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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2015-2 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Questa˜o 1 (1.5 pt) Considere as proposic¸o˜es: A: “Ana esta´ na escola.” B: “Se Joa˜o esta´ no cinema, enta˜o Maria esta´ na loja.” Sabendo que a proposic¸a˜o P: “A ou B” e´ falsa, pode-se afirmar que: (i) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o na˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja. (ii) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria esta´ na loja. (iii) Ana na˜o esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja. (iv) Ana esta´ na escola, Joa˜o na˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja. (v) Ana esta´ na escola, Joa˜o esta´ no cinema, Maria na˜o esta´ na loja. Soluc¸a˜o: Para que uma disjunc¸a˜o, isto e´, uma proposic¸a˜o tipo “A ou B” seja falsa, e´ necessa´rio que tanto A quanto B sejam falsas. Logo, como P e´ falsa segue que A e´ falsa e B tambe´m e´ falsa. Dizer que A e´ falsa e´ dizer que Ana na˜o esta´ na escola. Por outro lado, a proposic¸a˜o B e´ uma implicac¸a˜o do tipo p ⇒ q, onde p: “Joa˜o esta´ no cinema”e q: “Maria esta´ na loja”, logo, ela e´ falsa, apenas se vale p e ∼ q, isto e´, se Joa˜o esta´ no cinema e Maria na˜o esta´ na loja. Portanto, a resposta correta e´ a (iii). Questa˜o 2 (2.0 pt) Considere o conjunto A = { −1 2 , 0, 1, 5 2 } . Decida se sa˜o falsas ou verdadeiras as proposic¸o˜es a seguir, justificando sua resposta. a) (1.0 pt) ∀x ∈ A, 2x− 1 2 < x. Me´todos Determin´ısticos I AP1 2 b) (1.0 pt) ∃x ∈ A, x2 + 2x− 5 = 0. Soluc¸a˜o: a) Para saber se a proposic¸a˜o e´ verdadeira, vamos montar uma tabela para nos ajudar. Na primeira coluna dessa tabela, vamos representar cada um dos valores que x pode assumir em A, na segunda coluna, cada um dos correpondentes valores de 2x − 1 2 e na terceira coluna, vamos comparar o valor de 2x − 1 2 com o valor de x. A partir das informac¸o˜es da Tabela 1, conclu´ımos que a proposic¸a˜o e´ falsa, pois existe um elemento, por exemplo, x = 1, que pertence ao conjunto A, tal que 2x− 1 2 na˜o e´ menor do que x. Tabela 1: Questa˜o 2–a) x 2x− 1 2 2x− 1 2 < x ? −1 2 −3 2 −3 2 < − 1 2 0 −1 2 −1 2 < 0 1 3 2 3 2 > 1 5 2 9 2 9 2 > 5 2 Tabela 2: Questa˜o 2–b) x x2 + 2x− 5 −1 2 ( −1 2 )2 + 2 ( −1 2 ) − 5 = 1 4 − 1− 5 = 1 4 − 6 = 1− 24 4 = −23 4 6= 0 0 (0)2 + 2(0)− 5 = 0 + 0− 5 = −5 6= 0 1 (1)2 + 2(1)− 5 = 1 + 2− 5 = −2 6= 0 5 2 ( 5 2 )2 + 2 ( 5 2 ) − 5 = 25 4 + 5− 5 = 25 4 6= 0 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 3 b) Para saber se a proposic¸a˜o e´ verdadeira, vamos montar uma tabela. Na primeira coluna dessa tabela, vamos representar cada um dos valores que x pode assumir em A, e na segunda coluna, cada um dos correpondentes valores de x2+2x−5. Observando os resultados obtidos na Tabela 2, conclu´ımos que na˜o existe x ∈ A tal que x2 + 2x − 5 e´ igual a zero. Portanto, a proposic¸a˜o e´ falsa. Questa˜o 3 (2.5 pts) : Um comerciante possui duas lojas em que comercializa um mesmo produto. Na loja 1, para uma quantidade x deste produto, o lucro em sua venda e´ obtido pela expressa˜o L1 = 24 ( x 3 − 1 ) − 56 e na loja 2, para a mesma quantidade x do produto, o lucro em sua venda e´ obtido pela expressa˜o L2 = 10x − 120, onde x e´ um nu´mero inteiro positivo que representa a quantidade vendida do produto. a) (1.0 pt) Determine a quantidade vendida pela loja 1 quando o lucro dela e´ de 720 reais. b) (1.5 pt) Determine para que quantidades do produto o lucro da loja 1 e´ maior que o da loja 2. Soluc¸a˜o: a) A fim de determinar a quantidade x vendida pela Loja 1, quando L1 e´ igual a 720 reais, temos de resolver a equac¸a˜o 24 ( x 3 − 1 ) − 56 = 720 ⇐⇒ ��> 8 24 · x �3 − 24− 56 = 720 ⇐⇒ 8x− 80 = 720 ⇐⇒ 8x = 720 + 80 ⇐⇒ 8x = 800 ⇐⇒ x = 100. Portanto, a Loja 1 vende uma quantidade de 100 unidades do produto, quando o lucro desta loja e´ de 720 reais. b) Para determinar para quais quantidades, L1 e´ maior que L2, temos de resolver a desigualdade Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 4 L1 > L2 ⇐⇒ 24 ( x 3 − 1 ) − 56 > 10x− 120 ⇐⇒ 8x− 80 > 10x− 120 ⇐⇒ 8x− 10x > −120 + 80 ⇐⇒ −2x > −40 ⇐⇒ 2x < 40 ⇐⇒ 2x · 1 2 < 40 · 1 2 ⇐⇒ x < 40 2 ⇐⇒ x < 20. Portanto, o lucro da Loja 1 e´ maior que o do da Loja 2 para a quantidade x do produto entre 1 e 19 unidades, inclusive estes extremos. Questa˜o 4 (1.5 pts) : Um comerciante num determinado ano, no meˆs de janeiro, obteve um lucro de 44% sobre a quantidade produzida de um certo produto. No meˆs de fevereiro, esse ı´ndice passou para 55%, sobre a mesma quantidade produzida do produto. Determine o acre´scimo percentual no lucro do comerciante do meˆs de fevereiro em relac¸a˜o ao meˆs de janeiro. Soluc¸a˜o: Considerando x a quantidade produzida do produto, temos que em janeiro o comerciante lucrava 44x 100 , e em fevereiro passou a lucrar 55x 100 . A diferenc¸a e´ de 11x 100 , quantos porcento de 44x 100 isso representa? Temos que calcular: 11x 100 ÷ 44x 100 = 11x 100 × 100 44x = 25 100 Portanto, o acre´scimo percentual no lucro do comerciante do meˆs de fevereiro em relac¸a˜o ao meˆs de janeiro e´ de 25%. Questa˜o 5 (2.5 pts) : Resolva cada item, passo por passo. a) (0.8 pt) Verifique que 3√ 5− 1 − 3 √ 5 4 e´ igual a 3 4 . b) (0.7 pt) Determine o valor de 5 √−32 + (27)−1/3. c) (1.0 pt) Determine o valor de 5− 2 [( 1 2 − 3 )2 ÷ 1 4 − 26 ] Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP1 5 Soluc¸a˜o: a) 3√ 5− 1 − 3 √ 5 4 = 3√ 5− 1 · √ 5 + 1√ 5 + 1 − 3 √ 5 4 = 3( √ 5 + 1) 5− 1 − 3 √ 5 4 = 3 √ 5 + 3 4 − 3 √ 5 4 = 3 4 b) 5 √−32 + (27)−1/3 = −2 + 1 (27)1/3 = −2 + 1 3 √ 27 = −2 + 1 3 = −6 + 1 3 = −5 3 c) 5− 2 [( 1 2 − 3 )2 ÷ 1 4 − 26 ] = 5− 2 [( 1− 6 2 )2 ÷ 1 4 − 26 ] = 5− 2 [(−5 2 )2 ÷ 1 4 − 26 ] = 5− 2 [ 25 4 ÷ 1 4 − 26 ] = 5− 2 [ 25 �4 · �4 1 − 26 ] = 5− 2 [25− 26] = 5− 2[−1] = 5 + 2 = 7 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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