Unidade I
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Unidade I


DisciplinaMatemática Aplicada6.404 materiais33.143 seguidores
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Responsável pelo Conteúdo: 
Profª. Ms. Adriana D. Freitas 
Profª. Drª. Jussara Maria Marins 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\uf0b7 Operações entre Conjuntos 
\uf0b7 Teoria dos Conjuntos 
\uf0b7 Considerações Iniciais 
\uf0b7 Conjuntos 
A Teoria de Conjuntos e uma disciplina fundamental em toda a Matemática, 
Lógica e em Ciência da Computação. Mas não ficamos restritos a esses 
campos. Podemos dizer, sem sombra de dúvidas, que em todas as áreas do 
conhecimento humano aplicamos os conceitos de Teoria dos Conjuntos. 
Junto com as noções mais intuitivas e sedimentadas já conhecidas, você vai 
adquirir uma nova linguagem simbólica para descrever os mais diversos 
fatos, tanto matemáticos como de outros do dia a dia. A seguir, você 
aprenderá a expressar-se de forma mais objetiva, pois a linguagem 
matemática é muito rica, apesar de ser tão sintética. Lidar e operar com 
conjuntos é a grande atração dessa unidade. 
\uf0b7 Importância da Teoria dos Conjuntos 
\uf0b7 Intervalos Reais 
\uf0b7 Propriedades das Operações entre Conjuntos 
Atenção 
Para um bom aproveitamento do curso, leia o material teórico atentamente antes de realizar 
as atividades. É importante também respeitar os prazos estabelecidos no cronograma. 
 
3 Teoria dos Conjuntos
1 Conjuntos
Esta unidade tratara´ de alguns conceitos ba´sicos de Teoria dos Conjuntos que podem
ser usados futuramente para Linguagens de Programac¸a\u2dco assim como Linguagens Formais,
Compiladores e de Teoria de Computac¸a\u2dco.
2 Considerac¸o\u2dces Iniciais
A Teoria de Conjuntos teve sua formalizac¸a\u2dco inicial com a publicac¸a\u2dco em 1874 de um traba-
lho de Georg Cantor (russo) que tratava sobre a comparac¸a\u2dco de colec¸o\u2dces infinitas. E´ claro
que se falava e usava a noc¸a\u2dco de conjuntos ha´ mais tempo. Quando bem mais tarde, pela
simplicidade das noc¸o\u2dces ba´sicas iniciais, passou-se a ensinar estes conceitos na escola prima´ria
esta Teoria passou a ser associada com a Matema´tica Moderna, termo que atualmente esta´
em desuso.
Vamos iniciar com os conceitos ba´sicos da Teoria dos Conjuntos por ser uma maneira mais
clara de fazermos as primeiras colocac¸o\u2dces e ao mesmo tempo que introduzimos a notac¸a\u2dco
ba´sica que permeara´ todo o trabalho, embora ela na\u2dco seja exaurida neste cap´\u131tulo.
A notac¸a\u2dco de Teoria dos Conjuntos assim como em Lo´gica ou Computac¸a\u2dco possui nuances
(variac¸o\u2dces), apesar da relativa estabilidade das duas primeiras a´reas e por isso faremos esta
compilac¸a\u2dco, no sentido comum da palavra. A formalidade que sera´ usada esta´ diretamente
ligada ao conteu´do e adequada a`s finalidades do presente trabalho.
3 Teoria dos Conjuntos
Conjuntos e elementos sa\u2dco conceitos ba´sicos e embora sejam descritos de diversas maneiras
informais e possuem certos limites para evitarmos certos paradoxos como o de Russell 1.
Um conjunto, assim como os demais conceitos de Lo´gica e Matema´tica sa\u2dco abstrac¸o\u2dces, e
o conjunto e´ uma delas para expressar uma delimitac¸a\u2dco de objetos ou elementos. Um
conjunto pode ser uma colec¸a\u2dco de objetos, se na\u2dco andarmos em c´\u131rculos para dizer o que e´
uma colec¸a\u2dco.
Os conceitos ba´sicos ou noc¸o\u2dces primitivas sa\u2dco descritos, explicados, exemplificados en-
fim, entendidos mas na\u2dco sa\u2dco definidos formalmente, pois do contra´rio cair´\u131amos em c´\u131rculos
viciosos.
Os conjuntos podem ter como elementos quaisquer objetos inclusive outros conjuntos. A
notac¸a\u2dco ba´sica para indicar um conjunto e´ um par de chaves \u2018{\u2019, \u2018}\u2019 indicadas, respectivamente,
para iniciar e terminar a delimitac¸a\u2dco dos seus elementos. Temos o conjunto das tre\u2c6s primeiras
letras do alfabeto latino: {a, b, c} ou ainda {A, B,C}, mas certamente o conjunto das letras
{\u3b1, \u3b2, \u3b3} na\u2dco e´ o conjunto da letras latinas.
O conjunto dos d´\u131gitos do sistema de numerac¸a\u2dco hexadecimal e´
1Considere-se o conjunto M como sendo \u201co conjunto de todos os conjuntos que na\u2dco se conte\u2c6m a si pro´prios
como membros\u201d. Formalmente temos um paradoxo: A e´ elemento de M se e so´ se A na\u2dco e´ elemento de A.
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Unidade: Conjuntos
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,C,D, E, F} ou {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f }, o conjunto
da base decimal e´ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, da base octal e´ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, da base bina´ria
e´ {0, 1} e finalmente da base una´ria e´ {0}.
O conjunto dos campi da Unicsul e´ {Sa\u2dco Miguel, Ana´lia Franco, Liberdade, Pinheiros}.
Relac¸a\u2dco de Pertine\u2c6ncia e´ a relac¸a\u2dco ba´sica entre um elemento e um conjunto. E´
indicada por uma variac¸a\u2dco da quinta letra do alfabeto grego: \u2208 ou \ufffd (e´psilon). A negac¸a\u2dco
desta relac¸a\u2dco e´ indicada por <, e normalmente a barra sobre um s´\u131mbolo indicara´ a negac¸a\u2dco
deste s´\u131mbolo.
Como a matema´tica utiliza relac¸o\u2dces abstratas, sempre trataremos com representac¸o\u2dces ou
s´\u131mbolos. Por exemplo, a letra \u2018a\u2019 e´ um s´\u131mbolo para a primeira letra do alfabeto latino, o
s´\u131mbolo da primeira letra letra do alfabeto grego de nome alfa e´ \u3b1. Na realidade estamos
tratando de s´\u131mbolos gra´ficos para letras. Temos s´\u131mbolos sonoros. Na escala musical, re-
presentada pelo pentagrama temos que na clave de sol o s´\u131mbolo na segunda linha, de baixo
para cima, representa a nota sol. Uma palavra pode representar um objeto. A palavra \u2018gata\u2019
pode ser associada a Nala, o mam\u131´fero da ordem dos fel´\u131neos que e´ a gata de minha filha.
Existe uma frase que diz sobre a diferenc¸a entre representac¸a\u2dco e a coisa representada. \u201c A
palavra ca\u2dco na\u2dco morde\u201d.
Com conjuntos sempre estamos lidando com representac¸o\u2dces que com o tempo ficara\u2dco mais
gravadas na nossa memo´ria.
Exemplo 3.1. Conjuntos
O conjunto das tre\u2c6s u´ltimas letras minu´sculas do alfabeto latino e´ dado por \u2018v,x,z\u2019. O
conjunto dos nu´meros de um CEP e´ \u20180,1,2,4\u2019 quando o CEP e´ 04121-040. Para deixar clara a
ide´ia de conjunto usamos as chaves e o nome do conjunto e´ indicado por uma letra maiu´scula,
em geral, latina. Deste modo a representac¸a\u2dco dos conjuntos citados e´:
A = {v, x, z}, B = {0, 1, 2, 4}
q
Os nomes, tanto dos elementos, como dos conjuntos sa\u2dco arbitra´rios, como quaisquer no-
mes, Alguns deles sa\u2dco muito usados e tornam-se especiais, como os s´\u131mbolos de Tra\u2c6nsito, de
propaganda, etc.
Exemplo 3.2. Os conjuntos nume´ricos mais usados em Matema´tica sa\u2dco:
N,Z,Q,R,C
q
O conjunto dos nu´meros naturais ou inteiros positivos e o zero e´ o conjunto ba´sico.
Outros sa\u2dco formados a partir dele.
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}
Neste conjunto esta´ intrinsicamente firmada a noc¸a\u2dco de ordem, isto e´, 0 e´ menor que
qualquer nu´mero natural, 1 < 2, 2 < 3, 4 < 5, . . . , 45 < 67, etc.
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3 Teoria dos Conjuntos
Quando acrescentamos os nu´meros negativos temos o conjuntos dos inteiros:
Z = {. . . ,\u22125,\u22124,\u22123,\u22122,\u22121, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . .}
Outros subconjuntos relacionados:
(\u2200x \u2208 Z\u2212)[x < 0]
(\u2200x \u2208 Z+)[x > 0]
A relac¸a\u2dco de ordem e´ intuitivamente a mesma dos naturais, um nu´mero x e´ menor que
outro y se o primeiro vem antes do segundo. Como dizer formalmente que x \u2018vem antes de\u2019
y?
Podemos fazer isso, usando a definic¸a\u2dco de adic¸a\u2dco, 2 com a seguinte fo´rmula:
(\u2200x \u2208 Z)[x < y\u21d4 (\u2203k \u2208 Z+)|y = x + k]
Para formar o conceito de frac¸a\u2dco ou parte de algo inteiro, temos o conceito de nu´mero
racional, que vem de raza\u2dco ou divisa\u2dco. Os povos ingleses tem muita familiaridade com o uso
de frac¸o\u2dces, pois suas medidas ainda usam o sistema histo´rico a partir das medidas dos reis,
como a polegada. No´s ainda usamos raras vezes para dizer a bitola de parafusos, com o de
Paloma
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7.2 Outras Aplica¸c˜oes em Computa¸c˜ao
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Marco
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Exemplo 6.2
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Paloma
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6 Intervalos reais
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Exmplo 5.8 complementar
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Exemplo 5.5.Uni˜ao e Intersec¸c˜ao junta
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