
 
 Consideremos agora um triângulo qualquer e seja h uma de suas 
alturas a qual divide-o em dois triângulos retângulos de áreas A1 e A2. 
Se A é a área do triângulo dado então 
 
A = A1 + A2 = = 
2
).(
2
.
2
. hmnhmhn 

  
 
 
 
 
 h 
 A1 A2 
 n m 
 b 
 
 
ÁREA DO TRAPÉZIO: 
 
 Pelas extremidades da base menor, b, de um trapézio, tracemos 
segmentos perpendiculares à base maior, B, do mesmo. Seja h o 
comprimento dessas alturas. O trapézio fica assim dividido em dois 
triângulos retângulos e um retângulo. 
 A 
A 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 109 
A = 
h
bB
.
2

 
A = b.h 
Portanto, se A é a área do trapézio, temos: 
 
A = 
)2(
2
.
2
).(
.
2
).(
2
.
.
2
.
bbB
h
hb
hbB
hb
hmnhm
hb
hn





 
 
  
 
 b 
 
 
 h h 
 
 n b m 
 B 
 
 
ÁREA DO PARALELOGRAMO: 
 
 A figura abaixo mostra dois triângulos retângulos pontilhados, usados 
para completar um retângulo a partir de um paralelogramo dado. 
 
 n b 
 
 h h 
 
 
 b n 
 
 Se b e h são as medidas da base e da altura do paralelogramo de 
área A, então 
A = (b + n).h - 2.
2
nh
 = bh + nh - nh, 
 
onde n é a medida do outro cateto dos triângulos retângulos considerados. 
Daí, 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 A 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 110 
A = 
2
.BDAC
 
ÁREA DO LOSANGO: 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
 D C 
 
 Sendo o losango também um paralelogramo, sua área é obtida pelo 
produto de sua base pela altura correspondente. Entretanto, é possível 
expressarmos também sua área em função de suas diagonais, como 
descrito abaixo. 
 Seja A, a área do losango ABCD acima. 
 
A = A  ABC + A ADC = 
 
 = 

2
.
2
. DEACBEAC
 
 =
2
.
2
)( BDACDEBEAC


. 
 
 
  
 
 
 
 Portanto a área de um losango é o semi-produto das suas diagonais. 
 
 
 Para obtermos a área de outros polígonos basta decompor o mesmo 
em polígonos menores, por exemplo, traçando as diagonais que partem de 
um mesmo vértice conforme observação feita no início deste capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 E 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 111 
O TEOREMA DE PITÁGORAS: 
 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à 
soma dos quadrados dos catetos. 
 
 
 b a 
 
 
 c 
 
 Prova: Se b e c são as medidas dos catetos de um triângulo 
retângulo de hipotenusa a, devemos provar que a2 = b2 + c2. 
Inicialmente, consideremos um quadrado de lado b + c. Neste quadrado, 
desenhemos quatro triângulos retângulos de catetos b e c, como mostra a 
figura abaixo. 
 
 c b 
   
 b  
 a 
  a c 
 
  
  
 
 c a 
 a  
 b 
   
 b c 
 
 
 Cada um desses quatro triângulos é congruente ao triângulo dado 
(LAL). Além disso, o quadrilátero formado pelas quatro hipotenusas é um 
quadrado. De fato, 
o90ˆˆ  
, 
e como 
o180ˆˆˆ  
, 
segue-se que 
 
o90ˆ 
. 
 O mesmo acontece com os demais ângulos do quadrilátero. 
 
 Finalmente, a área do quadrado maior é (b + c)2 e tem-se a relação: 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 112 
(b + c)2 = 4.
2
.cb
 + a2 
ou b2 + 2bc + c2 = 2bc + a2  
 
 b2 + c2 = a2. 
 
Teorema recíproco: 
 Se o quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois, então o triângulo é retângulo. 
 
 B B' 
 
 a d 
 b b 
 
 
 A c C A' c C' 
 
 
 Prova: Seja ABC o triângulo dado no qual a2 = b2 + c2. Desejamos 
provar que 
Aˆ
 = 90o. Para tal, consideremos um triângulo retângulo A'B'C' 
cujos catetos são b e c e hipotenusa d. 
Como 
d2 = b2 + c2 = a2, 
segue-se que 
d = a. 
 
Assim o  ABC =  A'B'C' (LLL). Portanto 
'ˆˆ AA 
. Como 
'Aˆ
= 90o então 
Aˆ
 = 90o. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 113 
  Exercício 7.7: Prove que cada cateto de um triângulo retângulo 
isósceles vale a metade da hipotenusa vezes 
2
. Conclua daí que 
sen 45o = 
2
2 . 
 Solução: 
 
 45o 
 x a 
 
 45o 
 x 
 Pelo T. de Pitágoras, a2 = x2 + x2 = 2.x2  x2 = 
2
2a
  x = 
2
a
 
Portanto, x = 
2
2a . 
Finalmente, sen 45o = 
2
22
2

a
a
a
x . 
 
 
  Exercício 7.8: Prove que numtriângulo retângulo, o cateto oposto 
a um ângulo de 60o vale a metade da hipotenusa vezes a 
3
. Conclua 
então que sen 60o = 
2
3 . 
 
 Solução: 
 
 a 
 x 
 
 60o 
 a/2 
 
 Sabemos do Capítulo 6, que o cateto oposto a um ângulo de 30o vale 
a metade da hipotenusa. Assim, pelo T. de Pitágoras, 
x2 + (a/2)2 = a2  x2 = a2 – a2/4 = 3a2/4  x = 
2
3a . 
Finalmente, 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 114 
sen 60o = 
2
32
3

a
a
a
x . 
 
  Exercício 7.9: Calcular a altura de um triângulo equilátero em 
função do lado 
l
. 
 A 
 Solução: 
 
 
l
 
l
 
 
 
 
 B 
l
/2 H 
l
/2 C 
Como o triângulo ABC é também isósceles, então a altura 
AH
 é também 
mediana e assim HB = HC = 
l
/2. Aplicando o T. de Pitágoras ao  AHC, 
obtemos 
AH2 + HC2 = AC2  AH2 + (
l
/2)2 = 
l
2  
 
AH2 = 
l
2 - 
l
2/4 = 3
l
2/4  AH = 
2
3l . 
 
  Exercício 7.10: Calcular a área de um triângulo equilátero em 
função do lado 
l
. 
 
 Solução: Da figura acima temos: 
S = 
4
3
2
2
3
.
2
. 2l
l
l
AHBC
 . 
 
  Exercício 7.11: Na figura abaixo, expresse a área do triângulo 
dado em função de a, b e do ângulo . 
 
 
 
 b h 
 
  
 a 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 115 
 Solução: Temos que: 
S = 
senbaha ...
2
1
2
.

 
 
 
PROPRIEDADES IMPORTANTES: 
 
Propriedade 1: A área de um triângulo não se altera quando sua base 
permanece fixa e o terceiro vértice percorre uma reta paralela à base. 
 
 A A’ r 
 
 
 
 
 
 B C 
 
 De fato, os triângulos formados têm a mesma base e a mesma altura 
(distância entre as retas paralelas). 
 
 
Propriedade 2: Toda mediana de um triângulo, divide o mesmo em dois 
triângulos de mesma área. 
 A 
 
 
 S1= S2 
 S1 S2 
 
 B H M C 
 
 De fato, como BM = MC os dois triângulos obtidos possuem a 
mesma base e a mesma altura. Portanto, possuem a mesma área. 
 
 
  Exercício 7.12: No triângulo ABC abaixo, os segmentos 
AD
, 
BE
 
e 
EF
são medianas dos triângulos ABC, ABD e ABE respectivamente. Se 
a área do triângulo ABC é 120 m2, qual a área do triângulo AFE? 
 
 
 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 116 
 Solução: 
 
 
Pela Propriedade 2 podemos escrever: 
 
Área ( ABD) = Área ( ADC) = 60 m2; 
Área ( ABE) = Área ( BDE) = 30 m2; 
 Área ( AFE) = Área ( FBE) = 15 m2. (Resposta) 
 
 
EXERCÍCIOS PROPÓSTOS: 
 
01. O retângulo ABCD abaixo, está dividido em quadrados congruentes de 
área 1, cada um deles. Determine a área do polígono contido no interior 
desse retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 117 
02. Determinar a área da figura abaixo em função de a, b e c, sabendo-se 
que os ângulos A, B e C são retos e o Ê = 45o. 
 E 
 
 45o 
 D C 
 a 
 c 
 
 A B 
 b 
 
 
03. Na figura abaixo, ABCD é um retângulo. Determinar a área da região 
sombreada, sabendo-se que AB = 16 cm e DA = 9 cm. 
 
 
04. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. Se AE = AF = 6 e FB = 4, 
determinar a área do triângulo CEF. 
 
 D C 
 
 
 E 
 
 
 
 A F B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 118 
05. Calcule a área do quadrilátero DECF abaixo, sabendo-se que o 
 = 90o, BD = DA = 3, BE = EC = 5 e AF = FC = 4. 
 
 B 
 
 5 
 3 
 D E 
 
 3 5 
 
 
 A 4 F 4 C 
 
 
06. Na figura abaixo, ABCD e MNPQ são quadrados e os triângulos são 
retângulos. Sendo AB = a, AP = b e PB = c, mostre que a2 = b2 + c2. (Este 
exercício mostra outra demonstração do Teorema de Pitágoras, e é devida 
ao matemático indiano Bhaskara). 
 
 
07. Na figura abaixo, o triângulo ABC é retângulo em B. Com as demais 
informações dadas na figura, determine a área da região sombreada. 
 
 
08. O lado de um hexágono regular mede 
a
. Calcular sua área em função 
de 
a
. 
 
 
Cap. 7: Áreas Prof. Sinvaldo Gama 119 
09. Um trapézio tem lados paralelos medindo 13 cm e 21 cm de 
comprimento. O maior dos lados não paralelos mede 17 cm e o menor é 
perpendicular aos lados paralelos. Calcule a área do trapézio. 
 
 
10. ABC é um triângulo eqüilátero cujo lado mede 5 m. Sobre cada um 
dos lados deste triângulo tomam-se segmentos congruentes: AD = BE = 
CF = 3 m. Calcular a área do triângulo DEF. 
 
 
11. Resolva os problemas 1, 2 e 3 do início deste capítulo. 
 
 
 
RESPOSTAS 
01. 55,5 02. S = bc + 
2
1
(a – c)2. 03. 72 cm2. 04. 42 
05. 6 07. 56 08. S = 
2
33 2a 09. 255 cm
2. 
10. 
4
37 m
2. 
 
11. Problema 1: 5645 tijolos; 
 Problema 2: 9 caixas; 
 Problema 3: R$ 76.500,00