aps2_cal1

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Ca´lculo 1 – 2S2013
Professor: Alireza Mohebi Ashtiani (Ali)
APS2–Valendo2pontos
(Prazo de Entrega: dia da Prova 2, na sala de prova)
1. Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 3
√
x− 1 no ponto x0 = 3 usando a definic¸a˜o.
2. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es
(a) y = x2 ln(2x), (b) y =
ex + senx + lnx
x + x3 + 3
, (c) y = 2x log(x)+e2x, (d) y =
1
x
+
1
x2
,
(e) y =
√
x+
1
3
√
x + 3
, (f) y = ln(
x + ex
cosx + senx
), (g) y = tg(
√
1− x), (h) y = (x3+5x2)11,
3. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es
(a) x2 + xy = y3, (b) exy = ex
2y2 , (c) x ln y + y lnx = ex
2+y2 , (d) xy + x2y2 = 1,
4. Encontre a derivada das seguintes func¸o˜es
(a) y = xx, (b) y = (x2 + ex)x
2+
√
x, (c) y =
√
x2 + senx
√
x
, (d) y = (lnx)ln x,
5. Encontre os seguintes limites usando a Lei de Hopital
(a) lim
x→0
x− senx
x3
, (b) lim
x→+∞
e2x
x3
, (c) lim
x→0
x lnx, (d) lim
x→0
(1+sen2x)
1
x ,
(e) lim
x→+∞
x + senx
x
, (f) lim
x→0
(1+3x)
1
x , (g) lim
x→0
(cosx)
1
x , (h) lim
x→0
ln(sen2x)
ln(sen3x)
,
6. Seja f(x) = x10 + x3 + 3. Encontre a aproximac¸a˜o linear de y = f(x) em torno do ponto x0 = 2. Use esta
aproximac¸a˜o linear para aproximar f(2, 001). Encontre o valor exato de f(2, 001). Qual a diferenc¸a. Podemos
usar esta aproximac¸a˜o para encontrar um valor aproximado para f(3, 001)? Justifique!
7. Esboc¸e os gra´ficos das func¸o˜es f(x) =
x2
x2 − 1 , g(x) = x
3 + 4x2 − x + 3, h(x) = x
(x− 2)2 .
8. A receita pela venda de x mil unidades de um certo produto pode ser aproximada por R(x) = x3 − 21x2 +
120x + 500 (para x entre 1 e 10). A fim de maximizar a receita, quantas unidades devem ser vendidas?
9. Um fazendeiro quer cercar uma a´rea retangular dividindo em duas partes (conforme a figura). 900 metros de
gradeado va˜o ser usados para cercar a a´rea. Determine as dimenso˜es (x e y) que maximizam a a´rea cercada.
10. Uma escada de 6m esta´ apoiada em uma parede. Se a escada comec¸a a escorregar horizontalmente a` uma taxa
constante de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele esta´ a 4m do solo
(Resposta: − 3
√
5
10 m/s).
Vale lembrar que o Teste 2 (de apenas uma questa˜o) sera´ realizado na terc¸a-feira dia 17/12/2013.
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xxx
y
y
Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Câmpus Cornélio Procópio