Formulário Propriedades Geométricas

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS - FORMULÁRIO 
 
 
 
Área: AdAA
n
1j
j∫ ∑
=
== [cm2, m2, in2] 
 
Momentos estáticos: 
 AydA yQ
n
1j
jjx ∫ ∑
=
== AxdA xQ
n
1j
jjy ∫ ∑
=
== [cm3, m3, in3] 
 
Centro de gravidade: (coordenadas) 
 [cm, m, in] 
 
∑
∑
∫
∫
=
=
====
n
1j
j
n
1j
jj
x
G
A
Ay
 
dA
 dA y
A
Qyy 
∑
∑
∫
∫
=
=
====
n
1j
j
n
1j
jj
y
G
A
Ax
 
dA
 dA x
A
Q
xx 
 
 
Momentos de inércia: 
 AydA yI
n
1j
j
2
j
2
x ∫ ∑
=
== AxdA xI
n
1j
j
2
j
2
y ∫ ∑
=
== [cm4, m4, in4] 
 
Momento polar de inércia: 
 ( ) xyn
1j
j
2
j
n
1j
j
2
j
222
p II AyAxdA y xdA rI +=+=+== ∫ ∑∫ ∑
==
 [cm4, m4, in4] 
 
Teorema dos eixos paralelos: (Steiner) 
 
 dyA I I 2xG0x += 
 
 dxA I I 2yG0y += 
 
 
 
 
 [cm4, m4, in4] 
 
 
 
Momento polar paralelo: (r2 = dx2 + dy2 = distancia OG) 
 
2
yGxG
2
PG0P rA II rA I I ++=+= 
 
Produto de inércia: (seções duplamente simétricas: Ixy = 0) 
 
 AyxdA xyI
n
1j
jjjxy ∫ ∑
=
== [cm4, m4, in4] 
 
 Produto de inércia paralelo: 
 
 dy dx A I I xyG0xy += [cm4, m4, in4] 
 
Momentos de Inércia no eixo inclinado Giro de ângulo θ (x’, y’) 
 
θθ
−
+
+
= 2sen I -2 cos 
2
II
 
2
II
I xy
yxyx
x' 
θ+θ
−
−
+
= 2sen I 2 cos 
2
II
 
2
II
I xy
yxyx
y' 
θ+θ
−
= 2 cos I 2sen 
2
II
 I xy
yx
yx '' 
 
 
 
Momentos de Inércia Principais (quando Ixy ≠ 0) Giro de ângulo θp 
 
 ( ) 2II
I
2an t
yx
xy
p /−
−
=θ 
 
 I 
2
II
 
2
II
I 2xy
2
yxyx +




 −
±
+
=
min
max [cm4, m4, in4] 
 
 
 
 
θθ
Propriedades geométricas de algumas figuras: 
 
 
 
 
 
 
Figuras apresentadas em: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xG= b/2 yG = h/2 
xG= b/3 yG = h/3 do ângulo reto 
xG= b/2 yG = h/3 da base 
OUTRAS CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS (COMPLEMENTO) 
 
 
Momentos de resistência: 
 
 Para seções nas quais Ixy = 0 [eixos (x, y) são principais]: 
 
 ( )G
x
 
x
G
x
nfi x yy
I
S 
y
I
S GG
−
==
max
sup 
 
 ( )G
y
ird y
G
y
sqe y
xx
I
S 
x
I
S GG
−
==
max
 
 
 Para seções nas quais Ixy ≠ 0 [eixos (w, t) são principais]: 
 
 ( )G
w
ird w
G
w
sqe w tt
I
S 
t
I
S GG
−
==
max
 
 
 ( )G
t
 
t
G
t
nfi t
ww
I
S 
w
I
S GG
−
==
max
sup 
 
(Obs: os valores wmax, wG, tmax, tG são grandezas associadas aos eixos inclinados, medidas 
 a partir da extremidade mais extrema da peça). 
 
Raios de giração: (em geral, procura-se pelo rmin) 
 
 Para seções nas quais Ixy = 0 [eixos (x, y) são principais]: 
 
 
A
I
r 
A
I
r GG
y
y
x
x == 
 
 Para seções nas quais Ixy ≠ 0 [eixos (w, t) são principais]: 
 
 
A
I
r 
A
I
r GG
t
t
w
w == 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ROTEIRO PARA RESOLVER PROBLEMS DE GEOMETRIA: 
 
1- Se a peça possui 1 eixo de simetria, o CG está nesse eixo. 
2- Se a peça possui 2 eixos de simetria, o CG é a interseção dos mesmos. 
3- Se a peça é infinitamente simétrica (admite infinitos eixos de simetria) 
 as propriedades obtidas para um eixo são as mesmas para todos os demais eixos. 
4- Figuras já conhecidas: usar as tabelas (já existem valores disponíveis) 
5- Figuras não usuais: aproximar por retângulos ou composição de figuras conhecidas 
6- Determinar a área A pela soma de partes dAj componentes. 
7- Determinar a posição do (xj, yj) de cada parte componente. 
8- Calcular os momentos estáticos Qxj e Qyj de cada parte componente (dAj.yj e dAj.xj) 
9- Obter Qx e Qy somando todos Qxj e Qyj de cada parte 
10- Obter o centro de gravidade CG do conjunto por: yG = Qx /A e xG = Qy /A 
11- Calcular os momentos de inércia Ixj e Iyj de cada parte componente (dAj.yj2 e dAj.xj2) 
12- Calcular todos os momentos de inércia IxGj e IyGj de cada parte componente, em relação 
 ao seu próprio CG (ex. retângulo: IxG = bh3/12 e IyG = b3h/12) 
13- Somar todas as inércias: Ix0 = soma (Ixj) + soma (IxGj) e Iy0 = soma (Iyj) + soma (IyGj) 
14- Se a seção não possui qualquer simetria, calcular os produtos de inércia Ixyj definidos 
 por dAj.yj.xj Se os componentes também forem assimétricos, somar também IxyGj 
 (produto de inércia da parte componente) 
15- Somar todos os produtos de inércias: Ixy0 = soma (Ixyj) + soma (IxyGj) 
16- Aplicar o teorema dos eixos paralelos, encontrando as inércias da seção no CG: 
 IxG = Ix0 – A.yG2 IyG = Iy0 – A.xG2 
17- Obter o produto de inércia pelo teorema dos eixos paralelos: IxyG = Ixy0 – A. xG yG 
18- Se IxyG ≈ 0, os eixos encontrados são os principais. 
19- Se IxyG ≠ 0, os eixos principais serão obtidos pela rotação de eixos θp dada por: 
 ( ) 2II
I
2an t
yx
xy
p /−
−
=θ I 
2
II
 
2
II
I 2xy
2
yxyx +




 −
±
+
=
min
max 
20- Calcular os momentos de resistência (problemas de flexão) para o eixo w genérico: 
 , em que tG e tmax são os valores de locação do CG 
no outro eixo e seu valor máximo, colocando-se 
como t = zero, a cota mais inferior da seção. 
21- Calcular os raios de giração (problemas de compressão) para o eixo que mostrar-se 
mais esbelto. Às vezes, é necessário avaliar os 2 eixos. Para o eixo genérico w (qualquer): 
 
A
I
r G
w
w = (Obs.: aqui “w” poderia ser: x, y, t ou w mesmo). 
22- Coerência de unidades: 
 Posição (x, y, w, t) e raios de giração (r): cm, mm, m, in 
 Área (A): cm2, mm2, m2, in2 
 Momento estático (Q) e módulo de resistência (S): cm3, mm3, m3, in3 
 Momentos e produtos de inércia (I): cm4, mm4, m4, in4 
 
 Obs. prefere-se, em geral, as unidades em [cm] por facilidade e precisão. 
 
 
 
 
 
 
 
( )G
w
ird w
G
w
sqe w tt
I
S 
t
I
S GG
−
==
max
 
Calculando as Propriedades Geométricas usando a Tabela 
 
 
j bj × tj (cm) Aj (cm2) xj (cm) yj (cm) Qxj (cm3) Qyj (cm3) 
1 20 × 2 (2) 40 (3) 15 (4) 21 (5) 840 (6) 600 (7) 
2 
 
Σ - - - 
 
 
j Ixj (cm4) Iyj (cm4) Ixyj (cm4) I0xj (cm4) I0yj (cm4) 
1 17640 (8) 9000 (9) 12600 (10) 13,3 (11) 1333,3 (12) 
2 
 
Σ 
 
 
1) Divide-se a seção em partes conhecidas (retângulos ou outra figura). Indicam-se os 
pontos do CG dessas partes numeradas (j), da coluna 1, e indicam-se os dados 
correspondentes. 
2) Seja o elemento j = 1, um retângulo com base b = 20 cm e altura t = 2 cm, colocado com 
a extremidade inferior esquerda a 5 cm da origem na horizontal e 20 cm da origem na 
vertical, por exemplo. Preencher coluna 2 da tabela: 20 × 2. 
3) Coluna 3: Área A1 = 20 × 2 = 40 cm2. 
4) Coluna 4: x1 = 5 cm +b/2 = 5 cm + 20 cm/2 = 15 cm 
5) Coluna 5: y1 = 20 cm +t/2 = 20 cm +2cm/2 = 21 cm 
6) Coluna 6: Qx1 = A1 × y1 = 40 cm2 × 21 cm = 840 cm3 
7) Coluna 7: Qy1 = A1 × x1 = 40 cm2 × 15 cm = 600 cm3 
8) Coluna 8: Ix1 = A1 × y12 = Qx1× y1 = 840 cm3× 21 cm = 17640 cm4 
9) Coluna 9: Iy1 = A1 × x12 = Qy1× x1 = 600 cm3× 15 cm = 9000 cm4 
10) Coluna 10: Ixy1 = A1 × x1× y1 = Qy1× y1 = 600 cm3× 21 cm = 12600 cm4 
 
Todos os cálculos acima consideram apenas uma área Aj situada num ponto dado pelas 
coordenadas xj e yj, sem se preocupar em qual é a forma da figuraou disposição. Já as 
colunas I0x e I0y consideram essa forma. Por exemplo, para o retângulo com a base 
horizontal, tem-se I0x = (bj × tj 3)/12 e I0y = (bj3 × tj)/12 que para o exemplo dado, resultam 
em: I0x = (20 × 2 3)/12 = 13,3 cm4, na coluna 11, e I0x = (2 × 20 3)/12 = 1333,3 cm4, na 
coluna 12. 
 
13) Totalizam-se (somam-se) os valores das colunas: 3, 6 e 7, determinando-se o CG 
(centro de gravidade) obtido por: xG = Qy1 / Ag e yG = Qx1 / Ag. 
14) Propriedades no Centro de Gravidade da seção: pelo teorema dos eixos paralelos: 
 
 Ix = soma (Ix) + soma (I0x) – Ag . yG2 = Colunas 8 + 11– Ag . yG2 
 Iy = soma (Iy) + soma (I0y) – Ag . xG2 = Colunas 9 + 12 – Ag . xG2 
 Ixy = soma (Ixy) + soma (I0xy) – Ag . xG. yG = Coluna 10 – Ag . xG. yG 
 
15) Segue o restante dos passos já descritos. 
 
 Produzido por: ARTHUR/2011