ED2 P1 T2 - 2013

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P1 - Primeira Prova de Equac¸o˜es Diferenciais 2
Maicon Soˆnego - 05/09/2013
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. Resolva o problema de valor inicial dado usando o me´todo de transformadas de Laplace.
(a) (15 pontos)
{
y′′′ − y′′ + y′ − y = 0
y(0) = 1, y′(0) = 1, y′′(0) = 3.
(b) (15 pontos)
{
y′′ + 4y = upi(t)− u3pi(t)
y(0) = 0, y′(0) = 0.
2. (a) (10 pontos) Encontre a transformada de Laplace inversa da func¸a˜o F (s) =
2(s− 1)e−2s
s2 − 2s+ 2 .
(b) (10 pontos) Suponha que F (s) = L{f(t)} existe para s > a ≥ 0. Mostre que se c e´ uma
constante positiva enta˜o
L{f(ct)} = 1
c
F
(s
c
)
, s > ca.
3. Encontre a transformada de Laplace da func¸a˜o dada:
(a) (15 pontos) f(t) =
{
0, t < 3
t2 − 6t+ 11, t ≥ 3.
(b) (10 pontos) f(t) =
∫ t
0
(t− k)e3kdk.
4. (15 pontos) Se δ representa a func¸a˜o Delta de Dirac, resolva o problema de valor inicial abaixo:{
y′′ − y = 4δ(t− 2) + t2
y(0) = 0, y′(0) = 2.
5. (15 pontos) Usando transformadas de Laplace e o teorema das convoluc¸o˜es, encontre a soluc¸a˜o
y(t) da equac¸a˜o integral abaixo conhecida como equac¸a˜o integral de Volterra.
y(t) +
∫ t
0
(t− k)y(k)dk = sen(2t).
Boa prova!