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Fundamentos de Matemática Elementar II

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Fundamentos de Matemática Elementar II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
Rogério Mazur 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão 
Maria Eugênia de Carvalho e Silva 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
Licenciada em Matemática e pós-graduada em Ensino da Matemática pela Universidade 
Tuiuti do Paraná – UTP. Atuou como professora de matemática de séries iniciais, finais 
e ensino médio. Atualmente, é professora de matemática das séries finais da Prefeitura 
Municipal de Curitiba e professora de Fundamentos de Matemática elementar II e 
Geometria analítica da FAEL – Faculdade educacional da Lapa. 
 
Rogério Mazur 
Técnico em eletrônica pelo Centro Tecnológico Industrial – CTI. Bacharel em Física pela 
Universidade Federal do Paraná – UFPR. Licenciado em Matemática pelo Centro 
Universitário Claretiano de Batatais. Especialista em ensino da matemática pela 
Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR. Mestre em Física pela 
Universidade de São Paulo – USP. Atualmente é professor da Universidade Tuiuti do 
Paraná – UTP e da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. Tem 
experiência na área de Física, atuando principalmente em sistema dinâmico não linear. 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
Introdução .............................. 
 
I – Progressões ................................................. 
1. Sequências numéricas ........................................ 
2. Progressões aritméticas .............................. 
3. Progressões geométricas .................................. 
II - Análise Combinatória ................................. 
1. Problemas de contagem ................................... 
2. Princípio fundamental da contagem .............................. 
3. Fatorial ................. 
4. Arranjos simples ..................................... 
5. Permutação simples 
6. Combinação simples ................................. 
7. Arranjo com repetição ................................... 
8. Permutação com elementos repetidos ........................ 
9. Números binomiais ...................................... 
10. Binômio de Newton .................................... 
III - Números Complexos ......................................... 
1. Introdução e histórico ..................................... 
2. Forma algébrica de um número complexo 
3. Plano de Argand-Gauss .................................... 
4. O conjunto C 
5. Igualdade de números complexos 
6. Conjugado de um número complexo 
7. Adição e subtração de números complexos na forma algébrica 
8. Multiplicação de números complexos na forma algébrica 
9. Divisão de números complexos 
10. Potências de i 
11. Módulo e argumento de um número complexo 
12. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos 
13. Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica 
14. Potenciação de números complexos na forma trigonométrica 
15. Radiciação de números complexos na forma trigonométrica 
IV – Polinômios 
1. Definição 
2. Grau de um polinômio 
3. Valor numérico de um polinômio 
4. Polinômio nulo 
5. Polinômios idênticos 
6. Adição subtração e multiplicação de polinômios 
7. Divisão de polinômios 
8. Divisão de um polinômio por um binômio de forma ax+b 
9. Divisão de um polinômio por um binômio de forma
x
 
10. Divisão de um polinômio por 
))((   xx
 
11. Dispositivo de Briot-Ruffini 
V – Equações polinomiais 
1. Definição de equação polinomial 
2. Raiz ou zero da equação 
3. Teorema fundamental da Álgebra 
4. Teorema da decomposição 
5. Raízes nulas 
6. Raízes complexas 
7. Relações de Girard 
8. Raízes racionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Ensinar matemática não tem sido uma tarefa fácil. Várias são as causas dessa 
dificuldade. Podemos citar a defasagem de conteúdos com que os alunos chegam às séries 
finais do ensino fundamental, estendendo esse problema até o ensino médio e até mesmo 
ao ensino superior. 
Para sanar esse problema, uma estratégia eficaz é o professor planejar suas aulas 
utilizando artifícios diferentes para o ensino de um mesmo conteúdo. E essa estratégia 
somente é possível quando o professor possui domínio sobre o conteúdo trabalhado, 
sabendo planejar, desenvolver e avaliar suas aulas. 
Este livro é o resultado de um trabalho coletivo de professores motivados pelo 
desejo de produzir uma obra com uma linguagem clara e acessível. Apresenta uma 
proposta simples e de fácil compreensão, incentivando o interesse, a leitura e a aquisição 
dos conceitos matemáticos. 
No desenvolvimento teórico, os conteúdos são explicados por meio de exemplos 
comentados que fazem parte do cotidiano dos alunos. 
A obra se inicia com o tema Progressões, no qual são estudadas as sequências, as 
progressões aritméticas e as progressões geométricas. Esses conteúdos têm grande 
importância na vida prática. A vibração das cordas de um instrumento musical, por 
exemplo, produz uma frequência que forma uma sequência numérica. Os juros simples 
se associam a uma progressão aritmética e os juros compostos a uma progressão 
geométrica. 
O capítulo II trata da análise combinatória, que é uma área da matemática criada 
para o estudo de problemas de contagem, utilizando técnicas para a descrição e contagem 
de todos os casos possíveis de um acontecimento. Esses problemas estão ligados, 
justamente, às primeiras atividades matemáticas do homem, pela necessidade de contar 
objetos de um conjunto, como as ovelhas de um rebanho. A Análise Combinatória, em 
outras palavras, analisa dados e tenta quantificá-los para avaliar tendências e tomar 
decisões. 
Uma importante aplicação da análise combinatória está no desenvolvimento de 
nax )( 
, o binômio de Newton, que foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton. 
Esse estudo veio para complementar o estudo dos produtos notáveis. Esse 
desenvolvimento seria inviável para grandes expoentes, sem o estudo do binômio de 
Newton. 
O capítulo III traz os números complexos, que foram desenvolvidos por vários 
matemáticos, uma construção que durou quase trezentos anos, devido à necessidade de 
calcular raízes quadradas de números negativos. O estudo dos números complexos 
permite resolver inúmeras questões no ramo da eletrônica, mecânica, eletricidade, 
engenharia aeronáutica, geometria, dentre outros. Uma aplicação indispensável dos 
números complexos é na Transformação de Joukowski, que possibilita aos engenheiros 
aeronáuticos a realização de estudos sobre aerofólios e suas influências na força de 
sustentação das aeronaves. 
No capítulo IV e V temos os polinômios e as equações polinomiais, 
respectivamente, que são importantes por modelarem grande parte dos problemas do 
mundo real. Os polinômios formam um conjunto de conceitos importante tanto na álgebra 
quanto na geometria, especialmente no cálculo de valores desconhecidos. Os polinômios 
surgiram no século III a.C. com o matemático Arquimedes de Siracusa. Os polinômios 
têm uma vasta aplicação nas ciências em geral. Se não houvesse polinômios, muito 
provavelmente não poderíamos utilizar CDs, por exemplo. Os polinômios são a base do 
código que faz com que os dados, de música ou computador, sejam escritos em CDs, os 
códigos corretores de erro, que fazem com que os dados sejam transmitidos corretamente. 
Entre os séculos XII e XVI os matemáticos resolviam equações de 3º e 4º graus 
utilizando fórmulas de resolução extremamente trabalhosas. Durante aproximadamente 
250 anos, os matemáticos tentaram encontrar fórmulas para resolver equaçõesde grau 
superior a quatro, sem êxito. Em 1797, Gauss demonstrou que toda equação de grau n 
possui n raízes, mas não provou como obter essas raízes. Após anos de estudos, os 
matemáticos concluíram que não existem fórmulas para resolver equações de grau 
superior a quatro, mas sim métodos. Nos capítulos de equações polinomiais e equações 
algébricas, conheceremos alguns métodos criados por matemáticos para resolver algumas 
equações de qualquer grau. 
Espera-se que o licenciando em matemática conceda uma atenção especial para a 
formação dos conceitos matemáticos envolvidos, explorando e problematizando os 
conhecimentos adquiridos sob uma perspectiva compreensiva, histórico-cultural, 
multidimensional e didático-pedagógica. 
 Com isso, espera-se que o aluno compreenda a importância de estudar os 
conteúdos aqui tratados. 
Bons estudos! 
 
 
 
 
Capítulo I 
 Progressões 
Rogério Mazur 
 
1-Sequência numérica 
 
Realizando um levantamento das sedes das Olimpíadas de verão desde 1992 até 2016. 
Temos: 
 Barcelona, Espanha (1992) 
 Atlanta, Estados Unidos (1996) 
 Sydney, Austrália (2000) 
 Atenas, Grécia (2004) 
 Pequim, China (2008) 
 Londres, Reino Unido (2012) 
 Rio de Janeiro, Brasil (2016) 
A natureza dessa situação nos mostra a necessidade de ordenação dessas sedes olímpicas, 
formando uma sequência ou sucessão das informações. 
Podemos encontrar situações que exigem a ordenação de elementos no nosso dia a dia, 
como exemplo: 
 Sequência de chegada dos corredores da maratona de São Silvestre; 
 Sequência de nomes de candidatos aprovados em um concurso; 
 Sequência de partida dos ônibus da rodoviária. 
Consideremos agora a sequência de números: 
(2, 4, 6, 8, 10, 12, …) 
Os parênteses representam um conjunto de números colocados em uma certa ordem. Nele, 
o primeiro termo é o número 2, o segundo o número 4, o terceiro termo o número 6 e 
assim por diante. 
Convencionaremos representar o primeiro termo de uma sequência por a1, o segundo 
termo por a2, o terceiro termo a3 e assim por diante, 
Logo, nesta sequência, temos: 
primeiro termo: a1 = 2; 
segundo termo: a2 = 4; 
terceiro termo: a3 = 6; 
quarto termo: a4 = 8; 
Para representar o termo da sequência de n elementos usaremos an. 
Dessa maneira a sequência de n elementos é escrita da forma: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
Se a sequência apresenta um último termo ela é finita, caso contrário ela é dita infinita. 
(10, 20, 30, 40, 50, 60) é uma sequência finita. 
(15, 20, 25, 30, 35, …) é uma sequência infinita. 
 
1.1 Lei da formação dos elementos de uma sequência 
Consideremos a seguinte sequência de números. 
 (1, 4, 9, 16, 25, 36, …) 
a1 = 1 
a2 = 4 
a3 = 9 
a4 = 16 
an = n
2 
A expressão an = n
2 é chamada de lei de formação dos termos ou termo geral da 
sequência, os valores de n são o conjunto dos números naturais não nulos N*. Com ela, 
podemos calcular quanquer termo da sequência, por exemplo, o décimo termo é: 
 a10 = 10
2 = 100. 
Exemplos: 
1) Determine os seis primeiros termos da sequência definida por 
1.2  nan
 para n = 1, 
2, 3, …: 
Resolução: 
1.2  nan
 
311.21 1  an
 
512.22 2  an
 
713.23 3  an
 
914.24 4  an
 
1115.25 5  an
 
1316.26 6  an
 
Logo, a sequência procurada é (3, 5, 7, 9, 11, 13). 
2) Uma sequência é formada pela lei de formação 
415  nan
. Determine a posição na 
sequência do número 19. 
Resolução: 
Temos a lei de formação: 
415  nan
, 
19na
 e desejamos calcular a posição n. 
Substituindo teremos: 
41519  n
 
Isolando n, 
n54119 
 
n560 
 
12n
 
Resposta: a posição do número 19 é 
12n
. 
3) Considere a sequência numérica definida por 
1003  nan 
a) Determine os cinco primeiros termos da sequência. 
b) Determine a ordem do termo 10. 
c) Verifique se o termo 21 pertence à sequência. 
Resolução: 
a) Vamos determinar os cinco primeiros termos: 
A lei de formação dos termos é 1003  nan . Vamos atribuir os valores de n 
na equação: 
1003  nan 
971001.31 1  an
 
941002.32 2  an
 
911003.33 3  an
 
881004.34 4  an
 
851005.35 5  an 
Resposta: os cinco primeiros termos são (97, 94, 91, 88, 85, …) 
b) Vamos determinar a ordem do termo 10. 
Sabemos: 10na 
Queremos determinar n: 
Usando a lei da formação 
1003  nan 
Substituindo os valores de na 
100310  n 
n310010  
n390  
30n 
Resposta: a ordem do termo 10 é n = 30. 
c) Vamos verificar se 21 pertence à sequência. 
Usando a lei da formação 1003  nan ,vamos determinar a ordem do termo 
21. 
Substituindo 21na 
100321  n 
n310021  
n379  
3
79
n 
333,26n 
Resposta: Chegamos a um valor de n que não é um inteiro, logo o número 21 não 
pertence à sequência. 
 
 
1.2 Lei da recorrência 
Outra maneira de determinarmos os elementos da sequência é encontrar um termo 
qualquer da sequência a partir do termo anterior. 
Exemplos: 
1) Vamos construir a sequência definida pelas relações: 
101 a
 
21  nn aa
, para todo n ≥ 1 
Atribuindo valores para n, temos: 
Para n = 1: 
122102 22111  aaaa
 
Para n = 2: 
142122 33212  aaaa
 
Para n = 3: 
162142 44313  aaaa
 
Para n = 4: 
182162 55414  aaaa
 
Notamos que para calcular o termo a2 precisamos do anterior a1. Para calcular o a3, 
precisamos do a2 e assim por diante. 
A sequência desejada é (12, 14, 16, 18, …) 
2) Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por 





 nn aa
a
3
10
1
1
 
 Resolução: 
O primeiro termo é 
101 a
 
Para n = 1, temos o segundo termo: 
nn aa 31 
 
naa 311 
 
30)10.(32 a
 
Para n = 2, temos o terceiro termo: 
nn aa 31 
 
212 3aa 
 
90)30.(33 a
 
Para n = 3, temos o quarto termo: 
nn aa 31 
 
313 3aa 
 
270)90.(34 a
 
Para n = 4, temos o quinto termo: 
nn aa 31 
 
414 3aa 
 
810)270.(35 a
 
A sequência é (
1a
, 
2a
, 
3a
, 
4a
, …) 
Resposta: a sequência desejada é (-10, -30, -90, -270, -810, …) 
 
2- Progressões aritméticas (PA) 
Considere a seguinte sequência: 
(3, 8, 13, 18, 23, …) 
Observe que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é sempre igual a 5. 
8 – 3 = 5; 
13 – 8 = 5; 
18 – 13 = 5; 
23 – 18 = 5; 
2.1 Definição 
Progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo 
qualquer e o seu antecessor é sempre constante. 
Essa constante é chamada de razão da progressão aritmética, representada por r. 
Na sequência abaixo temos: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
12312 ...  nn aaaaaar
 
Exemplos de Progressão Aritmética: 
a) (7, 12, 17, 22, 27) é uma PA, de razão 5 e 
71 a
 
b) (6, 6, 6, 6, …) é uma PA, de razão 0 e 𝑎1 = 6 61 a 
c) (-20, -10, 0, 10, 20, 30, …) é uma PA, de razão 10 e 𝑎1 = −20 201 a 
d) (20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ...) é uma PA, de razão -3 e 𝑎1 = 20 201 a 
e) 






...,
2
7
,3,
2
5
,2,
2
3
,1
é uma PA, de razão 
1
2
 e 
11 a
 
2.2 Classificação da progressão aritmética 
Considere uma PA e a razão r entre os termos. 
I. Quando a razão r > 0, cada termo é maior que seu anterior, então dizemos que a 
PA é crescente. 
II. Quando a razão r < 0, cada termo é menor que seu anterior, então dizemos que a 
PA é decrescente. 
III. Quando arazão r = 0, cada termo é igual ao seu anterior, então dizemos que a 
PA é constante. 
Exemplos: 
1) Classifique as progressões aritméticas em crescente, decrescente ou constante, 
identificando a razão de cada uma. 
a) (-5, -3, 1, 3, 5, …) 
b) (4, 4, 4, 4, 4, …) 
c) (20, 15, 10, 5, 0, -5, …) 
d) (12, 16, 20, 24, 28, …) 
Resolução: 
Vamos calcular a razão das PA usando a equação 
12 aar  
a) Na PA (-5, -3, 1, 3, 5, …) temos 
51 a
, 
32 a
 
253)5(312  aar 
Temos 0r , logo a PA é crescente. 
b) Na PA (4, 4, 4, 4, 4, …) temos 
41 a
, 
42 a
 
04412  aar 
Temos 0r , logo a PA é constante. 
c) Na PA (20, 15, 10, 5, 0, -5, …) temos 
201 a
, 
152 a
 
5201512  aar 
Temos 0r , logo a PA é decrescente. 
e) Na PA (12, 16, 20, 24, 28, …) temos 
121 a
, 
162 a
 
4121612  aar 
Temos 0r , logo a PA é crescente. 
 
2.3 - Termo geral da Progressão Aritmética 
A representação matemática para os seguintes termos da PA é: 
raa  12 
raraa 2123 
 
raraa 3134 
 
raraa 4145 
 
Podemos observar que o termo 
na
, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado 
por: 
rnaan ).1(1 
 
Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma PA e permite calcular 
qualquer termo da sequência, a partir de a1 e r, sem precisar determinar todos os termos. 
Por exemplo: 
raa 14115  
raa .19120  
raa .991100 
 
 
Exemplos: 
1) Determine o 15° termo da sequência (6, 11, 16, 21, 26,…): 
Resolução: 
O primeiro termo da sequência é 
61 a
 
Razão
561112  aar
 
Para o 15° termo
15n
 
Utilizando a fórmula do termo geral temos: 
rnaan ).1(1  
5).115(615 a 
7615 a
 
Resposta: o 15° termo da sequência é 76. 
 
2) Determine a PA cujo décimo termo é 28 e o sexto termo é 16. 
Resolução: 
Sabemos 
2810 a e 166 a 
Utilizando a fórmula do termo geral temos: 
rnaan ).1(1  
raa ).110(110  
ra .928 1  
raa ).16(16  
ra .516 1  
Temos o sistema: 





ra
ra
.516
.928
1
1
 
Resolvendo o sistema, chegamos a 𝑟 = 3 𝑒 𝑎1 = 1 
Logo a sequência é: (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …) 
 
 
3) Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 351? 
Resolução: 
Sabemos que o primeiro múltiplo de cinco maior que 23 é 25 , logo
251 a
 
O último múltiplo de cinco menor que 351 é 350, logo 
350na
 
Queremos determinar o número de termos n, e sabemos que a razão é cinco. 
Utilizando o termo geral da PA: 
rnaan ).1(1  
5).1(25350  n
 
Resolvendo a equação chegamos a n=66 termos, logo, existem 66 múltiplos de cinco 
entre 23 e351. 
 
4) Determine a PA em que 3663  aa e 
3071  aa 
Resolução: 
Utilizando o termo geral da PA: 
rnaan ).1(1  
raa ).13(13  
raa .213  
raa ).15(15  
raa .415  
raa ).16(16  
raa .516 
 
Substituindo 𝑎3 e 𝑎5 temos: 
3663  aa
 
36.5.2 11  rara 
36.72 1  ra
 
Substituindo 𝑎1 e 𝑎7 temos: 
3071  aa 
30.611  raa
 
30.62 1  ra
 
Chegamos ao sistema: 





30.62
36.72
1
1
ra
ra 
Resolvendo o sistema, temos 
6r
e 
31 a
 
Logo, a PA desejada é: 
(-3,3,9,15,21,27,33,39,…) 
 
5) Milena decidiu que irá caminhar todos os dias e, a cada semana, vai caminhar 500 
metros a mais por dia do que na caminhada da semana anterior. Sabendo que na primeira 
semana ela andou 1500 metros por dia, quanto ela vai caminhar por dia na décima 
semana? 
Resolução: 
Toda semana ela anda 500 metros a mais, a razão da PA é r = 500. 
Na primeira semana ela andou 1500 metros logo, 
15001 a
 
Queremos saber quanto ela andou na décima semana então n = 10. 
Utilizando o termo geral da PA: 
rnaan ).1(1  
Substituindo os valores conhecidos temos: 
500).110(150010 a 
5009150010 a 
4500150010 a 
600010 a 
Portanto, na décima semana, Milena vai caminhar 6000 metros por dia. 
 
 
2.4 - Soma dos n primeiros termos de uma PA 
O alemão Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi um dos grandes matemáticos de 
todos os tempos, fez contribuições nos campos da matemática, física e filosofia. Gauss 
sempre teve muita facilidade com matemática. Conta-se que, aos 10 anos, ele tinha um 
professor que não aceitava conversas paralelas e brincadeiras em sala de aula. Um dia o 
professor decidiu dar-lhes uma atividade que deveria envolvê-los por algum tempo sem 
perturbá-lo. O professor pediu aos seus alunos para somar todos os números de 1 a 100, 
sabendo que a atividade tomaria um longo tempo dos alunos para realização dos cálculos. 
Em poucos minutos, Gauss concluiu a atividade, chegando à resposta de 5050. O 
professor conferiu o resultado e chegou a conclusão de que estava correto. O que Gauss 
tinha percebido é que existia um padrão que se repetia na soma. Se somarmos o primeiro 
termo com o último resulta em 101 e se somarmos o segundo com o penúltimo também 
resulta em 101, e assim sucessivamente. 
1011001  aa
 
101992  aa
 
101983  aa
 
… 
101298  aa
 
1011100  aa
 
Notamos que a primeira dessas igualdades é igual à última, ou seja, cada igualdade 
aparece duas vezes. Assim, a soma dos cem primeiros termos dessa sequência pode ser 
dada por: 
1011002 S
 
5050
2
101100


S
 
Notamos que 100 é o numero de termos e 101 é a soma do primeiro termo com o 
último. 
Generalizando para uma PA de n termos, temos: 
n
aa
S nn .
2
)( 1  
Equação da soma de n termos da PA. 
 
Exemplos: 
1) Determine a soma dos 10 primeiros termos da PA. (2, 4, 6, 8, …) 
Resolução: 
Temos: 
Primeiro termo 
21 a
 
Razão 
2r
 
10n
 
Calculando o décimo termo, temos: 
rnaan ).1(1 
 
2).110(210 a
 
2010 a
 
Utilizando a equação da soma dos termos: 
n
aa
S n .
2
)( 1 
 
10.
2
)202(
10

S 
11010 S
 
Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA é 110. 
 
2) Determine o valor de x na equação: 
1 + 3 + 5 + … + x = 100 
Notamos que a soma dos termos é 𝑆𝑛 = 100 
100nS
 
Os termos formam uma PA. Onde o primeiro termo é 
11 a
, 
xan 
e a razão é r = 2. 
Calculando o número de termos na PA. 
rnaan ).1(1  
2).1(1  nx 
12  nx
 
2
1

x
n
 
Usando a equação da soma dos termos da PA: 
n
aa
S n .
2
)( 1  
n
x
.
2
)1(
100


 
nx).1(200 
 
Substituindo n encontrado anteriormente 
2
1
).1(200


x
x
 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2)1(400 x 
Efetuando e isolando x: 
2119  xoux
 
Observamos, na sequência dada, que x é um número positivo. Portanto, o valor de x na 
equação é 19. 
 
3) Em uma indústria de automóveis, a produção mensal é de 300 carros, mas a nova meta 
é produzir 40 carros a mais do que o mês anterior. Nessas condições, qual será a produção 
de automóveis daqui a um ano? 
Resolução: 
No primeiro mês temos a produção de
1a
 =300 automóveis e a razão é r=40. Em um ano 
serão 12 meses, n=12. Desejamos calcular a quantidade de automóveis produzidos nesses 
12 meses ou seja, a soma da produção dos 12 meses, 12S . 
Calculando a produção no 12º mês 
12a
 
Usando o fórmula do termo geral: 
rnaan ).1(1  
Substituindo os termos conhecidos: 
raa ).112(112  
40).11(30012 a 
44030012 a 
74012 a
 
Calculando a soma dos 12 meses
12S
 
Usando a equação da soma da PA: 
naa
S nn .
2
)( 1 
 
Substituindo n = 12: 
12.
2
)( 121
12
aa
S

 
Substituindo 
74012 a
 e 
1a
 = 300 
12.
2
)740300(
12

S 
12S
 6240 
Resposta: a produção em um ano será de 6240 automóveis. 
 
3) Calcular a soma dos 60 primeiros termos de uma PA em que 
1a
 = -30 e r = 4. 
Resolução: 
Usando o fórmula do termo geral para achar qual é o termor de ordem 60, n = 60: 
rnaan ).1(1  
raa ).160(160  
raa ).59(160  
Substituindo os termos conhecidos: 
4).59(3060 a 
2363060 a 
20660 a
 
Usando a equação da soma da PA: 
n
aa
S nn .
2
)( 1  
Substituindo
1a
 =-30 e 
20660 a
 
n
aa
S nn .
2
)( 1  
60.
2
)20630(
60

S
 
528060 S
 
Resposta: A soma dos 60 primeiros termos da PA é 5280.
 
 
 
 
3 - Progressões Geométricas (PG) 
Considere a seguinte sequência numérica: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) 
Notamos que existe um padrão entre os termos da sequência e cada termo é sempre o 
dobro do anterior. 
 
3.1 Definição 
Progressão Geométrica é a sequência de números em que cada termo é igual ao produto 
do termo anterior por uma constante. Essa constante é chamada de razão da progressão 
geométrica, indicada pela letra q. 
Exemplos: 
a) (5, 15, 45, 135, ...) é uma PG de razão q = 3 
b) (2, -8, 32, -128, 512, ...) é uma PG de razão q = -4 
c) (25, 5, 1, 
5
1
, 
25
1
, ...) é uma PG de razão 
5
1
q
 
d) (3, 30, 300, 3000, 30000, ...) é uma PG de razão q = 10 
e) (6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma PG de razão q = 1 
Na sequência: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
Para descobrirmos a razão q fazemos: 
13
4
2
3
1
2 ...


n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
q
 
Podemos classificar as progressões geométricas como: 
a) Crescente: cada termo da sequência é maior que seu antecessor. Pode-se ter os 
seguintes casos: 
I. 
01 a
 e q > 0 
Exemplo: (2, 6, 18, 54, ...) 
1a
 = 2 e q = 3 
II. 
01 a
 e 0 < q < 0 
Exemplo: (-2, -1, 
2
1

, 
4
1

, ...) 
1a
 = -2, 
2
1
q
 
b) Decrescente: cada termo da sequência é menor que seu antecessor. Pode-se ter os 
seguintes casos: 
I. 
01 a
 e 0 < q < 1 
Exemplo: (20, 10, 5, 
2
5
, 
4
5
, ...) 
1a
 = 20 e 
2
1
q
 
II. 
01 a
 e q > 1 
Exemplo: (-5, -10, -20, -40, -80, ...) 
1a
 = -5 e q = 2 
 
c) Constante: cada termo da sequência é igual ao seu antecessor. Pode-se ter os 
seguintes casos: 
I. q = 1 
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, ...) 
1a
 = 3 e q = 1 
II. 𝑞 = 0 
Exemplo: (0, 0, 0, 0, 0, ...) 
1a
 = 0 e q = 0 
 
d) Alternada: cada termo da sequência é alternadamente positivo e negativo. 
Nesse caso, q < 0. 
 Exemplo: (3, -6, 12, -24, 48, ...) 
1a
 = 3 e q = -2 
 
e) Estacionária: cada termo da sequência a partir do segundo resulta no mesmo valor. 
Exemplo: (8, 0, 0, 0, 0, ...) 
1a
 = 8 e q = 0 
Exemplo: 
Classifique as progressões geométricas a seguir, como crescente, decrescente, constante, 
alternada ou estacionária: 
a) (1, 4, 16, 32, …) 
b) (8, 4, 21, …) 
c) (5, -5, 5, -5, …) 
Resolução: 
Para determinarmos as classificações devemos calcular a razão q e o primeiro termo
1a
. 
a) Para a sequência (1, 4, 16, 64, …) temos 
11 a
 e 
42 a
 
Podemos calcular a razão pela expressão 
13
4
2
3
1
2 ...


n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
q
 
4
1
4
q
 
Temos 
0q
 e 
01 a
, a PG é crescente. 
b) Para a sequência (8, 4, 2, 1, …) temos 
81 a
 e 
42 a
 
Calculando a razão: 
2
1
8
4
1
2 
a
a
q
 
Temos 0 < q < 1 e 
01 a
, a PG é decrescente. 
c) Para a sequência c) (5, -5, 5, -5, …) temos 
51 a
 e 
52 a
 
Podemos calcular a razão pela expressão 
1
5
5
1
2 


a
a
q
 
Temos 
1q
, 
01 a
, a PG é alternada. 
 
3.2 Termo geral da PG 
O temo geral da progressão geométrica vai permitir encontrar qualquer termo de uma 
sequência conhecendo o primeiro termo 
1a
e a razão q da PG. 
Seja uma progressão geométrica de n elementos escritos na forma: 
(a1, a2, a3, a4, a5, …, an) 
qaa .12 
 
2
13123 .)..(. qaaqqaqaa 
 
3
14
2
134 .)..(. qaaqqaqaa 
 
4
15
3
145 .)..(. qaaqqaqaa 
 
…. 
1
11 ..

 
n
nnn qaaqaa
 
De modo geral o termo
na
 que ocupa a n-ésima posição da sequência é representado por: 
1
1.
 nn qaa
 
A equação é conhecida como termo geral da PG 
 
Exemplos: 
1) Determine o décimo termo da sequência (2, 4, 8, 16, …). 
Resolução: 
Sabemos que o primeiro termo é 
1a
=2, n=10 e a razão é: 
2
2
4
1
2 
a
a
q
 
Usando o termo geral da PG 
1
1.
 nn qaa
 
Substituindo n = 10 na equação: 
110
110 .
 qaa
 
9
110 .qaa 
 
Substituindo o 
1a
 e q temos: 
9
10 2.2a
 
10
10 2a
 
102410 a
 
O décimo termo é 1024. 
 
2) Em uma progressão geométrica o nono termo é 768 e o quinto termo é 48. Determine 
o terceiro termo da sequência. 
Resolução: 
Sabemos que o nono termo é
7689 a
, e o quinto termo é 
485 a
. Usando o termo geral 
da PG: 
1
1.
 nn qaa
 
Para o nono termo: n = 9 
19
19 .
 qaa
 
8
19 .qaa 
 
Mas 
7689 a
 
8
1.768 qa
 
Para o quinto termo: n = 5 
15
15 .
 qaa
 
4
15 .qaa 
 
Mas 
485 a
 
4
1.48 qa
 
Temos o sistema: 





4
1
8
1
.48
.768
qa
qa
 
Dividindo a primeira equação pela segunda: 
4
1
8
1
.
.
48
768
qa
qa

 
416 q
 
442 q
 
q=2. 
Vamos calcular o primeiro termo 
1a
. Utilizando a segunda equação do sistema, e 
substituindo o valor da razão, temos: 
4
1.48 qa
 
4
1 2.48 a
 
16.48 1a
 
31 a
 
Para determinar o terceiro termo 
3a
 da sequência, temos n = 3. 
1
1.
 nn qaa
 
13
13 .
 qaa
 
2
13 .qaa 
 
31 a
 e q=2 
2
3 2.3a
 
123 a
 
Resposta: O terceiro termo da PG é 12. 
 
3.3 Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG 
Seja uma progressão geométrica de n elementos, escritos na forma: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
A soma dos n primeiros termos é dada por: 
nnn aaaaaaS  14321 ...
 
Substituindo 
qaa .12 
, 
2
13 .qaa 
, 
3
14 .qaa 
, …,
1
1.
 nn qaa
 
 temos: 
1
1
3
1
2
111 .......
 nn qaqaqaqaaS
 (1) 
Multiplicando a equação 1 pela razão q. 
qqaqaqaqaaqS nn )........(.
1
1
3
1
2
111

 
Distribuindo q 
qqaqqaqqaqqaqaqS nn
1
1
3
1
2
111 ............

 
Simplificando: 
n
n qaqaqaqaqaqS ......... 1
4
1
3
1
2
11 
 (2) 
Subtraindo a equação 2 da equação 1, teremos: 
).......(......... 11
3
1
2
1111
4
1
3
1
2
11
 nnnn qaqaqaqaaqaqaqaqaqaSqS
 
1
1
3
1
2
111
4
1
3
1
2
11 ..............)1.(
 nn qaqaqaqaaqaqaqaqaqS
 
11.)1.( aqaqS
n
n 
 
Multiplicando por (-1) e equação acima: 
n
n qaaqS .)1.( 11 
 
Isolando 
nS
 
q
qa
S
n
n



1
)1(1
 
Essa é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG. 
 
Exemplo: 
Sendo a progressão geométrica dada por (1,3,9,27,…), quantos termos devem ser 
somadospara que a soma resulte em 29 524? 
Resolução: 
Sabemos que 
1a
=1 e 
2a
=3. Vamos determinar a razão q: 
 
3
1
3
1
2 
a
a
q
 
Devemos calcular o número de termos n, usando a fórmula da soma dos n primeiros 
termos de uma PG. Temos que a soma é 
nS
= 29524 
q
qa
S
n
n



1
)1(1
 
Substituindo os termos conhecidos 
31
)31(1
29524



n 
2
31
29524



n 
n31)2.(29524 
 
n3159048 
 
n3159048 
 
n359049 
 
590493 n
 
Fatorando o número 59049 chegamos: 
1033 n
 
Logo temos: 
10n
 
Concluímos que n=10, ou seja, a soma dos dez primeiros termos da sequência resulta em 
29.524. 
 
3.4 Soma dos termos de uma PG infinita 
Seja uma progressão geométrica infinita (a1, a2, a3, a4, a5,…). A soma de seus termos é 
chamada de série geométrica, e podemos classificar a progressão geométrica em relação 
à razão q, como : 
 Convergente , quando1-<q<0, resultando a soma em uma constante numérica. 
 Divergente, quando q≤-1 ou q≥1. À medida em que n aumenta, a soma dos termos 
também aumenta, isto é, diverge. 
Vamos considerar o caso em que a soma é convergente, calculando o limite da soma 
quando n tende ao infinito. 
Considerando S a soma infinita, temos: 
q
qa
SS
n
nnn


 
1
)1(
limlim 1
 
Quando n tende a um valor muito grande, o termo da expressão
0nq
, para-1<q<1, 
logo: 
q
a
S



1
)01(1
 
q
a
S


1
1
 
Esta é a equação da soma de uma PG infinita convergente 
 
Exemplos: 
1) Determine a soma infinita da seguinte sequência (4, 2, 1, 
2
1
,
4
1
, …) 
Resolução: 
Sabemos que o primeiro termo é 
41 a
 
A razão é
2
1
4
2
1
2 
a
a
q
 
Utilizando a formula da soma infinita: 
q
a
S


1
1
 
Substituindo os valos conhecidos: 
8
2
1
1
4


S
 
A soma infinita da progressão geométrica é 8. 
 
2) Determine o valor de variável x na expressão a seguir: 
12...
64164
432

xxx
x
 
Resolução: 
O primeiro termo é 
xa 1
e o segundo é 
4
2
2
x
a 
 
A razão é: 
4
4
2
1
2 x
x
x
a
a
q 
 
Utilizando soma dos termos de uma PG infinita 
 
q
a
S


1
1
 
Substituindo os valores S=12 e
4
x
q 
 , temos: 
4
1
12
x
x


 
4
4
12
x
x


 
x
x





 
4
4
.12
 
  xx 4.3
 
xx 312
 
 
x412 
 
 
3x
 
Resposta: Para que a soma dos termos da PG seja 12, o valor de x é 3. 
 
3) Obtenha a fração geratriz da dizima periódica 0,44444… 
Resolução: 
A soma dos termos é 
X=0,44444… 
Podemos escrever x na forma: 
X=0,4+0,04+0,004+0,0004+0,00004+… 
O primeiro termo é
4,01 a
o segundo termo é 
04,02 a
 
Calculando a razão q: 
1,0
4,0
04,0
1
2 
a
a
q
 
Utilizando a formula da soma infinita da PG: 
q
a
S


1
1
 
Substituindo 
1a
 e q: 
1,01
4,0

S
 
9
4
9,0
4,0
S
 
Resposta: a fração geratriz é 
9
4
 
 
Capítulo II 
Análise Combinatória 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
 
 Neste capítulo, estudaremos uma área da Matemática que trata dos problemas de 
contagem, ou seja, que analisa dados e tenta quantificá-los para avaliar tendências e tomar 
decisões: a Análise Combinatória. 
 Vejamos algumas situações: 
- Objetivando aumentar o número de linhas telefônicas, em alguns estados brasileiros os 
números de telefones celulares passaram de oito para nove algarismos. Quantas linhas 
telefônicas serão criadas a mais com essa alteração? 
- No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e quatro algarismos. 
Qual o número máximo de possibilidades para as placas com essa formatação? 
- De quantas maneiras podemos escolher os seis números da loteria chamada Mega-Sena, 
onde dispomos de uma cartela com números em sequência de 01 a 60? 
 Situações como as apresentadas acima, permitem o estudo do tamanho de uma 
rede telefônica, da frota de automóveis em determinada região e da quantidade de opções 
em um jogo de loteria. 
 O estudo da Análise Combinatória permitirá resolver essas e outras situações em 
diferentes métodos de resoluções. 
 
1. Problemas de contagem 
 
 Vamos estudar, aqui, algumas técnicas para a descrição e contagem de todos os 
casos possíveis de um acontecimento. 
 Observamos a seguinte situação: 
 Para a eleição do Grêmio Estudantil de uma escola, há dois alunos candidatos a 
presidente e três alunos candidatos a vice-presidente. Sabendo que as escolhas de 
presidente e vice-presidente são independentes, quais os possíveis resultados dessa 
eleição? 
 
Candidatos a presidente 



Beatriz
Artur
 
Candidatos a vice-presidente 





Everton
Denise
Cláudio
 
 Uma maneira de analisar essa situação é construindo a árvore das possibilidades, 
representando os possíveis agrupamentos, ou seja, os resultados: 
Presidente Vice-presidente Resultados possíveis 
 
 Cláudio Artur e Cláudio 
Artur Denise Artur e Denise 6 
 Everton Artur e Everton 
resultados 
possíveis 
 Cláudio Beatriz e Cláudio 
Beatriz Denise Beatriz e Denise 
 Everton Beatriz e Everton 
 
 Outro recurso que pode ser utilizado é a construção de uma tabela de dupla 
entrada: 
 
Presidente 
Vice-presidente 
Cláudio Denise Everton 
Artur Artur e Cláudio Artur e Denise Artur e Everton 
Beatriz Beatriz e Cláudio Beatriz e Denise Beatriz e Everton 
 
Conclui-se que é possível obter 6 resultados diferentes: Artur e Cláudio, Artur e Denise, 
Artur e Everton, Beatriz e Cláudio, Beatriz e Denise, Beatriz e Everton. 
 
Vejamos agora, outros exemplos de problemas de contagem: 
 
1) Júlio dispõem de quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e 
vermelha (v) e de três calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas 
maneiras diferentes Júlio pode se vestir usando uma camiseta e uma calça? 
Resolução: 
 
 Construindo a árvore das possibilidades temos: 
 
 
 
Camisetas Calças Resultados possíveis 
 A aA 
a P aP 
 M aM 
 
 A bA 
b P bP 
 M bM 
 12 resultados 
 A cA possíveis 
c P cP 
 M cM 
 
 A vA 
v P vP 
 M vM 
 
 Construindo a tabela: 
Camisetas 
Calças 
Azul (A) Preta (P) Marrom (M) 
Amarela (a) aA aP aM 
Branca (b) bA bP bM 
Cinza (c) cA cP cM 
Vermelha (v) vA vP vM 
 
Também verificamos que há 
1234 
maneiras diferentes de Júlio se vestir. 
 
2) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5, 7 
e 8? Quais são eles? 
Resolução: 
 
Observe que os números devem possuir algarismos distintos, isto é, diferentes. Logo, 
números como 557 ou 788 não podem ser considerados. 
 Podemos resolver este exercício escrevendo todos os números possíveis: 
578 758 857 
587 785 875 
Temos seis resultados possíveis. 
 
 Ou construindo a árvore das possibilidades: 
 
 Algarismo Algarismo Algarismo Números 
das centenas das dezenas das unidades formados 
 
 5 7 8 578 
 8 7 587 
 75 8 758 6 
resultados 
 8 5 785 
possíveis 
 8 5 7 857 
 7 5 875 
 
Concluímos que podemos escrever 6 números distintos: 578, 587, 758, 785, 857 e 875. 
 
3) Lançando-se simultaneamente dois dados comuns, um vermelho e outro preto e 
considerando os números que poderão sair na face superior: 
a) Quais são os resultados possíveis? Quantos são? 
b) Quais são as somas possíveis? Quantas são? 
 
Resolução: 
 
Neste caso é mais conveniente a construção de uma tabela, veja: 
 
 
 
 
 
 
Dado 
vermelho 
Dado preto 
Face 1 Face 2 Face 3 Face 4 Face 5 Face 6 
Face 1 1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4 1 e 5 1 e 6 
Face 2 2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4 2 e 5 2 e 6 
Face 3 3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4 3 e 5 3 e 6 
Face 4 4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4 4 e 5 4 e 6 
Face 5 5 e 1 5 e 2 5 e 3 5 e 4 5 e 5 5 e 6 
Face 6 6 e 1 6 e 2 6 e 3 6 e 4 6 e 5 6 e 6 
 
a) Verificamos, conforme a tabela, que há 
3666 
 resultados possíveis. 
 
b) Considerando que o menor número que pode sair na face superior do dado vermelho é 
1 e na face superior do dado preto também é 1, concluímos que a menor soma possível é 
2 (1+1). De maneira análoga, a maior soma possível é 12 (6+6). 
Portanto, há 11 somas possíveis das faces superiores de dois dados lançados 
simultaneamente: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. 
 
2. Princípio fundamental da contagem 
 
Nos exemplos anteriores, utilizamos diferentes maneiras para descrever todas as 
possibilidades da ocorrência de um evento: árvore das possibilidades, tabela de dupla 
entrada ou simplesmente escrevendo os resultados possíveis. Veremos agora, com o 
princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, essa mesma 
quantidade de possibilidades sem a necessidade de descrevê-las. 
Se um evento ocorrer por diversas etapas sucessivas e independentes, de tal modo 
que: 
C D U 
 
 
p1 é a quantidade de possibilidades da 1ª etapa 
p2 é a quantidade de possibilidades da 2ª etapa 
. 
. 
. 
pn é a quantidade de possibilidades da n-ésima etapa, então p1  p2  ...  pn é a 
quantidade total de possibilidades de o evento ocorrer. 
Vamos retornar ao exemplo 1 dos problemas de contagem: “Júlio dispõem de 
quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e vermelha (v) e de três 
calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas maneiras diferentes Júlio 
pode se vestir usando uma camiseta e uma calça?” 
Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos prontamente que Júlio possui 
12 maneiras diferentes de se vestir, porque poderia escolher qualquer uma das quatro 
camisetas e combinar, com cada camiseta escolhida, qualquer uma das três calças 
 1234 
. 
 
Exemplos: 
 
1) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5: 
 
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? 
Resolução: 
 
Um número de três algarismos possui a forma e o algarismo da casa 
das centenas não pode ser zero. Como o zero não é um dos algarismos citados neste 
exemplo, podemos escolher qualquer um desses cinco algarismos para a casa das 
centenas, cinco para a casa das dezenas e cinco para a casa das unidades. Usando o 
princípio multiplicativo concluímos que: 
Podemos formar 
125555 
 números de três algarismos utilizando os algarismos 1, 2, 
3, 4, e 5. 
 
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 
Resolução: 
UM C D U 
 
 
 
Para formar números com algarismos distintos, sem repetição de algarismos, verificamos 
a quantidade de possibilidades para a primeira opção e o algarismo escolhido não poderá 
ser utilizado nas demais casas. Ou seja: 
 
 
 
 
 cinco quatro três 
 opções opções opções 
 
 
 1 1 1 
 2 2 2 
 3 3 3 
 4 4 4 
 5 5 5 
 
Havia cinco opções para a casa das centenas (1, 2, 3, 4 e 5) e, supondo que 
escolhemos o algarismo 4, agora não podemos escolher este algarismo para as demais 
casas. Restam quatro opções para a casa das dezenas (1, 2, 3, e 5). Se escolhermos, por 
exemplo, o algarismo 2 para a casa das dezenas, restará três opções para a casa das 
unidades (1, 3 e 5). 
Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 
60345 
 números distintos. 
 
2) Com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8: 
a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? 
Resolução: 
 
Um número com quatro algarismos possui a forma e o primeiro 
algarismo não pode ser zero, pois formaria um número de três algarismos. 
 
quatro cinco cinco cinco 
 opções opções opções opções 
 
DM UM C D U 
 
 
 
 
 2 0 0 0 
 4 2 2 2 
 6 4 4 4 
 8 6 6 6 
 8 8 8 
 
Temos quatro opções para a casa das unidades de milhar (2, 4, 6 e 8), cinco opções 
para a casa das centenas (0, 2, 4, 6, e 8), cinco opções para a casa das dezenas (0, 2, 4, 6, 
e 8) e cinco opções para a casa das unidades (0, 2, 4, 6 e 8). 
Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 
5005554 
 números de 
quatro algarismos utilizando 0, 2, 4, 6 e 8. 
 
b) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar? 
Resolução: 
 
Um número com cinco algarismos possui a forma e o 
primeiro algarismo não pode ser zero. Como queremos números distintos, não pode haver 
repetição de algarismos. Temos a seguinte situação: 
 
quatro quatro três duas uma 
opções opções opções opções opção 
 
 
 2 0 0 0 0 
 4 2 2 2 2 
 6 4 4 4 4 
 8 6 6 6 6 
 8 8 8 8 
 
Na casa das dezenas de milhar temos quatro opções (2, 4, 6 e 8). Caso a opção 
seja pelo algarismo 4, este não poderá mais ser escolhido para as outras casas. Na casa 
das unidades de milhar há quatro opções (0, 2, 6 e 8). Supondo que o algarismo 6 tenha 
 
 
sido o escolhido, restaram três opções para a casa das centenas (0, 2 e 8), onde escolhemos 
o algarismo 2. Na casa das dezenas há duas opções (0 e 8), onde escolhemos o algarismo 
0. Restou somente uma opção para a casa das unidades (8). 
Utilizando o princípio multiplicativo 
9612344 
, concluímos que podemos 
formar 96 números de cinco algarismos distintos. 
 
3) No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e quatro algarismos. 
Qual o número máximo de possibilidades para as placas com essa formatação? (Considere 
26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 
 
Resolução: 
 26 26 26 10 10 10 10 
 opções opções opções opções opções opções opções 
 
 
 A A A 0 0 0 0 
 aa a a a a a 
 Z Z Z 9 9 9 9 
 
Considerando que não há nenhuma restrição para a formação das placas, temos 26 
opções para cada uma das três posições ocupadas por letras (A a Z) e 10 opções para cada 
uma das quatro posições ocupadas por algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). 
Utilizando o princípio multiplicativo 
00076017510101010262626 
, 
concluímos que é possível formar 175 760 000 placas de automóveis com essa 
formatação. 
 
4) Para emplacar carros novos, cada estado brasileiro possui uma sequência de letras e 
números definidos. No estado do Paraná, por exemplo, as placas definidas vão da série 
inicial AAA-0001 até a série final BEZ-9999. Sabendo que dentre os quatro algarismos 
ao menos um deles deve ser diferente de zero, qual o número máximo de possibilidades 
para as placas no estado do Paraná? 
 
Resolução: 
 
 
Na formatação das placas podemos utilizar as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos (de 
0 a 9). Para as placas do Paraná elas podem ser do tipo A __ __ - __ __ __ __ ou 
B __ __ - __ __ __ __. 
 
 
(I) Opções de placas iniciando com a letra A: 
 
 1 26 26 10 10 10 10 
 opção opções opções opções opções opções opções 
 
 
 A A A 0 0 0 0 
 a a a a a a 
 Z Z 9 9 9 9 
 
Usando o princípio multiplicativo, temos 
00076061010101026261 
. 
Como não podemos ter as placas com quatro algarismos zero, como AAA-0000, 
AAB-0000, ... , AAZ-000, ABA-0000, ... , AZZ-0000, retiramos 
6762626 
possibilidades. 
Assim, temos 
32475966760007606 
 placas iniciando com A. 
 
(II) Opções de placas iniciando com a letra B: 
 
 1 5 26 10 10 10 10 
 opção opções opções opções opções opções opções 
 
 
 B A A 0 0 0 0 
 a a a a a a 
 E Z 9 9 9 9 
 
Usando o princípio multiplicativo, temos: 
 
 
 R1 
 R2 
 R3 
 R4 
 r1 
 r2 
 r3 
0003001101010102651  
Como ao menos um algarismo deve ser diferente de zero, retiramos as 
possibilidades de placas terminadas em 0000, que totalizam 
130265 
 placas. 
Assim, temos 
87029911300003001 
placas iniciadas com a letra B. 
 
Somando (I) e (II), concluímos que há 
194059887029913247596 
 placas 
possíveis para o estado do Paraná. 
 
5) Existem 4 ruas ligando os bairros A e B e 3 ruas ligando os bairros B e C. De quantos 
modos diferentes é possível ir do bairro A até o bairro C, passando por B? 
Resolução: 
Esquematicamente, temos: 
 
 
A B C 
 
 
Fixando uma das ruas que ligam A e B e variando as ruas que ligam B e C, visualizamos 
que há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando por B: 
 
 r1 
R1 r2 
 r3 
 r1 
R2 r2 
 r3 
 r1 
R3 r2 
 r3 
 r1 
R4 r2 
 r3 
 
Pelo princípio multiplicativo também verificamos as doze possibilidades: 
1234 
 
Logo, há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando pelo bairro B. 
 
6) Quantos anagramas da palavra FAEL: 
a) Começam com L? 
b) Não terminam com consoantes? 
 
Resolução: 
a) Anagramas são as alterações possíveis na sequência de letras de uma palavra. Que 
começam com L, podemos ter LFAE, LFEA, dentre outras. Esquematicamente, temos: 
 
 uma três duas uma 
opção opções opções opção 
 
 
 L F F F 
 A A A 
 E E E 
 L L L 
Pelo princípio multiplicativo, temos 
61231 
 anagramas que começam com a letra L. 
 
b) Para determinar os anagramas que não terminam com consoantes, temos duas opções 
para última letra (A ou E). 
 
 uma duas três duas 
opção opções opções opções 
 
 
 F F F A 
 A A A E 
 E E E 
 L L L 
 
 
 
Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos que há 
122321  
anagramas da palavra FAEL que não terminam com consoantes. 
 
 
3. Fatorial 
 
 Nos problemas de análise combinatória, é comum aparecer multiplicações cujos 
fatores são números naturais consecutivos, como: 
4.3.2.1
 
5.4.3.2.1
 
6.5.4.3.2.1
 
 Para facilitar essa escrita, utilizamos um símbolo chamado fatorial, representado 
por ! (um ponto de exclamação). 
 Define-se fatorial por: 
 “Seja n um número inteiro maior que 1, n fatorial ou fatorial de n é o produto dos 
n números naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!.” 
 n! (Lê-se: n fatorial ou fatorial de n) 
 
,123...)3()2()1(!  nnnnn
sendo 
Nn
e 
1n
 
 ou 
 
)!1(!  nnn
 
 
Exemplos: 
212!2 
 
6123!3 
 
241234!4 
 
12012345!5 
 
720123456!6 
 
 
Note que a propriedade 
)!1(!  nnn
 deve ser conservada em todos os casos. 
Sendo assim: 
 
(I) Para 
2n
: 





!11
)2(!1212
)!12(2!2
)!1(!
pormembrososambosdividindo
nnn
 
1! = 1 
 
 
(II) Para 
1n
: 
!01!1
)!11(1!1
)!1(!


 nnn
 
Para que essa igualdade seja verdadeira, define-se 
1!0 
. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o valor de: 
 
a) 
!3!5
!7

 
Resolução: 
40
126
5040
12312345
1234567
!3!5
!7





 
 
b) 
!5!6
!6!8


 
Resolução: 
5
342
5
6336
)16(!5
)6678(!5
!5)!56(
)!56()!5678(
!5!6
!6!8











 
 
2) Simplifique a expressão 
)!1(
)!2(


n
n
: 
Resolução: 
2
)!1(
)!1()2(
)!1(
)!2(






n
n
nn
n
n
 
 
3) Resolva a equação 
)!2(15)!3()!4(  yyy
. 
Resolução: 
 
 0
)1,!(8
0
0)8(
08
1531243
15)3()3()4(
:0)!2(
)!2(15)3()3()4()!2(
)!2(15)!2()3()!2()3()4(
)!2(15)!3()!4(
2
1
2
2











S
neNnnempoissatisfaznãoy
y
yy
yy
yyyy
yyyypormembrososambosDividindo
yyyyy
yyyyyy
yyy
 
 
4) Resolva a equação 
24)!3( n
. 
Resolução: 
 7
7
43
!4)!3(
1234)!3(
24)!3(






S
n
n
n
n
n
 
 
 
4. Arranjos simples 
 
 Começaremos a estudar problemas de contagem onde há a necessidade de 
organizar ou agrupar os elementos de um conjunto. 
Vamos considerar os seguintes exemplos: 
 
a) Com os algarismos 3, 5, 7 e 8, vamos formar todos os números possíveis de dois 
algarismos distintos: 
 
Resolução: 
 
Como os algarismos devem ser distintos, vamos construir a árvore das possibilidades: 
 
Primeira posição Segunda posição Números formados 
 5 35 
3 7 37 
 8 38 
 
 3 53 
5 7 57 
 8 58 12 números 
 formados 
 3 73 
7 5 75 
 8 78 
 
 3 83 
8 5 85 
 7 87 
 
Neste exemplo, 4 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 a 2. 
Observamos que os números formados diferem entre si pela posição que ocupam: 
35 e 53, por exemplo. Isto é, a ordem dos elementos interfere nos números formados. 
Cada número obtido dessa maneira é denominado arranjo simples dos 4 
elementos tomados 2 a 2. 
Indicamos esses arranjos por 
2,4A
 ou 
2
4A
. 
 
b) Cinco alunos, Júlia, Marcos, Davi, Luana e Eduardo disputam votos para 
representantes de turma, onde o primeiro colocado será eleito para representante e o 
segundo colocado será eleito para suplente de turma. Sabendo que as escolhas de 
representante e suplente são independentes, quais são as possibilidades para os dois 
primeiros lugares? 
 
Resolução: 
 
Construindo a árvore de possibilidades, temos: 
 
 
Representante Suplente Resultados possíveis 
 (Representante / Suplente) 
 Marcos Júlia / Marcos 
Júlia Davi Júlia / Davi 
 Luana Júlia / Luana 
 Eduardo Júlia / Eduardo 
 
 Júlia Marcos / Júlia 
Marcos Davi Marcos / Davi 
 Luana Marcos / Luana 
 Eduardo Marcos / Eduardo 
 
 Júlia Davi / Júlia 
Davi Marcos Davi / Marcos 20 
resultados 
 Luana Davi / Luana possíveis 
 Eduardo Davi / Eduardo 
 
 Júlia Luana / Júlia 
Luana Marcos Luana / Marcos 
 Davi Luana / Davi 
 Eduardo Luana / Eduardo 
 
 Júlia Eduardo / Júlia 
Eduardo Marcos Eduardo / Marcos 
 Davi Eduardo / Davi 
 Luana Eduardo / Luana 
 
Neste exemplo, 5 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 a 2. 
Também observamos que a ordem dos elementos interfere no resultado: Júlia para 
represente e Davi para suplente difere de Davi para representante e Júlia para suplente. 
Cada resultado assim obtido é denominado arranjo simples dos 5 elementos 
tomados 2 a 2, ou seja, 
2,5A
 ou 
2
5A
. 
Nesses dois exemplos, temos o que chamamos de arranjos simples. 
 
Sendo C um conjunto com n elementos e 
np 
, com n, p 
*N
, definimos: 
Arranjo simples de n elementos de C, tomados p a p, é toda sequência de p 
elementos 
A quantidade de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p, indica-
se por 
p
npn AouA ,
. 
Organizaremos uma tabela para calcular 
pnA ,
: 
Escolha do: Número de possibilidades: 
primeiro elemento (qualquer elemento de um 
conjunto) 
n 
segundo elemento, após a escolha do primeiro n – 1 
terceiro elemento, após a escolha do primeiro e 
do segundo 
n – 2 
. . . 
p-ésimo elemento, após a escolha dos anteriores 
(1º, 2º, ..., (p – 1) elementos 
n – (p – 1) ou n – p + 1 
 
Portanto, pelo princípio multiplicativo, tem-se que: 
)1()3()2()1(,  pnnnnnA pn 
 
 Note que a fórmula de An,p pode ser descrita por meio de fatoriais, ou seja, é o 
produto de p fatores decrescentes em uma unidade a partir de n. Exemplos: 
 
12012345)
1202345)
60345)
2045)
5)
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5





Ae
Ad
Ac
Ab
Aa
 
 No exemplo c, onde 
3453,5 A
, multiplicando o segundo membro dessa 
igualdade por 
!2
!2
, que é igual a 1, temos: 
)!25(
!5
!2
!5
!2
12
345
!2
!2
3453,5



A
 
Usando o mesmo raciocínio para 
pnA ,
, temos: 
 
)1()3()2()1(,  pnnnnnA pn 
 
Multiplicando o segundo membro por 
)!(
)!(
pn
pn


, temos: 
)!(
123)1()(
)1()3()2()1(
)!(
)!(
)1()3()2()1(
,
,
pn
pnpn
pnnnnnA
pn
pn
pnnnnnA
pn
pn









 
Assim, concluímos que arranjos simples de n elementos, tomados p a p, podem ser 
calculados por: 
)!(
!
,
pn
n
A pn


 
Exemplos: 
 
1) Calcule: 
 
a) 
4,7A
 
Resolução: 
840
4567
!3
!34567
)!47(
!7
)!(
!
4,7
4,7
4,7
4,7
,








A
A
A
A
pn
n
A pn
 
 
b) 
1,72,9
3,64,8
AA
AA

 
Resolução: 
13
360
65
1800
772
1201680
789
4565678
!6
!67
!7
!789
!3
!3456
!4
!45678
)!17(
!7
)!29(
!9
)!36(
!6
)!48(
!8
1,72,9
3,64,8























AA
AA
 
2) Quantos pares ordenados com elementos distintos podemos formar com as letras a, b, 
c, d, e, f e g? 
Resolução: 
 
Considerando dois pares ordenados quaisquer, observa-se que a ordem dos elementos 
altera o par ordenado, exemplo 
   abba ,, 
. Trata-se, então, de um problema de arranjo 
simples. 
Temos que arranjar sete letras tomadas duas a duas, ou seja, 
2,7A
. 
42
!5
!567
)!27(
!7
2,7 



A
 
Logo, podemos formar 42 pares ordenados. 
 
3) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 
a 9? 
Resolução: 
 
Alterando a ordem dos algarismos, observa-se que altera o número formado. Observe, 
por exemplo, 
21341234 
. 
Temos, portanto, um problema de arranjo simples, de 9 elementos tomados 4 a 4. 
3024
!5
!56789
)!49(
!9
4,9 



A
 
Podemos formar 3024 números com os algarismos 1 a 9. 
 
4) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os dez primeiros 
números naturais? 
Resolução: 
 
Como no exemplo anterior, a ordem dos elementos altera o número formado. Temos um 
problema de arranjo simples. 
Primeiramente, arranjamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são os dez primeiros números 
naturais, tomados 4 a 4: 
5040
!6
!678910
)!410(
!10
4,10 



A
 
Para um número possuir quatro algarismos, o zero não deve ocupar a primeira posição. 
Sendo assim, devemos retirar as possibilidades em que isso ocorre. Fixando o zero na 
primeira posição, restam 9 algarismos para serem arranjados, tomados 3 a 3. 
504
!6
!6789
)!39(
!9
3,9 



A
 
453650450403,94,10  AA
 
Logo, podemos formar 4536 números. 
 
5) Resolva a equação 
722, xA
. 
Resolução: 
 
Vamos lembrar que todo 
pnA ,
 , deve ter 
pn 
(condição de existência). 
 9
.9,2
98
072
72
72
)!2(
)!2()1(
72
)!2(
!
72
2
21
2
2
2,










S
equaçãoasatisfazxsomentexComo
xex
xx
xx
x
xxx
x
x
Ax
 
 
6) Resolva a equação 
2,3, 16 xx AA 
. 
Resolução: 
 18
18
162
)1()1(16)2()1(
)!2(
)!2()1(
16
)!3(
)!3()2()1(
)!2(
!
16
)!3(
!
16 2,3,













S
x
x
membrososambosxxpordividindoxxxxx
x
xxx
x
xxxx
x
x
x
x
AA xx
 
 
5. Permutação simples 
 
Seja C um conjunto com n elementos, definimos: 
 Permutação simples dos n elementos é qualquer agrupamento ordenado 
(sequência) de n elementos distintos de C. 
Indica-se a permutação simples de n elementos por Pn. 
Lê-se: permutação simples de n elementos. 
 A permutação de n elementos, é um caso particular de arranjo, quando n = p, ou 
seja, um arranjo simples de n elementos, tomados n a n. Assim, temos: 






1
!
!0
!
)!(
!
,
n
P
n
P
nn
n
P
AP
n
n
n
nnn
 
 
!nPn 
 
 Como 
1)2()1(!  nnnn
, o número de permutações de n elementos pode 
ser: 
1)2()1(  nnnPn
 
 
Exemplos: 
 
1) Quantos anagramas possui a palavra LIVRO? 
Resolução: 
Cada anagrama é uma permutação simples das letras L, I, V, R, O. 
Sendo assim: 
12012345!5! 555  PPPnPn
 
A palavra LIVRO possui 120 anagramas. 
 
2) Usando os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de quatro algarismos distintos 
podemos formar? 
Resolução: 
Basta permutar os quatro algarismos: 2, 4, 6 e 8. 
241234!44 P
 
Logo, podemos formar 24 números. 
 
3) Com a palavra VIAGEM, podemos formar: 
 
a) Quantos anagramas? 
Resolução: 
O total de anagramas é obtido através da permutação das seis letras da palavra VIAGEM, 
ou seja: 
720123456!66 P
 anagramas. 
 
b) Quantos anagramas que iniciam com a letra V? 
Resolução: 
Fixando a letra V na primeira posição, podemos permutar as demais cinco letras (I, A, G, 
E, M). Ou seja: 
_V_ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
12012345!55 P
 anagramas que iniciam com a letra V. 
 
c) Quantos anagramas que iniciam com consoante? 
Resolução: 
 
Analogamente ao exercício anterior, observamos que há P5 para cada consoante: 
_V_ ____ ____ ____ ____ ____ 
_G_ ____ ____ ____ ____ ____ 
_M_ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
Como são três consoantes, temos 3.P5 anagramas: 
360123453!533 5 P
 
 
d) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal? 
Resolução: 
Para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última posição, temos P4 
anagramas, totalizando 3.3.P4 anagramas que iniciam com consoante e terminam em 
vogal: 
______ ______ ______ ______ ______ ______ 
 
consoante P4 anagramas vogal 
 
Assim, 
216123433!43333 4  P
 anagramas. 
 
4) Permutando os algarismos do número 1234 e colocando-os em ordem crescente, qual 
é a posição ocupada pelo número 4312? 
Resolução: 
Colocamos as permutações obtidas pelos 4 algarismos em ordem crescente: 
 
Números iniciados com 1: _1_ ____ ____ ____ 
6!33 P
 
Números iniciados com 2: _2_ ____ ____ ____ 
6!33 P
 
Números iniciados com 3: _3_ ____ ____ ____ 
6!33 P
 22 elementos 
Números iniciados com 4 e 1: _4_ _1_ ____ ____ 
2!22 P
 
Números iniciados com 4 e 2: _4_ _2_ ____ ____ 
2!22 P
 
Números iniciados com 4 e 3: _4_ _3_ __1_ __2_ 23º 
 
Observamos que há 22 elementos precedendo o número 4312. Logo, ele pertence à 23ª 
posição. 
 
5) Calcular 
3
4
32
25 3
5
23
P
P
PP
PP
y 



. 
Resolução: 
103
1291
6
72
610
4360
!3
!43
!3!25
!22!53
3
5
23
3
4
32
25















y
y
y
y
P
P
PP
PP
y
 
 
6. Combinação simples 
 
 Para definir combinação simples vamos analisar duas situações: 
a) No hexágono abaixo, cujos vértices são A, B, C, D, E e F, quantos segmentos podemos 
traçar com extremidades em dois desses seis pontos? 
 
 Escolhendo o vértice A como uma das extremidades, a outra extremidade pode 
ser B, C, D, E ou F. Temos então, cinco possibilidades de segmentos para cada um dos 
seis vértices escolhidos. Veja: 
 
AB, AC, AD, AE, AF, 
BA, BC, BD, BE, BF, 
CA, CB, CD, CE, CF, 
DA, DB, DC, DE, DF, 
EA, EB, EC, ED, EF, 
FA, FB, FC, FD, FE. 
Como 
3065 
, obtemos 30 segmentos. No entanto, observe que AB = BA, ou 
seja, representam o mesmo segmento pois a ordem das extremidades não os diferencia. 
Isto significa que contamos em dobro a quantidade de segmentos obtidos. 
Sendo assim, a quantidade de segmentos traçados com extremidade em dois 
desses pontos será: 
15
2
65


 
Esse cálculo também pode ser obtido pelo arranjo simples de seis elementos 
tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações simples de dois elementos: 
15
2
56
!2
!4
!6
!2
)!26(
!6
2
2,6





P
A 
 
b) Sandra, Marta, Joana, Cecília e Ana participam de uma escola de dança. Três delas 
serão escolhidas para representar a escola em um evento. Quantos grupos com três 
dançarinas podem ser formados? 
 
Escolhendo três das cinco dançarinas, vamos formar todos os grupos possíveis: 
Sandra – Marta – Joana Sandra – Cecília – Ana 
Sandra – Marta – Cecília Marta – Joana – Cecília 
Sandra – Marta – Ana Marta – Joana – Ana 
Sandra – Joana – Cecília Marta – Cecília – Ana 
Sandra – Joana – Ana Joana – Cecília - Ana 
Podemos formar dez grupos com três das cinco dançarinas. 
 
Observe que a ordem da escolha das dançarinas não interefere no grupo formado. 
O grupo formado por Sandra – Marta – Joana é igual ao grupo formado por Joana – Sandra 
– Marta. 
Nesses dois exemplos, vimos casos em que a ordem dos elementos não altera o 
agrupamento formado. Esse tipo de agrupamento recebe o nome de combinação simples. 
 
 Combinação simples de n elementos distintos, tomados p a p (
np 
), é todo 
agrupamento formado por p elementos distintos escolhidos dentre os n elementos dados, 
de modo que a mudança da ordem dos elementos não modifique o agrupamento. 
 
Notação: 
p
npn CouC ,
 
Lê-se: Combinação simples de n elementos tomados p a p. 
 
No exemplo a, vimos que o cálculo da quantidade de segmentos traçados com 
extremidade em dois vértices do hexágono, poderia ser obtido pelo arranjo simples de 
seis elementos tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações simples de 
dois elementos. Esse mesmo raciocínio pode ser utilizado para obter a fórmula para 
cálculo do número de combinações simples. Veja: 
 
)!(!
!
!
)!(
!
,
,
pnp
n
p
pn
n
P
A
C
p
pn
pn




 
Logo, 
 
)!(!
!
,
pnp
n
C pn


 
 
Casos particulares: 
 
I) Se 
*Nn
 e p = 0, temos: 
1
!
!
!1
!
)!0(!0
!
0, 




n
n
n
n
n
n
Cn
 
Um conjunto com n elementos possui um único subconjunto com zero elementos, que é 
o vazio. 
 
II) Se n = p = 0, temos: 
1
!0
!0
)!00(!0
!0
0,0 

C
 
Um conjunto com zero elementos possui um único subconjunto com zero elementos, que 
é o vazio. 
 
Exemplos: 
 
1) Quantas comissões com cinco elementos podemos formar numa classe de vinte alunos?Resolução: 
Chamando os cinco alunos de A, B, C, D e E, temos que 
   EDCABEDCBA ,,,,,,,, 
, ou seja, a ordem dos cinco alunos escolhidos não 
interfere na comissão formada. 
Assim, têm-se um problema de combinação simples de 20 elementos, tomados 
cinco a cinco. 
50415
12345
1617181920
!15!5
!151617181920
)!520(!5
!20
)!(!
!
5,20
5,20
5,20
5,20
,










C
C
C
C
pnp
n
C pn
 
 
Logo, podemos formar 15 504 comissões. 
 
2) Sabendo que não existem três pontos alinhados em um plano, quantos triângulos 
podemos formar com 12 pontos desse plano? 
 
Resolução: 
Para formar triângulos, precisamos de três pontos não alinhados em um plano. Sendo A, 
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, os pontos do plano, verifica-se que o 
BACABC 
 ou 
que o 
FEDDEF 
, ou seja, a ordem dos pontos não altera o triângulo formado. Temos 
então, um problema de combinação de 12 elementos, tomados 3 a 3. 
 
220
6
1320
!923
!9101112
!9!3
!12
)!312(!3
!12
3,12 




C
 
Logo, podemos formar 220 triângulos. 
 
3) Uma escola possui 5 professores de português e 6 de matemática. Quantos grupos com 
2 professores de português e 3 professores de matemática podemos formar? 
 
Resolução: 
Considerando os grupos com 2 professores de português como C5,2 e os grupos com 3 
professores de matemática como C6,3, têm-se pelo princípio fundamental da contagem 
que o total de grupos é: 
2002010
!323
!3456
!32
!345
!3!3
!6
!3!2
!5
)!36(!3
!6
)!25(!2
!5
3,62,5











CC 
Podemos formar 200 grupos. 
 
4) Em uma empresa há quatro diretores e cinco gerentes. Quantas comissões de cinco 
pessoas podem ser formadas contendo no mínimo um diretor? 
 
Resolução: 
Devemos combinar 9 pessoas (4 diretores + 5 gerentes) tomados 5 a 5: 
126
!5234
!56789
)!59(!5
!9
5,9 




C
 
No entanto, as comissões devem conter no mínimo um diretor. Sendo assim, devemos 
retirar as opções em que apenas os cinco gerentes participam: 
1
!0!5
!5
)!55(!5
!5
5,5 

C
 
Assim: 
12511265,55,9  CC
 
Podem ser formadas 125 comissões. 
 
5) Calcule: 
 
a) 
2,43,10
4,20
CC
C

 
42
1615
126
4845
6120
4845
4
234
!723
!78910
!16234
!1617181920
!2!2
!4
!7!3
!10
!16!4
!20
)!24(!2
!4
)!310(!3
!10
)!420(!4
!20
2,43,10
4,20


















 CC
C
 
 
b) 
5
8
3
7
2
12 CCC 
 
Observação: 
pn
p
n CC ,
 
 
Resolução: 
45563566
!3!5
!5678
!423
!4567
!102
!101112
)!58(!5
!8
)!37(!3
!7
)!212(!2
!12
5
8
3
7
2
12















 CCC
 
 
 6) Determine n nas equações: 
 
a) 
281,2,  nn CC
 
Condição de existência: 
.2log,12  nonen
 
Resolução: 
 7
,2
87
056
2
56
2
2
28
2
28
)!1(
)!1(
)!2(2
)!2()1(
28
)!1(!1
!
)!2(!2
!
28
21
2
2
2
1,2,



















S
nComo
nen
nn
nnn
n
nn
n
nn
n
nnn
n
n
n
n
CC nn
 
 
b) 
05 4,23,  nn CC
 
Condição de existência: 
3n
 
Resolução: 
 14,3
143
04217
402023
)2(20)1()2(
)1()2(
4
1
)2(5
)1()1()2(
24
1
)2()1(
6
5
0
)!2(
)!2()1()1()2(
24
1
)!3(
)!3()2()1(
6
5
0
)!42(!4
)!2(
)!3(!3
!
5
05
21
2
2
4,23,




















 
S
noun
nn
nnn
nnn
nnn
nnnnnnn
n
nnnnn
n
nnnn
n
n
n
n
CC nn
 
 
 
c) 
3,14,2   nn AC
 
Resolução: 
22
242
)!2(
)!1(
)!2(24
)!1()2(
)!2(
)!1(
)!2(24
)!2(
)!31(
)!1(
)!42(!4
)!2(
3,14,2

















 
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
AC nn
 
 
7) A quina no jogo da Loto é obtida com o acerto de cinco números, entre 1 e 80. Se o 
jogador fez um palpite simples (cinco números), de quantas maneiras é possível montar 
uma quina? 
 
Resolução: 
Observe que a ordem dos números não altera a formação da quina. Temos, portanto, um 
problema de combinação de 80 elementos tomados 5 a 5. 
01604024
!752345
!757677787980
)!580(!5
!80
5,80 




C
 
Logo, há 13 847 049 216 maneiras de montar uma quina. 
 
 
7. Arranjo com repetição 
 
Estudamos até o momento, arranjos simples, onde não há repetição de elementos. 
Vejamos agora o que acontece quando temos arranjos que consideram a repetição de 
elementos. 
Notação: (AR)n,p 
Leitura: Arranjo com repetição de n elementos, tomados p a p. 
 
Consideremos duas situações: 
 
I) Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 
1, 3, 5 e 7? 
Resolução: 
Como a ordem dos elementos altera o número formado, devemos calcular o arranjo de 4 
algarismos tomados 2 a 2. 
12
!2
!4
)!24(
!4
2,4 

A
 
Logo, podemos formar 12 números. 
 
II) Quantos números de dois algarismos podemos formar usando os algarismos 1, 3, 5 e 
7? 
Resolução: 
Observe que agora não há a obrigatoriedade dos algarismos serem distintos, ou seja, os 
números 11, 33, 55 e 77 também são considerados. 
Essa situação pode ser representada da seguinte maneira: 
 quatro quatro 
 opções opções 
 
 
 1 1 
 3 3 
 5 5 
 7 7 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, podemos formar 
16444 2 
 números de 
dois algarismos. 
De um modo geral, para calcular o arranjo de n elementos, considerando a 
repetição desses elementos, obtemos: 
p
pn nAR ,)(
 
Exemplos: 
 
1) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os seis primeiros números 
naturais diferentes de zero? 
 
Resolução: 
 
Os seis primeiros números naturais diferentes de zero são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Como a ordem 
dos elementos altera o número formado, observe como exemplo que 
21341234 
, temos 
um problema de arranjo. 
Não há a obrigatoriedade de utilizar elementos distintos. Temos, portanto, um problema 
de arranjo com repetição de 6 elementos, tomados 4 a 4. 
12966)( 44,6 AR
 
Assim, podemos formar 1296 números. 
 
2) Um concurso público dispõem de 50 questões objetivas, com cinco alternativas 
diferentes para cada questão (a, b, c, d, e). De quantas formas diferentes podemos 
responder a essas 50 questões? 
 
Resolução: 
Observe que a ordem dos elementos altera o resultado e que pode ocorrer repetição das 
alternativas. Temos, portanto, um arranjo com repetição. 
 
Assim, temos 550 formas diferentes para responder a essas 50 questões. 
 
8. Permutação com elementos repetidos

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