Fundamentos de Matemática Elementar II

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Fundamentos de Matemática Elementar II 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
Rogério Mazur 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Revisão 
Maria Eugênia de Carvalho e Silva 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
Licenciada em Matemática e pós-graduada em Ensino da Matemática pela Universidade 
Tuiuti do Paraná – UTP. Atuou como professora de matemática de séries iniciais, finais 
e ensino médio. Atualmente, é professora de matemática das séries finais da Prefeitura 
Municipal de Curitiba e professora de Fundamentos de Matemática elementar II e 
Geometria analítica da FAEL – Faculdade educacional da Lapa. 
 
Rogério Mazur 
Técnico em eletrônica pelo Centro Tecnológico Industrial – CTI. Bacharel em Física pela 
Universidade Federal do Paraná – UFPR. Licenciado em Matemática pelo Centro 
Universitário Claretiano de Batatais. Especialista em ensino da matemática pela 
Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR. Mestre em Física pela 
Universidade de São Paulo – USP. Atualmente é professor da Universidade Tuiuti do 
Paraná – UTP e da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. Tem 
experiência na área de Física, atuando principalmente em sistema dinâmico não linear. 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
 
Introdução .............................. 
 
I – Progressões ................................................. 
1. Sequências numéricas ........................................ 
2. Progressões aritméticas .............................. 
3. Progressões geométricas .................................. 
II - Análise Combinatória ................................. 
1. Problemas de contagem ................................... 
2. Princípio fundamental da contagem .............................. 
3. Fatorial ................. 
4. Arranjos simples ..................................... 
5. Permutação simples 
6. Combinação simples ................................. 
7. Arranjo com repetição ................................... 
8. Permutação com elementos repetidos ........................ 
9. Números binomiais ...................................... 
10. Binômio de Newton .................................... 
III - Números Complexos ......................................... 
1. Introdução e histórico ..................................... 
2. Forma algébrica de um número complexo 
3. Plano de Argand-Gauss .................................... 
4. O conjunto C 
5. Igualdade de números complexos 
6. Conjugado de um número complexo 
7. Adição e subtração de números complexos na forma algébrica 
8. Multiplicação de números complexos na forma algébrica 
9. Divisão de números complexos 
10. Potências de i 
11. Módulo e argumento de um número complexo 
12. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos 
13. Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica 
14. Potenciação de números complexos na forma trigonométrica 
15. Radiciação de números complexos na forma trigonométrica 
IV – Polinômios 
1. Definição 
2. Grau de um polinômio 
3. Valor numérico de um polinômio 
4. Polinômio nulo 
5. Polinômios idênticos 
6. Adição subtração e multiplicação de polinômios 
7. Divisão de polinômios 
8. Divisão de um polinômio por um binômio de forma ax+b 
9. Divisão de um polinômio por um binômio de forma
x
 
10. Divisão de um polinômio por 
))((   xx
 
11. Dispositivo de Briot-Ruffini 
V – Equações polinomiais 
1. Definição de equação polinomial 
2. Raiz ou zero da equação 
3. Teorema fundamental da Álgebra 
4. Teorema da decomposição 
5. Raízes nulas 
6. Raízes complexas 
7. Relações de Girard 
8. Raízes racionais 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Ensinar matemática não tem sido uma tarefa fácil. Várias são as causas dessa 
dificuldade. Podemos citar a defasagem de conteúdos com que os alunos chegam às séries 
finais do ensino fundamental, estendendo esse problema até o ensino médio e até mesmo 
ao ensino superior. 
Para sanar esse problema, uma estratégia eficaz é o professor planejar suas aulas 
utilizando artifícios diferentes para o ensino de um mesmo conteúdo. E essa estratégia 
somente é possível quando o professor possui domínio sobre o conteúdo trabalhado, 
sabendo planejar, desenvolver e avaliar suas aulas. 
Este livro é o resultado de um trabalho coletivo de professores motivados pelo 
desejo de produzir uma obra com uma linguagem clara e acessível. Apresenta uma 
proposta simples e de fácil compreensão, incentivando o interesse, a leitura e a aquisição 
dos conceitos matemáticos. 
No desenvolvimento teórico, os conteúdos são explicados por meio de exemplos 
comentados que fazem parte do cotidiano dos alunos. 
A obra se inicia com o tema Progressões, no qual são estudadas as sequências, as 
progressões aritméticas e as progressões geométricas. Esses conteúdos têm grande 
importância na vida prática. A vibração das cordas de um instrumento musical, por 
exemplo, produz uma frequência que forma uma sequência numérica. Os juros simples 
se associam a uma progressão aritmética e os juros compostos a uma progressão 
geométrica. 
O capítulo II trata da análise combinatória, que é uma área da matemática criada 
para o estudo de problemas de contagem, utilizando técnicas para a descrição e contagem 
de todos os casos possíveis de um acontecimento. Esses problemas estão ligados, 
justamente, às primeiras atividades matemáticas do homem, pela necessidade de contar 
objetos de um conjunto, como as ovelhas de um rebanho. A Análise Combinatória, em 
outras palavras, analisa dados e tenta quantificá-los para avaliar tendências e tomar 
decisões. 
Uma importante aplicação da análise combinatória está no desenvolvimento de 
nax )( 
, o binômio de Newton, que foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton. 
Esse estudo veio para complementar o estudo dos produtos notáveis. Esse 
desenvolvimento seria inviável para grandes expoentes, sem o estudo do binômio de 
Newton. 
O capítulo III traz os números complexos, que foram desenvolvidos por vários 
matemáticos, uma construção que durou quase trezentos anos, devido à necessidade de 
calcular raízes quadradas de números negativos. O estudo dos números complexos 
permite resolver inúmeras questões no ramo da eletrônica, mecânica, eletricidade, 
engenharia aeronáutica, geometria, dentre outros. Uma aplicação indispensável dos 
números complexos é na Transformação de Joukowski, que possibilita aos engenheiros 
aeronáuticos a realização de estudos sobre aerofólios e suas influências na força de 
sustentação das aeronaves. 
No capítulo IV e V temos os polinômios e as equações polinomiais, 
respectivamente, que são importantes por modelarem grande parte dos problemas do 
mundo real. Os polinômios formam um conjunto de conceitos importante tanto na álgebra 
quanto na geometria, especialmente no cálculo de valores desconhecidos. Os polinômios 
surgiram no século III a.C. com o matemático Arquimedes de Siracusa. Os polinômios 
têm uma vasta aplicação nas ciências em geral. Se não houvesse polinômios, muito 
provavelmente não poderíamos utilizar CDs, por exemplo. Os polinômios são a base do 
código que faz com que os dados, de música ou computador, sejam escritos em CDs, os 
códigos corretores de erro, que fazem com que os dados sejam transmitidos corretamente. 
Entre os séculos XII e XVI os matemáticos resolviam equações de 3º e 4º graus 
utilizando fórmulas de resolução extremamente trabalhosas. Durante aproximadamente 
250 anos, os matemáticos tentaram encontrar fórmulas para resolver equaçõesde grau 
superior a quatro, sem êxito. Em 1797, Gauss demonstrou que toda equação de grau n 
possui n raízes, mas não provou como obter essas raízes. Após anos de estudos, os 
matemáticos concluíram que não existem fórmulas para resolver equações de grau 
superior a quatro, mas sim métodos. Nos capítulos de equações polinomiais e equações 
algébricas, conheceremos alguns métodos criados por matemáticos para resolver algumas 
equações de qualquer grau. 
Espera-se que o licenciando em matemática conceda uma atenção especial para a 
formação dos conceitos matemáticos envolvidos, explorando e problematizando os 
conhecimentos adquiridos sob uma perspectiva compreensiva, histórico-cultural, 
multidimensional e didático-pedagógica. 
 Com isso, espera-se que o aluno compreenda a importância de estudar os 
conteúdos aqui tratados. 
Bons estudos! 
 
 
 
 
Capítulo I 
 Progressões 
Rogério Mazur 
 
1-Sequência numérica 
 
Realizando um levantamento das sedes das Olimpíadas de verão desde 1992 até 2016. 
Temos: 
 Barcelona, Espanha (1992) 
 Atlanta, Estados Unidos (1996) 
 Sydney, Austrália (2000) 
 Atenas, Grécia (2004) 
 Pequim, China (2008) 
 Londres, Reino Unido (2012) 
 Rio de Janeiro, Brasil (2016) 
A natureza dessa situação nos mostra a necessidade de ordenação dessas sedes olímpicas, 
formando uma sequência ou sucessão das informações. 
Podemos encontrar situações que exigem a ordenação de elementos no nosso dia a dia, 
como exemplo: 
 Sequência de chegada dos corredores da maratona de São Silvestre; 
 Sequência de nomes de candidatos aprovados em um concurso; 
 Sequência de partida dos ônibus da rodoviária. 
Consideremos agora a sequência de números: 
(2, 4, 6, 8, 10, 12, …) 
Os parênteses representam um conjunto de números colocados em uma certa ordem. Nele, 
o primeiro termo é o número 2, o segundo o número 4, o terceiro termo o número 6 e 
assim por diante. 
Convencionaremos representar o primeiro termo de uma sequência por a1, o segundo 
termo por a2, o terceiro termo a3 e assim por diante, 
Logo, nesta sequência, temos: 
primeiro termo: a1 = 2; 
segundo termo: a2 = 4; 
terceiro termo: a3 = 6; 
quarto termo: a4 = 8; 
Para representar o termo da sequência de n elementos usaremos an. 
Dessa maneira a sequência de n elementos é escrita da forma: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
Se a sequência apresenta um último termo ela é finita, caso contrário ela é dita infinita. 
(10, 20, 30, 40, 50, 60) é uma sequência finita. 
(15, 20, 25, 30, 35, …) é uma sequência infinita. 
 
1.1 Lei da formação dos elementos de uma sequência 
Consideremos a seguinte sequência de números. 
 (1, 4, 9, 16, 25, 36, …) 
a1 = 1 
a2 = 4 
a3 = 9 
a4 = 16 
an = n
2 
A expressão an = n
2 é chamada de lei de formação dos termos ou termo geral da 
sequência, os valores de n são o conjunto dos números naturais não nulos N*. Com ela, 
podemos calcular quanquer termo da sequência, por exemplo, o décimo termo é: 
 a10 = 10
2 = 100. 
Exemplos: 
1) Determine os seis primeiros termos da sequência definida por 
1.2  nan
 para n = 1, 
2, 3, …: 
Resolução: 
1.2  nan
 
311.21 1  an
 
512.22 2  an
 
713.23 3  an
 
914.24 4  an
 
1115.25 5  an
 
1316.26 6  an
 
Logo, a sequência procurada é (3, 5, 7, 9, 11, 13). 
2) Uma sequência é formada pela lei de formação 
415  nan
. Determine a posição na 
sequência do número 19. 
Resolução: 
Temos a lei de formação: 
415  nan
, 
19na
 e desejamos calcular a posição n. 
Substituindo teremos: 
41519  n
 
Isolando n, 
n54119 
 
n560 
 
12n
 
Resposta: a posição do número 19 é 
12n
. 
3) Considere a sequência numérica definida por 
1003  nan 
a) Determine os cinco primeiros termos da sequência. 
b) Determine a ordem do termo 10. 
c) Verifique se o termo 21 pertence à sequência. 
Resolução: 
a) Vamos determinar os cinco primeiros termos: 
A lei de formação dos termos é 1003  nan . Vamos atribuir os valores de n 
na equação: 
1003  nan 
971001.31 1  an
 
941002.32 2  an
 
911003.33 3  an
 
881004.34 4  an
 
851005.35 5  an 
Resposta: os cinco primeiros termos são (97, 94, 91, 88, 85, …) 
b) Vamos determinar a ordem do termo 10. 
Sabemos: 10na 
Queremos determinar n: 
Usando a lei da formação 
1003  nan 
Substituindo os valores de na 
100310  n 
n310010  
n390  
30n 
Resposta: a ordem do termo 10 é n = 30. 
c) Vamos verificar se 21 pertence à sequência. 
Usando a lei da formação 1003  nan ,vamos determinar a ordem do termo 
21. 
Substituindo 21na 
100321  n 
n310021  
n379  
3
79
n 
333,26n 
Resposta: Chegamos a um valor de n que não é um inteiro, logo o número 21 não 
pertence à sequência. 
 
 
1.2 Lei da recorrência 
Outra maneira de determinarmos os elementos da sequência é encontrar um termo 
qualquer da sequência a partir do termo anterior. 
Exemplos: 
1) Vamos construir a sequência definida pelas relações: 
101 a
 
21  nn aa
, para todo n ≥ 1 
Atribuindo valores para n, temos: 
Para n = 1: 
122102 22111  aaaa
 
Para n = 2: 
142122 33212  aaaa
 
Para n = 3: 
162142 44313  aaaa
 
Para n = 4: 
182162 55414  aaaa
 
Notamos que para calcular o termo a2 precisamos do anterior a1. Para calcular o a3, 
precisamos do a2 e assim por diante. 
A sequência desejada é (12, 14, 16, 18, …) 
2) Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por 





 nn aa
a
3
10
1
1
 
 Resolução: 
O primeiro termo é 
101 a
 
Para n = 1, temos o segundo termo: 
nn aa 31 
 
naa 311 
 
30)10.(32 a
 
Para n = 2, temos o terceiro termo: 
nn aa 31 
 
212 3aa 
 
90)30.(33 a
 
Para n = 3, temos o quarto termo: 
nn aa 31 
 
313 3aa 
 
270)90.(34 a
 
Para n = 4, temos o quinto termo: 
nn aa 31 
 
414 3aa 
 
810)270.(35 a
 
A sequência é (
1a
, 
2a
, 
3a
, 
4a
, …) 
Resposta: a sequência desejada é (-10, -30, -90, -270, -810, …) 
 
2- Progressões aritméticas (PA) 
Considere a seguinte sequência: 
(3, 8, 13, 18, 23, …) 
Observe que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é sempre igual a 5. 
8 – 3 = 5; 
13 – 8 = 5; 
18 – 13 = 5; 
23 – 18 = 5; 
2.1 Definição 
Progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo 
qualquer e o seu antecessor é sempre constante. 
Essa constante é chamada de razão da progressão aritmética, representada por r. 
Na sequência abaixo temos: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
12312 ...  nn aaaaaar
 
Exemplos de Progressão Aritmética: 
a) (7, 12, 17, 22, 27) é uma PA, de razão 5 e 
71 a
 
b) (6, 6, 6, 6, …) é uma PA, de razão 0 e 𝑎1 = 6 61 a 
c) (-20, -10, 0, 10, 20, 30, …) é uma PA, de razão 10 e 𝑎1 = −20 201 a 
d) (20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ...) é uma PA, de razão -3 e 𝑎1 = 20 201 a 
e) 






...,
2
7
,3,
2
5
,2,
2
3
,1
é uma PA, de razão 
1
2
 e 
11 a
 
2.2 Classificação da progressão aritmética 
Considere uma PA e a razão r entre os termos. 
I. Quando a razão r > 0, cada termo é maior que seu anterior, então dizemos que a 
PA é crescente. 
II. Quando a razão r < 0, cada termo é menor que seu anterior, então dizemos que a 
PA é decrescente. 
III. Quando arazão r = 0, cada termo é igual ao seu anterior, então dizemos que a 
PA é constante. 
Exemplos: 
1) Classifique as progressões aritméticas em crescente, decrescente ou constante, 
identificando a razão de cada uma. 
a) (-5, -3, 1, 3, 5, …) 
b) (4, 4, 4, 4, 4, …) 
c) (20, 15, 10, 5, 0, -5, …) 
d) (12, 16, 20, 24, 28, …) 
Resolução: 
Vamos calcular a razão das PA usando a equação 
12 aar  
a) Na PA (-5, -3, 1, 3, 5, …) temos 
51 a
, 
32 a
 
253)5(312  aar 
Temos 0r , logo a PA é crescente. 
b) Na PA (4, 4, 4, 4, 4, …) temos 
41 a
, 
42 a
 
04412  aar 
Temos 0r , logo a PA é constante. 
c) Na PA (20, 15, 10, 5, 0, -5, …) temos 
201 a
, 
152 a
 
5201512  aar 
Temos 0r , logo a PA é decrescente. 
e) Na PA (12, 16, 20, 24, 28, …) temos 
121 a
, 
162 a
 
4121612  aar 
Temos 0r , logo a PA é crescente. 
 
2.3 - Termo geral da Progressão Aritmética 
A representação matemática para os seguintes termos da PA é: 
raa  12 
raraa 2123 
 
raraa 3134 
 
raraa 4145 
 
Podemos observar que o termo 
na
, que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado 
por: 
rnaan ).1(1 
 
Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma PA e permite calcular 
qualquer termo da sequência, a partir de a1 e r, sem precisar determinar todos os termos. 
Por exemplo: 
raa 14115  
raa .19120  
raa .991100 
 
 
Exemplos: 
1) Determine o 15° termo da sequência (6, 11, 16, 21, 26,…): 
Resolução: 
O primeiro termo da sequência é 
61 a
 
Razão
561112  aar
 
Para o 15° termo
15n
 
Utilizando a fórmula do termo geral temos: 
rnaan ).1(1  
5).115(615 a 
7615 a
 
Resposta: o 15° termo da sequência é 76. 
 
2) Determine a PA cujo décimo termo é 28 e o sexto termo é 16. 
Resolução: 
Sabemos 
2810 a e 166 a 
Utilizando a fórmula do termo geral temos: 
rnaan ).1(1  
raa ).110(110  
ra .928 1  
raa ).16(16  
ra .516 1  
Temos o sistema: 





ra
ra
.516
.928
1
1
 
Resolvendo o sistema, chegamos a 𝑟 = 3 𝑒 𝑎1 = 1 
Logo a sequência é: (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …) 
 
 
3) Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 351? 
Resolução: 
Sabemos que o primeiro múltiplo de cinco maior que 23 é 25 , logo
251 a
 
O último múltiplo de cinco menor que 351 é 350, logo 
350na
 
Queremos determinar o número de termos n, e sabemos que a razão é cinco. 
Utilizando o termo geral da PA: 
rnaan ).1(1  
5).1(25350  n
 
Resolvendo a equação chegamos a n=66 termos, logo, existem 66 múltiplos de cinco 
entre 23 e351. 
 
4) Determine a PA em que 3663  aa e 
3071  aa 
Resolução: 
Utilizando o termo geral da PA: 
rnaan ).1(1  
raa ).13(13  
raa .213  
raa ).15(15  
raa .415  
raa ).16(16  
raa .516 
 
Substituindo 𝑎3 e 𝑎5 temos: 
3663  aa
 
36.5.2 11  rara 
36.72 1  ra
 
Substituindo 𝑎1 e 𝑎7 temos: 
3071  aa 
30.611  raa
 
30.62 1  ra
 
Chegamos ao sistema: 





30.62
36.72
1
1
ra
ra 
Resolvendo o sistema, temos 
6r
e 
31 a
 
Logo, a PA desejada é: 
(-3,3,9,15,21,27,33,39,…) 
 
5) Milena decidiu que irá caminhar todos os dias e, a cada semana, vai caminhar 500 
metros a mais por dia do que na caminhada da semana anterior. Sabendo que na primeira 
semana ela andou 1500 metros por dia, quanto ela vai caminhar por dia na décima 
semana? 
Resolução: 
Toda semana ela anda 500 metros a mais, a razão da PA é r = 500. 
Na primeira semana ela andou 1500 metros logo, 
15001 a
 
Queremos saber quanto ela andou na décima semana então n = 10. 
Utilizando o termo geral da PA: 
rnaan ).1(1  
Substituindo os valores conhecidos temos: 
500).110(150010 a 
5009150010 a 
4500150010 a 
600010 a 
Portanto, na décima semana, Milena vai caminhar 6000 metros por dia. 
 
 
2.4 - Soma dos n primeiros termos de uma PA 
O alemão Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi um dos grandes matemáticos de 
todos os tempos, fez contribuições nos campos da matemática, física e filosofia. Gauss 
sempre teve muita facilidade com matemática. Conta-se que, aos 10 anos, ele tinha um 
professor que não aceitava conversas paralelas e brincadeiras em sala de aula. Um dia o 
professor decidiu dar-lhes uma atividade que deveria envolvê-los por algum tempo sem 
perturbá-lo. O professor pediu aos seus alunos para somar todos os números de 1 a 100, 
sabendo que a atividade tomaria um longo tempo dos alunos para realização dos cálculos. 
Em poucos minutos, Gauss concluiu a atividade, chegando à resposta de 5050. O 
professor conferiu o resultado e chegou a conclusão de que estava correto. O que Gauss 
tinha percebido é que existia um padrão que se repetia na soma. Se somarmos o primeiro 
termo com o último resulta em 101 e se somarmos o segundo com o penúltimo também 
resulta em 101, e assim sucessivamente. 
1011001  aa
 
101992  aa
 
101983  aa
 
… 
101298  aa
 
1011100  aa
 
Notamos que a primeira dessas igualdades é igual à última, ou seja, cada igualdade 
aparece duas vezes. Assim, a soma dos cem primeiros termos dessa sequência pode ser 
dada por: 
1011002 S
 
5050
2
101100


S
 
Notamos que 100 é o numero de termos e 101 é a soma do primeiro termo com o 
último. 
Generalizando para uma PA de n termos, temos: 
n
aa
S nn .
2
)( 1  
Equação da soma de n termos da PA. 
 
Exemplos: 
1) Determine a soma dos 10 primeiros termos da PA. (2, 4, 6, 8, …) 
Resolução: 
Temos: 
Primeiro termo 
21 a
 
Razão 
2r
 
10n
 
Calculando o décimo termo, temos: 
rnaan ).1(1 
 
2).110(210 a
 
2010 a
 
Utilizando a equação da soma dos termos: 
n
aa
S n .
2
)( 1 
 
10.
2
)202(
10

S 
11010 S
 
Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA é 110. 
 
2) Determine o valor de x na equação: 
1 + 3 + 5 + … + x = 100 
Notamos que a soma dos termos é 𝑆𝑛 = 100 
100nS
 
Os termos formam uma PA. Onde o primeiro termo é 
11 a
, 
xan 
e a razão é r = 2. 
Calculando o número de termos na PA. 
rnaan ).1(1  
2).1(1  nx 
12  nx
 
2
1

x
n
 
Usando a equação da soma dos termos da PA: 
n
aa
S n .
2
)( 1  
n
x
.
2
)1(
100


 
nx).1(200 
 
Substituindo n encontrado anteriormente 
2
1
).1(200


x
x
 
Aplicando a propriedade distributiva: 
2)1(400 x 
Efetuando e isolando x: 
2119  xoux
 
Observamos, na sequência dada, que x é um número positivo. Portanto, o valor de x na 
equação é 19. 
 
3) Em uma indústria de automóveis, a produção mensal é de 300 carros, mas a nova meta 
é produzir 40 carros a mais do que o mês anterior. Nessas condições, qual será a produção 
de automóveis daqui a um ano? 
Resolução: 
No primeiro mês temos a produção de
1a
 =300 automóveis e a razão é r=40. Em um ano 
serão 12 meses, n=12. Desejamos calcular a quantidade de automóveis produzidos nesses 
12 meses ou seja, a soma da produção dos 12 meses, 12S . 
Calculando a produção no 12º mês 
12a
 
Usando o fórmula do termo geral: 
rnaan ).1(1  
Substituindo os termos conhecidos: 
raa ).112(112  
40).11(30012 a 
44030012 a 
74012 a
 
Calculando a soma dos 12 meses
12S
 
Usando a equação da soma da PA: 
naa
S nn .
2
)( 1 
 
Substituindo n = 12: 
12.
2
)( 121
12
aa
S

 
Substituindo 
74012 a
 e 
1a
 = 300 
12.
2
)740300(
12

S 
12S
 6240 
Resposta: a produção em um ano será de 6240 automóveis. 
 
3) Calcular a soma dos 60 primeiros termos de uma PA em que 
1a
 = -30 e r = 4. 
Resolução: 
Usando o fórmula do termo geral para achar qual é o termor de ordem 60, n = 60: 
rnaan ).1(1  
raa ).160(160  
raa ).59(160  
Substituindo os termos conhecidos: 
4).59(3060 a 
2363060 a 
20660 a
 
Usando a equação da soma da PA: 
n
aa
S nn .
2
)( 1  
Substituindo
1a
 =-30 e 
20660 a
 
n
aa
S nn .
2
)( 1  
60.
2
)20630(
60

S
 
528060 S
 
Resposta: A soma dos 60 primeiros termos da PA é 5280.
 
 
 
 
3 - Progressões Geométricas (PG) 
Considere a seguinte sequência numérica: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) 
Notamos que existe um padrão entre os termos da sequência e cada termo é sempre o 
dobro do anterior. 
 
3.1 Definição 
Progressão Geométrica é a sequência de números em que cada termo é igual ao produto 
do termo anterior por uma constante. Essa constante é chamada de razão da progressão 
geométrica, indicada pela letra q. 
Exemplos: 
a) (5, 15, 45, 135, ...) é uma PG de razão q = 3 
b) (2, -8, 32, -128, 512, ...) é uma PG de razão q = -4 
c) (25, 5, 1, 
5
1
, 
25
1
, ...) é uma PG de razão 
5
1
q
 
d) (3, 30, 300, 3000, 30000, ...) é uma PG de razão q = 10 
e) (6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma PG de razão q = 1 
Na sequência: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
Para descobrirmos a razão q fazemos: 
13
4
2
3
1
2 ...


n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
q
 
Podemos classificar as progressões geométricas como: 
a) Crescente: cada termo da sequência é maior que seu antecessor. Pode-se ter os 
seguintes casos: 
I. 
01 a
 e q > 0 
Exemplo: (2, 6, 18, 54, ...) 
1a
 = 2 e q = 3 
II. 
01 a
 e 0 < q < 0 
Exemplo: (-2, -1, 
2
1

, 
4
1

, ...) 
1a
 = -2, 
2
1
q
 
b) Decrescente: cada termo da sequência é menor que seu antecessor. Pode-se ter os 
seguintes casos: 
I. 
01 a
 e 0 < q < 1 
Exemplo: (20, 10, 5, 
2
5
, 
4
5
, ...) 
1a
 = 20 e 
2
1
q
 
II. 
01 a
 e q > 1 
Exemplo: (-5, -10, -20, -40, -80, ...) 
1a
 = -5 e q = 2 
 
c) Constante: cada termo da sequência é igual ao seu antecessor. Pode-se ter os 
seguintes casos: 
I. q = 1 
Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, ...) 
1a
 = 3 e q = 1 
II. 𝑞 = 0 
Exemplo: (0, 0, 0, 0, 0, ...) 
1a
 = 0 e q = 0 
 
d) Alternada: cada termo da sequência é alternadamente positivo e negativo. 
Nesse caso, q < 0. 
 Exemplo: (3, -6, 12, -24, 48, ...) 
1a
 = 3 e q = -2 
 
e) Estacionária: cada termo da sequência a partir do segundo resulta no mesmo valor. 
Exemplo: (8, 0, 0, 0, 0, ...) 
1a
 = 8 e q = 0 
Exemplo: 
Classifique as progressões geométricas a seguir, como crescente, decrescente, constante, 
alternada ou estacionária: 
a) (1, 4, 16, 32, …) 
b) (8, 4, 21, …) 
c) (5, -5, 5, -5, …) 
Resolução: 
Para determinarmos as classificações devemos calcular a razão q e o primeiro termo
1a
. 
a) Para a sequência (1, 4, 16, 64, …) temos 
11 a
 e 
42 a
 
Podemos calcular a razão pela expressão 
13
4
2
3
1
2 ...


n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
q
 
4
1
4
q
 
Temos 
0q
 e 
01 a
, a PG é crescente. 
b) Para a sequência (8, 4, 2, 1, …) temos 
81 a
 e 
42 a
 
Calculando a razão: 
2
1
8
4
1
2 
a
a
q
 
Temos 0 < q < 1 e 
01 a
, a PG é decrescente. 
c) Para a sequência c) (5, -5, 5, -5, …) temos 
51 a
 e 
52 a
 
Podemos calcular a razão pela expressão 
1
5
5
1
2 


a
a
q
 
Temos 
1q
, 
01 a
, a PG é alternada. 
 
3.2 Termo geral da PG 
O temo geral da progressão geométrica vai permitir encontrar qualquer termo de uma 
sequência conhecendo o primeiro termo 
1a
e a razão q da PG. 
Seja uma progressão geométrica de n elementos escritos na forma: 
(a1, a2, a3, a4, a5, …, an) 
qaa .12 
 
2
13123 .)..(. qaaqqaqaa 
 
3
14
2
134 .)..(. qaaqqaqaa 
 
4
15
3
145 .)..(. qaaqqaqaa 
 
…. 
1
11 ..

 
n
nnn qaaqaa
 
De modo geral o termo
na
 que ocupa a n-ésima posição da sequência é representado por: 
1
1.
 nn qaa
 
A equação é conhecida como termo geral da PG 
 
Exemplos: 
1) Determine o décimo termo da sequência (2, 4, 8, 16, …). 
Resolução: 
Sabemos que o primeiro termo é 
1a
=2, n=10 e a razão é: 
2
2
4
1
2 
a
a
q
 
Usando o termo geral da PG 
1
1.
 nn qaa
 
Substituindo n = 10 na equação: 
110
110 .
 qaa
 
9
110 .qaa 
 
Substituindo o 
1a
 e q temos: 
9
10 2.2a
 
10
10 2a
 
102410 a
 
O décimo termo é 1024. 
 
2) Em uma progressão geométrica o nono termo é 768 e o quinto termo é 48. Determine 
o terceiro termo da sequência. 
Resolução: 
Sabemos que o nono termo é
7689 a
, e o quinto termo é 
485 a
. Usando o termo geral 
da PG: 
1
1.
 nn qaa
 
Para o nono termo: n = 9 
19
19 .
 qaa
 
8
19 .qaa 
 
Mas 
7689 a
 
8
1.768 qa
 
Para o quinto termo: n = 5 
15
15 .
 qaa
 
4
15 .qaa 
 
Mas 
485 a
 
4
1.48 qa
 
Temos o sistema: 





4
1
8
1
.48
.768
qa
qa
 
Dividindo a primeira equação pela segunda: 
4
1
8
1
.
.
48
768
qa
qa

 
416 q
 
442 q
 
q=2. 
Vamos calcular o primeiro termo 
1a
. Utilizando a segunda equação do sistema, e 
substituindo o valor da razão, temos: 
4
1.48 qa
 
4
1 2.48 a
 
16.48 1a
 
31 a
 
Para determinar o terceiro termo 
3a
 da sequência, temos n = 3. 
1
1.
 nn qaa
 
13
13 .
 qaa
 
2
13 .qaa 
 
31 a
 e q=2 
2
3 2.3a
 
123 a
 
Resposta: O terceiro termo da PG é 12. 
 
3.3 Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG 
Seja uma progressão geométrica de n elementos, escritos na forma: 
(a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 
A soma dos n primeiros termos é dada por: 
nnn aaaaaaS  14321 ...
 
Substituindo 
qaa .12 
, 
2
13 .qaa 
, 
3
14 .qaa 
, …,
1
1.
 nn qaa
 
 temos: 
1
1
3
1
2
111 .......
 nn qaqaqaqaaS
 (1) 
Multiplicando a equação 1 pela razão q. 
qqaqaqaqaaqS nn )........(.
1
1
3
1
2
111

 
Distribuindo q 
qqaqqaqqaqqaqaqS nn
1
1
3
1
2
111 ............

 
Simplificando: 
n
n qaqaqaqaqaqS ......... 1
4
1
3
1
2
11 
 (2) 
Subtraindo a equação 2 da equação 1, teremos: 
).......(......... 11
3
1
2
1111
4
1
3
1
2
11
 nnnn qaqaqaqaaqaqaqaqaqaSqS
 
1
1
3
1
2
111
4
1
3
1
2
11 ..............)1.(
 nn qaqaqaqaaqaqaqaqaqS
 
11.)1.( aqaqS
n
n 
 
Multiplicando por (-1) e equação acima: 
n
n qaaqS .)1.( 11 
 
Isolando 
nS
 
q
qa
S
n
n



1
)1(1
 
Essa é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG. 
 
Exemplo: 
Sendo a progressão geométrica dada por (1,3,9,27,…), quantos termos devem ser 
somadospara que a soma resulte em 29 524? 
Resolução: 
Sabemos que 
1a
=1 e 
2a
=3. Vamos determinar a razão q: 
 
3
1
3
1
2 
a
a
q
 
Devemos calcular o número de termos n, usando a fórmula da soma dos n primeiros 
termos de uma PG. Temos que a soma é 
nS
= 29524 
q
qa
S
n
n



1
)1(1
 
Substituindo os termos conhecidos 
31
)31(1
29524



n 
2
31
29524



n 
n31)2.(29524 
 
n3159048 
 
n3159048 
 
n359049 
 
590493 n
 
Fatorando o número 59049 chegamos: 
1033 n
 
Logo temos: 
10n
 
Concluímos que n=10, ou seja, a soma dos dez primeiros termos da sequência resulta em 
29.524. 
 
3.4 Soma dos termos de uma PG infinita 
Seja uma progressão geométrica infinita (a1, a2, a3, a4, a5,…). A soma de seus termos é 
chamada de série geométrica, e podemos classificar a progressão geométrica em relação 
à razão q, como : 
 Convergente , quando1-<q<0, resultando a soma em uma constante numérica. 
 Divergente, quando q≤-1 ou q≥1. À medida em que n aumenta, a soma dos termos 
também aumenta, isto é, diverge. 
Vamos considerar o caso em que a soma é convergente, calculando o limite da soma 
quando n tende ao infinito. 
Considerando S a soma infinita, temos: 
q
qa
SS
n
nnn


 
1
)1(
limlim 1
 
Quando n tende a um valor muito grande, o termo da expressão
0nq
, para-1<q<1, 
logo: 
q
a
S



1
)01(1
 
q
a
S


1
1
 
Esta é a equação da soma de uma PG infinita convergente 
 
Exemplos: 
1) Determine a soma infinita da seguinte sequência (4, 2, 1, 
2
1
,
4
1
, …) 
Resolução: 
Sabemos que o primeiro termo é 
41 a
 
A razão é
2
1
4
2
1
2 
a
a
q
 
Utilizando a formula da soma infinita: 
q
a
S


1
1
 
Substituindo os valos conhecidos: 
8
2
1
1
4


S
 
A soma infinita da progressão geométrica é 8. 
 
2) Determine o valor de variável x na expressão a seguir: 
12...
64164
432

xxx
x
 
Resolução: 
O primeiro termo é 
xa 1
e o segundo é 
4
2
2
x
a 
 
A razão é: 
4
4
2
1
2 x
x
x
a
a
q 
 
Utilizando soma dos termos de uma PG infinita 
 
q
a
S


1
1
 
Substituindo os valores S=12 e
4
x
q 
 , temos: 
4
1
12
x
x


 
4
4
12
x
x


 
x
x





 
4
4
.12
 
  xx 4.3
 
xx 312
 
 
x412 
 
 
3x
 
Resposta: Para que a soma dos termos da PG seja 12, o valor de x é 3. 
 
3) Obtenha a fração geratriz da dizima periódica 0,44444… 
Resolução: 
A soma dos termos é 
X=0,44444… 
Podemos escrever x na forma: 
X=0,4+0,04+0,004+0,0004+0,00004+… 
O primeiro termo é
4,01 a
o segundo termo é 
04,02 a
 
Calculando a razão q: 
1,0
4,0
04,0
1
2 
a
a
q
 
Utilizando a formula da soma infinita da PG: 
q
a
S


1
1
 
Substituindo 
1a
 e q: 
1,01
4,0

S
 
9
4
9,0
4,0
S
 
Resposta: a fração geratriz é 
9
4
 
 
Capítulo II 
Análise Combinatória 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
 
 Neste capítulo, estudaremos uma área da Matemática que trata dos problemas de 
contagem, ou seja, que analisa dados e tenta quantificá-los para avaliar tendências e tomar 
decisões: a Análise Combinatória. 
 Vejamos algumas situações: 
- Objetivando aumentar o número de linhas telefônicas, em alguns estados brasileiros os 
números de telefones celulares passaram de oito para nove algarismos. Quantas linhas 
telefônicas serão criadas a mais com essa alteração? 
- No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e quatro algarismos. 
Qual o número máximo de possibilidades para as placas com essa formatação? 
- De quantas maneiras podemos escolher os seis números da loteria chamada Mega-Sena, 
onde dispomos de uma cartela com números em sequência de 01 a 60? 
 Situações como as apresentadas acima, permitem o estudo do tamanho de uma 
rede telefônica, da frota de automóveis em determinada região e da quantidade de opções 
em um jogo de loteria. 
 O estudo da Análise Combinatória permitirá resolver essas e outras situações em 
diferentes métodos de resoluções. 
 
1. Problemas de contagem 
 
 Vamos estudar, aqui, algumas técnicas para a descrição e contagem de todos os 
casos possíveis de um acontecimento. 
 Observamos a seguinte situação: 
 Para a eleição do Grêmio Estudantil de uma escola, há dois alunos candidatos a 
presidente e três alunos candidatos a vice-presidente. Sabendo que as escolhas de 
presidente e vice-presidente são independentes, quais os possíveis resultados dessa 
eleição? 
 
Candidatos a presidente 



Beatriz
Artur
 
Candidatos a vice-presidente 





Everton
Denise
Cláudio
 
 Uma maneira de analisar essa situação é construindo a árvore das possibilidades, 
representando os possíveis agrupamentos, ou seja, os resultados: 
Presidente Vice-presidente Resultados possíveis 
 
 Cláudio Artur e Cláudio 
Artur Denise Artur e Denise 6 
 Everton Artur e Everton 
resultados 
possíveis 
 Cláudio Beatriz e Cláudio 
Beatriz Denise Beatriz e Denise 
 Everton Beatriz e Everton 
 
 Outro recurso que pode ser utilizado é a construção de uma tabela de dupla 
entrada: 
 
Presidente 
Vice-presidente 
Cláudio Denise Everton 
Artur Artur e Cláudio Artur e Denise Artur e Everton 
Beatriz Beatriz e Cláudio Beatriz e Denise Beatriz e Everton 
 
Conclui-se que é possível obter 6 resultados diferentes: Artur e Cláudio, Artur e Denise, 
Artur e Everton, Beatriz e Cláudio, Beatriz e Denise, Beatriz e Everton. 
 
Vejamos agora, outros exemplos de problemas de contagem: 
 
1) Júlio dispõem de quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e 
vermelha (v) e de três calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas 
maneiras diferentes Júlio pode se vestir usando uma camiseta e uma calça? 
Resolução: 
 
 Construindo a árvore das possibilidades temos: 
 
 
 
Camisetas Calças Resultados possíveis 
 A aA 
a P aP 
 M aM 
 
 A bA 
b P bP 
 M bM 
 12 resultados 
 A cA possíveis 
c P cP 
 M cM 
 
 A vA 
v P vP 
 M vM 
 
 Construindo a tabela: 
Camisetas 
Calças 
Azul (A) Preta (P) Marrom (M) 
Amarela (a) aA aP aM 
Branca (b) bA bP bM 
Cinza (c) cA cP cM 
Vermelha (v) vA vP vM 
 
Também verificamos que há 
1234 
maneiras diferentes de Júlio se vestir. 
 
2) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5, 7 
e 8? Quais são eles? 
Resolução: 
 
Observe que os números devem possuir algarismos distintos, isto é, diferentes. Logo, 
números como 557 ou 788 não podem ser considerados. 
 Podemos resolver este exercício escrevendo todos os números possíveis: 
578 758 857 
587 785 875 
Temos seis resultados possíveis. 
 
 Ou construindo a árvore das possibilidades: 
 
 Algarismo Algarismo Algarismo Números 
das centenas das dezenas das unidades formados 
 
 5 7 8 578 
 8 7 587 
 75 8 758 6 
resultados 
 8 5 785 
possíveis 
 8 5 7 857 
 7 5 875 
 
Concluímos que podemos escrever 6 números distintos: 578, 587, 758, 785, 857 e 875. 
 
3) Lançando-se simultaneamente dois dados comuns, um vermelho e outro preto e 
considerando os números que poderão sair na face superior: 
a) Quais são os resultados possíveis? Quantos são? 
b) Quais são as somas possíveis? Quantas são? 
 
Resolução: 
 
Neste caso é mais conveniente a construção de uma tabela, veja: 
 
 
 
 
 
 
Dado 
vermelho 
Dado preto 
Face 1 Face 2 Face 3 Face 4 Face 5 Face 6 
Face 1 1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4 1 e 5 1 e 6 
Face 2 2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4 2 e 5 2 e 6 
Face 3 3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4 3 e 5 3 e 6 
Face 4 4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4 4 e 5 4 e 6 
Face 5 5 e 1 5 e 2 5 e 3 5 e 4 5 e 5 5 e 6 
Face 6 6 e 1 6 e 2 6 e 3 6 e 4 6 e 5 6 e 6 
 
a) Verificamos, conforme a tabela, que há 
3666 
 resultados possíveis. 
 
b) Considerando que o menor número que pode sair na face superior do dado vermelho é 
1 e na face superior do dado preto também é 1, concluímos que a menor soma possível é 
2 (1+1). De maneira análoga, a maior soma possível é 12 (6+6). 
Portanto, há 11 somas possíveis das faces superiores de dois dados lançados 
simultaneamente: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. 
 
2. Princípio fundamental da contagem 
 
Nos exemplos anteriores, utilizamos diferentes maneiras para descrever todas as 
possibilidades da ocorrência de um evento: árvore das possibilidades, tabela de dupla 
entrada ou simplesmente escrevendo os resultados possíveis. Veremos agora, com o 
princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, essa mesma 
quantidade de possibilidades sem a necessidade de descrevê-las. 
Se um evento ocorrer por diversas etapas sucessivas e independentes, de tal modo 
que: 
C D U 
 
 
p1 é a quantidade de possibilidades da 1ª etapa 
p2 é a quantidade de possibilidades da 2ª etapa 
. 
. 
. 
pn é a quantidade de possibilidades da n-ésima etapa, então p1  p2  ...  pn é a 
quantidade total de possibilidades de o evento ocorrer. 
Vamos retornar ao exemplo 1 dos problemas de contagem: “Júlio dispõem de 
quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e vermelha (v) e de três 
calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas maneiras diferentes Júlio 
pode se vestir usando uma camiseta e uma calça?” 
Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos prontamente que Júlio possui 
12 maneiras diferentes de se vestir, porque poderia escolher qualquer uma das quatro 
camisetas e combinar, com cada camiseta escolhida, qualquer uma das três calças 
 1234 
. 
 
Exemplos: 
 
1) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5: 
 
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? 
Resolução: 
 
Um número de três algarismos possui a forma e o algarismo da casa 
das centenas não pode ser zero. Como o zero não é um dos algarismos citados neste 
exemplo, podemos escolher qualquer um desses cinco algarismos para a casa das 
centenas, cinco para a casa das dezenas e cinco para a casa das unidades. Usando o 
princípio multiplicativo concluímos que: 
Podemos formar 
125555 
 números de três algarismos utilizando os algarismos 1, 2, 
3, 4, e 5. 
 
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? 
Resolução: 
UM C D U 
 
 
 
Para formar números com algarismos distintos, sem repetição de algarismos, verificamos 
a quantidade de possibilidades para a primeira opção e o algarismo escolhido não poderá 
ser utilizado nas demais casas. Ou seja: 
 
 
 
 
 cinco quatro três 
 opções opções opções 
 
 
 1 1 1 
 2 2 2 
 3 3 3 
 4 4 4 
 5 5 5 
 
Havia cinco opções para a casa das centenas (1, 2, 3, 4 e 5) e, supondo que 
escolhemos o algarismo 4, agora não podemos escolher este algarismo para as demais 
casas. Restam quatro opções para a casa das dezenas (1, 2, 3, e 5). Se escolhermos, por 
exemplo, o algarismo 2 para a casa das dezenas, restará três opções para a casa das 
unidades (1, 3 e 5). 
Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 
60345 
 números distintos. 
 
2) Com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8: 
a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? 
Resolução: 
 
Um número com quatro algarismos possui a forma e o primeiro 
algarismo não pode ser zero, pois formaria um número de três algarismos. 
 
quatro cinco cinco cinco 
 opções opções opções opções 
 
DM UM C D U 
 
 
 
 
 2 0 0 0 
 4 2 2 2 
 6 4 4 4 
 8 6 6 6 
 8 8 8 
 
Temos quatro opções para a casa das unidades de milhar (2, 4, 6 e 8), cinco opções 
para a casa das centenas (0, 2, 4, 6, e 8), cinco opções para a casa das dezenas (0, 2, 4, 6, 
e 8) e cinco opções para a casa das unidades (0, 2, 4, 6 e 8). 
Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 
5005554 
 números de 
quatro algarismos utilizando 0, 2, 4, 6 e 8. 
 
b) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar? 
Resolução: 
 
Um número com cinco algarismos possui a forma e o 
primeiro algarismo não pode ser zero. Como queremos números distintos, não pode haver 
repetição de algarismos. Temos a seguinte situação: 
 
quatro quatro três duas uma 
opções opções opções opções opção 
 
 
 2 0 0 0 0 
 4 2 2 2 2 
 6 4 4 4 4 
 8 6 6 6 6 
 8 8 8 8 
 
Na casa das dezenas de milhar temos quatro opções (2, 4, 6 e 8). Caso a opção 
seja pelo algarismo 4, este não poderá mais ser escolhido para as outras casas. Na casa 
das unidades de milhar há quatro opções (0, 2, 6 e 8). Supondo que o algarismo 6 tenha 
 
 
sido o escolhido, restaram três opções para a casa das centenas (0, 2 e 8), onde escolhemos 
o algarismo 2. Na casa das dezenas há duas opções (0 e 8), onde escolhemos o algarismo 
0. Restou somente uma opção para a casa das unidades (8). 
Utilizando o princípio multiplicativo 
9612344 
, concluímos que podemos 
formar 96 números de cinco algarismos distintos. 
 
3) No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e quatro algarismos. 
Qual o número máximo de possibilidades para as placas com essa formatação? (Considere 
26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) 
 
Resolução: 
 26 26 26 10 10 10 10 
 opções opções opções opções opções opções opções 
 
 
 A A A 0 0 0 0 
 aa a a a a a 
 Z Z Z 9 9 9 9 
 
Considerando que não há nenhuma restrição para a formação das placas, temos 26 
opções para cada uma das três posições ocupadas por letras (A a Z) e 10 opções para cada 
uma das quatro posições ocupadas por algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). 
Utilizando o princípio multiplicativo 
00076017510101010262626 
, 
concluímos que é possível formar 175 760 000 placas de automóveis com essa 
formatação. 
 
4) Para emplacar carros novos, cada estado brasileiro possui uma sequência de letras e 
números definidos. No estado do Paraná, por exemplo, as placas definidas vão da série 
inicial AAA-0001 até a série final BEZ-9999. Sabendo que dentre os quatro algarismos 
ao menos um deles deve ser diferente de zero, qual o número máximo de possibilidades 
para as placas no estado do Paraná? 
 
Resolução: 
 
 
Na formatação das placas podemos utilizar as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos (de 
0 a 9). Para as placas do Paraná elas podem ser do tipo A __ __ - __ __ __ __ ou 
B __ __ - __ __ __ __. 
 
 
(I) Opções de placas iniciando com a letra A: 
 
 1 26 26 10 10 10 10 
 opção opções opções opções opções opções opções 
 
 
 A A A 0 0 0 0 
 a a a a a a 
 Z Z 9 9 9 9 
 
Usando o princípio multiplicativo, temos 
00076061010101026261 
. 
Como não podemos ter as placas com quatro algarismos zero, como AAA-0000, 
AAB-0000, ... , AAZ-000, ABA-0000, ... , AZZ-0000, retiramos 
6762626 
possibilidades. 
Assim, temos 
32475966760007606 
 placas iniciando com A. 
 
(II) Opções de placas iniciando com a letra B: 
 
 1 5 26 10 10 10 10 
 opção opções opções opções opções opções opções 
 
 
 B A A 0 0 0 0 
 a a a a a a 
 E Z 9 9 9 9 
 
Usando o princípio multiplicativo, temos: 
 
 
 R1 
 R2 
 R3 
 R4 
 r1 
 r2 
 r3 
0003001101010102651  
Como ao menos um algarismo deve ser diferente de zero, retiramos as 
possibilidades de placas terminadas em 0000, que totalizam 
130265 
 placas. 
Assim, temos 
87029911300003001 
placas iniciadas com a letra B. 
 
Somando (I) e (II), concluímos que há 
194059887029913247596 
 placas 
possíveis para o estado do Paraná. 
 
5) Existem 4 ruas ligando os bairros A e B e 3 ruas ligando os bairros B e C. De quantos 
modos diferentes é possível ir do bairro A até o bairro C, passando por B? 
Resolução: 
Esquematicamente, temos: 
 
 
A B C 
 
 
Fixando uma das ruas que ligam A e B e variando as ruas que ligam B e C, visualizamos 
que há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando por B: 
 
 r1 
R1 r2 
 r3 
 r1 
R2 r2 
 r3 
 r1 
R3 r2 
 r3 
 r1 
R4 r2 
 r3 
 
Pelo princípio multiplicativo também verificamos as doze possibilidades: 
1234 
 
Logo, há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando pelo bairro B. 
 
6) Quantos anagramas da palavra FAEL: 
a) Começam com L? 
b) Não terminam com consoantes? 
 
Resolução: 
a) Anagramas são as alterações possíveis na sequência de letras de uma palavra. Que 
começam com L, podemos ter LFAE, LFEA, dentre outras. Esquematicamente, temos: 
 
 uma três duas uma 
opção opções opções opção 
 
 
 L F F F 
 A A A 
 E E E 
 L L L 
Pelo princípio multiplicativo, temos 
61231 
 anagramas que começam com a letra L. 
 
b) Para determinar os anagramas que não terminam com consoantes, temos duas opções 
para última letra (A ou E). 
 
 uma duas três duas 
opção opções opções opções 
 
 
 F F F A 
 A A A E 
 E E E 
 L L L 
 
 
 
Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos que há 
122321  
anagramas da palavra FAEL que não terminam com consoantes. 
 
 
3. Fatorial 
 
 Nos problemas de análise combinatória, é comum aparecer multiplicações cujos 
fatores são números naturais consecutivos, como: 
4.3.2.1
 
5.4.3.2.1
 
6.5.4.3.2.1
 
 Para facilitar essa escrita, utilizamos um símbolo chamado fatorial, representado 
por ! (um ponto de exclamação). 
 Define-se fatorial por: 
 “Seja n um número inteiro maior que 1, n fatorial ou fatorial de n é o produto dos 
n números naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!.” 
 n! (Lê-se: n fatorial ou fatorial de n) 
 
,123...)3()2()1(!  nnnnn
sendo 
Nn
e 
1n
 
 ou 
 
)!1(!  nnn
 
 
Exemplos: 
212!2 
 
6123!3 
 
241234!4 
 
12012345!5 
 
720123456!6 
 
 
Note que a propriedade 
)!1(!  nnn
 deve ser conservada em todos os casos. 
Sendo assim: 
 
(I) Para 
2n
: 





!11
)2(!1212
)!12(2!2
)!1(!
pormembrososambosdividindo
nnn
 
1! = 1 
 
 
(II) Para 
1n
: 
!01!1
)!11(1!1
)!1(!


 nnn
 
Para que essa igualdade seja verdadeira, define-se 
1!0 
. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o valor de: 
 
a) 
!3!5
!7

 
Resolução: 
40
126
5040
12312345
1234567
!3!5
!7





 
 
b) 
!5!6
!6!8


 
Resolução: 
5
342
5
6336
)16(!5
)6678(!5
!5)!56(
)!56()!5678(
!5!6
!6!8











 
 
2) Simplifique a expressão 
)!1(
)!2(


n
n
: 
Resolução: 
2
)!1(
)!1()2(
)!1(
)!2(






n
n
nn
n
n
 
 
3) Resolva a equação 
)!2(15)!3()!4(  yyy
. 
Resolução: 
 
 0
)1,!(8
0
0)8(
08
1531243
15)3()3()4(
:0)!2(
)!2(15)3()3()4()!2(
)!2(15)!2()3()!2()3()4(
)!2(15)!3()!4(
2
1
2
2











S
neNnnempoissatisfaznãoy
y
yy
yy
yyyy
yyyypormembrososambosDividindo
yyyyy
yyyyyy
yyy
 
 
4) Resolva a equação 
24)!3( n
. 
Resolução: 
 7
7
43
!4)!3(
1234)!3(
24)!3(






S
n
n
n
n
n
 
 
 
4. Arranjos simples 
 
 Começaremos a estudar problemas de contagem onde há a necessidade de 
organizar ou agrupar os elementos de um conjunto. 
Vamos considerar os seguintes exemplos: 
 
a) Com os algarismos 3, 5, 7 e 8, vamos formar todos os números possíveis de dois 
algarismos distintos: 
 
Resolução: 
 
Como os algarismos devem ser distintos, vamos construir a árvore das possibilidades: 
 
Primeira posição Segunda posição Números formados 
 5 35 
3 7 37 
 8 38 
 
 3 53 
5 7 57 
 8 58 12 números 
 formados 
 3 73 
7 5 75 
 8 78 
 
 3 83 
8 5 85 
 7 87 
 
Neste exemplo, 4 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 a 2. 
Observamos que os números formados diferem entre si pela posição que ocupam: 
35 e 53, por exemplo. Isto é, a ordem dos elementos interfere nos números formados. 
Cada número obtido dessa maneira é denominado arranjo simples dos 4 
elementos tomados 2 a 2. 
Indicamos esses arranjos por 
2,4A
 ou 
2
4A
. 
 
b) Cinco alunos, Júlia, Marcos, Davi, Luana e Eduardo disputam votos para 
representantes de turma, onde o primeiro colocado será eleito para representante e o 
segundo colocado será eleito para suplente de turma. Sabendo que as escolhas de 
representante e suplente são independentes, quais são as possibilidades para os dois 
primeiros lugares? 
 
Resolução: 
 
Construindo a árvore de possibilidades, temos: 
 
 
Representante Suplente Resultados possíveis 
 (Representante / Suplente) 
 Marcos Júlia / Marcos 
Júlia Davi Júlia / Davi 
 Luana Júlia / Luana 
 Eduardo Júlia / Eduardo 
 
 Júlia Marcos / Júlia 
Marcos Davi Marcos / Davi 
 Luana Marcos / Luana 
 Eduardo Marcos / Eduardo 
 
 Júlia Davi / Júlia 
Davi Marcos Davi / Marcos 20 
resultados 
 Luana Davi / Luana possíveis 
 Eduardo Davi / Eduardo 
 
 Júlia Luana / Júlia 
Luana Marcos Luana / Marcos 
 Davi Luana / Davi 
 Eduardo Luana / Eduardo 
 
 Júlia Eduardo / Júlia 
Eduardo Marcos Eduardo / Marcos 
 Davi Eduardo / Davi 
 Luana Eduardo / Luana 
 
Neste exemplo, 5 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 a 2. 
Também observamos que a ordem dos elementos interfere no resultado: Júlia para 
represente e Davi para suplente difere de Davi para representante e Júlia para suplente. 
Cada resultado assim obtido é denominado arranjo simples dos 5 elementos 
tomados 2 a 2, ou seja, 
2,5A
 ou 
2
5A
. 
Nesses dois exemplos, temos o que chamamos de arranjos simples. 
 
Sendo C um conjunto com n elementos e 
np 
, com n, p 
*N
, definimos: 
Arranjo simples de n elementos de C, tomados p a p, é toda sequência de p 
elementos 
A quantidade de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p, indica-
se por 
p
npn AouA ,
. 
Organizaremos uma tabela para calcular 
pnA ,
: 
Escolha do: Número de possibilidades: 
primeiro elemento (qualquer elemento de um 
conjunto) 
n 
segundo elemento, após a escolha do primeiro n – 1 
terceiro elemento, após a escolha do primeiro e 
do segundo 
n – 2 
. . . 
p-ésimo elemento, após a escolha dos anteriores 
(1º, 2º, ..., (p – 1) elementos 
n – (p – 1) ou n – p + 1 
 
Portanto, pelo princípio multiplicativo, tem-se que: 
)1()3()2()1(,  pnnnnnA pn 
 
 Note que a fórmula de An,p pode ser descrita por meio de fatoriais, ou seja, é o 
produto de p fatores decrescentes em uma unidade a partir de n. Exemplos: 
 
12012345)
1202345)
60345)
2045)
5)
5,5
4,5
3,5
2,5
1,5





Ae
Ad
Ac
Ab
Aa
 
 No exemplo c, onde 
3453,5 A
, multiplicando o segundo membro dessa 
igualdade por 
!2
!2
, que é igual a 1, temos: 
)!25(
!5
!2
!5
!2
12
345
!2
!2
3453,5



A
 
Usando o mesmo raciocínio para 
pnA ,
, temos: 
 
)1()3()2()1(,  pnnnnnA pn 
 
Multiplicando o segundo membro por 
)!(
)!(
pn
pn


, temos: 
)!(
123)1()(
)1()3()2()1(
)!(
)!(
)1()3()2()1(
,
,
pn
pnpn
pnnnnnA
pn
pn
pnnnnnA
pn
pn









 
Assim, concluímos que arranjos simples de n elementos, tomados p a p, podem ser 
calculados por: 
)!(
!
,
pn
n
A pn


 
Exemplos: 
 
1) Calcule: 
 
a) 
4,7A
 
Resolução: 
840
4567
!3
!34567
)!47(
!7
)!(
!
4,7
4,7
4,7
4,7
,








A
A
A
A
pn
n
A pn
 
 
b) 
1,72,9
3,64,8
AA
AA

 
Resolução: 
13
360
65
1800
772
1201680
789
4565678
!6
!67
!7
!789
!3
!3456
!4
!45678
)!17(
!7
)!29(
!9
)!36(
!6
)!48(
!8
1,72,9
3,64,8























AA
AA
 
2) Quantos pares ordenados com elementos distintos podemos formar com as letras a, b, 
c, d, e, f e g? 
Resolução: 
 
Considerando dois pares ordenados quaisquer, observa-se que a ordem dos elementos 
altera o par ordenado, exemplo 
   abba ,, 
. Trata-se, então, de um problema de arranjo 
simples. 
Temos que arranjar sete letras tomadas duas a duas, ou seja, 
2,7A
. 
42
!5
!567
)!27(
!7
2,7 



A
 
Logo, podemos formar 42 pares ordenados. 
 
3) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 
a 9? 
Resolução: 
 
Alterando a ordem dos algarismos, observa-se que altera o número formado. Observe, 
por exemplo, 
21341234 
. 
Temos, portanto, um problema de arranjo simples, de 9 elementos tomados 4 a 4. 
3024
!5
!56789
)!49(
!9
4,9 



A
 
Podemos formar 3024 números com os algarismos 1 a 9. 
 
4) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os dez primeiros 
números naturais? 
Resolução: 
 
Como no exemplo anterior, a ordem dos elementos altera o número formado. Temos um 
problema de arranjo simples. 
Primeiramente, arranjamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são os dez primeiros números 
naturais, tomados 4 a 4: 
5040
!6
!678910
)!410(
!10
4,10 



A
 
Para um número possuir quatro algarismos, o zero não deve ocupar a primeira posição. 
Sendo assim, devemos retirar as possibilidades em que isso ocorre. Fixando o zero na 
primeira posição, restam 9 algarismos para serem arranjados, tomados 3 a 3. 
504
!6
!6789
)!39(
!9
3,9 



A
 
453650450403,94,10  AA
 
Logo, podemos formar 4536 números. 
 
5) Resolva a equação 
722, xA
. 
Resolução: 
 
Vamos lembrar que todo 
pnA ,
 , deve ter 
pn 
(condição de existência). 
 9
.9,2
98
072
72
72
)!2(
)!2()1(
72
)!2(
!
72
2
21
2
2
2,










S
equaçãoasatisfazxsomentexComo
xex
xx
xx
x
xxx
x
x
Ax
 
 
6) Resolva a equação 
2,3, 16 xx AA 
. 
Resolução: 
 18
18
162
)1()1(16)2()1(
)!2(
)!2()1(
16
)!3(
)!3()2()1(
)!2(
!
16
)!3(
!
16 2,3,













S
x
x
membrososambosxxpordividindoxxxxx
x
xxx
x
xxxx
x
x
x
x
AA xx
 
 
5. Permutação simples 
 
Seja C um conjunto com n elementos, definimos: 
 Permutação simples dos n elementos é qualquer agrupamento ordenado 
(sequência) de n elementos distintos de C. 
Indica-se a permutação simples de n elementos por Pn. 
Lê-se: permutação simples de n elementos. 
 A permutação de n elementos, é um caso particular de arranjo, quando n = p, ou 
seja, um arranjo simples de n elementos, tomados n a n. Assim, temos: 






1
!
!0
!
)!(
!
,
n
P
n
P
nn
n
P
AP
n
n
n
nnn
 
 
!nPn 
 
 Como 
1)2()1(!  nnnn
, o número de permutações de n elementos pode 
ser: 
1)2()1(  nnnPn
 
 
Exemplos: 
 
1) Quantos anagramas possui a palavra LIVRO? 
Resolução: 
Cada anagrama é uma permutação simples das letras L, I, V, R, O. 
Sendo assim: 
12012345!5! 555  PPPnPn
 
A palavra LIVRO possui 120 anagramas. 
 
2) Usando os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de quatro algarismos distintos 
podemos formar? 
Resolução: 
Basta permutar os quatro algarismos: 2, 4, 6 e 8. 
241234!44 P
 
Logo, podemos formar 24 números. 
 
3) Com a palavra VIAGEM, podemos formar: 
 
a) Quantos anagramas? 
Resolução: 
O total de anagramas é obtido através da permutação das seis letras da palavra VIAGEM, 
ou seja: 
720123456!66 P
 anagramas. 
 
b) Quantos anagramas que iniciam com a letra V? 
Resolução: 
Fixando a letra V na primeira posição, podemos permutar as demais cinco letras (I, A, G, 
E, M). Ou seja: 
_V_ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
12012345!55 P
 anagramas que iniciam com a letra V. 
 
c) Quantos anagramas que iniciam com consoante? 
Resolução: 
 
Analogamente ao exercício anterior, observamos que há P5 para cada consoante: 
_V_ ____ ____ ____ ____ ____ 
_G_ ____ ____ ____ ____ ____ 
_M_ ____ ____ ____ ____ ____ 
 
Como são três consoantes, temos 3.P5 anagramas: 
360123453!533 5 P
 
 
d) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal? 
Resolução: 
Para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última posição, temos P4 
anagramas, totalizando 3.3.P4 anagramas que iniciam com consoante e terminam em 
vogal: 
______ ______ ______ ______ ______ ______ 
 
consoante P4 anagramas vogal 
 
Assim, 
216123433!43333 4  P
 anagramas. 
 
4) Permutando os algarismos do número 1234 e colocando-os em ordem crescente, qual 
é a posição ocupada pelo número 4312? 
Resolução: 
Colocamos as permutações obtidas pelos 4 algarismos em ordem crescente: 
 
Números iniciados com 1: _1_ ____ ____ ____ 
6!33 P
 
Números iniciados com 2: _2_ ____ ____ ____ 
6!33 P
 
Números iniciados com 3: _3_ ____ ____ ____ 
6!33 P
 22 elementos 
Números iniciados com 4 e 1: _4_ _1_ ____ ____ 
2!22 P
 
Números iniciados com 4 e 2: _4_ _2_ ____ ____ 
2!22 P
 
Números iniciados com 4 e 3: _4_ _3_ __1_ __2_ 23º 
 
Observamos que há 22 elementos precedendo o número 4312. Logo, ele pertence à 23ª 
posição. 
 
5) Calcular 
3
4
32
25 3
5
23
P
P
PP
PP
y 



. 
Resolução: 
103
1291
6
72
610
4360
!3
!43
!3!25
!22!53
3
5
23
3
4
32
25















y
y
y
y
P
P
PP
PP
y
 
 
6. Combinação simples 
 
 Para definir combinação simples vamos analisar duas situações: 
a) No hexágono abaixo, cujos vértices são A, B, C, D, E e F, quantos segmentos podemos 
traçar com extremidades em dois desses seis pontos? 
 
 Escolhendo o vértice A como uma das extremidades, a outra extremidade pode 
ser B, C, D, E ou F. Temos então, cinco possibilidades de segmentos para cada um dos 
seis vértices escolhidos. Veja: 
 
AB, AC, AD, AE, AF, 
BA, BC, BD, BE, BF, 
CA, CB, CD, CE, CF, 
DA, DB, DC, DE, DF, 
EA, EB, EC, ED, EF, 
FA, FB, FC, FD, FE. 
Como 
3065 
, obtemos 30 segmentos. No entanto, observe que AB = BA, ou 
seja, representam o mesmo segmento pois a ordem das extremidades não os diferencia. 
Isto significa que contamos em dobro a quantidade de segmentos obtidos. 
Sendo assim, a quantidade de segmentos traçados com extremidade em dois 
desses pontos será: 
15
2
65


 
Esse cálculo também pode ser obtido pelo arranjo simples de seis elementos 
tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações simples de dois elementos: 
15
2
56
!2
!4
!6
!2
)!26(
!6
2
2,6





P
A 
 
b) Sandra, Marta, Joana, Cecília e Ana participam de uma escola de dança. Três delas 
serão escolhidas para representar a escola em um evento. Quantos grupos com três 
dançarinas podem ser formados? 
 
Escolhendo três das cinco dançarinas, vamos formar todos os grupos possíveis: 
Sandra – Marta – Joana Sandra – Cecília – Ana 
Sandra – Marta – Cecília Marta – Joana – Cecília 
Sandra – Marta – Ana Marta – Joana – Ana 
Sandra – Joana – Cecília Marta – Cecília – Ana 
Sandra – Joana – Ana Joana – Cecília - Ana 
Podemos formar dez grupos com três das cinco dançarinas. 
 
Observe que a ordem da escolha das dançarinas não interefere no grupo formado. 
O grupo formado por Sandra – Marta – Joana é igual ao grupo formado por Joana – Sandra 
– Marta. 
Nesses dois exemplos, vimos casos em que a ordem dos elementos não altera o 
agrupamento formado. Esse tipo de agrupamento recebe o nome de combinação simples. 
 
 Combinação simples de n elementos distintos, tomados p a p (
np 
), é todo 
agrupamento formado por p elementos distintos escolhidos dentre os n elementos dados, 
de modo que a mudança da ordem dos elementos não modifique o agrupamento. 
 
Notação: 
p
npn CouC ,
 
Lê-se: Combinação simples de n elementos tomados p a p. 
 
No exemplo a, vimos que o cálculo da quantidade de segmentos traçados com 
extremidade em dois vértices do hexágono, poderia ser obtido pelo arranjo simples de 
seis elementos tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações simples de 
dois elementos. Esse mesmo raciocínio pode ser utilizado para obter a fórmula para 
cálculo do número de combinações simples. Veja: 
 
)!(!
!
!
)!(
!
,
,
pnp
n
p
pn
n
P
A
C
p
pn
pn




 
Logo, 
 
)!(!
!
,
pnp
n
C pn


 
 
Casos particulares: 
 
I) Se 
*Nn
 e p = 0, temos: 
1
!
!
!1
!
)!0(!0
!
0, 




n
n
n
n
n
n
Cn
 
Um conjunto com n elementos possui um único subconjunto com zero elementos, que é 
o vazio. 
 
II) Se n = p = 0, temos: 
1
!0
!0
)!00(!0
!0
0,0 

C
 
Um conjunto com zero elementos possui um único subconjunto com zero elementos, que 
é o vazio. 
 
Exemplos: 
 
1) Quantas comissões com cinco elementos podemos formar numa classe de vinte alunos?Resolução: 
Chamando os cinco alunos de A, B, C, D e E, temos que 
   EDCABEDCBA ,,,,,,,, 
, ou seja, a ordem dos cinco alunos escolhidos não 
interfere na comissão formada. 
Assim, têm-se um problema de combinação simples de 20 elementos, tomados 
cinco a cinco. 
50415
12345
1617181920
!15!5
!151617181920
)!520(!5
!20
)!(!
!
5,20
5,20
5,20
5,20
,










C
C
C
C
pnp
n
C pn
 
 
Logo, podemos formar 15 504 comissões. 
 
2) Sabendo que não existem três pontos alinhados em um plano, quantos triângulos 
podemos formar com 12 pontos desse plano? 
 
Resolução: 
Para formar triângulos, precisamos de três pontos não alinhados em um plano. Sendo A, 
B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, os pontos do plano, verifica-se que o 
BACABC 
 ou 
que o 
FEDDEF 
, ou seja, a ordem dos pontos não altera o triângulo formado. Temos 
então, um problema de combinação de 12 elementos, tomados 3 a 3. 
 
220
6
1320
!923
!9101112
!9!3
!12
)!312(!3
!12
3,12 




C
 
Logo, podemos formar 220 triângulos. 
 
3) Uma escola possui 5 professores de português e 6 de matemática. Quantos grupos com 
2 professores de português e 3 professores de matemática podemos formar? 
 
Resolução: 
Considerando os grupos com 2 professores de português como C5,2 e os grupos com 3 
professores de matemática como C6,3, têm-se pelo princípio fundamental da contagem 
que o total de grupos é: 
2002010
!323
!3456
!32
!345
!3!3
!6
!3!2
!5
)!36(!3
!6
)!25(!2
!5
3,62,5











CC 
Podemos formar 200 grupos. 
 
4) Em uma empresa há quatro diretores e cinco gerentes. Quantas comissões de cinco 
pessoas podem ser formadas contendo no mínimo um diretor? 
 
Resolução: 
Devemos combinar 9 pessoas (4 diretores + 5 gerentes) tomados 5 a 5: 
126
!5234
!56789
)!59(!5
!9
5,9 




C
 
No entanto, as comissões devem conter no mínimo um diretor. Sendo assim, devemos 
retirar as opções em que apenas os cinco gerentes participam: 
1
!0!5
!5
)!55(!5
!5
5,5 

C
 
Assim: 
12511265,55,9  CC
 
Podem ser formadas 125 comissões. 
 
5) Calcule: 
 
a) 
2,43,10
4,20
CC
C

 
42
1615
126
4845
6120
4845
4
234
!723
!78910
!16234
!1617181920
!2!2
!4
!7!3
!10
!16!4
!20
)!24(!2
!4
)!310(!3
!10
)!420(!4
!20
2,43,10
4,20


















 CC
C
 
 
b) 
5
8
3
7
2
12 CCC 
 
Observação: 
pn
p
n CC ,
 
 
Resolução: 
45563566
!3!5
!5678
!423
!4567
!102
!101112
)!58(!5
!8
)!37(!3
!7
)!212(!2
!12
5
8
3
7
2
12















 CCC
 
 
 6) Determine n nas equações: 
 
a) 
281,2,  nn CC
 
Condição de existência: 
.2log,12  nonen
 
Resolução: 
 7
,2
87
056
2
56
2
2
28
2
28
)!1(
)!1(
)!2(2
)!2()1(
28
)!1(!1
!
)!2(!2
!
28
21
2
2
2
1,2,



















S
nComo
nen
nn
nnn
n
nn
n
nn
n
nnn
n
n
n
n
CC nn
 
 
b) 
05 4,23,  nn CC
 
Condição de existência: 
3n
 
Resolução: 
 14,3
143
04217
402023
)2(20)1()2(
)1()2(
4
1
)2(5
)1()1()2(
24
1
)2()1(
6
5
0
)!2(
)!2()1()1()2(
24
1
)!3(
)!3()2()1(
6
5
0
)!42(!4
)!2(
)!3(!3
!
5
05
21
2
2
4,23,




















 
S
noun
nn
nnn
nnn
nnn
nnnnnnn
n
nnnnn
n
nnnn
n
n
n
n
CC nn
 
 
 
c) 
3,14,2   nn AC
 
Resolução: 
22
242
)!2(
)!1(
)!2(24
)!1()2(
)!2(
)!1(
)!2(24
)!2(
)!31(
)!1(
)!42(!4
)!2(
3,14,2

















 
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
AC nn
 
 
7) A quina no jogo da Loto é obtida com o acerto de cinco números, entre 1 e 80. Se o 
jogador fez um palpite simples (cinco números), de quantas maneiras é possível montar 
uma quina? 
 
Resolução: 
Observe que a ordem dos números não altera a formação da quina. Temos, portanto, um 
problema de combinação de 80 elementos tomados 5 a 5. 
01604024
!752345
!757677787980
)!580(!5
!80
5,80 




C
 
Logo, há 13 847 049 216 maneiras de montar uma quina. 
 
 
7. Arranjo com repetição 
 
Estudamos até o momento, arranjos simples, onde não há repetição de elementos. 
Vejamos agora o que acontece quando temos arranjos que consideram a repetição de 
elementos. 
Notação: (AR)n,p 
Leitura: Arranjo com repetição de n elementos, tomados p a p. 
 
Consideremos duas situações: 
 
I) Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 
1, 3, 5 e 7? 
Resolução: 
Como a ordem dos elementos altera o número formado, devemos calcular o arranjo de 4 
algarismos tomados 2 a 2. 
12
!2
!4
)!24(
!4
2,4 

A
 
Logo, podemos formar 12 números. 
 
II) Quantos números de dois algarismos podemos formar usando os algarismos 1, 3, 5 e 
7? 
Resolução: 
Observe que agora não há a obrigatoriedade dos algarismos serem distintos, ou seja, os 
números 11, 33, 55 e 77 também são considerados. 
Essa situação pode ser representada da seguinte maneira: 
 quatro quatro 
 opções opções 
 
 
 1 1 
 3 3 
 5 5 
 7 7 
 
Pelo princípio fundamental da contagem, podemos formar 
16444 2 
 números de 
dois algarismos. 
De um modo geral, para calcular o arranjo de n elementos, considerando a 
repetição desses elementos, obtemos: 
p
pn nAR ,)(
 
Exemplos: 
 
1) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os seis primeiros números 
naturais diferentes de zero? 
 
Resolução: 
 
Os seis primeiros números naturais diferentes de zero são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Como a ordem 
dos elementos altera o número formado, observe como exemplo que 
21341234 
, temos 
um problema de arranjo. 
Não há a obrigatoriedade de utilizar elementos distintos. Temos, portanto, um problema 
de arranjo com repetição de 6 elementos, tomados 4 a 4. 
12966)( 44,6 AR
 
Assim, podemos formar 1296 números. 
 
2) Um concurso público dispõem de 50 questões objetivas, com cinco alternativas 
diferentes para cada questão (a, b, c, d, e). De quantas formas diferentes podemos 
responder a essas 50 questões? 
 
Resolução: 
Observe que a ordem dos elementos altera o resultado e que pode ocorrer repetição das 
alternativas. Temos, portanto, um arranjo com repetição. 
 
Assim, temos 550 formas diferentes para responder a essas 50 questões. 
 
8. Permutação com elementos repetidosNo estudo das permutações simples, vimos que a permutação de n elementos 
distintos é dada por Pn = n!. 
Estudaremos agora, problemas de contagem que envolvem a permutação com 
elementos repetidos. É o caso, por exemplo, do cálculo da quantidade de anagramas da 
palavra CALCULADORA. 
Se as letras fossem todas diferentes, cada anagrama seria uma permutação das 11 
letras, o que corresponderia a 11! anagramas. Mas, a letra A se repete 3 vezes e a letra C 
e L se repetem 2 vezes cada. 
Considerando a letra C, para cada um dos 11! anagramas formados, há outro 
idêntico com a letra C nas mesmas posições. Veja: 
 
 
CLALUACDORA CLALUACDORA 
50
50,5 5)( AR
 
Sendo assim, para não contarmos esses anagramas “iguais”, devemos dividir o 
total de anagramas por 2!, que é a permutação das duas letras C. Além disso, temos duas 
letras L e três letras A. Logo, o total de anagramas é dado por: 
 
2006631
24
234567891011
!2!2!3
!11



 
O número de anagramas da palavra CALCULADORA é indicado por 
20066311,1,1,1,2,2,311 P
, onde 3, 2, 2, 1, 1, 1 e 1 significam que existe, respectivamente 3 
letras A, 2 letras C, 2 letras L, 1 letra U, 1 letra D, 1 letra O, 1 letra R, num total de 11 
letras. 
 
Generalizando essa idéia para n elementos com p1 elementos iguais a 

, p2 
elementos iguais a 

 e, assim, sucessivamente até pr elementos iguais a 

, temos: 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Quantos anagramas podemos formar com a palavra GEOGRAFIA? 
Resolução: 
A palavra GEOGRAFIA possui um total de 9 letras, sendo duas letras iguais a G e duas 
letras iguais a A. 
Logo, 
 
72090
4
23456789
!2!2
!92,2
9 

P
 anagramas 
 
2) Quantos anagramas iniciados pela letra I podemos formar da palavra INCRÍVEIS? 
Resolução: 
.
,
!,,!,!,!,!
!
4321
4321
,,,,, 4321
nppppponde
ppppp
n
p
r
r
ppppp
n
r





A palavra INCRÍVEIS possui nove letras, sendo três delas iguais à letra I. Fixando o I na 
primeira posição, devemos permutar as outras oito letras, sendo que duas letras I ainda se 
repetem: 
16020
!2
!82
8 P
 
Logo, podemos formar 20 160 anagramas. 
 
3) Quantos números pares obtemos da permutação dos algarismos contidos no número 5 
443 125? 
Resolução: 
O número 5 443 125 possui 7 algarismos mas para formar números pares, o algarismo 
contido na unidade deve ser par, que nesse exemplo é 4 ou 2. 
 Fixando o algarismo 4 na unidade: 
____ ____ ____ ____ ____ ____ _4__ 
As primeiras seis posições podem ser preenchidas com os algarismos restantes 5, 4, 3, 1, 
2, 5: 
360
!1!1!1!1!2
!61,1,1,1,2
6 P
 números terminados com o algarismo 4. 
 Fixando o algarismo 2 na unidade: 
____ ____ ____ ____ ____ ____ _2__ 
As primeiras seis posições podem ser preenchidas com os algarismos restantes 5, 4, 4, 3, 
1, 5: 
180
!1!1!2!2
!61,1,2,2
6 P
 números terminados com o algarismo 2. 
Assim, a quantidade de números pares é 
540180360 
. 
 
4) De quantas maneiras podemos organizar em uma prateleira 6 livros iguais de Física, 7 
livros iguais de Matemática e 3 livros iguais de Química? 
Resolução: 
960960
!3!7!6
!163,7,6
16 P
 
Há 960 960 maneiras diferentes de organizar esses livros em uma prateleira. 
 
5) Quantos números diferentes podemos achar permutando os algarismos do número 225 
744 112? 
Resolução: 
Como há algarismos iguais, devemos calcular a permutação com repetição: 
12015
!2!2!1!1!3
!92,2,1,1,3
9 P
 números diferentes. 
 
6) Na figura abaixo, quantos caminhos diferentes podem ser feitos de X até Y, 
deslocando-se uma unidade de cada vez, para cima ou para a direita? 
 
 
Resolução: 
Partindo de X, temos como opções 5 unidades para cima e 6 unidades para a direita, 
totalizando 11 opções. 
Como as repetições são consideradas, calculamos a permutação com repetição. 
Assim: 
462
!6!5
!116,5
11 P
 
Logo, podem ser feitos 462 caminhos diferentes de X até Y. 
 
 
 
9. Números binomiais 
 
 A combinação de n elementos tomados p a p, vista anteriormente por Cn,p, 
também pode ser representada pelo número binomial 






p
n
. Assim, 
.0,
)!(!
!
, 







 pncom
pnp
n
p
n
C pn
 
Lê-se: binomial de n sobre p. 
 
Exemplos: 
a) 
20
!3!3
!6
3
6






 
b) 
21
!5!2
!7
2
7






 
 
Pela definição, concluímos que: 
I) 
1
!
!
)!0(!0
!
0








n
n
n
nn
 
II) 
n
n
nn
n
nn











)!1(
)!1(
)!1(!1
!
1
 
III) 
1
!
!
!0!
!
)!(!
!








n
n
n
n
nnn
n
n
n
 
 
Os números binomiais podem ser dispostos ordenadamente conforme esquema 
mostrado abaixo, formando o chamado triângulo de Pascal ou triângulo de Tartaglia. 














































































































































































































































































n
nnnnnnnnn


76543210
7
7
6
7
5
7
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
5
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
 
 
Observação: 
 
Os binomiais com o mesmo numerador são colocados na mesma linha e os 
binomiais com o mesmo denominador são colocados na mesma coluna. 
 Substituindo os binomiais do triângulo de Pascal pelos seus respectivos valores 
teremos: 
 

172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
 
 
Propriedades do triângulo de Pascal 
 
I) Todos os elementos da primeira coluna são iguais a 1, pois: 
1
!
!
)!0(!0
!
0








n
n
n
nn
 
 
II) O último elemento de cada linha é igual a 1, pois: 
1
!
!
!0!
!
)!(!
!








n
n
n
n
nnn
n
n
n
 
 
III) Se dois números binomiais são complementares, então eles são iguais. 
 
Dois números binomiais 






p
n
e 






q
n
 são complementares se 
nqp 
. 
Exemplos: 
a) 












4
6
2
6
e
 são complementares, pois 
n 642
. 
b) 











7
10
3
10
e
 são complementares, pois 
.1073 n
 
 
Se 
nqp 
, então 












q
n
p
n
. 
Demonstração: 
 
1064
2
5
2
4
1
4



















 

172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1




































q
n
p
n
Logo
p
n
ppn
n
pnnpn
n
pn
n
q
n
Assim
pnqnqp
,
!)!(
!
)!()!(
!
:
 
 
Exemplos: 
a) 
!2!4
!6
!4!2
!6
4
6
2
6












pois
 
b) 
!7!1
!8
!1!7
!8
1
8
7
8












pois
 
 
IV) Relação de Stiffel: 





















1
1
1 p
n
p
n
p
n
 
 
Essa propriedade é utilizada para facilitar a construção do triângulo de Pascal. 
Observa-se que “somando dois elementos que estão lado a lado no triângulo, obtêm-se o 
elemento situado logo abaixo do elemento da direita”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V) A soma dos números binomiais de uma mesma linha é uma potência de base 2, cujo 
expoente é a ordem desta linha. 
351520
4
7
4
6
3
6



















No geral, a soma dos elementos da linha n é 2n, ou seja: 
n
n
nnnn
2
210

























 
Veja: Soma dos elementos: 
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
 
 
VI) A soma dos n primeiros termos da coluna p é igual ao termo n da coluna p + 1. 
 
172135352171
1615201561
15101051
14641
1331
121
11
1
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule os números binomiais abaixo: 
a) 






2
5
 
Resolução: 
10
!3!2
!5
)!25(!2
!5
2
5








 
 
linha 0 20 = 1 
linha 1 21 = 2 
linha 2 22 = 4 
linha 3 23 = 8 
linha 4 24 = 16 
linha 5 25 = 32 
linha 6 26 = 64 
linha 7 27 = 128 
b) 


















5
5
2
6
3
4
 
Resolução: 
181154
!0!5
!5
!4!2
!6
!1!3
!4
)!55(!5
!5
)!26(!2
!6
)!34(!3
!4
5
5
2
6
3
4

























 
 
 
c) 
























0
1
2
5
5
8
3
7
 
Resolução: 
196
110
5635
!1!0
!1
!3!2
!5
!3!5
!8
!4!3
!7
)!01(!0
!1
)!25(!2
!5
)!58(!5
!8
)!37(!3
!7
0
1
2
5
5
8
3
7






































 
 
2) Determine x na equação 
0
23











 xx
 
Resolução: 
Condição de existência: 
.3,,23  xassimxex
 
Então: 
 5
5
32
)1(2)1(6)2()1(2
2
)1(
6
)2()1(
0
)!2(2
)!2()1(
)!3(6
)!3()2()1(
0
)!2(!2
!
)!3(!3
!
0
23





























S
x
x
xxpormembrososambosDividindoxxxxx
xxxxx
x
xxx
x
xxxx
x
x
x
x
xx
 
 
3) Se 
36
2
3





 m
, então m é: 
Resolução: 
Condição de existência: 
5
23


m
m
 
Assim: 
 12
)5,(5
12
0607
0721234
72)4()3(
36
)!5(2
)!5()4()3(
36
)!5(2
)!3(
36
)!23(!2
)!3(
36
2
3
2
1
2
2




















 
S
mpoisservenãom
ou
m
mm
mmm
mm
m
mmm
m
m
m
m
m
 
 
4) Resolva a equação 













 23
12
6
12
pp
 
Resolução: 
Condição de existência: 
3
10
,
3
10
12236126


pAssim
ppepp
 
Da igualdade 













 23
12
6
12
pp
, temos duas conclusões: 
I) os binomiais são iguais: II) os binomiais são complementares: 
2
42
623
236




p
p
pp
pp
 
Como ambas as soluções verificam a condição de existência dos números binomiais, 
temos: 
 
 2,1S 
 
5) Simplifique a expressão 
)!4(!2
3
!






p
p
p 
Resolução: 
93)3(3
)2()1(
)3()2()1(3
3
)2()1(
)3()2()1(
)!4(
3
)2()1(
)!4()3()2()1(
)!4(2
)!3(6
)!3()2()1(
!
)!4(!2
)!3(!3
!
!
)!4(!2
3
!
























pp
ppp
pppp
ppp
pppp
p
ppp
ppppp
p
p
pppp
p
p
p
p
p
p
p
p
 
 
 
6) Encontre o valor das expressões abaixo: 
1
44
1284
12236




p
p
p
pp
a) 






























9
9
3
9
2
9
1
9
0
9

 
 
Resolução: 
Observa-se que as parcelas pertencem à 9ª linha do triângulo de Pascal. 
Assim, utilizaremos a “propriedade V” que diz: “a soma dos elementos da linha n é 2n”. 
Logo, 
5122
9
9
3
9
2
9
1
9
0
9
9 






























 
 
 
b) 






























3
10
3
6
3
5
3
4
3
3

 
 
Resolução: 
Observa-se que as parcelas correspondem aos dez primeiros termos da 3ª coluna 
do triângulo de Pascal. 
Assim, utilizaremos a “propriedade VI” que diz: “A soma dos n primeiros termos 
da coluna p é igual ao termo n da coluna p + 1”. 
Logo, a soma dos 10 primeiros termos da coluna 3 é igual ao termo 10 da coluna 
4, ou seja, 
:
4
11






 
330
1234!7
!7891011
!7!4
!11
4
11









 
 
10. Binômio de Newton 
 
 Um binômio é uma expressão formada pela soma algébrica de dois monômios. 
 Outra aplicação da análise combinatória é o desenvolvimento do binômio 
 nax 
, com 
., RaeRxNn 
 
 Atribuindo valores para n, observa-se que os coeficientes dos termos das 
expansões de 
 nax 
 são as linhas do triângulo de Pascal e o número da posição da linha 
é igual ao expoente de 
 ax 
. Veja: 
 
Para n = 0, temos 
  10  ax
 
Para n = 1, temos 
  axax 111 
 
Para n = 2, temos 
  222 121 aaxxax 
 
Para n = 3, temos 
  32233 1331 axaaxxax 
 
Para n =4, temos 
  4322344 14641 axaxaaxxax 
 
 
14641
1331
121
11
1
 
 
 Desse modo, com números binomiais, temos: 
 
 
 
 
 
 
  01122110
04132231404
031221303
0211202
01101
000
1210
4
4
3
4
2
4
1
4
0
4
3
3
2
3
1
3
0
3
2
2
1
2
0
2
1
1
0
1
0
0
xa
n
n
xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax
xaxaxaxaxaax
xaxaxaxaax
xaxaxaax
xaxaax
xaax
nnnnnn































































































































 

 
linha 0 
linha 1 
linha 2 
linha 3 
linha 4 
 De forma geral, para 
RaeRxNn  ,
, temos a chamada fórmula do 
binômio de Newton: 
  01122110
1210
xa
n
n
xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax nnnnn
n































  
 
 
 Podemos representar essa mesma fórmula utilizando o símbolo de somatório: 
  pnp
n
p
n
xa
p
n
ax 







 
0
 
Observações: 
 
I) O desenvolvimento de 
 nax 
 tem 
)1( n
 termos. 
II) Os expoentes de x decrescem de n até zero. 
III) Os expoentes de a crescem de zero até n. 
IV) A soma dos expoentes de a e x, em cada termo, é sempre igual a n. 
V) Em todos os termos, o expoente de a será o denominador do coeficiente binomial e o 
expoente de x será a diferença entre o numerador e o denominador deste coeficiente. 
VI) Se o desenvolvimento for da forma 
 nax 
, com 
0a
, os sinais de cada termo 
serão alternados, ou seja, os termos de ordem par (2º, 4º, 6º, 8º, ...) serão negativos e os 
termos de ordem ímpar (1º, 3º, 5º, 7º, ...) serão positivos. Veja: 
 
          nnnnnn a
n
n
xa
n
xa
n
x
n
axax 























  221
210
 
    nnnnnn a
n
n
xa
n
ax
n
x
n
ax 























  1
210
221 
 
 
Exemplos: 
 
1) Desenvolva os binomiais abaixo com o auxílio do triângulo de Pascal. 
 
a) 
 332 x
 
Resolução: 
 
 
2754368)32(
127129343381)32(
)2(3
3
3
)2(3
2
3
)2(3
1
3
)2(3
0
3
32
1210
233
233
031221303
01122110


























































 
xxxx
xxxx
xxxxx
xa
n
n
xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax nnnnn
n 
 
b) 
4)23( x
 
Resolução: 
 
 
169621621681)23(
11613849462724811)23(
)3(2
4
4
)3(2
3
4
)3(2
2
4
)3(2
1
4
)3(2
0
4
23
1210
2344
2344
04132231404
01122110
































































 
xxxxx
xxxxx
xxxxxx
xa
n
n
xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax nnnnn
n 
 
c) 
3)24( 
 
Resolução: 
   
 
25088)24(
222424864)24(
22114231623641)24(
)2(
3
3
14)2(
2
3
42
1
3
4
0
3
)24(
1
210
3
3
3
3312233
221




















































  n
nnnnn a
n
n
xa
n
ax
n
x
n
ax 
 
 
11. Termo geral de 
nax )( 
 
 
Observe o desenvolvimento de 
nax )( 
: 
  022110
210
xa
n
n
xa
n
xa
n
xa
n
ax nnnn
n
























  
 
 T1 T2 T3 Tn+1 
No desenvolvimento de 
nax )( 
, há n + 1 termos, sendo que cada um deles é da 
forma 
pnp xa
p
n







. 
 
 Para p = 0: 
1º termo = T1 = T0+1 = 
nxa
n
0
0






 
 Para p = 1: 
2º termo = T2 = T1+1 = 
11
1






 nxa
n
 
 Para p = 2: 
3º termo = T3 = T2+1 = 
22
2






 nxa
n
 
Generalizando: 
(p + 1) -ésimo termo = Tp+1 = 
pnp xa
p
n







 
Assim, um termo qualquer de ordem (p + 1), segundo expoentes decrescentes de x é 
dado por: 
pnp
p xa
p
n
T  





1
 
 
Observação: 
De maneira análoga, no desenvolvimento de 
nax )( 
, temos: 
  nn axax  )(
 
Assim, 
pnpp
p
pnp
p xa
p
n
Touxa
p
n
T 

 











 )1()( 11
 
 
Exemplos: 
 
1) Determine o 5º termo no desenvolvimento de 
6)1( x
. 
Resolução: 
Para o 5º termo, temos: 
1
6
451



a
n
pp
 
2
5
2
5
2
5
464
14
1
15
1
!2!4
!456
1
)!46(!4
!6
1
4
6
xT
xT
xT
xT
xa
p
n
T pnpp

























 
 
2) Encontre o coeficiente de x8 no desenvolvimento de 
 92)2(4  xx
 . 
Resolução: 
 
      929292 444424  xxxxxx
 
Temos a = 4 e n = 9 
Termo geral: 
pp
p
pp
p
pnp
p
x
p
T
x
p
T
xa
p
n
T
218
1
92
1
1
4
9
)(4
9



























 
Como queremos encontrar o coeficiente de x8, fazemos: 
5
102
8218
8218




p
p
p
xx p
 
Assim: 
8
6
8
6
8
6
8
6
10185
6
52185
15
218
1
024129
1024126
1024
!51234
!56789
1024
)!59(!5
!9
4
5
9
4
5
9
4
9
xT
xT
xT
xT
xT
xT
x
p
T ppp



































 
Logo, o coeficiente de x8 é 129 024. 
3) Determine o termo médio do desenvolvimento de 6
2
2







t
t
 
Resolução: 
Como n = 6, o desenvolvimento desse binômio terá 7 termos 
 7161 n
. Logo, 
seu termo médio é o 4º. 
Assim: 
 
Termo geral: 
3
3
4
3
4
36
4
3
64
36
3
213
1
160
160
820
8
!3123
!3456
8
)!36(!3
!6
23
6
t
outT
tT
ttT
t
t
T
t
t
T
xa
p
n
T pnpp




































 
6
2
:,)(
341
2





n
t
a
tx
temosaxDe
pp
n
Capítulo III 
Números Complexos 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
 
 O estudo dos números complexos permite resolver inúmeras questões no ramo da 
eletrônica, mecânica, elétrica, engenharia aeronáutica, geometria, dentre outros. 
 Uma aplicação indispensável dos números complexos é na Transformação de 
Joukowski, que possibilita aos engenheiros aeronáuticos a realização de estudos sobre 
aerofólios e suas influências na força de sustentação dos aviões. 
Nos circuitos elétricos, têm-se outra aplicação clássica dos números complexos, 
possibilitando o estudo dos circuitos reativos, ou seja, os circuitos que contém resistores, 
capacitores e indutores. 
Vejamos o histórico da evolução dos números complexos para posteriormente nos 
ocuparmos da evolução dos conhecimentos. 
 
1. Introdução e histórico 
 
 Por volta do ano de 1500, acreditava-se que os números reais eram suficientes 
para a resolução de todos os problemas de medida. Um dos pensamentos correntes era de 
que raízes quadradas de números negativos não existiam e quando os matemáticos se 
deparavam com equações do 3º grau do tipo 
03  qpxx
, consideravam-nas sem 
solução. 
 Em 1545, Jerônimo Cardano (1501-1576) publicou um livro chamado “Ars 
Magna” (A Grande Arte), mostrando o método para resolver equações de terceiro grau, 
que hoje é chamado de Fórmula de Cardano: 
2742
32
33 pqBe
q
AqueemBABAx 
 
 Raphael Bombelli (1526-1573), discípulo de Cardano, publicou seu livro 
“l´Algebra” (Álgebra) em 1572. No capítulo II dessa obra, trouxe a equação 
04153  xx
. Ao aplicar a fórmula de Cardano obteve: 
33 12121212 x
 
 A conclusão que poderia ser tirada é que esta equação não possui raízes reais. 
Entretanto, Bombelli observou que 4 é uma solução real da equação referida, afinal para 
x = 4, tem-se 
0441543 
. 
 Aplicando as regras usuais da álgebra ao operar com as raízes quadradas de 
números negativos, Bombelli mostrou que:      
 
 
  121212
111212
16112812
1123123212
3
3
3
32
23
3




 
 Logo, 
  12121212 3 33 
 
 Analogamente, 
  12121212 3 33 
 
 Assim, concluiu que: 
4
1212
12121212 33



x
x
x
 
 A partir de Bombelli os matemáticos passaram a usar as raízes quadradas de 
números negativos, considerando 
1
como um novo tipo de número. 
 Leonhard Euler (1707-1783) usou, em 1777, o símbolo i para representar 
1 , 
pois 12 i . Símbolo este, chamado por René Descartes em 1637 de unidade 
imaginária, devido à desconfiança que os matemáticos tinham dessa nova criação. 
1
12


i
i 
 No século XIX, Carl Friederich Gauss (1787-1855), um dos maiores matemáticos 
de todos os tempos, introduziu a expressão número complexo, representando esses 
números geometricamente. 
Após esse acontecimento, desaparece a sensação de desconforto na utilização dos 
números complexos entre os matemáticos da época. 
 
2. Forma algébrica de um número complexo 
 
 Um número complexo z pode ser escrito na forma a + bi, com a e b reais e i a 
unidade imaginária. 
Assim, 
biaz 
 é a forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte 
real de z e b é a parte imaginária. 
biaz 
 
 parte real de z: Re(z) = a parte imaginária de z: Im(z) = 
b 
 
Em um número complexo, observa-se que: 
 se a parte imaginária é nula (
0b
), então o número é real: 
aziaz  0
 
 se a parte real é nula (
0a
) e a parte imaginária é diferente de zero (
0b
), então o 
número é imaginário puro: 
 
bizbiz  0
 
 
Exemplos: 
 Em 
iz 29
, 
2)Im(9)Re(  zez
 
 Em 
2
3
i
z 
, 
2
1
)Im(3)Re(  zez
 
 Em 
3z
, 
0)Im(3)Re(  zez
 (número real) 
 Em 
iz 2
, 
2)Im(0)Re(  zez
 (número imaginário puro) 
 Em 
0z
, 
0)Im(0)Re(  zez
 (número real) 
 
3. Plano de Argand-Gauss 
 
 Gauss, por volta de 1800, observou que cada ponto do plano podia ser associado 
a um número complexo. 
 Fixando um sistema de coordenadas no plano, o complexo 
biaz 
 pode ser 
representado pelo ponto P(a, b), estabelecendo uma correspondência um a um entre os 
números complexos e os pontos do plano xOy. 
O ponto P é chamado de imagem do complexo z e o plano no qual representamos 
os complexos é chamado de plano de Argand-Gauss. 
x
y
a
b
P(a, b)
O
(Re)
(Im)
              











Re
Im
A
B
C
D
Os números representados no eixo das abscissas são números reais, ou seja, a parte 
real de z. Por esse motivo, o eixo das abscissas é chamado de eixo real. 
No eixo das ordenadas, chamado de eixo imaginário, é representada a parte 
imaginária de z. 
 
 Temos: 
 Eixo real: Ox 
 Eixo imaginário: Oy 
 Imagem geométrica de z: P 
 Plano de Argand-Gauss: xOy 
 
 
 
Observe a representação no plano complexo dos seguintes números: 
 
 Ponto A (2, 4): 
i42
 
 Ponto B (3, 1): 
i3
 
 Ponto C (-2, 0): 
2
 
 Ponto D (0, -3): 
i3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos associar cada número complexo z = a + bi a um único vetor, com uma 
das extremidades na origem do plano e a outra no ponto P(x, y). Vale lembrar que vetor 
é um segmento de reta que possui direção, sentido e comprimento. Observe a 
representação do número complexo 
iz 35
 como um vetor: 
 
 
 
4. O conjunto C 
 
 Os números complexos formam um novo conjunto chamado conjunto dos 
números complexos, representado pela letra C. 
 O conjunto dos números complexos C pode ser definido como o conjunto dos 
pares ordenados (a, b) de números reais, escritos na forma a + bi. 
 Os números complexos são os elementos de C e estão definidos de tal forma que 
seja possível realizar as operações de adição e multiplicação, além de possibilitar o 
cálculo da raiz de índice par de números negativos. As operações de adição e 
multiplicação mencionadas não sofrem alterações quando comparadas ao conjunto dos 
números reais, visto que R é subconjunto de C. 
 Não é definida uma relação de ordem no conjunto dos números complexos, ou 
seja, não existe um número complexo maior ou menor do que o outro. 
 
Exemplos: 
 
1) Resolva as equações abaixo no conjunto dos números complexos: 
 
a) 
092 x
 
 
 
        





Re
Im
z = 5 + 3i
P = (5, 3)
Resolução 
 
 iiS
ix
iFazemosx
x
x
x
x
3,3
3
)1(13
19
9
9
09
2
2







 
 
b) 
01782  xx
 
Resolução 
   
 
 iiS
ix
i
x
x
x
x
x
x
xx














4,4
4
2
2
2
8
2
128
2
148
2
48
2
68648
2
171488
0178
2
2
 
 
c) 
015123 2  xx
 
Resolução 
 
 
 iiS
ix
i
x
x
x
x
x
x
xx
xx















2,2
2
2
24
2
124
2
144
2
44
2
20164
2
5144)4(
054
015123
2
2
2
 
 
d) 
8)2()3(  yy
 
Resolução 





















iiS
iy
i
y
y
y
y
y
yy
yyy
yy
2
7
2
1
,
2
7
2
1
2
7
2
1
2
71
2
)1(71
2
71
2
811
2
21411
02
8632
8)2()3(
2
2
2
 
 
2) Determine o valor de k para que 
ikkz )1(54 
 seja: 
a) imaginário: 
Resolução 
Para 
biaz 
 ser imaginário, devemos ter 
00  bea
, ou seja, em 
ikkz )1(54 
: 
4
5
154
01054



k
kk
kek
 
Logo, 
1
4
5
 kek
 
 
b) imaginário puro: 
Resolução 
Para 
biaz 
 ser imaginário puro, devemos ter 
00  bea
, ou seja, em 
ikkz )1(54 
: 
4
5
154
01054



k
kk
kek
 
Logo, 
1
4
5
 kek
 
 
c) real: 
Resolução 
Para 
biaz 
 ser real, devemos ter 
00  bea
, ou seja, em 
ikkz )1(54 
: 
4
5
154
01054



k
kk
kek
 
Logo, 
1
4
5
 kek
 
 
 
d) tal que 
)Im()Re( zz 
 
Resolução 
Para 
biaz 
 possuir 
)Im()Re( zz 
, devemos ter 
ba 
, ou seja, em 
ikkz )1(54 
: 
2
63
514
154




k
k
kk
kk
 
 
3) Abaixo estão representadas as imagens de alguns números complexos no plano de 
Argand-Gauss. Escreva a forma algébrica desses números. 
 
 
 
Resolução 
A forma algébrica dos números complexos é 
biaz 
, sendo sua imagem igual ao ponto 
P(a, b). Logo: 
iz
z
iz
z
iz
iz
iz







2
1
22
3
1
2
23
7
6
5
4
3
2
1
 
 
5. Igualdade de números complexos 
 
       




Re
Im
z1 
z2 
z3 
z4 
z5 
z6 
z7 
               









Re
Im
 Dois números complexos 
biaz 1
 e 
dicz 2
 são iguais se, e somente se, 
suas partes reais e imaginárias forem iguais, ou seja: 
dbecasesomenteesedicbia  ,,
 
Exemplo: 
Determinar x e y em 
ixz 351 
 e 
yiz 6202 
, sabendo que z1 = z2. 
Resolução 
Se z1 = z2, temos que: 
2
1
4
6
3
5
20
63205



yx
yx
yex
 
 
6. Conjugado de um número complexo 
 
 Sendo 
biaz 
, chamamos de conjugado de z e indicamos por 
z
o número 
complexo 
bia 
, isto é: 
biazbiaz 
 
 Note que dois números complexos conjugados possuem partes reais iguais e partes 
imaginárias simétricas. 
No plano de Argand-Gauss, observa-se que complexos conjugados possuem 
imagens simétricas em relação ao eixo real x: 
 
iziz
zz
iziz
iziz
44
33
2424
3232
44
33
22
11




 
 
 
 
 
 
 
 
z1 
1z
 
z2 
2z
 
z3 = 
3z
 
z4 
4z
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determine o conjugado dos números complexos abaixo: 
 
a) 
iz 56 
 
Resolução 
iz 56
 
 
b) 
iz
5
3
2 
 
Resolução 
iz
5
3
2 
 
 
2) Calcule 
Cz
 de modo que 
izz 253 
. 
Resolução 
Considerando 
biaz 
 e 
biaz 
 temos que: 
iz
biaz
Logo
bea
bea
ibia
ibiabia
ibiabia
izz









4
5
,
1
4
5
2254
2524
2533
25)(3
253
 
 
3) Sendo 
inmz 4231 
 e 
inmz )(122 
, determine m e n de modo que 
21 zz 
. 
Resolução 
Se 
inmz )(122 
, temos que 
inmz )(122 
. 
Assim, 
2420
,
24
204
420
4
:,420
20
822
1223
4
1223
)(12423
21




















nem
Assim
n
n
n
nm
temosnmemmdoSubstituin
m
nm
nm
nm
nm
inminm
zz
 
 
7. Adição e subtração de números complexos na forma algébrica 
 
 
Na adição ou subtração de números complexos, adicionamos ou subtraímos 
separadamente as partes reais e as partes imaginárias. 
 Dados 
biaz 1
 e 
dicz 2
, definimos: 
 Adição: 
idbcadicbiazz )()()()(21 
 
 Subtração: 
  idbcadicbiazzzz )()()()(2121 
 
 
Exemplos: 
 
1) Dados 
iz 271 
 e 
iz 352 
, calcule: 
 
a) 
21 zz 
 
Resolução 
  iiiiizz  12)1(12)3(2)57()35()27(21
 
 
b) 
21 zz 
 
Resolução 
  iiiizz 52)3(2)57()35()27(21 
 
 
2) Calcule: 
 
a) 
)45()23( ii 
 
Resolução 
iiiii 224523)45()23( 
 
 
b) 
)36()82( ii 
 
Resolução 
iiiii 1183682)36()82( 
 
 
c) 
)21()35()2( iii 
 
Resolução 
iiiiiii 4221352)21()35()2( 
 
 
3) Determine o número complexo z de modo que 
izz 2524 
. 
Resolução 
Fazendo 
biaz 
 e 
biaz 
, temos: 
iz
biaz
Logo
bea
bea
ibia
ibiabia
ibiabia
izz









6
5
,
1
6
5
2256
2526
252244
25)(2)(4
2524
 
 
8. Multiplicação de números complexos na forma algébrica 
 
 A multiplicação de números complexos segue a mesma regra da multiplicação de 
polinômios, considerando 
12 i
. 
Dados dois números complexos, 
biaz 1
 e 
dicz 2
, seu produto é definido 
por: 
)1(
)()(
21
2
21
21



bdbciadiaczz
bdibciadiaczz
dicbiazz
 
 
ibcadbdaczz )()(21 
 
Exemplos: 
 
1) Dados 
iz 231 
, 
iz  12
 e 
iz 423 
, calcule: 
a) 
21 zz 
 
Resolução 
iiiiiiizz  5)1(232233)1()23( 221
 
 
b) 
13 32 zz 
 
Resolução 
iiiii
iiiiiiizz
488472244836)1(48722436
48722436)69()84()23(3)42(232 213


 
 
c) 
)3(3 322 zzz 
 
Resolução 
   
iiiii
iiiiiii
iiiiiizzz
551754181)186(31
)126126(31)126126(31
)126()1(31)42(3)1(31)3(3
2
322



 
 
2) Sendo z1 e z2 os números complexos representados no plano de Argand-Gauss abaixo, 
escreva a forma algébrica do número complexo 
3z
, tal que 
213 2 zzz 
. 
 
 
 
Resolução 
No plano de Argand-Gauss, observa-se que: 
iz
iz


2
21
2
1
 
Logo, 
iz  22
 
Assim, 
iz
iiz
iiz
iiiz
iiz
iiz
zzz
68
4824
)1(4824
4824
)2()42(
)2()21(2
2
3
3
3
2
3
3
3
213







 
 
3) Determine o valor de x, 
Cx
, tal que 
)2()43( ixi 
seja: 
a) um número real: 
Resolução 
ixxxiixixiixixi )46()83()1(84638463)2()43( 2 
Para um número complexo ser real, a parte imaginária deve ser igual a zero. 
Assim: 
       



Re
Im
z1 
z2 
2
3
4
6
64
046




x
x
x
x
 
 
b) um número imaginário puro: 
ResoluçãoPara um número complexo ser imaginário puro, a parte real deve ser igual a zero. 
Assim: 
3
8
83
083



x
x
x
 
 
9. Divisão de números complexos 
 
 O quociente entre dois números complexos pode ser obtido multiplicando o 
dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. Com isso, obtemos uma divisão por um 
número real. 
 Considere 
biaz 1
 e 
dicz 2
. O quociente de z1 por z2 é dado por: 
)0( 2
22
21
2
1 


 zcom
zz
zz
z
z
 
 Observe que 
22 zz 
 é um número real: 
22222
22 )()( dcidcdicdicdicdiczz 
 
 número real 
Exemplos: 
 
1) Dados 
izeiziz 213,42 321 
, calcule: 
a) 
2
1
z
z
 
Resolução 
i
i
iii
iii
i
i
i
i
i
i
z
z
5
7
5
1
10
142
339
41226
3
3
3
42
3
42
2
2
2
1 














 
 
b) 
1
32
2z
zz 
 
Resolução 
ii
i
iii
iii
i
i
i
i
i
iii
i
ii
z
zz
4
1
4
3
80
20
80
60
6416
2060
64323216
40204020
84
84
84
55
84
263
)42(2
)21()3(
2
2
2
2
1
32





















 
 
c) 
31
21
zz
zz


 
Resolução 
i
i
iii
iii
i
i
i
i
ii
iii
ii
ii
zz
zz
62
5
3010
4221
20102010
21
21
21
1010
2142
41226
)21()42(
)3()42(
2
2
2
31
21





















 
 
2) Dado o número complexo 
iz 33 
, escreva o seu inverso, z-1, na forma algébrica. 
Resolução 
O inverso de um número complexo 
biaz 
 é dado por 
bia
z


11
. 
Logo, 
iz
iz
i
z
iii
i
z
i
i
i
z
divisordoconjugadopelondomultiplica
i
z
4
1
12
3
12
3
12
3
12
33
933333
33
33
33
33
1
)(
33
1
1
1
1
2
1
1
1




















 
 
3) Calcule x e y de modo que 
i
i
yix
25
23
32



. 
Resolução 
81
610
54
2235
3
1
27
610
2
1
27
2235
27
610
3
27
2235
2
27
610
27
2235
32
27
)610()2235(
32
2252525
2210635
32
25
25
25
23
32
25
23
32
2
2
































yex
yex
yex
iyix
i
yix
iii
iii
yix
i
i
i
i
yix
i
i
yix
 
 
10. Potências de i 
 
 Utilizando as mesmas propriedades da potenciação definidas nos números reais e 
sabendo que 
12 i
, podemos calcular as potências de i, com 
Ni
. 
iiiii
iii
iiiii
iii
iiiii
iii
iiiii
i
ii
i










1
111
1
1)1(1
1
1)1(1
1
1
1
89
448
67
246
45
224
23
2
1
0
 
 
 Observe como os resultados repetem-se de quatro em quatro. 
Desse modo, para calcular in, indicando por q e r, respectivamente, o quociente e 
o resto da divisão de n por 4, obtemos: 
n 4 
)30(4  rrqn
 
r q 
 
Portanto: 
rqn
rqn
rqn
iii
iii
ii


 
)( 4
4
4
 
Como 
14 i
, temos: 
rn
rn
rqn
ii
ii
ii



1
1
 
 Sendo assim, para calcular in basta dividir o expoente n, n inteiro e positivo, por 4 
e observar: 
 Se o resto for 0, 
1ni
 
 Se o resto for 1, 
ii n 
 
 Se o resto for 2, 
1ni
 
ii  ,1,,1
 
ii  ,1,,1
 
 Se o resto for 3, 
ii n 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule: 
 
a) i85 
Resolução 
85 4 
121485 
 
 1 21 
iiiiiii   11211214121485 .1)(
 
Ou, brevemente, observa-se que o resto da divisão de 85 por 4 é 1. Logo, 
iii  185
 
 
 
b) i50 
Resolução 
50 4 
212450 
 
 2 12 
O resto da divisão de 50 por 4 é 2, logo: 
1250  ii
 
 
2) Determine o valor da expressão 
1803415043 32 iiii  
. 
Resolução 
43 4 
 3 10 
O resto da divisão de 43 por 4 é 3, logo 
iii  343
. 
150 4 
 2 37 
O resto da divisão de 150 por 4 é 2, logo 
12150  ii
. 
34 4 
 2 8 
O resto da divisão de 34 por 4 é 2, logo 
1)()( 1213434   iii
. 
180 4 
 0 45 
O resto da divisão de 180 por 4 é 0, logo 
10180  ii
. 
Assim: 
iiiiiii   631213)1()1(232 1803415043
 
 
3) Determine o valor da potência 
2)22( i
. 
Resolução 
iiiii 8484484)22( 22 
 
 
4) Determine as raízes quadradas de 
i43
. 
Resolução 
Devemos obter os números complexos 
)( RbeRabiaz 
, tais que 
iz 432 
. Ou seja: 















)(2
)(3
42
3
432
432
43)(
2222
22
222
2
IIab
Iba
ab
ba
iabiba
iibabia
ibia
 
Da equação (II), temos: 
)(
2
III
b
a 
 
Substituindo (III) em (I): 
043
)1(043
34
)(3
4
3
2
3
24
24
24
22
2
2
2
22











bb
portermosostodosndomultiplicabb
bb
bportermosostodosndomultiplicab
b
b
b
ba
 
Para resolver essa equação biquadrada faremos 
yb 2
: 
1
4
043
043)(
043
2
1
2
222
24






y
y
yy
bb
bb
 
Como 
yb 2
, temos: 
2
)(14
14 22



b
Rbpoisimpossívelbb
boub
 
Na equação (II): 
 Se 
2b
, então: 
 
1
22
2



a
a
ab
 
 Se 
2b
, então: 
1
2)2(
2



a
a
ab
 
Logo, as raízes quadradas de 
i43
são: 
izouiz 2121 21  
 
11. Módulo e argumento de um número complexo 
 
 Estudamos anteriormente a forma algébrica de um número complexo 
biaz 
, 
onde a é a parte real e b a parte imaginária de z. Vejamos agora outra forma de representar 
um número complexo, considerando uma distância e um ângulo. 
 Consideremos o plano de Argand-Gauss abaixo com o número complexo 
biaz 
e o ponto P(a, b) que o representa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A distância de P à origem O está indicada pela grandeza 

, é chamada de módulo 
de z e indicamos por 
z
. 
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OaP para calcular a 
distância de P à origem O, ou 

, temos: 

 22222 baba  
22 baz 
 
 O ângulo 
)20(  
formado por 
OP
e pelo eixo real, no sentido anti-
horário, conforme indicado na figura anterior, é chamado de argumento de z (
0z
) e é 
representado por arg(z). Sendo assim, escrevemos: 
)arg(z
 
 Note que: 


a
cos
 


b
sen 
 
 
 Os números 

e 

 são as coordenadas polares do ponto P(a, b) no plano e 
determinam a posição do ponto no plano. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o módulo dos números complexos abaixo: 
 
a) 
iz 43
 
Resolução 
5
25
169
43 22
22




z
z
z
z
baz
 
 
b) 
iz 72 
 
Resolução 
51
492
)7()2( 22
22




z
z
z
baz
 
 
c) 
25
3 i
z 
 
Resolução 
10
61
100
61
100
2536
4
1
25
9
2
1
5
3
22
22



















z
z
z
z
z
baz
 
 
2) Determine o módulo e o argumento do número complexo 
iz 1
e faça sua 
representação geométrica. 
Resolução 
2
11 22
22





 baz
 
Determinando o argumento: 
4
2
2
2
1
2
2
2
1
cos















b
sen
a
 
 
 
12. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos 
 
 Consideremos o plano de Argand-Gauss abaixo e a representação do número 
complexo não-nulo 
biaz 
, com 
RbeRa 
, módulo 

e argumento 

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observamos que: 






senb
b
sen
a
a

 coscos
 
 Substituindo esses valores na forma algébrica de um número complexo, obtemos 
a chamada forma trigonométrica ou forma polar do número complexo. 
 
 isenzbiaz  cos )(cos  seniz  
 
Exemplos: 
 
1) Escrever o número complexo 
iz 33
 na forma trigonométrica e fazer sua 
representação geométrica. 
Resolução 
Cálculo do o módulo de z: 
231833 2222   ba 
Cálculo do argumento de z: 
4
2
2
6
23
23
3
2
2
6
23
23
3
cos













b
sen
a
 
Forma trigonométrica de z: 








44
cos23
)(cos


isenz
seniz
 
 
 
 
2) Escrever o número complexo 







66
cos2

isenz
 na forma algébrica e fazer sua 
representação geométrica. 
Resolução 
Forma algébrica: 
iz
iz
iz
isenz


















3
2
2
2
32
2
1
2
3
2
66
cos2

 
Da forma trigonométrica 
)(cos  seniz 
, temos que em 







66
cos2

isenz
: 
º30
6
2 
 e
 
 
 
13. Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica 
 
 Considere os números complexos na forma trigonométrica 
)(cos 1111  seniz 
e 
)(cos 2222  seniz 
. Vamos calcular: 
 o produto 
21 zz 
: 
  





)cos(coscoscos
coscoscos(cos
)(cos)(cos
)(cos)(cos
212121212121
21
2
2121212121
22112121
22211121




sensenisensenzz
sensenisenisenizz
senisenizz
senisenizz
 
    21212121 cos   senizz 
 
 De maneira geral, para n números complexos, 
nzzz ,,, 21 
, o produto z é um 
número complexo cujo módulo é o produto dos módulos e o argumento é a soma dos 
argumentos dos fatores, ou seja: 
    nnnn senizzzz    21212121 cos
 
 
 o quociente 
2
1
z
z
, com 
02 z
:  
 
















)(cos
)coscos(coscos
)(cos
coscoscoscos
)(cos
)(cos
)(cos
)(cos
)(cos
)(cos
2
2
2
2
2
212121211
2
1
2
22
2
22
2
21
2
21212121
2
1
222
222
222
111
2
1
222
111
2
1










sen
sensenisensen
z
z
seni
senseniseniseni
z
z
seni
seni
seni
seni
z
z
seni
seni
z
z
 
    2121
2
1
2
1 cos 

 seni
z
z
 
 
 De maneira geral, o quociente entre dois números complexos 
1z
 e 
2z
 é o número 
complexo cujo módulo é igual ao quociente dos módulos e cujo argumento é igual à 
diferença, na ordem dada, dos argumentos de 
1z
e 
2z
. 
 
Exemplos: 
 
1) Dados os números complexos 







22
cos41

seniz
 e 







33
cos62

seniz
, calcule: 
 
a) 
2
1z
 
Resolução 
A forma trigonométrica de z é 
)(cos  seniz 
. Assim, de 







22
cos41

seniz
, temos que: 
2
4
  e
 
Como 
    21212121 cos   senizz , temos que: 
    
 
 
16
0116
cos16
2222
cos44
cos
11
11
11
11
11111111
2
1























zz
izz
senizz
senizz
senizzz



 
 
b) 
21 zz 
 
Resolução 
De 







22
cos41

seniz
, temos que: 
2
4 11
  e
 
De 







33
cos62

seniz
, temos que: 
3
6 22
  e
 
Assim: 
    
izz
izz
senizz
senizz
senizz
12312
2
1
2
3
24
6
5
6
5
cos24
3232
cos64
cos
21
21
21
21
21212121


















































 
 
c) 
2
1
z
z
 
Resolução 
2
4 11
  e
 
3
6 22
  e
 
 
    
i
z
z
i
z
z
i
z
z
seni
z
z
seni
z
z
seni
z
z
3
1
3
3
6
2
6
32
2
1
2
3
3
2
66
cos
3
2
3232
cos
6
4
cos
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2121
2
1
2
1





















































 
 
14. Potenciação de números complexos na forma trigonométrica 
 
 Considere 
)(cos  seniz 
e n um número inteiro maior que 1. Sabemos 
que: 
zzzzz n  
. Portanto: 
 n fatores 
 
       seniz n cos 
)(cos  nseninz nn  
 Essa igualdade é conhecida como a 1ª fórmula de Moivre. Abraham De Moivre 
(1667-1754) foi um matemático francês que se dedicou, em grande parte, ao estudo de 
teoria de probabilidades e aos números complexos. 
 
Exemplos: 
 
1) Sabendo que 
iz
2
3
2
3

, calcule 6z e 14z . 
Resolução 
Cálculo do módulo de z: 
3
4
12
4
3
4
9
2
3
2
3
22
22























 ba
 
Cálculo do argumento de z (

): 
)º30(
6
2
1
3
2
3
2
3
6
33
32
3
3
2
3
cos















b
sen
a
 
Cálculo de 6z :  
 
27
)01(27
cos27
6
6
6
6cos3
)(cos
6
6
6
6
6











z
iz
seniz
seniz
nseninz nn



 
Cálculo de 14z : 
 
iz
iz
seniz
seniz
nseninz nn
2
33
2
3
2
3
2
1
3
3
7
3
7
cos3
6
14
6
14cos3
)(cos
77
14
714
714
14
14



























 
 
15. Radiciação de números complexos na forma trigonométrica 
 
 Dado um número complexo 
biaz 
, o número 
wz
 é chamado de raiz enésima 
de z se, e somente se, 
)2,(  nNnzz nw
. 
 Seja 
  seniz  cos
 o número complexo 
biaz 
 na sua forma 
trigonométrica e 
 wwww seniz   cos
 uma de suas raízes enésimas. 
 Aplicando a 1ª fórmula de Moivre, temos que: 
      seninsenin wwnw  coscos 
 Assim, 
 
 
)(2
2
coscos
)(
II
n
k
kn
sennsen
n
I
ww
w
w
n
w
n
w
















 
 Substituindo os valores de 
w
e de 
w
 em 
 wwww seniz   cos
, temos: 
 wwww seniz   cos
 





 



n
k
seni
n
k
z nw
 22cos
 
 Essa fórmula é conhecida como a 2ª fórmula de Moivre. 
Como 
 220 
n
k
 , pois é o argumento de 
wz
, então os possíveis valores 
reais para k são: 
n
n
nk
n
k
n
k
n
k
n








)1(2
1
4
2
2
1
0
1
2
1
0









 
 Observemos que para 
1,,2,1,0  nk 
, os valores de zw são todos diferentes, 
pois os arcos 
n
k 2
 não são congruentes. Daí em diante, ou seja, para 
,2,1,  nnnk
, os arcos coincidem em seus pontos terminais e os valores de zw se 
repetem. 
 Logo, para obtermos as n raízes de um número complexo, basta fazer na fórmula 
anterior 
1,,2,1,0  nk 
, contanto que 
0z
. Conclui-se que, todo número complexo 
z, 
0z
, possui exatamente n raízes enésimas distintas. 
 
Exemplos: 
 
1) Calcular as raízes quadradas de 
iz 322
. 
Resolução 
Cálculo de 

: 
  416344322 22  
Cálculo de 

: 
3
2
3
4
32
2
1
4
2
cos















b
sen
a
 
Logo, 
 








33
cos4
cos


seniz
seniz
 
Aplicando a 2ª fórmula de Moivre para obter as raízes quadradas de 
iz 322
: 





































 



2
2
3
2
2
3cos2
2
2
3
2
2
3cos4
22
cos
2










k
seni
k
z
k
seni
k
z
n
k
seni
n
k
z
w
w
n
w
 
Como n = 2, basta calcular k = 0 e k = 1. 
 
  iiseniseni
seniseniz
kPara














































3
2
1
2
3
2º30º30cos2
66
cos2
2
3
2
3cos2
2
02
3
2
02
3cos2
:0
0


 
 
ii
seniseniseni
seniseniz
kPara































































3
2
1
2
3
2
º210º210cos2
6
7
6
7
cos2
2
3
7
2
3
7
cos2
2
2
3
2
2
3cos2
2
12
3
2
12
3cos2
:1
1










 
 
 iiS  3,3
 
 
 
 
 
Capítulo IV 
Polinômios 
Rogério Mazur 
 
1. Definição 
Dados um número natural n e os números complexos, 
01221 ,,...,,, aeaaaaa nnn 
denomina-se função polinomial na variavel x a função, 
n
n xaxf )(
, ou seja: 
01
2
2
3
3
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n
n
n 






 
Temos: 
 x, a variável 
 
1221 ,,...,,, aaaaa nnn 
, são os coeficientes que multiplicam a variável. 
 
xaxaxaxaxxa nn
n
n
n
n
n
n 1
2
2
3
3
2
2
1
1 ,,...,,,,






 e 
0a
 são os termos do polinômio, 
 
0a
é o termo independente de x. 
 
Exemplos de polinômio: 
a) 
2085)( 3  xxxP
 
Onde: 
0a
= -20 
1a
= -8 
2a
= 0 
3a
= 5 
Observe que o termo x2 não aparece no polinômio, logo seu coeficiente é zero. 
b) 
53)( 24  xxxP
 
Onde: 
0a
= 5 
1a
= 0 
2a
= 3 
3a
= 0 
4a
= 1 
 
2. Grau de um polinômio 
Grau de um polinômio P(x) é o máximo expoente n que o polinômio apresenta. E o seu 
coeficiente é chamado de coeficiente dominante. 
Exemplos: 
𝑃(𝑥) = 3 ou 𝑃(𝑥) = 3𝑥0, polinômio de grau zero 
𝑃(𝑥) = 5𝑥3 − 8𝑥 − 20, polinômio de grau três 
𝑃(𝑥) = 4𝑥5 + 2𝑥 + 1, polinômio de grau cinco 
𝑃(𝑥) = 𝑥10 + 81𝑥 − 210, polinômio de grau dez 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determine o valor de m para que o polinômio 
82)1()102()( 234  mxmxxmxmxP
 seja do grau 3. 
 
Resolução: 
Para o polinômio ser do grau 3 o coeficiente de 
4x
deve ser zero 
0)102( m
 
102 m
 
5m
 
 
Resposta: Para que o polinômio seja de grau 3, o valor de m deve ser 5. 
 
2) Determine o valor de a para que o polinômio 
162)2()4()( 2352  xxxaxaxP
 seja de grau 2. 
 
Resolução: 
Para que o polinômio seja de grau 2 os coeficientes de 
5x
e 
3x
devem ser iguais a zero. 
Para 
5x
 
0)4( 2 a
 
2a
 
Para 
3x
 
0)2( a
 
2a
 
Resposta: Para que o polinômio seja de grau 2, o valor de a deve ser -2. 
 
3) Considere o polinômio 
20424)( 23  xxxxP
. Calcule o valor de 
)2(P
. 
 
Resolução: 
20424)( 23  xxxxP 
Substituindo x=-2 
20)2(4)2(2)2(4)2( 23 P 
2084.2)8.(4)2( P 
2084.2)8.(4)2( P 
208832)2( P 
36)2( P
 
 
Resposta: O valor de
36)2( P
 
Neste exemplo, calculamos o valor numérico do polinômio, para x = -2. 
 
3. Valor numérico de um polinômio 
Valor numérico de um polinômio é o valor do polinômio para um determinado valor da 
variável x. Para determinarmos o valor numérico de um polinômio para x=a, onde a é um 
número real, devemos substiruir a variavel x do polinômio pelo valor de a e efetuar as 
operações da expresão do polinômio. 
 
Exemplos: 
1) Determine o valor numérico do polinômio
2085)( 3  xxxP
 para x = 5. 
Resolução: 
Substituindo x pelo valor 5, 
2085)( 3  xxxP
 
205.85.5)5( 3 P
 
Efetuando as operações, 
2040125.5)5( P
 
2040625)5( P
 
565)5( P
 
Resposta: o valor numérico do polinômio, para x=5, é 565. 
 
2) Determine o valor numérico do polinômio
65)( 2  xxxP
 para x=3. 
Resolução: 
Substituindo x pelo valor 3, 
65)( 2  xxxP 
63.53)3( 2 P
 
Efetuando as operações: 
6159)3( P
 
0)3( P
 
Resposta: o valor numérico do polinômio, para x=3, é zero. 
Quando o valor numérico do polinômio, para x=a, resulta em zero, dizemos que a é raiz 
do polinômio. 
 
3) O polinômio 
124)( 2  mxxxP
 apresenta o valor numérico de 
30)3( P
. 
Determine o valor de m. 
Resolução: 
Vamos substituir x=3 e 
30)3( P
 no polinômio; 
124)( 2  mxxxP 
123.3.4)3( 2  mP 
1233630  m 
m34830 
 
m34830 
 
m318  
6m
 
Resposta: Para que 
30)3( P
, o valor de m é 6. 
 
4) Determine o valor de n no polinômio
83)(  xxxP n
 para queo valor numérico 
do polinômio para x=2 seja 18. 
 Resolução: 
Vamos substituir o valor de x=2 e
18)2( P
 no polinômio, 
83)(  xxxP n 
82.32)2(  nP 
Substituindo 18)2( P 
86218  n 
14218  n 
n21418  
n24  
Fatorando o termo 4, temos 
n222  
Como as bases são iguais, os expoentes também são iguais, portanto 
2n 
Resposta: Para que o valor numérico do polinômio, para x=2, seja 18, n deve ser igual a 
2. 
 
5) Calcule o valor numérico de 
132)( 2345  xxxxxxP
, para 
ix 
, sendo 
i a unidade imaginária. 
 
Resolução: 
Substituindo 
ix 
 em P(x): 
132)( 2345  xxxxxxP
 
132)( 2345  iiiiiiP
 
1)1()(31.2)(  iiiiP
 
1132)(  iiiiP
 
iiP 52)( 
 
Resposta: O valor numérico é 
iiP 52)( 
 
 
4. Polinômio nulo 
 
Um polinômio nulo, ou identicamente nulo, é aquele em que todos seus coeficientes são 
iguais a zero. 
01
2
2
3
3
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxaxaxP
n
n
n
n
n
n
n
n 






 
01
2
2
3
3
2
2
1
1 ...0 axaxaxaxaxaxa
n
n
n
n
n
n
n
n 





 
012321 ...0 aaaaaaa nnnn   
0)( xP
 polinômio nulo 
 
 
Exemplos: 
1) Determine os valos de a,b e c para o polinômio 
9)62()( 22  cxbaxxP
 
seja nulo. 
 
Resolução: 
Para o polinômio seja nulo todos os seus coeficientes devem ser nulos. 
Temos os coeficientes: 
a=0 
2b+6=0 
092 c
 
As soluções são: 
a=0 
b=-3 
3c
 
Resposta: Os coeficientes devem ser a=0,b=-3 e 
3c
 
 
2) Dado o polonômio
62)3(5)()( 2  axbxbaxP
 determine os valores de a 
e b para que o polinômio seja nulo. 
Resolução: 
Sabemos que 
6+2a=a e 3)-5(b=ab,+a 012 a
 
Como a condição de polinômio nulo é 
0a =a 012 a
 
temos 
0b+a=2 a
 
3=b0=3)-(b=1 a
 
-3=a6+2a=0 a
 
Resposta: Para que o polimômio seja nulo, 
3=b
e 
-3=a
 
 
5. Polinômios idênticos 
 
Sejam dois polinômios
)(1 xP
 e 
)(2 xP
. Eles serão idênticos quando todos os seus 
coeficientes forem respectivamente iguais. 
Sejam 
01
2
2
1
11 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


 
01
2
2
1
12 ...)( bxbxbxbxbxP
n
n
n
n 


 
Se 
)()( 21 xPxP 
 
então 
nn ba 
, 
22 ba 
, 
11 ba 
, 
00 ba 
 
 
Exemplos: 
3) Sejam os polinômios
cbxaxxP  21 )(
 e 
83)( 22  xxxP
, determine os 
valores de a,b e c para que os polinômios sejamm idênticos. 
 
Resolução: 
Igualando os coeficientes dos polinômios, respectivamente, temos: 
cbxaxxP  21 )(
 
83)( 22  xxxP
 
Para o termo em x2, temos a=1 
Para o termo em x, temos b=3 
Para o termo independente, temos c=8 
 
Resposta: Para que os polinômios sejam idênticos, devemos ter a=1, b=3 e c=8. 
 
4) Sabendo que os polinômios 
3)()()( 21  caxbaxbaxP
 e 
35)( 22  xxxP
 são idênticos, determine os valores de a,b e c. 
 
Resolução: 
Comparando os coeficientes para o termo em x2 dos polinômios, temos: 
5ba
 
Comparando os coeficientes para o termo em 𝑥 dos polinômios, temos: 
1ba
 
Comparando os coeficientes do termo idependente dos polinômios, temos: 
33 ca
 
Das duas primeiras equações temos: 
5ba
 
1ba
 
Usando o método da soma para resolver o sistema, 
42 a
 
logo 
2a
 
Substituindo o valor de 
2a
 na equação 
5ba
 
52 b
 
3b
 
Substituindo o valores encontrados na equação: 
33 ca
 
332  c
 
4c
 
Resposta: Para que os polinômios sejam idênticos, devemos ter 
2a
, 
3b
 e 
4c
. 
 
5) Calcule os valores de a e b na expressão: 
2
68
12 2 




 xx
x
x
b
x
a
 
 
Resolução: 
Sabemos que: 
1)-2).(x+(x22  xx
 
Efetuando a operação de soma de frações, temos: 
2
68
)1)(2(
2)+b(x+1)-a(x
2 


 xx
x
xx
 
Como os denominadores são iguais, os numeradores tambem são, logo: 
68x =2)+b(x+1)-a(x 
 
Aplicando a propriedade distributiva: 
68x =2b+bx+a-ax 
 
Colocando x em evidência: 
68x =2b+a-b)x(a 
 
Aqui, temos uma igualdade de polinômios. Igualando os termos, rspectivamente, temos 
o seguinte sistema: 
{
𝑎 + 𝑏 = 8
−𝑎 + 2𝑏 = 6
 
Resolvendo o sistema, chegamos a: 
3
14
3
10
 bea
 
Resposta: Para que se tenha a igualdade, deve-se ter 
3
14
3
10
 bea
. 
 
6) Sendo P(x) um polinômio do segundo grau tal que P(1)=7, P(2)=10 e P(0)=8, 
determine esse polinômio. 
Resolução: 
Um polinômio do segundo grau é da forma: 
cbxaxxP  2)(
 
Fazendo P(1)=7 ou seja x=1 
cbaP  1.1.)1( 2
 
Substituindo P(1)=7 
cba 7 (1) 
Fazendo P(2)=10 ou seja x=2 
cbaP  2.2.)2( 2
 
Substituindo P(2)=10 
cba  2410 (2) 
Fazendo P(0)=8 ou seja x=0 
cbaP  0.0.)0( 2
 
Substituindo P(0)=8 
c8 (3) 
Temos o sistema: 








c
cba
cba
8
2410
7
 
Substituindo o valor de c=8 nas duas primeiras equações temos 





2.24
1.
ba
ba
 
Resolvendo o sistema, chegamos a a = 2 e b = -3. 
Substituindo os valores de a, b e c em 
cbxaxxP  2)(
 temos: 
832)( 2  xxxP
 
Resposta: o Polinômio desejado é 
832)( 2  xxxP
 
 
 
6. Adição subtração e multiplicação de polinômios 
 
Considere os polinômios: 
01
2
2
1
11 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 
01
2
2
1
12 ...)( bxbxbxbxbxP
n
n
n
n 


 
Na adição 
)()( 21 xPxP 
 devemos somar os coeficientes das variáveis de mesma 
potência: 
 
)()()(...)()()()( 0011
2
22
1
1121 baxbaxbaxbaxbaxPxP
n
nn
n
nn 


 
 
A subtração 
)()( 21 xPxP 
é definida como: 
)()()(...)()()()( 0011
2
22
1
1121 baxbaxbaxbaxbaxPxP
n
nn
n
nn 

 
 
Definimos a multiplicação de polinômios como: 
)...).(...()().( 01
2
2
1
101
2
2
1
121 bxbxbxbxbaxaxaxaxaxPxP
n
n
n
n
n
n
n
n 




 
Para resolver, devemos aplicar a propriedade distributiva de todos os elementos de )(1 xP 
com todos os elementos de )(2 xP 
 
Exemplos: 
1) Dados os polinômios 35)( 2  xxxP e 52)( 2  xxxP 
Determine: 
a) 
)()( 21 xPxP 
 
b) 
)()( 21 xPxP 
 
c) 
)().( 21 xPxP
 
Resolução: 
a) 
5)+2x+(x+3)+x-(5x)()( 2221  xPxP
 
5)(3+2)x(-11)x(5)()( 221  xPxP
 
8+x6x)()( 221  xPxP
 
 
b) 
5)+2x+(x-3)+x-(5x)()( 2221  xPxP
 
5)(3+2)x(-11)x(5)()( 221  xPxP
 
2-3x-4x)()( 221  xPxP
 
 
c) 
5)+2x+3).(x+x-(5x)().( 2221 xPxP
 
fazendo a distribuição 
5)+2x+3.(x+5)+2x+x.(x-5)+2x+.(x5x)().( 222221 xPxP
 
Efetuando a multiplicação 
15+6x+3x+5x-2x-x-25x+10x+5x)().( 22323421 xPxP
 
Agrupando os termos semelhantes 
15+x26x+9x+5x)().( 23421 xPxP
 
 
 
2) Qual é o polinômio que subtraindo
58x-10x)( 21 xP
 𝑃1(𝑥) = 10𝑥
2 − 8𝑥 + 5 
resulta em 
7+x35x-10x+4x)( 2342 xP
? 
 
Resolução: 
Pela condição, temos 
)()()( 21 xPxPxP 
 
)()()( 21 xPxPxP 
 
)7+x35x-10x+4x(5)8x-10x()( 2342 xP
 
 Somando os termos de mesma potência, temos: 
12+x55x10x+4x)( 234 xP
 
 
Resposta: o polinômio procurado é 
12+x55x10x+4x)( 234 xP
 
 
 
 
7.Divisão de polinômios 
 
a) Método das chaves 
Podemos fazer uma analogia com as divisões de números reais , onde: 
 
Dividendo Divisor 
Resto Quociente 
 
E ainda: 
Dividendo =(divisor) .(quociente) +resto 
Para os polinômios, essa regra tambem é verdadeira. 
O grau do polininômio do quociente é a diferença entre o grau do dividendo e o do 
divisor. 
Nessa operação, se P(x) é o dividendo, o divisor é D(x), o quociente é Q(x) e o resto 
é R(x), temos: 
 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
 
𝑒 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎: 
P(x)=D(x).Q(x)+R(x) 
 
Quando a divisão de P(x) por D(x) resultar em um resto R(x) igual a zero dizemos 
que a divisão é exata. 
 
Exemplos: 
1) Determine a divisão de
6+x74xx)( 23 xP
 por 
2+x)( xD
: 
Resolução: 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
Para efetuarmos a divisão, devemos completar e ordenar os polinômios. Neste caso, já 
está nessa forma. 
Montando a divisão: 
6+x74xx 23 
 x+2 
 
Dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor. Temos 3x 
dividido por x, que dá x2. Colocamos x2 no quociente. Multiplicamos x2 por (x+2), 
invertemos o sinal do resultado e colocamos embaixo de P(x): 
6+x74xx 23 
 x+2 
23 x2x- 
 2x 
Somamos P(x) com o resultado da multiplicação e colocamos embaixo, 
 
6+x74xx 23 
 x+2 
23 x2x- 
 2x 
 
6+x72x 2 
 
 
Dividimos agora 22x por x. O resultado é 2x, que colocamos no quociente. 
Multiplicamos por (-1) e levamos embaixo do dividendo. 
6+x74xx 23 
 x+2 
23 x2x- 
 
x2x2 
 
 
6+x72x 2 
 
 
x42x- 2 
 
 
Somando temos: 
6+x74xx 23 
 x+2 
23 x2x- 
 
x2x2 
 
 
6+x72x 2 
 
 
x42x- 2 
 
 
6+3x
 
 
Vamos agora dividir 3x por x: 
6+x74xx 23 
 x+2 
23 x2x- 
 
32x2  x
 
 
6+x72x 2 
 
 
x42x- 2 
 
 
6+3x
 
 
6-3x-
 
 
Somando as duas últimas linhas: 
6+x74xx 23 
 x+2 
23 x2x- 
 
32x2  x
 
 
6+x72x 2 
 
 
x42x- 2 
 
 
6+3x
 
 
6-3x-
 
 0 
Lembrando que: 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
Então temos: R(x)=0 e 
32xQ(x) 2  x
 
 
Resposta: O resultado da divisão é 
32xQ(x) 2  x
 e o resto R(x) = 0. 
Lembre-se de que quando o resto da divisão resulta em zero, a divisão é exata. 
 
2) O Polinômio
baxxxP  2)(
 é divisível por D(x)= x +1, e P(1) = 4 qual é o valor de 
a e b? 
 
Resolução: 
Sabemos que, para que a divisão seja exata, o resto deve ser zero. 
Fazendo a divisão 
baxx 2
 x +1 
 
 
Vamos dividir por x 
baxx 2
 x +1 
xx  2
 x 
 
Somando as linhas: 
baxx 2
 x +1 
xx  2
 x 
bxa  )1(
 
 
Vamos dividir por (a-1) 
baxx 2
 x +1 
xx 42 
 
)1(  ax
 
bxa  )1(
 
)1()1(  axa
 
Somandoas linhas: 
baxx 2
 x +1 
xx 42 
 
)1(  ax
 
bxa  )1(
 
)1()1(  axa
 
ba  1
 
 
Para que a divisão seja exata, o resto deve ser zero, logo: 
01  ba
 
 
1 ba
 
Sabemos que P(1)=4, substituindo em P(x) 
baxxxP  2)(
 
baP  1.1)1( 2
 
ba  .14
 
3ba
 
Temos o sistema das equações encontradas: 





3
1
ba
ba
 
Resolvendo o sistema temos: 
a = 2 e b = 1 
 Resposta: Os valores procurados são a = 2 e b = 1. 
 
3) Calcule o quociente e o resto da divisão de 
12)( 3  xxxP
 por
2)(  xxD
: 
Montando a divisão: 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
Substituindo P(x) e D(x): 
123  xx
 x+2 
 
 
 Vamos dividir por 𝑥2 
123  xx
 x+2 
23 2xx 
 
2x
 
 
Somando as linhas: 
123  xx
 x+2 
23 2xx 
 
2x
 
122 2  xx
 
 
Vamos dividir por 
x2
 
123  xx
 x+2 
23 2xx 
 
xx 22 
 
122 2  xx
 
 
xx 42 2 
 
 
 Somando as linhas: 
123  xx
 x+2 
23 2xx 
 
xx 22 
 
122 2  xx
 
 
xx 42 2 
 
 
16 x
 
 
 dividindo por: 6 
123  xx
 x+2 
23 2xx 
 
622  xx
 
122 2  xx
 
 
xx 42 2 
 
 
16 x
 
 
126  x
 
 
Somando as últimas linhas: 
123  xx
 x+2 
23 2xx 
 
622  xx
 
122 2  xx
 
 
xx 42 2 
 
 
16 x
 
 
126  x
 
 -13 
 
 
Resposta: O resultado da divisão é o quociente 
62)( 2  xxxQ
 e o resto é R(x)= -13. 
 
4) O resto da divisão do polinômio
baxxxxxP  234)(
 por 
1)( 2  xxD
é 4. 
Determine os valores de a e b. 
Fazendo a divisão 
baxxxx  234
 
12 x
 
 
 
Vamos dividir por x2 
baxxxx  234
 
12 x
 
24 xx 
 
2x
 
 
Somando as linhas: 
baxxxx  234
 
12 x
 
24 xx 
 
2x
 
baxx 3
 
 
Vamos dividir por x 
baxxxx  234
 
12 x
 
24 xx 
 
xx 2
 
baxx 3
 
xx  3
 
Somando as linhas: 
baxxxx  234
 
12 x
 
24 xx 
 
xx 2
 
baxx 3
 
xx  3
 
bxa  )1(
 
O resto da divisão é igual a 4, logo: 
4)1(  bxa
 
Na igualdade temos as condições: 
01a
 
1a
 
4b
 
Resposta: Os valores procurados são 
1a
 e 
4b
 
 
d) Método dos coeficientes a determinar 
 
Esse método também é conhecido como método de Descartes, devido a René 
Descartes (1596-1650) que foi físico, matemático e filósofo francês que ficou conhecido 
com o seu nome de Renatus Cartesius. Deixou grandes contribuições na área da 
matemática, como a fusão da álgebra com a geometria. Desenvolveu o sistema de 
coordenadas tambem conhecido como sistema cartesiano e ficou bastante conhecido pela 
frase “ Penso , logo existo”. 
 
Podemos aplicar a identidade
)()().()( xRxQxDxP 
 para a divisão. Sabemos 
que o grau do polinômio do quociente é a diferença do grau do dividendo com o do 
divisor. 
Grau [Q(x)]= Grau [P(x)] - Grau [D(x)] 
 
Exemplos: 
1) Qual é o grau do quociente da divisão de 
2)( 36  xxxP por 1)( 2  xxD 
Resolução: 
Grau [Q(x)]= Grau [P(x)] - Grau [D(x)] 
Grau [Q(x)]=6-2 
Grau [Q(x)]=4 
 
Resposta: O quociente terá grau = 4 
 
2) O polinômio
cbxaxxP  24)(
 é divisivel por
xxxD  2)(
 e apresenta um 
quociente
3)( 2  xxxQ
 e resto 
33)(  xxR
. Determine os valores de a, b e c. 
 
Resolução: 
aplicando a identidade 
)()().()( xRxQxDxP 
 e substituindo os polinômio 
)()().()( xRxQxDxP  
3)+(-3x+3)+x-x).(x+(x= c+bx+ax 2224
 
Efetuando as multiplicações, temos: 
3)+(-3x+3)+x-x.(x+3)+x-.(xx= c+bx+ax 22224
 
3+3x-3x+x-x+3x+x-x= c+bx+ax 2323424 
Somando os termos: 
3+2x+x= c+bx+ax 2424 
Comparando os coeficientes na identidade dos polinômios, concluímos: 
Para x4: a = 1 
Para x2: b = 2 
Para x: c = 3 
 
Resposta: para que a divisão seja verdadeira, temos: a = 1, b = 2 e c = 3. 
 
 
8. Divisão de um polinômio por um binômio de forma ax+b 
 
Exemplos: 
1) Vamos determinar o resto da divisão do polinômio 
648)( 2  xxxP
 pelo 
polinômio
12)(  xxD
 
Resolução: 
Utilizando o método das chaves: 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
Substituindo P(x) e D(x): 
648 2  xx
 2x-1 
 
 
 Vamos dividir por 4x 
648 2  xx
 2x-1 
xx 48 2 
 4x 
Efetuando a soma: 
648 2  xx
 2x-1 
xx 48 2 
 4x 
 6 
Resposta: O resto da divisão de 
648)( 2 xxxP
 pelo polinômio
12)(  xxD é 
6. 
 
2) Vamos fazer a divisão do polinômio
1032)( 23  xxxxP
 pelo polinômio
32)(  xxD . 
 
Resolução: Utilizando o método das chaves: 
P(x) D(x) 
R(x) Q(x) 
Substituindo P(x) e D(x): 
1032 23  xxx
 2x-3 
 
 
 Vamos dividir por 
2
2x
 
1032 23  xxx
 2x-3 
2
3 23 xx 
 
2
2x
 
Efetuando a soma: 
1032 23  xxx
 2x-3 
2
3 23 xx 
 
2
2x
 
103
2
1 2  xx
 
 
Dividindo por 
4
x

 
1032 23  xxx
 2x-3 
2
3 23 xx 
 
42
2 xx

 
103
2
1 2  xx
 
 
 
xx
4
3
2
1 2 
 
 
Efetuando a soma: 
1032 23  xxx
 2x-3 
2
3 23 xx 
 
42
2 xx

 
103
2
1 2  xx
 
 
 
xx
4
3
2
1 2 
 
 
 
10
4
9
x
 
 
Dividindo por 
8
9
 
1032 23  xxx
 2x-3 
2
3 23 xx 
 
8
9
42
2

xx
 
103
2
1 2  xx
 
 
 
xx
4
3
2
1 2 
 
 
 
10
4
9
x
 
 
 
8
27
4
9
 x
 
 
somando as linhas: 
 
1032 23  xxx
 2x-3 
2
3 23 xx 
 
8
9
42
2

xx
 
103
2
1 2  xx
 
 
 
xx
4
3
2
1 2 
 
 
 
10
4
9
x
 
 
 
8
27
4
9
 x
 
 
 
8
107
 
 
 
Chegamos a um quociente de 
8
9
42
)(
2

xx
xQ
 e um resto de 
8
107
)( xR
 
Vamos calcular a raiz do divisor: 
32)(  xxD 
320  x 
2
3
x
 
Vamos calcular o 






2
3
P
 
1032)( 23  xxxxP 
10
2
3
3
2
3
2
2
3
2
3
23
























P
 
10
2
3
3
4
9
2
8
27
2
3






P
 
10
2
9
4
18
8
27
2
3






P
 
8
107
2
3






P
 
 
Observe que o resto da divisão é 
8
107
)( xR
 e 
8
107
2
3






P
 também resultou no 
mesmo valor. 
Podemos afirmar que: 
Para o binômio
bax
, seu zero de função é 
a
b
x


 
O resto da divisão do polinômio P(x) pelo divisor apresenta um valor que igual ao de 





 
a
b
P
Logo o resto da divisão é: 





 

a
b
PxR )(
 
Esse é o teorema do resto: 
O resto R(x) , que resulta da divisão de um polinômio P(x) por (x – a), é igual a P(a). 
 
3) Calcule o resto da divisão do polinômio
1003)( 5  xxxP
 pelo polinômio 
3)(  xxD
 
Resolução: 
O zero da função do divisor é: 
03)(  xxD
 
x = - 3 
Calculando P (-3) temos: 
1003)( 5  xxxP
 
 
100)3(3)3()3( 5 P
 
1009243)3( P
 
352)3( P
 
Resposta: o resto da divisão é -352. 
 
4) Calcule o valor de a para que o polinômio
aaxxxP 3)( 23 
, dividido por 
2)(  xxD
 apresente resto igual a 36. 
Resolução: 
Calculando o zero da função D(x) temos: 
2)(  xxD 
20  x 
2x 
Calculando P(-2) 
aaxxxP 3)( 23  
aaP 3)2()2()2( 23  
aaP 348)2(  
aP 78)2(  
Sabemos que o resto da divisão é 36, e pelo teorema do resto temos: 





 

a
b
PxR )(
 
)2()(  PxR 
Substituindo e resolvendo a equação temos: 
a7836  
7
44
7836


a
a
 
 
Resposta: o valor de a é 
7
44
. 
 
9. Divisão de um polinômio por um binômio de forma
x
 
 
Aplicando a identidade 
)()().()( xRxQxDxP 
 
Supondo um polinômio P(x) dividido por 
 xxD )(
 temos: 
)()().()( xRxQxDxP 
 
)()().()( xRxQxxP   
O zero da função do divisor é: 
 xxD )( 
 x0 
x
 
Substituindo 
x
 na equação: 
)()().()( xRxQxxP   
)()().()( xRxQP   
)()( xRP  
 
O resto da divisão do polinômio P(x) pelo binômio 
x
 é igual a 
)(P
 
 
Teorema de D’Alembert 
Um polinômio P(x) é divisível por 
x
 se, e somente se, α for raiz de P(x), ou seja 
0)( P
 
 
Exemplo: 
Determine o valor de b para que o polinômio
302)( 24  bxbxxP
 seja divisível por 
x+1. 
 
Resolução: 
Calculando o zero da função de x+1 temos x = -1 
Usando o Teorema de D’Alembert, para que o polinômio P(x) seja divisível por x + 1, o 
resto de P(-1) = 0 
302)( 24  bxbxxP 
30)1(2)1()1( 24  bbP 
302)1(  bbP 
303)1(  bP
 
Usando o teorema de D’Alembert 
0)( P
 
0)1( P 
Logo teremos: 
303)1(  bP 
3030  b 
10b 
Resposta: O valor de b é igual a 10. 
 
10. Divisão de um polinômio por 
))((   xx
 
 
Usando a identidade 
)()().()( xRxQxDxP 
 
Vamos calcular o resto da divisão do polinômio P(x) por 
 xxD )(
 
)()().()( xRxQxDxP  
)()().()( 1 xRxQxxP  
 
Fazendo 
x
 
)()().()( 1 xRxQP   
)()( 1 xRP 
 
Vamos calcular o resto da divisão do polinômio P(x) por 
 xxD )(
 
)()().()( xRxQxDxP  
)()().()( 2 xRxQxP  
 
Fazendo 
x
 
)()().()( 2 xRxQP   
)()( 2 xRP  
O divisor 
))(()(   xxxD
 apresenta grau dois, portanto o resto vai apresentar grau 
um, sendo na forma 
baxxR )(
 
Para 
x
 
baxR  .)(1 
Para 
x
 
baxR  .)(2
 
temos o sistema: 
{
𝑎. α + 𝑏 = 𝑅1
𝑎. β + 𝑏 = 𝑅2
 
Resolvendo o sistema chegamos em: 
 


)()( 21 xRxRa
 





)()( 21 xRxRb
 
 O resto 𝑅(𝑥) fica na forma: 
baxxR )(
 


 





)()()()(
)( 2121
xRxRxRxR
axR
 
 
Exemplo: 
Determine os valores de a e b para que o polinômio 
102)( 2  bxaxxP
 seja 
divisível por 
)2)(1()(  xxxD . 
 
Resolução: 
Se P(x) é divisível por 
1x
 então 
0)1( P
 
Temos: 
102)( 2  bxaxxP 
101.21)1( 2  baP 
102)1(  baP 
1020  ba 
Se P(x) é divisível por 
2x
então 
0)2( P
 
Temos: 
102)( 2  bxaxxP 
102.22)2( 2  baP 
1044)2(  baP 
10440  ba 
 Temos o seguinte sistema: 
{
𝑎 + 2𝑏 + 10 = 0
4𝑎 + 4𝑏 + 10 = 0
 
Resolvendo o sistema, chegamos: 
 
5a
 e 
2
15
b 
O resto será: 
baxxR )( 
2
15
5)(  xxR
 
Resposta: o resto é igual a
2
15
5)(  xxR
. 
 
 
11. Dispositivo de Briot-Ruffini 
 
O Dispositivo de Briot-Ruffini é um método prático utilizado para fazer a divisão 
entre dois polinômios. Foi criado por Charles Auguste Briot e Paolo Ruffini. 
Charles Auguste Briot foi um matemático francês que realizou importantes 
contribuições em análise, calor, luz, eletricidade e gravitação. Na infância, sofreu um 
acidente em que quebrou um braço, perdendo o movimento deste membro. Apesar disso, 
nunca desistiu de ser um professor. Tornou-se doutor em 1842, defendendo um trabalho 
sobre a órbita de um corpo sólido ao redor de um ponto fixo. Tornou-se professor na 
Universidade de Lyon, veio a falecer em 1882, na França. 
Paolo Ruffini foi um médico e matemático italiano nascido em 1765. Demonstrou 
a impossibilidade da solução algébrica para equações quíntuplas ou superiores - teorema 
Abel-Ruffini e, também, deu contribuições para soluções práticas para o estudo dos 
polinômios. Veio a falecer de tifo, em 1822 
Para um polinômio
01
2
2
1
11 ...)( axaxaxaxaxPn
n
n
n 


 e um divisor na 
forma 
baxxD )(
 podemos fazer a divisão de polinômio de forma rápida através do 
método de Briot-Ruffini. Para isso, devemos seguir algumas etapas. 
Vamos utilizar o seguinte exemplo, vamos dividir
103)( 2  xxxP
 por 
2)(  xxD
 
1ª etapa: calcular o zero da função ou raiz de D(x). 
2)(  xxD
 
20  x
 
2x
 
 
2ª etapa: colocamos a raiz de D(x) no lado esquerdo e os coeficientes do polinômio P(x) 
à direita, de forma ordenada. 
Raiz de D(x) Coeficientes do polinômio P(x) ordenados 
 
Para nosso exemplo temos 
 
2 1 3 10 
 
 
3ª etapa: abaixar o primeiro coeficiente do polinômio P(x) 
 
2 1 3 10 
 1 
4ª etapa: multiplicar o primeiro coeficiente pela raiz (1x2=2) 
5ª etapa: somar o produto obtido com o coeficiente seguinte de P(x), (2+3=5) o resultado 
é colocado abaixo desse coeficiente: 
2 1 3 10 
 1 5 
6ª etapa: com esse resultado, repetem-se as operações de multiplicação e soma para todos 
os coeficientes. 
 
2 1 3 10 
 1 5 10 
O último termo da divisão é o resto, ou seja resto é 10, os outros números correspondem 
aos coeficientes ordenados do quociente da divisão. 
O número 5 é o coeficiente 
0a
 e o número 1 é 
1a
. 
O quociente neste caso será: 
01)( axaxQ 
 
51)(  xxQ
 
5)(  xxQ
 
 
Exemplo: 
 
Calcular a divisão de 
4202)( 24  xxxxP por 3)(  xxD . 
 
 
Resolução: 
Notamos que o coeficiente de x3 é zero e a raiz de D(x) é 3. 
Vamos montar a chave para o método de Briot-Ruffini, colocando os coeficientes: 
 
3 1 0 -2 -20 4 
 
Baixando o primeiro coeficiente de P(x) 
3 1 0 -2 -20 4 
 1 
Multiplicando esse coeficiente (1) com a raiz (3) 1x3=3, somando com o próximo 
coeficiente (0) 3+0=3 e colocando o resultado abaixo do coeficiente (0). 
3 1 0 -2 -20 4 
 1 3 
Multiplicando agora o número obtido (3) com a raiz (3) 3x3=9, somando com o próximo 
coeficiente (-2) 9-2=7 e colocando o resultado abaixo do coeficiente (-2). 
 
 
3 1 0 -2 -20 4 
 1 3 7 
Multiplicando agora o número obtido (7) com a raiz (3) 7x3=21 , somando com o 
proximo coeficiente (-20) 21-20=1 e colocando o resultado abaixo do coeficiente (-20). 
 
3 1 0 -2 -20 4 
 1 3 7 1 
Multiplicando agora o número obtido (1) com a raiz (3) 1x3=3 , somando com o proximo 
coeficiente (4) 3+4=7 e colocando o resultado abaixo do coeficiente (4). 
3 1 0 -2 -20 4 
 1 3 7 1 7 
Concluímos que o resto da divisão é 7, o último número obtido. 
 Os outros números são os coeficientes de Q(x) sendo eles 
10 a
, 
71 a
, 
32 a
 e 
13 a
 
01
2
2
3
3)( axaxaxaxQ  
1371)( 23  xxxxQ 
137)( 23  xxxxQ
 
A divisão resulta em um quociente 
173)( 23  xxxxQ
 e resto igual a 
7)( xR
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo V 
Equações polinomiais 
 
Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro 
Rogério Mazur 
 
 
 Considere o seguinte problema: 
Um artesão utilizou um único pedaço de papelão com 8 cm de largura por 15 cm 
de comprimento para fazer uma caixa sem tampa. Retirou quadrados de mesma área de 
cada um dos quatro cantos desse retângulo para, depois, dobrar para cima as abas 
resultantes. Qual deve ser o lado do maior quadrado a ser cortado do pedaço de papelão 
para que a caixa formada tenha volume de 54 cm3? 
 
 Para calcular o lado “x” do maior quadrado a ser cortado do papelão para obter o 
volume de 54 cm3, fazemos: 
   
   
054120464
4163012054
2821554
28215
23
322
2




xxx
xxxx
xxx
xxxV
 
Essa é uma equação polinomial de terceiro grau e para resolvê-la devemos recorrer 
a certos métodos, que serão estudados neste capítulo. 
 
1. Definição de equação polinomial 
 
Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de grau n, na variável 
Cx
, toda equação que pode ser escrita na forma: 
001
2
2
1
1 

 axaxaxaxa
n
n
n
n 
 
Onde: 
 
0121 ,,,, aeaaaa nn 
 são os coeficientes 
 
*Nn
 
 
0na
 
 
0a
 é o termo independente 
O grau e as raízes de uma equação polinomial 
0)( xp
, são, respectivamente, 
iguais ao grau e às raízes do polinômio 
)(xp
. 
O conjunto solução ou conjunto verdade de uma equação polinomial é dado pelo 
conjunto de todas as suas raízes. 
 
2. Raiz ou zero da equação 
 
Raiz de um equação ou zero da equação é todo número complexo 𝛼 que faz a equação 
𝑃(𝛼) = 0 
Quando substituimos o valor de x por 𝛼 na equação e efetuamos os cálculos obtemos 
𝑃(𝛼) = 0, ou seja: 
0...)( 01
2
2
1
1 

 axaxaxaxaxP
n
n
n
n 
x
 
0...)( 01
2
2
1
1 

 aaaaaP
n
n
n
n  
 
 
Exemplos: 
 
1) Identifique o grau, as raízes e o conjunto solução das seguintes equações: 
 
a) 
17102 x
 
Resolução 
Grau: 1 
Raiz: 
2
7
72
17102



x
x
x
 
Conjunto solução: 







2
7
S
 
b) 
0432  xx
 
Resolução 
Grau: 2 
Raízes: 
14
043
21
2


xex
xx
 
Conjunto solução: 
 1,4S
 
 
c) 
045 24  xx
 
Resolução 
Grau: 4 
Raízes: 
12
14
14
:1:4
:,
14
045
:
045)(
045
22
22
21
2
21
2
2
222
24











xx
xx
xx
yxyx
yParayPara
temosyxComo
yey
yy
yxFazendo
xx
xx
 
Conjunto solução: 
 1,1,2,2 S
 
 
2) Na equação 
422)( 23  xxxxP
 verifique que uma de suas raízes é 
2 . 
 
Resolução: 
422)( 23  xxxxP 
4)2(2)2(2)2()2( 23 P 
4488)2( P 
0)2( P 
Pelo teorema de D’Alembert se 0)2( P então 2x é uma raiz da equação. 
 
Resposta: 
2
 é uma raiz da equação. 
 
 
3) Na equação
55)( 4  xxP uma de suas raízes é i , i é a unidade imaginaria. 
Resolução: 
55)( 4  xxP 
Fazendo x=i 
55)( 4  iiP 
Lembrando que 14 i 
55)( iP 
0)( iP 
 
Resposta: 
ix 
 é uma raiz da equação. 
 
4) Determine as raízes da equação 
0107 23  xxx
 
 
Resolução: 
Colocando o fator 𝑥 comum em evidência, temos: 
0107 23  xxx
 
0)107( 2  xxx
 
Como o produto é zero temos as condições: 
0x
 
01072  xx
 
Resolvendo a equação quadrática, temos as soluções
21 x
 e 
52 x . 
Resposta: Os zeros da função são os valores de 𝑥 na solução 
}5,2,0{S . 
 
3. Teorema fundamental da Álgebra 
 
 Em 1798, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demonstrou satisfatoriamente o 
Teorema fundamental da álgebra em sua tese de doutorado. Outros renomados 
matemáticos, como Isaac Newton (1642-1727), D´Alembert (1717-1790), Leonhard 
Euler (1707-1783) e Joseph Lagrange (1736-1813) também tentaram demonstrar esse 
teorema, mas nenhum deles obteve o mesmo êxito. 
 Gauss demonstrou que: 
“Toda equação algébrica 
0)( xP
, de grau n (
1n
), tem pelo menos uma raiz real ou 
complexa.” 
 Embora fundamental para a Álgebra, o teorema acima é um teorema de Análise e 
sua demonstração baseia-se na continuidade das funções polinomiais complexas. Sendo 
assim, nesse curso, admitiremos a existência desse teorema, sem demonstração. 
 
4. Teorema da decomposição 
 
 Uma importante consequência do teorema fundamental da Álgebra é o teorema 
da decomposição em fatores do 1º grau. Antes de enunciá-lo, observemosos polinômios 
abaixo, suas raízes e formas fatoradas. 
)2()2()3()3(2)(2,2,3,372102)(
)3()2()1()(32,16116)(
)2()3(4)(232444)(
)4()1()(4145)(
)5(3)(5153)(
5
24
5
4
23
4
3
2
3
2
2
2
11
ixixxxxPiixxxP
xxxxPexxxxP
xxxPexxxP
xxxPexxxP
xxPxxP
fatoradasFormasRaízesPolinômios





 
 
 De maneira geral, todo polinômio de grau n, com 
1n
, definido por 
01
2
2
1
1)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 

 
 pode ser escrito na forma fatorada 
)()()()( 21 nn xxxaxP   
, na qual 
n ,,, 21 
 são as raízes de P(x) 
)(xP
 
e 
na
é o coeficiente dominante de 
)(xP
 
 
 Assim, enunciamos o teorema: 
Toda equação polinomial 
0)( xP
, de grau n (
1n
), possui n e somente n raízes reais 
ou complexas. 
 
Exemplos: 
 
1) Escreva o polinômio P(x) de raízes 
iei  33,2
, tal que 
15)3( P
. 
Resolução 
Utilizando o Teorema da decomposição temos que: 
  
)2024()(
)3()3()2()(
)3()3()2()(
)()()()(
23
21




xxxaxP
ixixxaxP
ixixxaxP
xxxaxP
n
n
n
nn  
 
Como 
15)3( P
, segue que: 
3
5
15
15)2063627(
15)2032343(
)2032343()3(
23
23





n
n
n
n
n
a
a
a
a
aP
 
Assim: 
606123)(
)2024(3)(
)2024()(
23
23
23



xxxxP
xxxxP
xxxaxP n
 
 
2) Sendo 
13 e
 raízes da equação 
067 234  xxxx
, determine as outras raízes 
dessa equação. 
Resolução 
Sabendo que 
13 e
 são duas raízes da equação dada, pelo teorema da decomposição 
temos: 
0)()1()3(067 2
234  xqxxxxxx
 
Para obter 
)(2 xq
 aplicamos o dispositivo de Briot-Ruffini na divisão da equação por 
3x
 e, em seguida, o quociente dessa divisão por 
1x
. 
1)31(  7)32(  1)31(  6)32( 
2)1(1  1)1(1  2)1(2 
 
 3 1 -1 -7 1 6 
 - 1 1 2 -1 -2 0 
 
 1 1 -2 0 
 
 
Logo, 
2)( 22  xxxq
e as raízes de 
022  xx
 são -2 e 1. 
Sendo assim, as raízes da equação 
067 234  xxxx
 são 
12,1,3 e
. 
 
3) Expresse o polinômio
86)( 2  xxxP
 na forma fatorada. 
Resolução: 
Vamos calcular as raízes do polinômio, fazendo P(x)=0 
86)( 2  xxxP
 
860 2  xx
 
Resolvendo a equação do segundo grau, temos 
As raízessão: x = 2 e x = 4. 
 
Notamos que o coeficiente dominante 
na
=1 
Utilizando a relação na forma fatorada: 
))...().(()( 21 nn axaxaxaxP 
 
Temos: 
86)( 2  xxxP
 
)4)(2(1)(  xxxP
 
)4)(2()(  xxxP
 
Resposta: na forma fatorada, o polinômio é 
)4)(2()(  xxxP . 
 
4) Determine um polinômio que tenha como raízes 1,3 e 5. 
 
Resolução: 
Utilizando a expressão do polinômio na forma fatorada: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
Sabemos que as raízes são: 
11 
, 
32 
e 
53 
 
O problema não informou qual é o coeficiente dominante, vamos escolher 
na
=1 e 
substituindo na expressão fatorada temos: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
)5)(3)(1(1)(  xxxxP
 
Distribuindo os dois primeiros termos: 
)5(3)+4x-(x)( 2  xxP
 
Distribuindo os dois termos resultantes: 
)53).(+4x-(x3)+4x-(x)( 22  xxP 
1520x5x-3+4x-x)( 223  xxP
 
Simplificando a equação: 
1523+9x-x)( 23  xxP
 
Resposta: Um polinômio que tem como raízes 1,3 e 5 é 
1523+9x-x)( 23  xxP . 
 
5) Verifique que -2, 1 e 4 são raízes do polinômio
322412-4x)( 23  xxxP
 e expresse 
esse polinômio na forma fatorada. 
 
Resolução: 
Verificando as raízes, usando 
0)( P
 
Para x=-2 
322412-4x)( 23  xxxP 
32)2(24)2(12-4(-2))2( 23 P 
32484.12-4(-8))2( P 
324848--32)2( P 
0)2( P
 
x=-2 é raiz 
Para x=1 
322412-4x)( 23  xxxP 
32)1(24)1(12-4(1))1( 23 P 
322421-4)1( P 
03636)1( P 
0)1( P
 
x=1 é raiz 
Para x=4 
322412-4x)( 23  xxxP 
32)4(24)4(12-4(4))4( 23 P 
329616.21-4.64)4( P 
3296192256)4( P 
0)4( P
 
x=4 é raiz 
Expressando na forma fatorada P(x) temos o coeficiente dominante 𝑎𝑛 = 4 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
)4)(1))(2((4)(  xxxxP
 
)4)(1)(2(4)(  xxxxP
 
Resposta: os valores de -2, 1 e 4 são raízes e o polinômio na forma fatorada é 
)4)(1)(2(4)(  xxxxP 
 
4. Multiplicidade de uma raiz 
 
 As raízes de uma equação algébrica ou polinomial podem ser todas distintas ou 
não. 
 Se uma raiz de certa equação algébrica for distinta das demais raízes dessa 
equação, dizemos que ela é uma raiz simples. 
 Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais a certo número, dizemos que 
esse número é uma raiz de multiplicidade 2 ou uma raiz dupla. Se tiver três raízes iguais, 
dizemos que é uma raiz de multiplicidade 3 ou uma raiz tripla, e assim sucessivamente. 
 A quantidade de vezes que um número aparece como raiz de uma equação 
algébrica indica a multiplicidade dessa raiz. 
 A equação 
01282562007614 2345  xxxxx
 por exemplo, apresenta 
cinco raízes, sendo três iguais a 2 e duas iguais a 4. 
 Dizemos então, que 2 é a raiz tripla ou de multiplicidade 3 dessa equação e que 4 
é a raiz dupla ou de multiplicidade 2 dessa equação. 
 Escrevendo essa equação na forma fatorada, temos 
0)4()2( 23  xx
. 
 Observe que a multiplicidade de uma raiz da equação é igual ao expoente do fator 
onde ela aparece. No exemplo acima, a raiz 4 possui multiplicidade 2 e o expoente do 
fator onde ela aparece é 2. Como a raiz 4 possui multiplicidade 2, a equação é divisível 
por 
)4( x
 e 
2)4( x
 mas não por 
3)4( x
, por exemplo. 
 De maneira geral, dada uma equação 
0)( xP
, dizemos que 
 é a raiz de 
multiplicidade m (
*Nm
) se, e somente se, 
   xQxxP m  )(
, sendo 
  0Q
. 
 
Exemplos 
1) Considere o polinômio 
44)( 2  xxxP . 
Calculando suas raízes, através da fórmula de Bhaskara 
044)( 2  xxxP
 
a
acbb
x
2
42 
 a=1, b=-4 e c=4
 
 
1.2
4.1.4)4()4( 2 
x 
2
16164 
x 
2
04 
x 
2
2
4
x
 
Como o polinômio tem grau n=2 ele apresenta duas raízes de valor x=2. Dizemos que 
essa raiz tem multiplicidade dois. Na forma fatorada, podemos representar: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
O coeficiente dominante é 
na
=1 
Substituindo os valores: 
)2)(2(1)(  xxxP 
2)2()(  xxP 
 
Neste exemplo, x=2 é uma raiz de multiplicidade 2, ou dupla. 
 
2) Nas equações abaixo, identificar a quantidade de raízes e o conjunto solução. 
 
a) 
0)2()6( 24  xxx
 
Resolução 
0 é uma raiz simples 
-6 é uma raiz de multiplicidade 4 
2 é uma raiz dupla 
Assim, conclui-se que a equação dada possui 7 raízes. 
 2,0,6S
 
 
b) 
     213 45  xxx
 
Resolução 
3 é uma raiz de multiplicidade 5 
-1 é uma raiz de multiplicidade 4 
-2 é uma raiz simples 
Assim, conclui-se que a equação dada possui 10 raízes. 
 3,1,2 S
 
 
3) Escrever as equações de grau 3 que possuem -5 como raiz simples e 2 como raiz dupla. 
Resolução 
Pelo teorema da decomposição temos: 
0)2016(
0)44()5(
0)2()5(
0)2()2()5(
0)()()(
23
2
2
21





xxxa
xxxa
xxa
xxxa
xxxa
n
n
n
n
nn  
 
Atribuindo valores para an, algumas possíveis equações são: 
Para 
1na
, temos 
0201623 xxx
 
Para 
2na
, temos 
0403222 23  xxx
 
Para 
3na
, temos 
0604833 23  xxx
 
Para 
1na
, temos 
0201623  xxx
 
e assim por diante. 
 
5)1(1  6)1(4  2)1(2 
4)1(1  2)1(3  4)1(1 
7)1(4  3)1(3 
3)1(3 
3)1(1  1)1(2  3)1(3 
2)1(1  3)1(1 
a31
33)3(  a ba  3)63(
)3(31 a )63(3)6(  aa
4) Qual é a multiplicidade da raiz -1 na equação 
037265 2345  xxxxx
? 
Resolução 
Se -1 é raiz da equação dada, então o resto da divisão de 
037265 2345  xxxxx
 por 
1x
 será 0. 
Para determinar a multiplicidade dessa raiz, basta dividir a equação sucessivas 
vezes por 
.1x
 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 - 1 1 5 6 -2 -7 -3 
 - 1 1 4 2 -4 -3 0 
 
 - 1 1 3 -1 -3 0 
 
 - 1 1 2 -3 0 
 
 1 1 -4

0 
 
Observemos que as três primeiras divisões foram exatas, ou seja, o resto foi igual 
a 0. Sendo assim, a equação possui três raízes iguais a -1 e a multiplicidade da raiz -1 é 
3. 
 
5) Calcular a e b de modo que 3 seja raiz dupla da equação 
0323  bxaxx
. 
Resolução 
Para 3 ser raiz dupla da equação, o resto da divisão de 
0323  bxaxx
 por 
3x
 
deve ser 0 nas duas divisões sucessivas. 
Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini: 
 
 3 1 - a - 3 b 
 3 1 
 
 1 
 
 
Fazendo os restos iguais a zero: 
63  a3 a 189  ba
6 a 246  a





)(0189
)(0246
IIba
Ia
 
Em ( I ), temos: 
40246  aa
 
Substituindo 
4a
 em ( II ): 
18018490189  bbba
 
 
6) Para o polinômio 
axxxxP  167)( 23
, determine o valor de a sabendo que -3 
é uma raiz do polinômio. Determine as suas outras raízes e o expresse na forma 
fatorada. 
 
Resolução: 
Se -3 é uma raiz do polinômio, então 
0)3( P
 
Substituindo x=-3 em P(x) 
axxxxP  167)( 23 
aP  )3.(16)3(7)3()3( 23 
aP  486327)3( 
aP  12)3( 
0)3( P
 
a 120 
Logo o polinômio é: 
12167)( 23  xxxxP
 
Calculando as raízes utilizando o método de Briot Ruffini: 
Para a raiz x=-3 
-3 1 7 16 12 
 1 4 4 0 
O resto é zero, e o resultado da divisão é 
4+4x+x 2 . 
Calculando as raízes de 
0=4+4x+x2
 
a
acbb
x
2
42 

 
Sendo a=1, b=4 e c=4: 
 
1.2
4.1.444 2 
x 
2
16164 
x 
2
04 
x 
2
2
4


x
 
O polinômio apresenta duas raízes iguais a -2, de multipicidade 2 e outra raiz simples, 
igual a -3. O coeficiente dominante é an=1. Na forma fatorada, temos: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
)]3()][2()][2([1)(  xxxxP 
)3)(2)(2(1)(  xxxxP 
)3()2()( 2  xxxP 
Resposta: O valor de a é 12 e as raízes do polinômio são {-2,-3} sendo -2 de 
multiplicidade dupla. O polinômio na forma fatorada é 
)3()2()( 2  xxxP . 
 
7) Determine as raízes do polinômio 
 2+7x+ x9+ x5+x)( 234xP
sabendo que -1 é 
uma raiz tripla. Apresente o resultado na forma fatorada. 
Resolução: 
Utilizando o método de Briot Ruffini para P(x) com a raiz -1 temos: 
 
-1 1 5 9 7 2 
 1 4 5 2 0 
 
Dividindo mais uma uma vez para a raiz -1 
 
-1 1 5 9 7 2 
-1 1 4 5 2 0 
 1 3 2 0 
Dividindo mais uma uma vez para a raiz -1 
 
 
-1 1 5 9 7 2 
-1 1 4 5 2 0 
-1 1 3 2 0 
 1 2 0 
O resultado da divisão é a equação 
02+x 
a raiz desta equação é 
-2x 
 
As raízes são -1 de multiplicidade tripla e raiz simples -2, o coeficiente dominante é 
1na
 na forma fatorada temos: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
)]2()][1()][1()][1([1)(  xxxxxP 
)2)(1)(1)(1()(  xxxxxP 
)2()1()( 3  xxxP
 
 
Resposta: as raízes são {-1,-2}, sendo -1de multiplicidade tripla, e o polinômio é 
)2()1()( 3  xxxP . 
 
 
5. Raízes nulas 
 
 Observemos as equações abaixo, suas formas fatoradas e o exposto sobre suas 
raízes nulas. 
 
 
 
uma raiz nula duas raízes nulas cinco raízes nulas 
 
De maneira geral, toda equação algébrica que não possui o termo independente 
tem o número zero como raiz de multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita. 
0)32(
032
2
23


xxx
xxx
  0353
0353
242
246


xxx
xxx
  0132
032
235
5678


xxxx
xxxx
Uma equação algébrica que possui o termo independente diferente de zero, não 
admite o número zero como uma de suas raízes. 
 
6. Raízes complexas 
 
 Analisemos o seguinte teorema: 
 Se um número complexo 
biaz 
, com 
Ra
 e 
*Rb
, é raiz de uma equação 
algébrica com coeficientes reais, então o conjugado de z, dado por 
biaz 
, também é 
raiz dessa equação. 
 Segue a demonstração. 
 
Consideremos a equação algébrica 
0)( 01
2
2
1
1 

 axaxaxaxaxP
n
n
n
n 
 de 
coeficientes reais e o número complexo 
biaz 
, com 
Ra
 e 
*Rb
. 
 
Se z é raiz de 
)(xP
, então a equação pode ser reescrita como: 
001
2
2
1
1 

 azazazaza
n
n
n
n 
 
Aplicando os conjugados aos dois membros: 
001
2
2
1
1 

 azazazaza
n
n
n
n 
 
O conjugado da soma é igual à soma dos conjugados e o conjugado de zero é zero: 
001
2
2
1
1 

 azazazaza
n
n
n
n 
 
O conjugado do produto é igual ao produto dos conjugados e o conjugado de uma potência 
é igual à potência dos conjugados: 
0)()()( 01
2
2
1
1 

 azazazaza
n
n
n
n 
 
O conjugado de um número real é o número real: 
0)()()( 01
2
2
1
1 

 azazazaza
n
n
n
n 
 
Logo, 
z
 também é a raiz de P(x). 
 
Consequências: 
I) Para todas as equações algébricas com coeficientes reais, o número de raízes complexas 
será sempre par. 
5)2(1  i 7)2()3(  ii 3)2()(  ii
)3()2(1 ii    ii  21  ii 24)2(2 
10)2()24(  ii
II) Todas equações algébricas de grau ímpar, com coeficientes reais, admitem pelo menos 
uma raiz real. 
III) Equações algébricas de coeficientes imaginários podem ter raízes imaginárias não 
conjugadas. 
Exemplos 
 
1) Uma equação algébrica de coeficientes reais possui 2, -5, 3 + i e -7i como algumas de 
suas raízes. Qual é, no mínimo, o grau dessa equação? 
Resolução 
Como 3 + i e -7i são raízes, seus conjugados 3 – i e 7i também são raízes da mesma 
equação. 
Sendo assim, essa equação admitirá no mínimo 6 raízes (2, -5, 3 + i, 3 – i, -7i e 7i) e terá, 
no mínimo, grau 6. 
 
2) Sendo 2 + i uma das raízes da equação 
010375 234  xxxx
, determine seu 
conjunto solução. 
Resolução 
Se 2 + i é uma das raízes da equação dada, então 2 – i também é raiz. 
Para encontrar as outras duas raízes, abaixamos o grau da equação utilizando o método 
Briot-Ruffini: 
 
 2 + i 1 -5 7 3 -10 
 2 – i 1 -3 + i -i 4 – 2i 0 
 
 1 -1 -2 0 
 
 
      0)(22010375 234  xQixixxxxx
 
Os coeficientes de Q(x) são 1, -1 e -2. 
Assim, 
2)( 2  xxxQ
 
Para encontrar as outras raízes faremos 
0)( xQ
: 
21
02
21
2


xex
xx
 
Logo, 
 iiS  2,2,2,13) Escreva o polinômio, 
612i+-6x)( 2  xxP , 
sendo i o número imaginário, na forma 
fatorada: 
 
Resolução: 
Colocando o termo comum em evidência: 
612i+-6x)( 2  xxP 
)12i+-6(x)( 2  xxP 
Determinado as raízes de 12i+x2 x temos: 
ix 
 
Utilizando a expressão na forma fatorada: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
O coeficiente dominante é 
6na
 e temos duas raízes iguais a 
ix 
, 
))((6)( ixixxP  
2)(6)( ixxP 
 
Resposta: Na forma fatorada o polinômio é expresso por 
2)(6)( ixxP  
 
4) Calcular as raízes do polinômio
 2-4)x-(-3i+ x1)-(-6i+ x2)(-3i+x)( 234 xP
 
sabendo que -1 é uma raiz de multiplicidade dois e 2𝑖 é outra raiz. Apresente o resultado 
na forma fatorada. 
 
Resolução: 
Utilizando o dispositivo de Briot Ruffini para a raiz -1 
 
 
 
-1 1 -3i + 2 -6i - 1 -3i - 4 -2 
 1 -3i + 1 -3i - 2 -2 0 
 
Dividindo mais uma uma vez para a raiz -1 
 
-1 1 -3i + 2 -6i - 1 -3i - 4 -2 
-1 1 -3i + 1 -3i - 2 -2 0 
 1 -3i -2 0 
 
Dividindo agora pela raiz 2𝑖: 
-1 1 -3i + 2 -6i - 1 -3i - 4 -2 
-1 1 -3i + 1 -3i - 2 -2 0 
2i 1 -3i -2 0 
 1 -i 0 
 
Concluímos que o resultado da divisão é o polinômio 
ixxP )(
que apresenta a raiz 
x = i. 
Sabemos que o polinômio
 2-4)x-(-3i+ x1)-(-6i+ x2)(-3i+x)( 234 xP
 apresenta 
o coeficiente dominante an=1. O polinômio na forma fatorada, para as raízes -1, 2i e i é: 
))...()()(()( 321 nn xxxxaxP   
      ))(2(111)( ixixxxxP  
   ))(2(11)( ixixxxxP  
  ))(2(1)( 2 ixixxxP 
 
 
O polinômio apresenta multiplicidade dupla para a raiz x = -1, uma raiz igual a 2i e outra 
igual a i. 
Resposta: O polinômio procurado é 
  )1)(2(1)( 2  xixxxP
. 
 
5) Resolver a equação
0=4+6x-6x+6x-2x 234
 sabendo que i é uma de suas raízes. 
 
Resolução: 
 
Vamos aplicar o método de Briot Ruffini para a raiz 𝑧 = 𝑖 
 
 
i 2 -6 6 -6 4 
 2 2i-6 -6i+4 4i 0 
 
Se 
i=z
é raiz da equação seu conjugado 
-i=z
 também é. Aplicando o dispositivo de 
Briot Ruffini para essa raiz, temos: 
i 2 -6 6 -6 4 
-i 2 2i-6 -6i+4 4i 0 
 2 −6 4 0 
A equação resultante é 
0=4+6x-2x 2
 
Calculando as raízes: 
a
acbb
x
2
42 

 sendo a=2, b=-6 e c=4 
 
2.2
4.2.4)6()6( 2 
x 
4
32366 
x 
4
46 
x 
4
26
x 
21 x e 12 x
 
 
Resposta: as raízes da equação são S={1,2,i,-i}. 
 
6) Na equação 
 072+36x- x17+4x-x 234 
 uma raiz é 2i+2=z . Determine as 
raízes da equação. 
Resolução: 
Aplicando o método de Briot Ruffini para a raiz 𝑧 = 2 + 2𝑖 
2i+2
 1 -4 17 -36 72 
 1 
2i+2-
 9 
18i+18-
 0 
 
Se 
2i+2=z
 é raiz da equação seu conjugado 
2i-2=z
 também é, aplicando Briot 
Ruffini para essa raiz temos: 
2i+2
 1 -4 17 -36 72 
2i-2
 1 
2i+2-
 9 
18i+18-
 0 
 1 0 9 0 
A equação resultante na última linha é 
09x2 
 
Calculando as raízes: 
09x2 
 
9x2 
 
9x 
 
i31.9x 
 
Resposta: as raízes da equação são 
}22,22,3,3{ iiiiS 
 
 
 
7. Relações de Girard 
 
 Em 1629 o matemático Albert Girard (1595-1632) apresentou um importante 
teorema relacionando as raízes e os coeficientes de uma equação algébrica, conhecido 
atualmente como Relações de Girard. 
Somente as relações de Girard não são suficientes para resolver equações 
algébricas, porém elas formam um sistema de equações, não-linear, e somado a alguma 
outra informação sobre as raízes são suficientes para resolver o sistema. 
 
Relações de Girard para a equação do 2º grau 
 
 Aplicando o teorema da decomposição na equação 
02  cbxax
, com 
0a
e 
raízes 
21  e
 temos: 
)()( 21
2   xxacbxax 
Dividindo ambos os membros por 
)0( aa
: 
2121
22
2112
22
21
2
)(
)()(






xx
a
c
x
a
b
x
xxx
a
c
x
a
b
x
xx
a
c
x
a
b
x
 
Igualando os coeficientes obtemos as raízes de uma equação algébrica do 2º grau: 

a
b
)( 21 
 
a
b
 21 
 
a
c
21
 
 
Relações de Girard para a equação do 3º grau 
 
 Aplicando o teorema da decomposição na equação 
023  dcxbxax
, com 
0a
e raízes 
321 ,  e
 temos: 
)()()( 321
23   xxxadcxbxax 
Dividindo ambos os membros por 
)0( aa
: 
321323121
2
321
323
321
23
)()(
)()()(




xxx
a
d
x
a
c
x
a
b
x
xxx
a
d
x
a
c
x
a
b
x
 
Igualando os coeficientes obtemos as raízes de uma equação algébrica do 3º grau: 
a
b
 321 
 
a
c
 323121 
 
a
d
321 
 
 
A demonstração é análoga para as demais equações algébricas com grau maior 
que 3. 
Sendo 
001
1
1 

 axaxaxa
n
n
n
n 
 uma equação algébrica de grau 
)1( nn
, 
0na
 e 
n ,,,, 321 
 suas raízes, temos: 
 
n
n
nn
n
n
nnn
n
n
nn
n
n
nn
a
a
raízesndasoduto
a
a
trêsatrêstomadasraízesdasprodutosdosSoma
a
a
duasaduastomadasraízesdasprodutosdosSoma
a
a
raízesndasSoma
0
14321
3
12521421321
2
1413121
1
1321
1
:Pr
:
:
:



















 
 
Exemplos 
 
1) Escreva as relações de Girard para a equação 
013 23  xxx
. 
Resolução 
Chamando as raízes da equação de 
321 , xexx
temos: 
 Soma das três raízes: 
3
1
)3(
321321 

 xxxxxx
 
 Soma dos produtos das raízes tomados dois a dois: 
1
1
1
323121323121  xxxxxxxxxxxx
 
 Produto das três raízes: 
1
1
1
321321  xxxxxx
 
 
2) Resolver a equação 
012133  xx
 sabendo que a soma de duas raízes é 4. 
Resolução 
0)4(1  13)4(4  12)4(3 
Sendo os coeficientes da equação 
1213,0,1  decba
 e chamando as raízes da 
equação de x, y e z, temos as seguintes relações de Girard: 








)(12
)(13
)(0
IIIxyz
IIyzxzxy
Izyx
 
Conforme o enunciado, a soma de duas raízes é 4, então: 
)(4 IVyx 
 
Substituindo ( IV ) em ( I ): 
4
04
0



z
z
zyx
 
Encontrado uma das raízes, podemos aplicar o dispositivo de Briot-Ruffini para reduzir 
o grau da equação e encontrar as demais raízes. 
 
 - 4 1 0 - 13 12 
 1 - 4 3 0 
 
 
34)( 2  xxxQ
 
Fazendo 
0)( xQ
, temos: 
13
034
21
2


xex
xx
 
Logo, 
 3,1,4S 
 
3) Determine as raízes da equação 
 022  xx
 
Resolução: 
Utilizando as relações de Girard, 







a
c
a
b
21
21


 
 
Os coeficientes são𝑎 = 1, 𝑏 = 1 𝑒 𝑐 = −2, substituindonas relações de Girard, temos: 









2
1
2
1
1
1
21
21


 
 
A soma das raízes é -1 e o produto é -2, temos como solução: 
𝛼1 = 1 𝑒 𝛼2 = −2 
Resposta: As raízes são{1,-2}. 
 
4) Vamos determinar as raízes da equação
0673  xx
 utilizando as relações de 
Girard. 
Resolução: 
Os coeficientes da equação são a=1, b=0, c=-7 e d=6. 
As relações de Girard são: 
 










a
d
a
c
a
b
321
323121
321



 
Substituindo os coeficientes: 












1
6
1
7
1
0
321
323121
321



 
Simplificando: 








6
7
0
321
323121
321



 
 
Resolvendo o sistema temos: 
3,2,1 321  
 
 
Resposta: As soluções da equação são dadas pelo conjunto {1,2,-3}. 
 
5) Determine as raízes da equação
0326 23  xx , utilizando as relações de Girard, 
sabendo que uma das raízes é de multiplicidade dupla. 
Resolução: 
Os coeficientes da equação são: a=1, b=6, c=0 e d=-32. 
As relações de Girard são: 











a
d
a
c
a
b
321
323121
321



 
Substituindo os coeficientes: 












1
)32(
1
0
1
6
321
323121
321



 
Simplificando: 








32
0
6
321
323121
321



 
 
Temos duas raízes iguais,logo 
21  
 temos: 








32
0
6
311
313111
311



 








32
02
62
3
2
1
31
2
1
31



 
na primeira equação, isolando 
3
temos: 
13 26  
 equação (I) 
02 31
2
1  
 equação (II) 
323
2
1 
 equação (II) 
Subistituindo a equação I em II temos 
02 31
2
1  
 
0)26(2 11
2
1  
 
0123 1
2
1  
 
As soluções para 
1
 são: 
01 
 e 
41 
 
Substituindo na equação I temos: 
13 26  
 
para
01 
 
0.263 
 
63 
 
Para 
41 
 
 
)4.(263 
 
23 
𝛼3 = −6 − 2𝛼1 
Verificando esses valores na equação III 
323
2
1 
 
Se 𝛼1 = 0 𝑒 𝛼3 = −6 
02(−6) = 32 → 0 = 32 não é verdade. 
Se 𝛼1 = −4 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝛼3 = 2 
422 = 32 → 32 = 32 é verdade. 
Logo as raízes são -4 (de multiplicidade dupla) e 2. 
 
Resposta: As raízes da equação são{-4,2}. 
 
6) Calcule a soma das raizes do polinômio 2862)( 23  xxxxP . 
Utilizando as relações de Girard, temos: 
 
a
b
aaa

 321
 
No polinômio a=2 e b=6, logo temos: 
 
2
6
321

 aaa
 
3321  aaa
 
 
Resposta: a soma das raízes é -3. 
 
7) Calcule o produto das raizes do polinômio 
122273)( 23  xxxxP
. 
Utilizando as relações de Girard, temos: 
 
a
d
aaa

321 ..
 
No polinômio, a=3 e b=12, logo temos: 
 
3
12
321

 aaa
 
4321  aaa
 
 
 
 
 
8. Raízes racionais 
 
 Observe as equações polinomiais abaixo e seu conjunto solução: 
 








32,32,
3
1
236,236,3
0171330545415 2323
SS
xxxxxx
 
 Embora sejam equações com coeficientes inteiros, suas raízes não são todas 
racionais. 
 O teorema a seguir não nos dá a garantia da existência de raízes racionais, mas 
determina as possibilidades para essas raízes, ou seja, ajuda-nos a obtê-las caso elas 
existam. 
 
 Se o número racional 
q
p
, com p e q primos entre si, for raiz da equação polinomial 
001
2
2
1
1 

 axaxaxaxa
n
n
n
n 
 de coeficientes inteiros, com 
0na
, então q é 
divisor de 
na
 e p é divisor de 
0a
. 
 
Exemplo 
 
Verifique se a equação 
0633 24  xx
 possui raízes racionais. 
Resolução 
Como essa equação polinomial possui coeficientes inteiros 
60,3,0,3  eedcba
, então: 
 p é divisor de -6, ou seja, 
63,2,1  pouppp
 
 q é divisor de 3, ou seja, 
31  poup
 
Os possíveis valores para as raízes racionais da equação são dados pela razão 
q
p
, logo: 







3
2
,
3
2
,
3
1
,
3
1
,6,6,3,3,2,2,1,1
q
p
. 
Fazendo a verificação dos valores que satisfazem a equação, notamos que nenhum desses 
doze valores é raiz da equação. Portanto, conclui-se que a equação não possui raízes 
racionais. 
 
 
 
 
Referências 
 
BONJORNO, José Roberto. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São 
Paulo: FTD, 2002. 
 
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. Vol. único. São Paulo: Ática, 
2006. 
 
GENTIL, Nelson et al. Matemática para o 2º grau - volume 2 – 10 ed. – São Paulo: Editora 
Ática, 2001. 
 
GIOVANNI, José Rui; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa 2ª série. São 
Paulo: FTD, 2005. 
 
GIOVANNI, José Rui; BONJORNO, José Roberto. Matemática completa 3ª série. São 
Paulo: FTD, 2005. 
 
IEZZI, Gelson et al. Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 1997. 
_______. Matemática: ciência e aplicações. Vol. 1. São Paulo: Atual, 2010. 
 
LIMA, Elon Lages et al. A Matemática no Ensino Médio - volume 3 – 6 ed. – Rio de 
Janeiro: SMB 2006. 
 
PAIVA, Manuel. Matemática. Vol. único. São Paulo: Moderna, 2003. 
 
RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência e linguagem. Vol. único. São Paulo: Scipione, 
2007. 
 
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio – volume 2 – 6 
ed. – São Paulo: Editora Saraiva, 2010.