AP2 Met Est I - Gabarito (2016-2)

Prévia do material em texto

MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS 1 E 2, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 35% dos 
produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% dos produtos feitos 
por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja selecionado 
aleatoriamente. 
1. (1,0 ponto) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? 
2. (1,0 ponto) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido 
produzido por B1 ou B4? 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
D: o produto apresenta defeito 
N: o produto não apresenta defeito. 
 
Temos então as seguintes probabilidades: 
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
97,0)|Pr(03,0)|Pr(
96,0)|Pr(04,0)|Pr(
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
35,0)Pr(
15,0)Pr(
20,0)Pr(
30,0)Pr(
44
33
22
11
4
3
2
1








BNBD
BNBD
BNBD
BNBD
B
B
B
B
 
 
1) 
Pede-se 
)Pr(N
. Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
 
.9745,0343,01455,0192,0294,098,035,097,015,096,020,098,030,0
)|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( 44332211

 BNBBNBBNBBNBN
Logo: 
.9745,0)Pr( N
 
 
2) 
Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é: 






)Pr(1
)|Pr()Pr()|Pr()Pr(
)Pr(
))Pr((
)|Pr( 44114141
N
BDBBDB
D
DBB
DBB
 
 
.5098,0
0255,0
013,0
0255,0
007,0006,0
9745,01
02,035,002,030,0





 
Logo: 
5098,0)|Pr( 41  DBB
. 
 
3. (1,0 ponto) Um estudante tem dificuldade para acordar e para solucionar o problema resolveu colocar 
três despertadores. Determine a probabilidade de pelo menos um despertador funcionar, se cada um deles 
tem 98% de chance de funcionar (use 6 casas decimais). 
 
Solução: 
Pelo menos um despertador funcionar é o complementar de nenhum despertador funcionar. 
Sejam os seguintes eventos: 
D1: O despertador 1 funciona; 
𝐷2: O despertador 2 funciona; 
𝐷3: O despertador 3 funciona. 
Logo: 
𝑃(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) 
= 1 − 𝑃(𝐷1 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒 𝐷2 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒 𝐷3𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎) 
= 1 − 𝑃(�̅�1 ∩ �̅�2 ∩ �̅�3) 
 
Como o funcionamento de um despertador não depende do funcionamento do outro, estes eventos são 
independentes. Logo: 𝑃(�̅�1 ∩ �̅�2 ∩ �̅�3) = 𝑃(�̅�1)𝑃(�̅�2)𝑃(�̅�3). 
 
Assim: 
𝑃(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(�̅�1)𝑃(�̅�2)𝑃(�̅�3) 
= 1 − (0,02 × 0,02 × 0,02) = 1 − 0,000008 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐. 
 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 4 A 7, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
A tabela abaixo traz o resultado de uma pesquisa realizada em uma Universidade com alunos de 
Graduação, Especialização, Mestrado e Doutorado sobre o tempo de uso diário de um Laboratório de 
Informática: 
 
 Graduação Especialização Mestrado Doutorado Total 
Menos de 1 hora 320 200 150 80 750 
Entre 1 e 4 horas 260 180 170 90 700 
Mais de 4 horas 220 120 230 180 750 
Total 800 500 550 350 2.200 
 
De posse destas informações, determine a probabilidade de um aluno dentre estes selecionado 
aleatoriamente: 
 
4. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por pelo menos uma hora por dia? 
5. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por mais de 4 horas por dia e ser aluno de 
Graduação? 
6. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por menos de 1 hora por dia, dado que é aluno 
de pós-graduação? 
7. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por um período entre 1 e 4 horas por dia ou ser 
aluno de Mestrado ou Doutorado? 
 
Solução: 
 
Considere os eventos: 
A: o aluno usa o laboratório por menos de 1 hora 
B: o aluno usa o laboratório entre 1 e 4 horas 
C: o aluno usa o laboratório por mais de 4 horas 
G: graduação, E: especialização. M: mestrado e D: doutorado. 
 
4) 
Deseja-se saber 
)Pr( CB
. 
.659,0
200.2
450.1
200.2
750
200.2
700
)Pr()Pr()Pr(  CBCB
 
 
.659,0)Pr( CB
 
 
5) 
Neste caso, deseja-se 
)Pr( GC 
, que é o equivalente na célula de interseção entre alunos de 
graduação e uso do laboratório por mias de 4 horas. 
 
.1,0
200.2
220
)Pr( GC
 
 
6) 
Agora, pede-se 
))(|Pr( DMEA 
, pois aluno de pós-graduação pode ser qualquer um que não 
seja graduação. 
200.2
350
200.2
550
200.2
500
200.2
80
200.2
150
200.2
200
)Pr()Pr()Pr(
)Pr()Pr()Pr(
)|Pr(






DME
DAMAEA
DMEA
 
.307,0
400.1
430
200.2
400.1
200.2
430

 
Logo: 
.307,0)|Pr(  DMEA
 
 
7) 
Aqui se pede a probabilidade da união de dois eventos. A saber: 
 
200.2
90170
200.2
350550
200.2
700
))(Pr()Pr()Pr())(Pr(



 DMBDMBDMB
 
 
.609,0
200.2
340.1
200.2
260
200.2
900
200.2
700

 
Logo: 
.609,0))(Pr(  DMB
 
 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 8 A 11, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Uma prova é composta de 5 (cinco) questões de múltipla escolha com 5 (cinco) alternativas cada ((a), 
(b), (c), (d) e (e)), sendo apenas uma das alternativas correta. Para que um aluno seja aprovado é 
necessário que ele acerte pelo menos 80% da prova. Se ele errar 80% da prova ou mais, ele será 
reprovado. Suponha que um aluno faça esta prova de forma aleatória (no chute). 
 
8. (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser aprovado? 
9. (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser reprovado? 
10. (0,5 ponto) Qual o número de questões certas esperadas para este aluno? 
11. (0,5 ponto) Qual o desvio padrão do número de questões certas deste aluno? 
 
Solução: 
Temos um problema de distribuição Binomial, onde n=5 e p=0,2 (5 alternativas, sendo uma correta). 
Seja X o número de questões certas. Como n=5, 80% representa 4 questões: 
 
8) 
100032,018,00016,05)8,0()2,0(
5
5
)8,0()2,0(
4
5
)5()4()4Pr( 0514 











 ppX
 
.00672,000032,00064,0 
 
Logo: 
.00672,0)4Pr( X
 
 
9) 
Para que ele erre 80% ou mais, ele terá que errar pelo menos 4 questões. Isso significa que ele irá 
acertar no máximo 1 questão para ser reprovado. 
4096,02,0532768,011)8,0()2,0(
1
5
)8,0()2,0(
0
5
)1()0()1Pr( 4150 











 ppX
 
.73728,04096,032768,0 
 
Logo: 
.73728,0)1Pr( X
 
 
10) 
 Como é um caso de Distribuição Binomial de Probabilidade, então a média será dada pela esperança: 
.12,05)(  npXE
 
Logo: 
1 questão certa. 
 
11) 
O desvio padrão segue a mesma lógica da média. Inicialmente, calculamos a variância para depois 
calcularmos o desvio padrão. 
 
.8,08,02,05)1()(  pnpXV
 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
.8944,08,0 
 
 
Uma moeda honesta é lançada 3 vezes e sua face voltada para cima é verificada. Defina a variável 
aleatória 𝑋 como sendo o número de vezes que a face “cara” cai voltada para cima. Sabendo que a 
probabilidade de sair cara é a mesma de sair coroa, resolva as questões de 12 a 15. 
 
12. (1,0 ponto) Obtenha a distribuição de probabilidades de 𝑋; 
13. (0,5 ponto) Obtenha 𝐸(𝑋); 
14. (0,5 ponto) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 2); 
15. (1,0 ponto) Obtenha a função de distribuição acumulada de 𝑋. 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C: sair cara 
K: sair coroa. 
 
12.Ao lançar três vezes, existem as seguintes possibilidades para X: 𝑋 = 0, 𝑋 = 1, 𝑋 = 2, 𝑋 = 3. 
É possível listar todas as possibilidades: 
𝑋 = 0: (𝐾, 𝐾, 𝐾), 1 possibilidade. 
𝑋 = 1: (𝐶, 𝐾, 𝐾), (𝐾, 𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐾, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 2: (𝐶, 𝐶, 𝐾), (𝐶, 𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐶, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 3: (𝐶, 𝐶, 𝐶), 1 possibilidade. 
 
As possibilidades listadas acima listadas são o espaço amostral, com 8 possibilidades. 
 
Assim é possível montar a distribuição de probabilidades: 
𝑋 0 1 2 3 
𝑝(𝑥) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
 
 
13) 
𝐸(𝑋) = (0 ×
1
8
) + (1 ×
3
8
) + (2 ×
3
8
) + (3 ×
1
8
) = 0 +
3
8
+
6
8
+
3
8
=
12
8
=
𝟑
𝟐
. 
 
14) 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑝(2) + 𝑝(3) =
3
8
+
1
8
=
4
8
=
𝟏
𝟐
. 
 
15) 
A função de distribuição acumulada será dada por: 
 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
 
 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
1
8
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
4
8
, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
6
8
, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3