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Fundamentos de Matemática Elementar II Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro Rogério Mazur Revisão Maria Eugênia de Carvalho e Silva Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro Licenciada em Matemática e pós-graduada em Ensino da Matemática pela Universidade Tuiuti do Paraná – UTP. Atuou como professora de matemática de séries iniciais, finais e ensino médio. Atualmente, é professora de matemática das séries finais da Prefeitura Municipal de Curitiba e professora de Fundamentos de Matemática elementar II e Geometria analítica da FAEL – Faculdade educacional da Lapa. Rogério Mazur Técnico em eletrônica pelo Centro Tecnológico Industrial – CTI. Bacharel em Física pela Universidade Federal do Paraná – UFPR. Licenciado em Matemática pelo Centro Universitário Claretiano de Batatais. Especialista em ensino da matemática pela Pontifícia Universidade Católica do Paraná – PUCPR. Mestre em Física pela Universidade de São Paulo – USP. Atualmente é professor da Universidade Tuiuti do Paraná – UTP e da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. Tem experiência na área de Física, atuando principalmente em sistema dinâmico não linear. Sumário Introdução .............................. I – Progressões ................................................. 1. Sequências numéricas ........................................ 2. Progressões aritméticas .............................. 3. Progressões geométricas .................................. II - Análise Combinatória ................................. 1. Problemas de contagem ................................... 2. Princípio fundamental da contagem .............................. 3. Fatorial ................. 4. Arranjos simples ..................................... 5. Permutação simples 6. Combinação simples ................................. 7. Arranjo com repetição ................................... 8. Permutação com elementos repetidos ........................ 9. Números binomiais ...................................... 10. Binômio de Newton .................................... III - Números Complexos ......................................... 1. Introdução e histórico ..................................... 2. Forma algébrica de um número complexo 3. Plano de Argand-Gauss .................................... 4. O conjunto C 5. Igualdade de números complexos 6. Conjugado de um número complexo 7. Adição e subtração de números complexos na forma algébrica 8. Multiplicação de números complexos na forma algébrica 9. Divisão de números complexos 10. Potências de i 11. Módulo e argumento de um número complexo 12. Forma trigonométrica ou polar dos números complexos 13. Multiplicação e divisão de números complexos na forma trigonométrica 14. Potenciação de números complexos na forma trigonométrica 15. Radiciação de números complexos na forma trigonométrica IV – Polinômios 1. Definição 2. Grau de um polinômio 3. Valor numérico de um polinômio 4. Polinômio nulo 5. Polinômios idênticos 6. Adição subtração e multiplicação de polinômios 7. Divisão de polinômios 8. Divisão de um polinômio por um binômio de forma ax+b 9. Divisão de um polinômio por um binômio de forma x 10. Divisão de um polinômio por ))(( xx 11. Dispositivo de Briot-Ruffini V – Equações polinomiais 1. Definição de equação polinomial 2. Raiz ou zero da equação 3. Teorema fundamental da Álgebra 4. Teorema da decomposição 5. Raízes nulas 6. Raízes complexas 7. Relações de Girard 8. Raízes racionais Introdução Ensinar matemática não tem sido uma tarefa fácil. Várias são as causas dessa dificuldade. Podemos citar a defasagem de conteúdos com que os alunos chegam às séries finais do ensino fundamental, estendendo esse problema até o ensino médio e até mesmo ao ensino superior. Para sanar esse problema, uma estratégia eficaz é o professor planejar suas aulas utilizando artifícios diferentes para o ensino de um mesmo conteúdo. E essa estratégia somente é possível quando o professor possui domínio sobre o conteúdo trabalhado, sabendo planejar, desenvolver e avaliar suas aulas. Este livro é o resultado de um trabalho coletivo de professores motivados pelo desejo de produzir uma obra com uma linguagem clara e acessível. Apresenta uma proposta simples e de fácil compreensão, incentivando o interesse, a leitura e a aquisição dos conceitos matemáticos. No desenvolvimento teórico, os conteúdos são explicados por meio de exemplos comentados que fazem parte do cotidiano dos alunos. A obra se inicia com o tema Progressões, no qual são estudadas as sequências, as progressões aritméticas e as progressões geométricas. Esses conteúdos têm grande importância na vida prática. A vibração das cordas de um instrumento musical, por exemplo, produz uma frequência que forma uma sequência numérica. Os juros simples se associam a uma progressão aritmética e os juros compostos a uma progressão geométrica. O capítulo II trata da análise combinatória, que é uma área da matemática criada para o estudo de problemas de contagem, utilizando técnicas para a descrição e contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento. Esses problemas estão ligados, justamente, às primeiras atividades matemáticas do homem, pela necessidade de contar objetos de um conjunto, como as ovelhas de um rebanho. A Análise Combinatória, em outras palavras, analisa dados e tenta quantificá-los para avaliar tendências e tomar decisões. Uma importante aplicação da análise combinatória está no desenvolvimento de nax )( , o binômio de Newton, que foi definido pelo físico e matemático Isaac Newton. Esse estudo veio para complementar o estudo dos produtos notáveis. Esse desenvolvimento seria inviável para grandes expoentes, sem o estudo do binômio de Newton. O capítulo III traz os números complexos, que foram desenvolvidos por vários matemáticos, uma construção que durou quase trezentos anos, devido à necessidade de calcular raízes quadradas de números negativos. O estudo dos números complexos permite resolver inúmeras questões no ramo da eletrônica, mecânica, eletricidade, engenharia aeronáutica, geometria, dentre outros. Uma aplicação indispensável dos números complexos é na Transformação de Joukowski, que possibilita aos engenheiros aeronáuticos a realização de estudos sobre aerofólios e suas influências na força de sustentação das aeronaves. No capítulo IV e V temos os polinômios e as equações polinomiais, respectivamente, que são importantes por modelarem grande parte dos problemas do mundo real. Os polinômios formam um conjunto de conceitos importante tanto na álgebra quanto na geometria, especialmente no cálculo de valores desconhecidos. Os polinômios surgiram no século III a.C. com o matemático Arquimedes de Siracusa. Os polinômios têm uma vasta aplicação nas ciências em geral. Se não houvesse polinômios, muito provavelmente não poderíamos utilizar CDs, por exemplo. Os polinômios são a base do código que faz com que os dados, de música ou computador, sejam escritos em CDs, os códigos corretores de erro, que fazem com que os dados sejam transmitidos corretamente. Entre os séculos XII e XVI os matemáticos resolviam equações de 3º e 4º graus utilizando fórmulas de resolução extremamente trabalhosas. Durante aproximadamente 250 anos, os matemáticos tentaram encontrar fórmulas para resolver equaçõesde grau superior a quatro, sem êxito. Em 1797, Gauss demonstrou que toda equação de grau n possui n raízes, mas não provou como obter essas raízes. Após anos de estudos, os matemáticos concluíram que não existem fórmulas para resolver equações de grau superior a quatro, mas sim métodos. Nos capítulos de equações polinomiais e equações algébricas, conheceremos alguns métodos criados por matemáticos para resolver algumas equações de qualquer grau. Espera-se que o licenciando em matemática conceda uma atenção especial para a formação dos conceitos matemáticos envolvidos, explorando e problematizando os conhecimentos adquiridos sob uma perspectiva compreensiva, histórico-cultural, multidimensional e didático-pedagógica. Com isso, espera-se que o aluno compreenda a importância de estudar os conteúdos aqui tratados. Bons estudos! Capítulo I Progressões Rogério Mazur 1-Sequência numérica Realizando um levantamento das sedes das Olimpíadas de verão desde 1992 até 2016. Temos: Barcelona, Espanha (1992) Atlanta, Estados Unidos (1996) Sydney, Austrália (2000) Atenas, Grécia (2004) Pequim, China (2008) Londres, Reino Unido (2012) Rio de Janeiro, Brasil (2016) A natureza dessa situação nos mostra a necessidade de ordenação dessas sedes olímpicas, formando uma sequência ou sucessão das informações. Podemos encontrar situações que exigem a ordenação de elementos no nosso dia a dia, como exemplo: Sequência de chegada dos corredores da maratona de São Silvestre; Sequência de nomes de candidatos aprovados em um concurso; Sequência de partida dos ônibus da rodoviária. Consideremos agora a sequência de números: (2, 4, 6, 8, 10, 12, …) Os parênteses representam um conjunto de números colocados em uma certa ordem. Nele, o primeiro termo é o número 2, o segundo o número 4, o terceiro termo o número 6 e assim por diante. Convencionaremos representar o primeiro termo de uma sequência por a1, o segundo termo por a2, o terceiro termo a3 e assim por diante, Logo, nesta sequência, temos: primeiro termo: a1 = 2; segundo termo: a2 = 4; terceiro termo: a3 = 6; quarto termo: a4 = 8; Para representar o termo da sequência de n elementos usaremos an. Dessa maneira a sequência de n elementos é escrita da forma: (a1, a2, a3, a4, a5,…, an) Se a sequência apresenta um último termo ela é finita, caso contrário ela é dita infinita. (10, 20, 30, 40, 50, 60) é uma sequência finita. (15, 20, 25, 30, 35, …) é uma sequência infinita. 1.1 Lei da formação dos elementos de uma sequência Consideremos a seguinte sequência de números. (1, 4, 9, 16, 25, 36, …) a1 = 1 a2 = 4 a3 = 9 a4 = 16 an = n 2 A expressão an = n 2 é chamada de lei de formação dos termos ou termo geral da sequência, os valores de n são o conjunto dos números naturais não nulos N*. Com ela, podemos calcular quanquer termo da sequência, por exemplo, o décimo termo é: a10 = 10 2 = 100. Exemplos: 1) Determine os seis primeiros termos da sequência definida por 1.2 nan para n = 1, 2, 3, …: Resolução: 1.2 nan 311.21 1 an 512.22 2 an 713.23 3 an 914.24 4 an 1115.25 5 an 1316.26 6 an Logo, a sequência procurada é (3, 5, 7, 9, 11, 13). 2) Uma sequência é formada pela lei de formação 415 nan . Determine a posição na sequência do número 19. Resolução: Temos a lei de formação: 415 nan , 19na e desejamos calcular a posição n. Substituindo teremos: 41519 n Isolando n, n54119 n560 12n Resposta: a posição do número 19 é 12n . 3) Considere a sequência numérica definida por 1003 nan a) Determine os cinco primeiros termos da sequência. b) Determine a ordem do termo 10. c) Verifique se o termo 21 pertence à sequência. Resolução: a) Vamos determinar os cinco primeiros termos: A lei de formação dos termos é 1003 nan . Vamos atribuir os valores de n na equação: 1003 nan 971001.31 1 an 941002.32 2 an 911003.33 3 an 881004.34 4 an 851005.35 5 an Resposta: os cinco primeiros termos são (97, 94, 91, 88, 85, …) b) Vamos determinar a ordem do termo 10. Sabemos: 10na Queremos determinar n: Usando a lei da formação 1003 nan Substituindo os valores de na 100310 n n310010 n390 30n Resposta: a ordem do termo 10 é n = 30. c) Vamos verificar se 21 pertence à sequência. Usando a lei da formação 1003 nan ,vamos determinar a ordem do termo 21. Substituindo 21na 100321 n n310021 n379 3 79 n 333,26n Resposta: Chegamos a um valor de n que não é um inteiro, logo o número 21 não pertence à sequência. 1.2 Lei da recorrência Outra maneira de determinarmos os elementos da sequência é encontrar um termo qualquer da sequência a partir do termo anterior. Exemplos: 1) Vamos construir a sequência definida pelas relações: 101 a 21 nn aa , para todo n ≥ 1 Atribuindo valores para n, temos: Para n = 1: 122102 22111 aaaa Para n = 2: 142122 33212 aaaa Para n = 3: 162142 44313 aaaa Para n = 4: 182162 55414 aaaa Notamos que para calcular o termo a2 precisamos do anterior a1. Para calcular o a3, precisamos do a2 e assim por diante. A sequência desejada é (12, 14, 16, 18, …) 2) Escreva os cinco primeiros termos da sequência definida por nn aa a 3 10 1 1 Resolução: O primeiro termo é 101 a Para n = 1, temos o segundo termo: nn aa 31 naa 311 30)10.(32 a Para n = 2, temos o terceiro termo: nn aa 31 212 3aa 90)30.(33 a Para n = 3, temos o quarto termo: nn aa 31 313 3aa 270)90.(34 a Para n = 4, temos o quinto termo: nn aa 31 414 3aa 810)270.(35 a A sequência é ( 1a , 2a , 3a , 4a , …) Resposta: a sequência desejada é (-10, -30, -90, -270, -810, …) 2- Progressões aritméticas (PA) Considere a seguinte sequência: (3, 8, 13, 18, 23, …) Observe que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é sempre igual a 5. 8 – 3 = 5; 13 – 8 = 5; 18 – 13 = 5; 23 – 18 = 5; 2.1 Definição Progressão aritmética é uma sequência numérica em que a diferença entre um termo qualquer e o seu antecessor é sempre constante. Essa constante é chamada de razão da progressão aritmética, representada por r. Na sequência abaixo temos: (a1, a2, a3, a4, a5,…, an) 12312 ... nn aaaaaar Exemplos de Progressão Aritmética: a) (7, 12, 17, 22, 27) é uma PA, de razão 5 e 71 a b) (6, 6, 6, 6, …) é uma PA, de razão 0 e 𝑎1 = 6 61 a c) (-20, -10, 0, 10, 20, 30, …) é uma PA, de razão 10 e 𝑎1 = −20 201 a d) (20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ...) é uma PA, de razão -3 e 𝑎1 = 20 201 a e) ..., 2 7 ,3, 2 5 ,2, 2 3 ,1 é uma PA, de razão 1 2 e 11 a 2.2 Classificação da progressão aritmética Considere uma PA e a razão r entre os termos. I. Quando a razão r > 0, cada termo é maior que seu anterior, então dizemos que a PA é crescente. II. Quando a razão r < 0, cada termo é menor que seu anterior, então dizemos que a PA é decrescente. III. Quando arazão r = 0, cada termo é igual ao seu anterior, então dizemos que a PA é constante. Exemplos: 1) Classifique as progressões aritméticas em crescente, decrescente ou constante, identificando a razão de cada uma. a) (-5, -3, 1, 3, 5, …) b) (4, 4, 4, 4, 4, …) c) (20, 15, 10, 5, 0, -5, …) d) (12, 16, 20, 24, 28, …) Resolução: Vamos calcular a razão das PA usando a equação 12 aar a) Na PA (-5, -3, 1, 3, 5, …) temos 51 a , 32 a 253)5(312 aar Temos 0r , logo a PA é crescente. b) Na PA (4, 4, 4, 4, 4, …) temos 41 a , 42 a 04412 aar Temos 0r , logo a PA é constante. c) Na PA (20, 15, 10, 5, 0, -5, …) temos 201 a , 152 a 5201512 aar Temos 0r , logo a PA é decrescente. e) Na PA (12, 16, 20, 24, 28, …) temos 121 a , 162 a 4121612 aar Temos 0r , logo a PA é crescente. 2.3 - Termo geral da Progressão Aritmética A representação matemática para os seguintes termos da PA é: raa 12 raraa 2123 raraa 3134 raraa 4145 Podemos observar que o termo na , que ocupa a n-ésima posição na sequência, é dado por: rnaan ).1(1 Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma PA e permite calcular qualquer termo da sequência, a partir de a1 e r, sem precisar determinar todos os termos. Por exemplo: raa 14115 raa .19120 raa .991100 Exemplos: 1) Determine o 15° termo da sequência (6, 11, 16, 21, 26,…): Resolução: O primeiro termo da sequência é 61 a Razão 561112 aar Para o 15° termo 15n Utilizando a fórmula do termo geral temos: rnaan ).1(1 5).115(615 a 7615 a Resposta: o 15° termo da sequência é 76. 2) Determine a PA cujo décimo termo é 28 e o sexto termo é 16. Resolução: Sabemos 2810 a e 166 a Utilizando a fórmula do termo geral temos: rnaan ).1(1 raa ).110(110 ra .928 1 raa ).16(16 ra .516 1 Temos o sistema: ra ra .516 .928 1 1 Resolvendo o sistema, chegamos a 𝑟 = 3 𝑒 𝑎1 = 1 Logo a sequência é: (1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, …) 3) Quantos múltiplos de 5 existem entre 23 e 351? Resolução: Sabemos que o primeiro múltiplo de cinco maior que 23 é 25 , logo 251 a O último múltiplo de cinco menor que 351 é 350, logo 350na Queremos determinar o número de termos n, e sabemos que a razão é cinco. Utilizando o termo geral da PA: rnaan ).1(1 5).1(25350 n Resolvendo a equação chegamos a n=66 termos, logo, existem 66 múltiplos de cinco entre 23 e351. 4) Determine a PA em que 3663 aa e 3071 aa Resolução: Utilizando o termo geral da PA: rnaan ).1(1 raa ).13(13 raa .213 raa ).15(15 raa .415 raa ).16(16 raa .516 Substituindo 𝑎3 e 𝑎5 temos: 3663 aa 36.5.2 11 rara 36.72 1 ra Substituindo 𝑎1 e 𝑎7 temos: 3071 aa 30.611 raa 30.62 1 ra Chegamos ao sistema: 30.62 36.72 1 1 ra ra Resolvendo o sistema, temos 6r e 31 a Logo, a PA desejada é: (-3,3,9,15,21,27,33,39,…) 5) Milena decidiu que irá caminhar todos os dias e, a cada semana, vai caminhar 500 metros a mais por dia do que na caminhada da semana anterior. Sabendo que na primeira semana ela andou 1500 metros por dia, quanto ela vai caminhar por dia na décima semana? Resolução: Toda semana ela anda 500 metros a mais, a razão da PA é r = 500. Na primeira semana ela andou 1500 metros logo, 15001 a Queremos saber quanto ela andou na décima semana então n = 10. Utilizando o termo geral da PA: rnaan ).1(1 Substituindo os valores conhecidos temos: 500).110(150010 a 5009150010 a 4500150010 a 600010 a Portanto, na décima semana, Milena vai caminhar 6000 metros por dia. 2.4 - Soma dos n primeiros termos de uma PA O alemão Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855) foi um dos grandes matemáticos de todos os tempos, fez contribuições nos campos da matemática, física e filosofia. Gauss sempre teve muita facilidade com matemática. Conta-se que, aos 10 anos, ele tinha um professor que não aceitava conversas paralelas e brincadeiras em sala de aula. Um dia o professor decidiu dar-lhes uma atividade que deveria envolvê-los por algum tempo sem perturbá-lo. O professor pediu aos seus alunos para somar todos os números de 1 a 100, sabendo que a atividade tomaria um longo tempo dos alunos para realização dos cálculos. Em poucos minutos, Gauss concluiu a atividade, chegando à resposta de 5050. O professor conferiu o resultado e chegou a conclusão de que estava correto. O que Gauss tinha percebido é que existia um padrão que se repetia na soma. Se somarmos o primeiro termo com o último resulta em 101 e se somarmos o segundo com o penúltimo também resulta em 101, e assim sucessivamente. 1011001 aa 101992 aa 101983 aa … 101298 aa 1011100 aa Notamos que a primeira dessas igualdades é igual à última, ou seja, cada igualdade aparece duas vezes. Assim, a soma dos cem primeiros termos dessa sequência pode ser dada por: 1011002 S 5050 2 101100 S Notamos que 100 é o numero de termos e 101 é a soma do primeiro termo com o último. Generalizando para uma PA de n termos, temos: n aa S nn . 2 )( 1 Equação da soma de n termos da PA. Exemplos: 1) Determine a soma dos 10 primeiros termos da PA. (2, 4, 6, 8, …) Resolução: Temos: Primeiro termo 21 a Razão 2r 10n Calculando o décimo termo, temos: rnaan ).1(1 2).110(210 a 2010 a Utilizando a equação da soma dos termos: n aa S n . 2 )( 1 10. 2 )202( 10 S 11010 S Portanto, a soma dos 10 primeiros termos da PA é 110. 2) Determine o valor de x na equação: 1 + 3 + 5 + … + x = 100 Notamos que a soma dos termos é 𝑆𝑛 = 100 100nS Os termos formam uma PA. Onde o primeiro termo é 11 a , xan e a razão é r = 2. Calculando o número de termos na PA. rnaan ).1(1 2).1(1 nx 12 nx 2 1 x n Usando a equação da soma dos termos da PA: n aa S n . 2 )( 1 n x . 2 )1( 100 nx).1(200 Substituindo n encontrado anteriormente 2 1 ).1(200 x x Aplicando a propriedade distributiva: 2)1(400 x Efetuando e isolando x: 2119 xoux Observamos, na sequência dada, que x é um número positivo. Portanto, o valor de x na equação é 19. 3) Em uma indústria de automóveis, a produção mensal é de 300 carros, mas a nova meta é produzir 40 carros a mais do que o mês anterior. Nessas condições, qual será a produção de automóveis daqui a um ano? Resolução: No primeiro mês temos a produção de 1a =300 automóveis e a razão é r=40. Em um ano serão 12 meses, n=12. Desejamos calcular a quantidade de automóveis produzidos nesses 12 meses ou seja, a soma da produção dos 12 meses, 12S . Calculando a produção no 12º mês 12a Usando o fórmula do termo geral: rnaan ).1(1 Substituindo os termos conhecidos: raa ).112(112 40).11(30012 a 44030012 a 74012 a Calculando a soma dos 12 meses 12S Usando a equação da soma da PA: naa S nn . 2 )( 1 Substituindo n = 12: 12. 2 )( 121 12 aa S Substituindo 74012 a e 1a = 300 12. 2 )740300( 12 S 12S 6240 Resposta: a produção em um ano será de 6240 automóveis. 3) Calcular a soma dos 60 primeiros termos de uma PA em que 1a = -30 e r = 4. Resolução: Usando o fórmula do termo geral para achar qual é o termor de ordem 60, n = 60: rnaan ).1(1 raa ).160(160 raa ).59(160 Substituindo os termos conhecidos: 4).59(3060 a 2363060 a 20660 a Usando a equação da soma da PA: n aa S nn . 2 )( 1 Substituindo 1a =-30 e 20660 a n aa S nn . 2 )( 1 60. 2 )20630( 60 S 528060 S Resposta: A soma dos 60 primeiros termos da PA é 5280. 3 - Progressões Geométricas (PG) Considere a seguinte sequência numérica: (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...) Notamos que existe um padrão entre os termos da sequência e cada termo é sempre o dobro do anterior. 3.1 Definição Progressão Geométrica é a sequência de números em que cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante. Essa constante é chamada de razão da progressão geométrica, indicada pela letra q. Exemplos: a) (5, 15, 45, 135, ...) é uma PG de razão q = 3 b) (2, -8, 32, -128, 512, ...) é uma PG de razão q = -4 c) (25, 5, 1, 5 1 , 25 1 , ...) é uma PG de razão 5 1 q d) (3, 30, 300, 3000, 30000, ...) é uma PG de razão q = 10 e) (6, 6, 6, 6, 6, ...) é uma PG de razão q = 1 Na sequência: (a1, a2, a3, a4, a5,…, an) Para descobrirmos a razão q fazemos: 13 4 2 3 1 2 ... n n a a a a a a a a q Podemos classificar as progressões geométricas como: a) Crescente: cada termo da sequência é maior que seu antecessor. Pode-se ter os seguintes casos: I. 01 a e q > 0 Exemplo: (2, 6, 18, 54, ...) 1a = 2 e q = 3 II. 01 a e 0 < q < 0 Exemplo: (-2, -1, 2 1 , 4 1 , ...) 1a = -2, 2 1 q b) Decrescente: cada termo da sequência é menor que seu antecessor. Pode-se ter os seguintes casos: I. 01 a e 0 < q < 1 Exemplo: (20, 10, 5, 2 5 , 4 5 , ...) 1a = 20 e 2 1 q II. 01 a e q > 1 Exemplo: (-5, -10, -20, -40, -80, ...) 1a = -5 e q = 2 c) Constante: cada termo da sequência é igual ao seu antecessor. Pode-se ter os seguintes casos: I. q = 1 Exemplo: (3, 3, 3, 3, 3, ...) 1a = 3 e q = 1 II. 𝑞 = 0 Exemplo: (0, 0, 0, 0, 0, ...) 1a = 0 e q = 0 d) Alternada: cada termo da sequência é alternadamente positivo e negativo. Nesse caso, q < 0. Exemplo: (3, -6, 12, -24, 48, ...) 1a = 3 e q = -2 e) Estacionária: cada termo da sequência a partir do segundo resulta no mesmo valor. Exemplo: (8, 0, 0, 0, 0, ...) 1a = 8 e q = 0 Exemplo: Classifique as progressões geométricas a seguir, como crescente, decrescente, constante, alternada ou estacionária: a) (1, 4, 16, 32, …) b) (8, 4, 21, …) c) (5, -5, 5, -5, …) Resolução: Para determinarmos as classificações devemos calcular a razão q e o primeiro termo 1a . a) Para a sequência (1, 4, 16, 64, …) temos 11 a e 42 a Podemos calcular a razão pela expressão 13 4 2 3 1 2 ... n n a a a a a a a a q 4 1 4 q Temos 0q e 01 a , a PG é crescente. b) Para a sequência (8, 4, 2, 1, …) temos 81 a e 42 a Calculando a razão: 2 1 8 4 1 2 a a q Temos 0 < q < 1 e 01 a , a PG é decrescente. c) Para a sequência c) (5, -5, 5, -5, …) temos 51 a e 52 a Podemos calcular a razão pela expressão 1 5 5 1 2 a a q Temos 1q , 01 a , a PG é alternada. 3.2 Termo geral da PG O temo geral da progressão geométrica vai permitir encontrar qualquer termo de uma sequência conhecendo o primeiro termo 1a e a razão q da PG. Seja uma progressão geométrica de n elementos escritos na forma: (a1, a2, a3, a4, a5, …, an) qaa .12 2 13123 .)..(. qaaqqaqaa 3 14 2 134 .)..(. qaaqqaqaa 4 15 3 145 .)..(. qaaqqaqaa …. 1 11 .. n nnn qaaqaa De modo geral o termo na que ocupa a n-ésima posição da sequência é representado por: 1 1. nn qaa A equação é conhecida como termo geral da PG Exemplos: 1) Determine o décimo termo da sequência (2, 4, 8, 16, …). Resolução: Sabemos que o primeiro termo é 1a =2, n=10 e a razão é: 2 2 4 1 2 a a q Usando o termo geral da PG 1 1. nn qaa Substituindo n = 10 na equação: 110 110 . qaa 9 110 .qaa Substituindo o 1a e q temos: 9 10 2.2a 10 10 2a 102410 a O décimo termo é 1024. 2) Em uma progressão geométrica o nono termo é 768 e o quinto termo é 48. Determine o terceiro termo da sequência. Resolução: Sabemos que o nono termo é 7689 a , e o quinto termo é 485 a . Usando o termo geral da PG: 1 1. nn qaa Para o nono termo: n = 9 19 19 . qaa 8 19 .qaa Mas 7689 a 8 1.768 qa Para o quinto termo: n = 5 15 15 . qaa 4 15 .qaa Mas 485 a 4 1.48 qa Temos o sistema: 4 1 8 1 .48 .768 qa qa Dividindo a primeira equação pela segunda: 4 1 8 1 . . 48 768 qa qa 416 q 442 q q=2. Vamos calcular o primeiro termo 1a . Utilizando a segunda equação do sistema, e substituindo o valor da razão, temos: 4 1.48 qa 4 1 2.48 a 16.48 1a 31 a Para determinar o terceiro termo 3a da sequência, temos n = 3. 1 1. nn qaa 13 13 . qaa 2 13 .qaa 31 a e q=2 2 3 2.3a 123 a Resposta: O terceiro termo da PG é 12. 3.3 Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG Seja uma progressão geométrica de n elementos, escritos na forma: (a1, a2, a3, a4, a5,…, an) A soma dos n primeiros termos é dada por: nnn aaaaaaS 14321 ... Substituindo qaa .12 , 2 13 .qaa , 3 14 .qaa , …, 1 1. nn qaa temos: 1 1 3 1 2 111 ....... nn qaqaqaqaaS (1) Multiplicando a equação 1 pela razão q. qqaqaqaqaaqS nn )........(. 1 1 3 1 2 111 Distribuindo q qqaqqaqqaqqaqaqS nn 1 1 3 1 2 111 ............ Simplificando: n n qaqaqaqaqaqS ......... 1 4 1 3 1 2 11 (2) Subtraindo a equação 2 da equação 1, teremos: ).......(......... 11 3 1 2 1111 4 1 3 1 2 11 nnnn qaqaqaqaaqaqaqaqaqaSqS 1 1 3 1 2 111 4 1 3 1 2 11 ..............)1.( nn qaqaqaqaaqaqaqaqaqS 11.)1.( aqaqS n n Multiplicando por (-1) e equação acima: n n qaaqS .)1.( 11 Isolando nS q qa S n n 1 )1(1 Essa é a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG. Exemplo: Sendo a progressão geométrica dada por (1,3,9,27,…), quantos termos devem ser somadospara que a soma resulte em 29 524? Resolução: Sabemos que 1a =1 e 2a =3. Vamos determinar a razão q: 3 1 3 1 2 a a q Devemos calcular o número de termos n, usando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PG. Temos que a soma é nS = 29524 q qa S n n 1 )1(1 Substituindo os termos conhecidos 31 )31(1 29524 n 2 31 29524 n n31)2.(29524 n3159048 n3159048 n359049 590493 n Fatorando o número 59049 chegamos: 1033 n Logo temos: 10n Concluímos que n=10, ou seja, a soma dos dez primeiros termos da sequência resulta em 29.524. 3.4 Soma dos termos de uma PG infinita Seja uma progressão geométrica infinita (a1, a2, a3, a4, a5,…). A soma de seus termos é chamada de série geométrica, e podemos classificar a progressão geométrica em relação à razão q, como : Convergente , quando1-<q<0, resultando a soma em uma constante numérica. Divergente, quando q≤-1 ou q≥1. À medida em que n aumenta, a soma dos termos também aumenta, isto é, diverge. Vamos considerar o caso em que a soma é convergente, calculando o limite da soma quando n tende ao infinito. Considerando S a soma infinita, temos: q qa SS n nnn 1 )1( limlim 1 Quando n tende a um valor muito grande, o termo da expressão 0nq , para-1<q<1, logo: q a S 1 )01(1 q a S 1 1 Esta é a equação da soma de uma PG infinita convergente Exemplos: 1) Determine a soma infinita da seguinte sequência (4, 2, 1, 2 1 , 4 1 , …) Resolução: Sabemos que o primeiro termo é 41 a A razão é 2 1 4 2 1 2 a a q Utilizando a formula da soma infinita: q a S 1 1 Substituindo os valos conhecidos: 8 2 1 1 4 S A soma infinita da progressão geométrica é 8. 2) Determine o valor de variável x na expressão a seguir: 12... 64164 432 xxx x Resolução: O primeiro termo é xa 1 e o segundo é 4 2 2 x a A razão é: 4 4 2 1 2 x x x a a q Utilizando soma dos termos de uma PG infinita q a S 1 1 Substituindo os valores S=12 e 4 x q , temos: 4 1 12 x x 4 4 12 x x x x 4 4 .12 xx 4.3 xx 312 x412 3x Resposta: Para que a soma dos termos da PG seja 12, o valor de x é 3. 3) Obtenha a fração geratriz da dizima periódica 0,44444… Resolução: A soma dos termos é X=0,44444… Podemos escrever x na forma: X=0,4+0,04+0,004+0,0004+0,00004+… O primeiro termo é 4,01 a o segundo termo é 04,02 a Calculando a razão q: 1,0 4,0 04,0 1 2 a a q Utilizando a formula da soma infinita da PG: q a S 1 1 Substituindo 1a e q: 1,01 4,0 S 9 4 9,0 4,0 S Resposta: a fração geratriz é 9 4 Capítulo II Análise Combinatória Karen Cristine Uaska dos Santos Couceiro Neste capítulo, estudaremos uma área da Matemática que trata dos problemas de contagem, ou seja, que analisa dados e tenta quantificá-los para avaliar tendências e tomar decisões: a Análise Combinatória. Vejamos algumas situações: - Objetivando aumentar o número de linhas telefônicas, em alguns estados brasileiros os números de telefones celulares passaram de oito para nove algarismos. Quantas linhas telefônicas serão criadas a mais com essa alteração? - No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e quatro algarismos. Qual o número máximo de possibilidades para as placas com essa formatação? - De quantas maneiras podemos escolher os seis números da loteria chamada Mega-Sena, onde dispomos de uma cartela com números em sequência de 01 a 60? Situações como as apresentadas acima, permitem o estudo do tamanho de uma rede telefônica, da frota de automóveis em determinada região e da quantidade de opções em um jogo de loteria. O estudo da Análise Combinatória permitirá resolver essas e outras situações em diferentes métodos de resoluções. 1. Problemas de contagem Vamos estudar, aqui, algumas técnicas para a descrição e contagem de todos os casos possíveis de um acontecimento. Observamos a seguinte situação: Para a eleição do Grêmio Estudantil de uma escola, há dois alunos candidatos a presidente e três alunos candidatos a vice-presidente. Sabendo que as escolhas de presidente e vice-presidente são independentes, quais os possíveis resultados dessa eleição? Candidatos a presidente Beatriz Artur Candidatos a vice-presidente Everton Denise Cláudio Uma maneira de analisar essa situação é construindo a árvore das possibilidades, representando os possíveis agrupamentos, ou seja, os resultados: Presidente Vice-presidente Resultados possíveis Cláudio Artur e Cláudio Artur Denise Artur e Denise 6 Everton Artur e Everton resultados possíveis Cláudio Beatriz e Cláudio Beatriz Denise Beatriz e Denise Everton Beatriz e Everton Outro recurso que pode ser utilizado é a construção de uma tabela de dupla entrada: Presidente Vice-presidente Cláudio Denise Everton Artur Artur e Cláudio Artur e Denise Artur e Everton Beatriz Beatriz e Cláudio Beatriz e Denise Beatriz e Everton Conclui-se que é possível obter 6 resultados diferentes: Artur e Cláudio, Artur e Denise, Artur e Everton, Beatriz e Cláudio, Beatriz e Denise, Beatriz e Everton. Vejamos agora, outros exemplos de problemas de contagem: 1) Júlio dispõem de quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e vermelha (v) e de três calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas maneiras diferentes Júlio pode se vestir usando uma camiseta e uma calça? Resolução: Construindo a árvore das possibilidades temos: Camisetas Calças Resultados possíveis A aA a P aP M aM A bA b P bP M bM 12 resultados A cA possíveis c P cP M cM A vA v P vP M vM Construindo a tabela: Camisetas Calças Azul (A) Preta (P) Marrom (M) Amarela (a) aA aP aM Branca (b) bA bP bM Cinza (c) cA cP cM Vermelha (v) vA vP vM Também verificamos que há 1234 maneiras diferentes de Júlio se vestir. 2) Quantos números de três algarismos distintos podemos formar com os algarismos 5, 7 e 8? Quais são eles? Resolução: Observe que os números devem possuir algarismos distintos, isto é, diferentes. Logo, números como 557 ou 788 não podem ser considerados. Podemos resolver este exercício escrevendo todos os números possíveis: 578 758 857 587 785 875 Temos seis resultados possíveis. Ou construindo a árvore das possibilidades: Algarismo Algarismo Algarismo Números das centenas das dezenas das unidades formados 5 7 8 578 8 7 587 75 8 758 6 resultados 8 5 785 possíveis 8 5 7 857 7 5 875 Concluímos que podemos escrever 6 números distintos: 578, 587, 758, 785, 857 e 875. 3) Lançando-se simultaneamente dois dados comuns, um vermelho e outro preto e considerando os números que poderão sair na face superior: a) Quais são os resultados possíveis? Quantos são? b) Quais são as somas possíveis? Quantas são? Resolução: Neste caso é mais conveniente a construção de uma tabela, veja: Dado vermelho Dado preto Face 1 Face 2 Face 3 Face 4 Face 5 Face 6 Face 1 1 e 1 1 e 2 1 e 3 1 e 4 1 e 5 1 e 6 Face 2 2 e 1 2 e 2 2 e 3 2 e 4 2 e 5 2 e 6 Face 3 3 e 1 3 e 2 3 e 3 3 e 4 3 e 5 3 e 6 Face 4 4 e 1 4 e 2 4 e 3 4 e 4 4 e 5 4 e 6 Face 5 5 e 1 5 e 2 5 e 3 5 e 4 5 e 5 5 e 6 Face 6 6 e 1 6 e 2 6 e 3 6 e 4 6 e 5 6 e 6 a) Verificamos, conforme a tabela, que há 3666 resultados possíveis. b) Considerando que o menor número que pode sair na face superior do dado vermelho é 1 e na face superior do dado preto também é 1, concluímos que a menor soma possível é 2 (1+1). De maneira análoga, a maior soma possível é 12 (6+6). Portanto, há 11 somas possíveis das faces superiores de dois dados lançados simultaneamente: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e 12. 2. Princípio fundamental da contagem Nos exemplos anteriores, utilizamos diferentes maneiras para descrever todas as possibilidades da ocorrência de um evento: árvore das possibilidades, tabela de dupla entrada ou simplesmente escrevendo os resultados possíveis. Veremos agora, com o princípio fundamental da contagem ou princípio multiplicativo, essa mesma quantidade de possibilidades sem a necessidade de descrevê-las. Se um evento ocorrer por diversas etapas sucessivas e independentes, de tal modo que: C D U p1 é a quantidade de possibilidades da 1ª etapa p2 é a quantidade de possibilidades da 2ª etapa . . . pn é a quantidade de possibilidades da n-ésima etapa, então p1 p2 ... pn é a quantidade total de possibilidades de o evento ocorrer. Vamos retornar ao exemplo 1 dos problemas de contagem: “Júlio dispõem de quatro camisetas, nas cores amarela (a), branca (b), cinza (c) e vermelha (v) e de três calças, nas cores azul (A), preta (P) e marrom (M). De quantas maneiras diferentes Júlio pode se vestir usando uma camiseta e uma calça?” Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos prontamente que Júlio possui 12 maneiras diferentes de se vestir, porque poderia escolher qualquer uma das quatro camisetas e combinar, com cada camiseta escolhida, qualquer uma das três calças 1234 . Exemplos: 1) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5: a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? Resolução: Um número de três algarismos possui a forma e o algarismo da casa das centenas não pode ser zero. Como o zero não é um dos algarismos citados neste exemplo, podemos escolher qualquer um desses cinco algarismos para a casa das centenas, cinco para a casa das dezenas e cinco para a casa das unidades. Usando o princípio multiplicativo concluímos que: Podemos formar 125555 números de três algarismos utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4, e 5. b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar? Resolução: UM C D U Para formar números com algarismos distintos, sem repetição de algarismos, verificamos a quantidade de possibilidades para a primeira opção e o algarismo escolhido não poderá ser utilizado nas demais casas. Ou seja: cinco quatro três opções opções opções 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 Havia cinco opções para a casa das centenas (1, 2, 3, 4 e 5) e, supondo que escolhemos o algarismo 4, agora não podemos escolher este algarismo para as demais casas. Restam quatro opções para a casa das dezenas (1, 2, 3, e 5). Se escolhermos, por exemplo, o algarismo 2 para a casa das dezenas, restará três opções para a casa das unidades (1, 3 e 5). Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 60345 números distintos. 2) Com os algarismos 0, 2, 4, 6 e 8: a) Quantos números de 4 algarismos podemos formar? Resolução: Um número com quatro algarismos possui a forma e o primeiro algarismo não pode ser zero, pois formaria um número de três algarismos. quatro cinco cinco cinco opções opções opções opções DM UM C D U 2 0 0 0 4 2 2 2 6 4 4 4 8 6 6 6 8 8 8 Temos quatro opções para a casa das unidades de milhar (2, 4, 6 e 8), cinco opções para a casa das centenas (0, 2, 4, 6, e 8), cinco opções para a casa das dezenas (0, 2, 4, 6, e 8) e cinco opções para a casa das unidades (0, 2, 4, 6 e 8). Usando o princípio multiplicativo, podemos formar 5005554 números de quatro algarismos utilizando 0, 2, 4, 6 e 8. b) Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar? Resolução: Um número com cinco algarismos possui a forma e o primeiro algarismo não pode ser zero. Como queremos números distintos, não pode haver repetição de algarismos. Temos a seguinte situação: quatro quatro três duas uma opções opções opções opções opção 2 0 0 0 0 4 2 2 2 2 6 4 4 4 4 8 6 6 6 6 8 8 8 8 Na casa das dezenas de milhar temos quatro opções (2, 4, 6 e 8). Caso a opção seja pelo algarismo 4, este não poderá mais ser escolhido para as outras casas. Na casa das unidades de milhar há quatro opções (0, 2, 6 e 8). Supondo que o algarismo 6 tenha sido o escolhido, restaram três opções para a casa das centenas (0, 2 e 8), onde escolhemos o algarismo 2. Na casa das dezenas há duas opções (0 e 8), onde escolhemos o algarismo 0. Restou somente uma opção para a casa das unidades (8). Utilizando o princípio multiplicativo 9612344 , concluímos que podemos formar 96 números de cinco algarismos distintos. 3) No Brasil, as placas dos automóveis são compostas por três letras e quatro algarismos. Qual o número máximo de possibilidades para as placas com essa formatação? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição.) Resolução: 26 26 26 10 10 10 10 opções opções opções opções opções opções opções A A A 0 0 0 0 aa a a a a a Z Z Z 9 9 9 9 Considerando que não há nenhuma restrição para a formação das placas, temos 26 opções para cada uma das três posições ocupadas por letras (A a Z) e 10 opções para cada uma das quatro posições ocupadas por algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9). Utilizando o princípio multiplicativo 00076017510101010262626 , concluímos que é possível formar 175 760 000 placas de automóveis com essa formatação. 4) Para emplacar carros novos, cada estado brasileiro possui uma sequência de letras e números definidos. No estado do Paraná, por exemplo, as placas definidas vão da série inicial AAA-0001 até a série final BEZ-9999. Sabendo que dentre os quatro algarismos ao menos um deles deve ser diferente de zero, qual o número máximo de possibilidades para as placas no estado do Paraná? Resolução: Na formatação das placas podemos utilizar as 26 letras do alfabeto e os 10 algarismos (de 0 a 9). Para as placas do Paraná elas podem ser do tipo A __ __ - __ __ __ __ ou B __ __ - __ __ __ __. (I) Opções de placas iniciando com a letra A: 1 26 26 10 10 10 10 opção opções opções opções opções opções opções A A A 0 0 0 0 a a a a a a Z Z 9 9 9 9 Usando o princípio multiplicativo, temos 00076061010101026261 . Como não podemos ter as placas com quatro algarismos zero, como AAA-0000, AAB-0000, ... , AAZ-000, ABA-0000, ... , AZZ-0000, retiramos 6762626 possibilidades. Assim, temos 32475966760007606 placas iniciando com A. (II) Opções de placas iniciando com a letra B: 1 5 26 10 10 10 10 opção opções opções opções opções opções opções B A A 0 0 0 0 a a a a a a E Z 9 9 9 9 Usando o princípio multiplicativo, temos: R1 R2 R3 R4 r1 r2 r3 0003001101010102651 Como ao menos um algarismo deve ser diferente de zero, retiramos as possibilidades de placas terminadas em 0000, que totalizam 130265 placas. Assim, temos 87029911300003001 placas iniciadas com a letra B. Somando (I) e (II), concluímos que há 194059887029913247596 placas possíveis para o estado do Paraná. 5) Existem 4 ruas ligando os bairros A e B e 3 ruas ligando os bairros B e C. De quantos modos diferentes é possível ir do bairro A até o bairro C, passando por B? Resolução: Esquematicamente, temos: A B C Fixando uma das ruas que ligam A e B e variando as ruas que ligam B e C, visualizamos que há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando por B: r1 R1 r2 r3 r1 R2 r2 r3 r1 R3 r2 r3 r1 R4 r2 r3 Pelo princípio multiplicativo também verificamos as doze possibilidades: 1234 Logo, há 12 modos diferentes de ir do bairro A até o bairro C, passando pelo bairro B. 6) Quantos anagramas da palavra FAEL: a) Começam com L? b) Não terminam com consoantes? Resolução: a) Anagramas são as alterações possíveis na sequência de letras de uma palavra. Que começam com L, podemos ter LFAE, LFEA, dentre outras. Esquematicamente, temos: uma três duas uma opção opções opções opção L F F F A A A E E E L L L Pelo princípio multiplicativo, temos 61231 anagramas que começam com a letra L. b) Para determinar os anagramas que não terminam com consoantes, temos duas opções para última letra (A ou E). uma duas três duas opção opções opções opções F F F A A A A E E E E L L L Aplicando o princípio multiplicativo, concluímos que há 122321 anagramas da palavra FAEL que não terminam com consoantes. 3. Fatorial Nos problemas de análise combinatória, é comum aparecer multiplicações cujos fatores são números naturais consecutivos, como: 4.3.2.1 5.4.3.2.1 6.5.4.3.2.1 Para facilitar essa escrita, utilizamos um símbolo chamado fatorial, representado por ! (um ponto de exclamação). Define-se fatorial por: “Seja n um número inteiro maior que 1, n fatorial ou fatorial de n é o produto dos n números naturais consecutivos de n a 1. Indica-se n!.” n! (Lê-se: n fatorial ou fatorial de n) ,123...)3()2()1(! nnnnn sendo Nn e 1n ou )!1(! nnn Exemplos: 212!2 6123!3 241234!4 12012345!5 720123456!6 Note que a propriedade )!1(! nnn deve ser conservada em todos os casos. Sendo assim: (I) Para 2n : !11 )2(!1212 )!12(2!2 )!1(! pormembrososambosdividindo nnn 1! = 1 (II) Para 1n : !01!1 )!11(1!1 )!1(! nnn Para que essa igualdade seja verdadeira, define-se 1!0 . Exemplos: 1) Calcule o valor de: a) !3!5 !7 Resolução: 40 126 5040 12312345 1234567 !3!5 !7 b) !5!6 !6!8 Resolução: 5 342 5 6336 )16(!5 )6678(!5 !5)!56( )!56()!5678( !5!6 !6!8 2) Simplifique a expressão )!1( )!2( n n : Resolução: 2 )!1( )!1()2( )!1( )!2( n n nn n n 3) Resolva a equação )!2(15)!3()!4( yyy . Resolução: 0 )1,!(8 0 0)8( 08 1531243 15)3()3()4( :0)!2( )!2(15)3()3()4()!2( )!2(15)!2()3()!2()3()4( )!2(15)!3()!4( 2 1 2 2 S neNnnempoissatisfaznãoy y yy yy yyyy yyyypormembrososambosDividindo yyyyy yyyyyy yyy 4) Resolva a equação 24)!3( n . Resolução: 7 7 43 !4)!3( 1234)!3( 24)!3( S n n n n n 4. Arranjos simples Começaremos a estudar problemas de contagem onde há a necessidade de organizar ou agrupar os elementos de um conjunto. Vamos considerar os seguintes exemplos: a) Com os algarismos 3, 5, 7 e 8, vamos formar todos os números possíveis de dois algarismos distintos: Resolução: Como os algarismos devem ser distintos, vamos construir a árvore das possibilidades: Primeira posição Segunda posição Números formados 5 35 3 7 37 8 38 3 53 5 7 57 8 58 12 números formados 3 73 7 5 75 8 78 3 83 8 5 85 7 87 Neste exemplo, 4 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 a 2. Observamos que os números formados diferem entre si pela posição que ocupam: 35 e 53, por exemplo. Isto é, a ordem dos elementos interfere nos números formados. Cada número obtido dessa maneira é denominado arranjo simples dos 4 elementos tomados 2 a 2. Indicamos esses arranjos por 2,4A ou 2 4A . b) Cinco alunos, Júlia, Marcos, Davi, Luana e Eduardo disputam votos para representantes de turma, onde o primeiro colocado será eleito para representante e o segundo colocado será eleito para suplente de turma. Sabendo que as escolhas de representante e suplente são independentes, quais são as possibilidades para os dois primeiros lugares? Resolução: Construindo a árvore de possibilidades, temos: Representante Suplente Resultados possíveis (Representante / Suplente) Marcos Júlia / Marcos Júlia Davi Júlia / Davi Luana Júlia / Luana Eduardo Júlia / Eduardo Júlia Marcos / Júlia Marcos Davi Marcos / Davi Luana Marcos / Luana Eduardo Marcos / Eduardo Júlia Davi / Júlia Davi Marcos Davi / Marcos 20 resultados Luana Davi / Luana possíveis Eduardo Davi / Eduardo Júlia Luana / Júlia Luana Marcos Luana / Marcos Davi Luana / Davi Eduardo Luana / Eduardo Júlia Eduardo / Júlia Eduardo Marcos Eduardo / Marcos Davi Eduardo / Davi Luana Eduardo / Luana Neste exemplo, 5 elementos foram agrupados de 2 em 2, ou tomados 2 a 2. Também observamos que a ordem dos elementos interfere no resultado: Júlia para represente e Davi para suplente difere de Davi para representante e Júlia para suplente. Cada resultado assim obtido é denominado arranjo simples dos 5 elementos tomados 2 a 2, ou seja, 2,5A ou 2 5A . Nesses dois exemplos, temos o que chamamos de arranjos simples. Sendo C um conjunto com n elementos e np , com n, p *N , definimos: Arranjo simples de n elementos de C, tomados p a p, é toda sequência de p elementos A quantidade de arranjos simples de n elementos distintos, tomados p a p, indica- se por p npn AouA , . Organizaremos uma tabela para calcular pnA , : Escolha do: Número de possibilidades: primeiro elemento (qualquer elemento de um conjunto) n segundo elemento, após a escolha do primeiro n – 1 terceiro elemento, após a escolha do primeiro e do segundo n – 2 . . . p-ésimo elemento, após a escolha dos anteriores (1º, 2º, ..., (p – 1) elementos n – (p – 1) ou n – p + 1 Portanto, pelo princípio multiplicativo, tem-se que: )1()3()2()1(, pnnnnnA pn Note que a fórmula de An,p pode ser descrita por meio de fatoriais, ou seja, é o produto de p fatores decrescentes em uma unidade a partir de n. Exemplos: 12012345) 1202345) 60345) 2045) 5) 5,5 4,5 3,5 2,5 1,5 Ae Ad Ac Ab Aa No exemplo c, onde 3453,5 A , multiplicando o segundo membro dessa igualdade por !2 !2 , que é igual a 1, temos: )!25( !5 !2 !5 !2 12 345 !2 !2 3453,5 A Usando o mesmo raciocínio para pnA , , temos: )1()3()2()1(, pnnnnnA pn Multiplicando o segundo membro por )!( )!( pn pn , temos: )!( 123)1()( )1()3()2()1( )!( )!( )1()3()2()1( , , pn pnpn pnnnnnA pn pn pnnnnnA pn pn Assim, concluímos que arranjos simples de n elementos, tomados p a p, podem ser calculados por: )!( ! , pn n A pn Exemplos: 1) Calcule: a) 4,7A Resolução: 840 4567 !3 !34567 )!47( !7 )!( ! 4,7 4,7 4,7 4,7 , A A A A pn n A pn b) 1,72,9 3,64,8 AA AA Resolução: 13 360 65 1800 772 1201680 789 4565678 !6 !67 !7 !789 !3 !3456 !4 !45678 )!17( !7 )!29( !9 )!36( !6 )!48( !8 1,72,9 3,64,8 AA AA 2) Quantos pares ordenados com elementos distintos podemos formar com as letras a, b, c, d, e, f e g? Resolução: Considerando dois pares ordenados quaisquer, observa-se que a ordem dos elementos altera o par ordenado, exemplo abba ,, . Trata-se, então, de um problema de arranjo simples. Temos que arranjar sete letras tomadas duas a duas, ou seja, 2,7A . 42 !5 !567 )!27( !7 2,7 A Logo, podemos formar 42 pares ordenados. 3) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 a 9? Resolução: Alterando a ordem dos algarismos, observa-se que altera o número formado. Observe, por exemplo, 21341234 . Temos, portanto, um problema de arranjo simples, de 9 elementos tomados 4 a 4. 3024 !5 !56789 )!49( !9 4,9 A Podemos formar 3024 números com os algarismos 1 a 9. 4) Quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar com os dez primeiros números naturais? Resolução: Como no exemplo anterior, a ordem dos elementos altera o número formado. Temos um problema de arranjo simples. Primeiramente, arranjamos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, que são os dez primeiros números naturais, tomados 4 a 4: 5040 !6 !678910 )!410( !10 4,10 A Para um número possuir quatro algarismos, o zero não deve ocupar a primeira posição. Sendo assim, devemos retirar as possibilidades em que isso ocorre. Fixando o zero na primeira posição, restam 9 algarismos para serem arranjados, tomados 3 a 3. 504 !6 !6789 )!39( !9 3,9 A 453650450403,94,10 AA Logo, podemos formar 4536 números. 5) Resolva a equação 722, xA . Resolução: Vamos lembrar que todo pnA , , deve ter pn (condição de existência). 9 .9,2 98 072 72 72 )!2( )!2()1( 72 )!2( ! 72 2 21 2 2 2, S equaçãoasatisfazxsomentexComo xex xx xx x xxx x x Ax 6) Resolva a equação 2,3, 16 xx AA . Resolução: 18 18 162 )1()1(16)2()1( )!2( )!2()1( 16 )!3( )!3()2()1( )!2( ! 16 )!3( ! 16 2,3, S x x membrososambosxxpordividindoxxxxx x xxx x xxxx x x x x AA xx 5. Permutação simples Seja C um conjunto com n elementos, definimos: Permutação simples dos n elementos é qualquer agrupamento ordenado (sequência) de n elementos distintos de C. Indica-se a permutação simples de n elementos por Pn. Lê-se: permutação simples de n elementos. A permutação de n elementos, é um caso particular de arranjo, quando n = p, ou seja, um arranjo simples de n elementos, tomados n a n. Assim, temos: 1 ! !0 ! )!( ! , n P n P nn n P AP n n n nnn !nPn Como 1)2()1(! nnnn , o número de permutações de n elementos pode ser: 1)2()1( nnnPn Exemplos: 1) Quantos anagramas possui a palavra LIVRO? Resolução: Cada anagrama é uma permutação simples das letras L, I, V, R, O. Sendo assim: 12012345!5! 555 PPPnPn A palavra LIVRO possui 120 anagramas. 2) Usando os algarismos 2, 4, 6 e 8, quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar? Resolução: Basta permutar os quatro algarismos: 2, 4, 6 e 8. 241234!44 P Logo, podemos formar 24 números. 3) Com a palavra VIAGEM, podemos formar: a) Quantos anagramas? Resolução: O total de anagramas é obtido através da permutação das seis letras da palavra VIAGEM, ou seja: 720123456!66 P anagramas. b) Quantos anagramas que iniciam com a letra V? Resolução: Fixando a letra V na primeira posição, podemos permutar as demais cinco letras (I, A, G, E, M). Ou seja: _V_ ____ ____ ____ ____ ____ 12012345!55 P anagramas que iniciam com a letra V. c) Quantos anagramas que iniciam com consoante? Resolução: Analogamente ao exercício anterior, observamos que há P5 para cada consoante: _V_ ____ ____ ____ ____ ____ _G_ ____ ____ ____ ____ ____ _M_ ____ ____ ____ ____ ____ Como são três consoantes, temos 3.P5 anagramas: 360123453!533 5 P d) Quantos anagramas iniciam com consoante e terminam em vogal? Resolução: Para cada consoante na primeira posição e para cada vogal na última posição, temos P4 anagramas, totalizando 3.3.P4 anagramas que iniciam com consoante e terminam em vogal: ______ ______ ______ ______ ______ ______ consoante P4 anagramas vogal Assim, 216123433!43333 4 P anagramas. 4) Permutando os algarismos do número 1234 e colocando-os em ordem crescente, qual é a posição ocupada pelo número 4312? Resolução: Colocamos as permutações obtidas pelos 4 algarismos em ordem crescente: Números iniciados com 1: _1_ ____ ____ ____ 6!33 P Números iniciados com 2: _2_ ____ ____ ____ 6!33 P Números iniciados com 3: _3_ ____ ____ ____ 6!33 P 22 elementos Números iniciados com 4 e 1: _4_ _1_ ____ ____ 2!22 P Números iniciados com 4 e 2: _4_ _2_ ____ ____ 2!22 P Números iniciados com 4 e 3: _4_ _3_ __1_ __2_ 23º Observamos que há 22 elementos precedendo o número 4312. Logo, ele pertence à 23ª posição. 5) Calcular 3 4 32 25 3 5 23 P P PP PP y . Resolução: 103 1291 6 72 610 4360 !3 !43 !3!25 !22!53 3 5 23 3 4 32 25 y y y y P P PP PP y 6. Combinação simples Para definir combinação simples vamos analisar duas situações: a) No hexágono abaixo, cujos vértices são A, B, C, D, E e F, quantos segmentos podemos traçar com extremidades em dois desses seis pontos? Escolhendo o vértice A como uma das extremidades, a outra extremidade pode ser B, C, D, E ou F. Temos então, cinco possibilidades de segmentos para cada um dos seis vértices escolhidos. Veja: AB, AC, AD, AE, AF, BA, BC, BD, BE, BF, CA, CB, CD, CE, CF, DA, DB, DC, DE, DF, EA, EB, EC, ED, EF, FA, FB, FC, FD, FE. Como 3065 , obtemos 30 segmentos. No entanto, observe que AB = BA, ou seja, representam o mesmo segmento pois a ordem das extremidades não os diferencia. Isto significa que contamos em dobro a quantidade de segmentos obtidos. Sendo assim, a quantidade de segmentos traçados com extremidade em dois desses pontos será: 15 2 65 Esse cálculo também pode ser obtido pelo arranjo simples de seis elementos tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações simples de dois elementos: 15 2 56 !2 !4 !6 !2 )!26( !6 2 2,6 P A b) Sandra, Marta, Joana, Cecília e Ana participam de uma escola de dança. Três delas serão escolhidas para representar a escola em um evento. Quantos grupos com três dançarinas podem ser formados? Escolhendo três das cinco dançarinas, vamos formar todos os grupos possíveis: Sandra – Marta – Joana Sandra – Cecília – Ana Sandra – Marta – Cecília Marta – Joana – Cecília Sandra – Marta – Ana Marta – Joana – Ana Sandra – Joana – Cecília Marta – Cecília – Ana Sandra – Joana – Ana Joana – Cecília - Ana Podemos formar dez grupos com três das cinco dançarinas. Observe que a ordem da escolha das dançarinas não interefere no grupo formado. O grupo formado por Sandra – Marta – Joana é igual ao grupo formado por Joana – Sandra – Marta. Nesses dois exemplos, vimos casos em que a ordem dos elementos não altera o agrupamento formado. Esse tipo de agrupamento recebe o nome de combinação simples. Combinação simples de n elementos distintos, tomados p a p ( np ), é todo agrupamento formado por p elementos distintos escolhidos dentre os n elementos dados, de modo que a mudança da ordem dos elementos não modifique o agrupamento. Notação: p npn CouC , Lê-se: Combinação simples de n elementos tomados p a p. No exemplo a, vimos que o cálculo da quantidade de segmentos traçados com extremidade em dois vértices do hexágono, poderia ser obtido pelo arranjo simples de seis elementos tomados dois a dois, dividido pela quantidade de permutações simples de dois elementos. Esse mesmo raciocínio pode ser utilizado para obter a fórmula para cálculo do número de combinações simples. Veja: )!(! ! ! )!( ! , , pnp n p pn n P A C p pn pn Logo, )!(! ! , pnp n C pn Casos particulares: I) Se *Nn e p = 0, temos: 1 ! ! !1 ! )!0(!0 ! 0, n n n n n n Cn Um conjunto com n elementos possui um único subconjunto com zero elementos, que é o vazio. II) Se n = p = 0, temos: 1 !0 !0 )!00(!0 !0 0,0 C Um conjunto com zero elementos possui um único subconjunto com zero elementos, que é o vazio. Exemplos: 1) Quantas comissões com cinco elementos podemos formar numa classe de vinte alunos?Resolução: Chamando os cinco alunos de A, B, C, D e E, temos que EDCABEDCBA ,,,,,,,, , ou seja, a ordem dos cinco alunos escolhidos não interfere na comissão formada. Assim, têm-se um problema de combinação simples de 20 elementos, tomados cinco a cinco. 50415 12345 1617181920 !15!5 !151617181920 )!520(!5 !20 )!(! ! 5,20 5,20 5,20 5,20 , C C C C pnp n C pn Logo, podemos formar 15 504 comissões. 2) Sabendo que não existem três pontos alinhados em um plano, quantos triângulos podemos formar com 12 pontos desse plano? Resolução: Para formar triângulos, precisamos de três pontos não alinhados em um plano. Sendo A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, os pontos do plano, verifica-se que o BACABC ou que o FEDDEF , ou seja, a ordem dos pontos não altera o triângulo formado. Temos então, um problema de combinação de 12 elementos, tomados 3 a 3. 220 6 1320 !923 !9101112 !9!3 !12 )!312(!3 !12 3,12 C Logo, podemos formar 220 triângulos. 3) Uma escola possui 5 professores de português e 6 de matemática. Quantos grupos com 2 professores de português e 3 professores de matemática podemos formar? Resolução: Considerando os grupos com 2 professores de português como C5,2 e os grupos com 3 professores de matemática como C6,3, têm-se pelo princípio fundamental da contagem que o total de grupos é: 2002010 !323 !3456 !32 !345 !3!3 !6 !3!2 !5 )!36(!3 !6 )!25(!2 !5 3,62,5 CC Podemos formar 200 grupos. 4) Em uma empresa há quatro diretores e cinco gerentes. Quantas comissões de cinco pessoas podem ser formadas contendo no mínimo um diretor? Resolução: Devemos combinar 9 pessoas (4 diretores + 5 gerentes) tomados 5 a 5: 126 !5234 !56789 )!59(!5 !9 5,9 C No entanto, as comissões devem conter no mínimo um diretor. Sendo assim, devemos retirar as opções em que apenas os cinco gerentes participam: 1 !0!5 !5 )!55(!5 !5 5,5 C Assim: 12511265,55,9 CC Podem ser formadas 125 comissões. 5) Calcule: a) 2,43,10 4,20 CC C 42 1615 126 4845 6120 4845 4 234 !723 !78910 !16234 !1617181920 !2!2 !4 !7!3 !10 !16!4 !20 )!24(!2 !4 )!310(!3 !10 )!420(!4 !20 2,43,10 4,20 CC C b) 5 8 3 7 2 12 CCC Observação: pn p n CC , Resolução: 45563566 !3!5 !5678 !423 !4567 !102 !101112 )!58(!5 !8 )!37(!3 !7 )!212(!2 !12 5 8 3 7 2 12 CCC 6) Determine n nas equações: a) 281,2, nn CC Condição de existência: .2log,12 nonen Resolução: 7 ,2 87 056 2 56 2 2 28 2 28 )!1( )!1( )!2(2 )!2()1( 28 )!1(!1 ! )!2(!2 ! 28 21 2 2 2 1,2, S nComo nen nn nnn n nn n nn n nnn n n n n CC nn b) 05 4,23, nn CC Condição de existência: 3n Resolução: 14,3 143 04217 402023 )2(20)1()2( )1()2( 4 1 )2(5 )1()1()2( 24 1 )2()1( 6 5 0 )!2( )!2()1()1()2( 24 1 )!3( )!3()2()1( 6 5 0 )!42(!4 )!2( )!3(!3 ! 5 05 21 2 2 4,23, S noun nn nnn nnn nnn nnnnnnn n nnnnn n nnnn n n n n CC nn c) 3,14,2 nn AC Resolução: 22 242 )!2( )!1( )!2(24 )!1()2( )!2( )!1( )!2(24 )!2( )!31( )!1( )!42(!4 )!2( 3,14,2 n n n n n nn n n n n n n n n AC nn 7) A quina no jogo da Loto é obtida com o acerto de cinco números, entre 1 e 80. Se o jogador fez um palpite simples (cinco números), de quantas maneiras é possível montar uma quina? Resolução: Observe que a ordem dos números não altera a formação da quina. Temos, portanto, um problema de combinação de 80 elementos tomados 5 a 5. 01604024 !752345 !757677787980 )!580(!5 !80 5,80 C Logo, há 13 847 049 216 maneiras de montar uma quina. 7. Arranjo com repetição Estudamos até o momento, arranjos simples, onde não há repetição de elementos. Vejamos agora o que acontece quando temos arranjos que consideram a repetição de elementos. Notação: (AR)n,p Leitura: Arranjo com repetição de n elementos, tomados p a p. Consideremos duas situações: I) Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1, 3, 5 e 7? Resolução: Como a ordem dos elementos altera o número formado, devemos calcular o arranjo de 4 algarismos tomados 2 a 2. 12 !2 !4 )!24( !4 2,4 A Logo, podemos formar 12 números. II) Quantos números de dois algarismos podemos formar usando os algarismos 1, 3, 5 e 7? Resolução: Observe que agora não há a obrigatoriedade dos algarismos serem distintos, ou seja, os números 11, 33, 55 e 77 também são considerados. Essa situação pode ser representada da seguinte maneira: quatro quatro opções opções 1 1 3 3 5 5 7 7 Pelo princípio fundamental da contagem, podemos formar 16444 2 números de dois algarismos. De um modo geral, para calcular o arranjo de n elementos, considerando a repetição desses elementos, obtemos: p pn nAR ,)( Exemplos: 1) Quantos números de quatro algarismos podemos formar com os seis primeiros números naturais diferentes de zero? Resolução: Os seis primeiros números naturais diferentes de zero são 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Como a ordem dos elementos altera o número formado, observe como exemplo que 21341234 , temos um problema de arranjo. Não há a obrigatoriedade de utilizar elementos distintos. Temos, portanto, um problema de arranjo com repetição de 6 elementos, tomados 4 a 4. 12966)( 44,6 AR Assim, podemos formar 1296 números. 2) Um concurso público dispõem de 50 questões objetivas, com cinco alternativas diferentes para cada questão (a, b, c, d, e). De quantas formas diferentes podemos responder a essas 50 questões? Resolução: Observe que a ordem dos elementos altera o resultado e que pode ocorrer repetição das alternativas. Temos, portanto, um arranjo com repetição. Assim, temos 550 formas diferentes para responder a essas 50 questões. 8. Permutação com elementos repetidos
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