lista01 Estudo P1 Andreia Coutinho

Prévia do material em texto

Lista 01 de GEX106 - Cálculo II
1. Esboce a curva de nível z = k para os valores especificados de k.
(a) z = y/x ; k = −2, 0, 2. (b) z = x2 − y2 ; k = −2, 0, 2.
2. Descreva a superfície de nível em palavras.
(a) f(x, y, z) = 3x− y + 2z. (b) f(x, y, z) = z − x2 − y2.
3. Seja f(x, y) = yex. Determine uma equação da curva de nível que passa pelo
ponto:
(a) (ln2, 1). (b) (0, 3).
4. Use as leis do limite e as propriedades da continuidade para calcular o limite.
(a) lim
(x,y)→(1/2,pi)
(xy2 sinxy). (b) lim
(x,y)→(1,−3)
e2x−y
2
.
5. Determine se o limite existe. Se existir, determine o seu valor.
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − 16y4
x2 + 4y2
.
(b) lim
(x,y)→(0,0)
1− x2 − y2
x2 − y2 .
(c) lim
(x,y,z)→(2,0,−1)
ln(2x+ y − z).
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2y2√
x2 − y2 .
6. Descreva a maior região na qual a função f é contínua.
(a) f(x, y, z) = ln(4− x2 − y2 − z2). (b) f(x, y, z) = sin√x2 + y2 + 3z2.
7. Um ponto move-se ao longo da interseção da parabolóide elíptico z = x2 + 3y2
e do plano x = 2. Qual é a taxa de variação de z em relação a y quando o
ponto estiver em (4, 3, 2)?
8. A temperatura em um ponto (x, y) sobre uma placa de metal no plano x, y é
T (x, y) = x3+2y2+x graus. Suponha que a distância seja medida em centímetros
e determine a taxa na qual a temperatura varia com a distânica se iniciarmos
no ponto (1, 2) e movermos
(a) para a direita e paralelamente ao eixo x.
(b) para cima e paralelamente ao eixo y.
9. A área de um triângulo é dada por A = 1
2
ab sin θ onde a e b são os comprimentos
de dois dos lados e θ o ângulo entre eles. Suponha que a = 5, b = 10 e θ = pi
3
.
(a) Encontre a taxa segundo a qual A varia em relação a a se b e θ forem
mantidos constantes.
(b) Encontre a taxa segundo a qual A varia em relação a θ se a e b forem
mantidos constantes.
1
(c) Encontre a taxa segundo a qual b varia em relação a a se θ e A forem
mantidos constantes.
10. Determine as equações paramétricas para a reta tangente em (1, 3, 3) para a
curva de interseção da superfície z = x2y e
(a) o plano x = 1.
(b) o plano y = 3.
11. (a) Determine implicitamente, determine a inclinação do hiperbolóide x2 +
y2 − z2 = 1 na direção de y nos pontos (3, 4, 2√6) e (3, 4,−2√6).
(b) Verifique os resultados da parte (a) resolvendo para z e derivando as
funções resultantes diretamente.
12. Determine
∂w
∂x
,
∂w
∂y
e
∂w
∂z
usando diferenciação implícita. Deixe suas respostas
em termos de x, y, z e w.
(a) ln(2x2 + y − z3 + 3w) = z. (b) exy sinw − z2w + 1 = 0.
13. Considere a função f(x, y) =
∫ xy
1
et
2
dt. Determine fxx, fyy, fxy, fyx.
14. O volume V de um cone circular reto de raio r e altura h é dado por V =
1
3
pir2h. Suponha que a altura decresça de 20cm para 19, 95cm, enquando que o
raio cresce de 4cm para 4, 05cm. Use uma diferencial total para aproximar a
variação no volume do cone.
15. O comprimento, largura e a altura de uma caixa retangular são medidos com
erros de, no máximo, r% (onde r é pequeno). Use diferenciais para aproximar
o erro percentual máximo no valor calculado do volume.
16. Sejam w =
rs
r2 + s2
; r = uv, s = u− 2v. Encontre ∂w
∂u
e
∂w
∂v
.
17. Use uma regra da cadeia para determinar
dz
dt
∣∣∣∣
t=3
se z = x2y; x = t2, y = t+ 7.
18. Use a lei dos gases ideais P =
kT
V
com V em polegadas cúbicas (pol3), T
em kelvins (K) e k = 10 pol.lb/K para determinar a taxa segundo a qual a
temperatura de um gás está variando quando o volume for de 200 (pol3) e
crescendo a uma taxa de 4 pol3/s, enquanto a pressão for 5 lb/pol2 e decrescendo
a uma taxa de 1 lb/pol2/s.
19. Determine a derivada direcional de f(x, y) =
x
x+ y
em P (1, 0) na direção e
sentido de P a Q(−1,−1).
20. A temperatura em graus Celsius em um ponto (x, y) de uma placa de metal
no plano xy é T (x, y) =
xy
1 + x2 + y2
.
2
(a) Encontre a taxa de variação da temperatura em (1, 1) na direção e sentindo
de a = 2i− j.
(b) Uma formiga em (1, 1) precisa andar na direção na qual a temperatura
baixe mais rapidamente. Encontre um vetor unitário nessa direção.
21. Dado que a derivada direcional de f(x, y, z) mp ponto (3,−2, 1) e na direção de
a = 2i− j− 2k é −5 e que ||∇f(3,−2, 1)|| = 5, determine ∇f(3,−2, 1).
22. Mostre que toda reta que é normal à esfera x2 + y2 + z2 = 1 passa pela origem.
23. Mostre que o elipsóide 2x2+3y2+z2 = 9 e a esfera x2+y2+z2−6x−8y−8z+24 = 0
têm um plano tangente em comum no ponto (1, 1, 2).
24. Mostre que a equação do plano que é tangente ao parabolóide z =
x2
a2
+
y2
b2
em
(x0, y0, z0) pode ser escrita na forma z + z0 =
2x0
a2
x+
2y0
b2
y.
3