Energia no MHS e Superposição de MHS

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Energia no MHS. e Superposição de MHS. 
 
Resumo 
Neste relatório de Física Geral II, foi feito um experimento no qual obtemos a 
massa dos pucks utilizados, e também obtemos o tempo e distância através de um 
vídeo confeccionado no próprio laboratório, obtidos através de um grande trabalho 
com programas computacionais obtendo uma grande exatidão nos dados. A partir dos 
dados obtidos verificamos a variação da energia potencial e cinética, e também é 
verificado a conservação da energia mecânica. 
Sumário 
Objetivos.......................................................................................................pag.2 
Introdução Teórica.......................................................................................pag.2 
Material Utilizado.............................................................................pag.3 /pag.6 
Procedimento Experimental........................................................................pag.6 
Discussões...................................................................................................pag.11 
Conclusão.....................................................................................................pag.11 
Bibliografia...................................................................................................pag.11 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Objetivos: 
Estudar a variação das energias cinética e potencial de um corpo que executa 
um MHS e comprovar a conservação da energia mecânica. 
 
Introdução teórica: 
A energia mecânica de um sistema que esta efetuando um MHS tende a se 
conservar se nesse sistema não atuam forças dissipativas. Consideremos um sistema 
que consiste em um corpo conectado à uma mola, e que essa mola desliza sobre uma 
superfície sem atrito. Podemos aplicar a esse sistema a versão para a energia do 
sistema isolado. Assim podemos examinar a energia mecânica desse sistema. A energia 
cinética, no modelo simplificado onde a mola é desprovida de massa é associada 
apenas com o movimento da partícula de massa m. Assim podemos expressar a 
energia cinética como 
 
K = 
1
2
𝑚𝑣² Equação (1) 
 
A função horária da posição para uma partícula que realiza MHS é dada por 
x = Acos(𝜔𝑡 + 𝜑) Equação (2) 
 
Assim podemos expressar a velocidade como 
 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑣 Equação (3) 
 
Substituindo o valor da velocidade em (1) obteremos a seguinte equação para 
energia cinética 
 
K = 
1
2
𝑚𝜔²𝐴²𝑠𝑒𝑛²(𝜔𝑡 + 𝜑) Equação (4) 
 
Para a energia potencial temos a seguinte equação 
 
U = 
1
2
𝑘𝑥² = 
1
2
𝑘𝐴²cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜑) Equação (5) 
 
Então podemos expressar a energia total do oscilador harmônico simples como 
 
E = K + U Equação (6) 
 
Fazendo as devidas manipulações algébricas podemos chegar na seguinte 
expressão 
 
E = 
1
2
𝑘𝐴² Equação (7) 
 
3 
 
Isto é, a energia de um oscilador harmônico simples isolado sem forças 
dissipativas é uma constante do movimento e proporcional ao quadrado da amplitude. 
 
Introdução Experimental 
O experimento consiste na observação de um puck sobre uma mesa de ar 
conectado em duas molas de constantes elásticas a serem determinadas, o 
experimento tem duas partes importantes; a primeira consiste na determinação das 
constantes elásticas das molas e uma segunda, na observação do MHS na mesa de ar. 
 
1- Determinação da constante elástica das molas 
1.1 Materiais utilizados: 
 2 molas 
 1 conjunto Lei de Hooke com 10 massas padrão 
1.2 Procedimento experimental: 
Na montagem experimental encontrada sobre a bancada, colocou-se uma das 
molas penduradas, de modo que ela ficasse em equilíbrio. Com um dos cursores da 
escala vertical, fixou-se a posição de equilíbrio da extremidade inferior da mola, que 
foi tomada como referência. Depois, foi adicionada uma massa ao porta-peso 
de modo que, quando a massa entrou novamente em equilíbrio, foi anotado seu 
deslocamento. O procedimento foi repetido cinco vezes para cada mola. 
1.3 Resultados obtidos 
a) Abaixo as tabelas 1e2 sobre a massa, deformação e força das molas 1 e 2 
respectivamente; 
Tabela 1: MOLA1 
Massa m ± 𝚫m (Kg) Deformação x ± 𝚫x (m) Força F ± 𝚫F (N) 
(30,0 ± 0,1)x 10-3 (21 ± 1)x10-3 (2,9 ± 0,3)x10-1 
(50,0 ± 0,1)x10-3 (67 ± 1)x10-3 (4,9 ± 0,3)x10-1 
(70,0 ± 0,1)x10-3 (117 ± 1)x10-3 (6,8 ± 0,3)x10-1 
(90,0 ± 0,1)x10-3 (158 ± 1)x10-3 (8,8 ± 0,3)x10-1 
(110,0 ± 0,1)x10-3 (230 ± 1)x10-3 (11,0 ± 0,3)x10-1 
 
Tabela 2: MOLA 2 
Massa m ± 𝚫m (Kg) Deformação x ± 𝚫x (m) Força F ± 𝚫F (N) 
(30,0 ± 0,1)x 10-3 (48 ± 1)x10-3 (2,9 ± 0,3)x10-1 
(50,0 ± 0,1)x10-3 (98 ± 1)x10-3 (4,9 ± 0,3)x10-1 
(70,0 ± 0,1)x10-3 (150 ± 1)x10-3 (6,8 ± 0,3)x10-1 
(90,0 ± 0,1)x10-3 (200 ± 1)x10-3 (8,8 ± 0,3)x10-1 
(110,0 ± 0,1)x10-3 (261 ± 1)x10-3 (11,0 ± 0,3)x10-1 
 
b) Gráficos das forças na mola em função da elongação: 
 
 
4 
 
0.05 0.10 0.15 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Y =0.2228+3.90555 X
Sobre a Lei de Hooke à mola 1
 
 
Fo
rça
 (N
)
Deformação (m)
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
Y =0.12331+3.67824 XSobre a Lei de Hooke à mola 2
 
 
Fo
rça
 (N
)
Deformação (m)
5 
 
c) Determinação da constante elástica a partir das retas dos gráficos: 
 
 A reta do primeiro gráfico fornece a seguinte equação; 
Y = 0.2228 + 3.90555X 
De onde podemos retirar a constante elástica da mola 1 que é o coeficiente angular da 
reta; 
𝐾1 = (3,90 ± 0,14) N/m 
 
 A reta do segundo gráfico fornece a seguinte equação; 
Y = 0.12331 + 3.67824X 
De onde podemos retirar a constante elástica da mola 2 que é o coeficiente angular da 
reta; 
𝐾2 = (3,67 ± 0,08) N/m 
 
d) Determinação da constante de mola equivalente para: 
 
 As duas molas em série, sustentando um corpo na vertical; 
Utilizaremos a seguinte equação para molas em série; 
1
𝐾𝑒𝑞
 = 
1
𝐾1
 + 
1
𝐾2
 Equação (8) 
Onde; 
𝐾1 = constante da mola 1 = (3,90 ± 0,14) N/m 
𝐾2 = constante da mola 2 = (3,67 ± 0,08) N/m 
𝐾𝑒𝑞 = (1,90± 0,40) N/m = constante de mola equivalente 
 
 
 As duas molas em paralelo, sustentando um corpo na vertical; 
Utilizaremos a seguinte equação para molas em paralelo; 
𝐾𝑒𝑞 = 𝐾1 + 𝐾2 Equação (9) 
Onde; 
𝐾1 = constante da mola 1 = (3,90 ± 0,14) N/m 
𝐾2 = constante da mola 2 = (3,67 ± 0,08) N/m 
𝐾𝑒𝑞 = (7,57 ± 0,16) N/m = constante de mola equivalente 
 
 As duas molas, sobre um plano horizontal, presas nos extremos, com um corpo 
entre elas; 
A associação entre as molas será em paralelo e com isso, assim; 
 
𝐾𝑒𝑞 = 7,57 N/m = constante de mola equivalente 
 
2- Observação do MHS na mesa de ar 
6 
 
2.1 Materiais Utilizados: 
 1 puck com massas variáveis; 
 1 conjunto mesa de ar; 
 1 trena; 
 1 nível bolha; 
 1 balança analógica; 
 1 câmera fotográfica digital; 
 
Imagem (1) Imagem (2) 
 
Imagem (3) Imagem (4) Imagem (5) 
2.2 Procedimento Experimental: 
Nivelou-se a mesa de ar com o nível bolha, mediu-se o diâmetro do puck e o 
comprimento da trajetória na mesa de ar, após isso, montou-se um oscilador 
prendendo o puck entre 2 molas de constantes elásticas conhecidas , as molas foram 
presas nos parafusos laterais da bancada. Fizeram-se 3 filmagens de oscilações do puck 
sobre a mesa de ar, em cada uma usou-se uma massa diferente. Na primeira não usou-
se nenhuma massa, na segunda 2 massas anelares de cobre e por último4 massas 
anelares de cobre. Para fornecer a oscilação ao puck, deformou-se as molas por uma 
amplitude inicial e soltou-se o puck. O movimento foi filmado pela câmera. Para a 
determinação da posição em função do tempo, foram utilizados os seguintes 
softwares: para a determinação dos instantes em que o puck completava cada 
oscilação foi utilizado o software SonyVegas11, onde obtemos o tempo com a precisão 
de centésimos, e utilizando o Paint em associação com o GIMP2.7 podemos obter a 
distância percorrida na tela, e através do Word 2007, fizemo0s a medição dessa 
distância, após todo esse processo para os 20 instantes, dos 3 vídeos, obtivemos as 
respectivas distâncias utilizando a regra de 3. 
2.3 Calculando a medida das oscilações: 
7 
 
 Como já temos a medida do quadrado é fácil calcular as medidas das 
oscilações, Utilizando o Sony Vegas conseguimos capturar o instante exato em que a 
oscilação tem seu começo e fim, com a precisão de centésimos, e também capturamos 
a imagem nesse instante exato. Utilizando então um programa chamado gimp, 
juntamente com o paint e o word, conseguimos calcular o tamanho do quadrado na 
foto. 
 Instante x em que a foto é capturada no SonyVegas11: 
 
Imagens ( 6, 7 e 8) 
 Então o próximo passo é utilizar o GIMP2.7 para fazer a sobreposição de pucks 
na mesma mesa, para poder calcular o deslocamento dos pucks. E logo em seguida 
utilizar o Paint para poder fazer os desenhos das retas ligando os centro de massa dos 
pucks na figura, utilizando a máxima resolução para obter um bom resultado. 
 
Imagens ( 9 e 10 ) 
 Então nessa máxima resolução fazemos o recorte da reta que liga os dois 
centros de massa, para poder fazer a medida da reta no Word 2007. 
 
 Imagem (11) 
E por último utilizamos as fantásticas ferramentas de medição do Word, 
especificamente utilizando o Word 2007. 
8 
 
Imagem (12) 
 Obtendo que o quadrado possui o respectivo tamanho de 2,61 cm por 2,61 cm, 
logicamente por ser um quadrado. E com a respectiva medida já obtida no laboratório 
que o quadrado impresso na mesa de ar possui 4 cm por 4 cm. 
 
 Imagem (13) 
Calculando o tamanho real das distâncias 
Para isso aplicamos a regra de três: 
Lado real do quadrado 4 cm ___________________ Lado na tela do quadrado 2,61 cm 
Medida X real _______________________________ Medida x na tela 
 
Onde temos os dados para a medida x na tela. 
Logo obtemos a fórmula: X = 4x / 2,61 Equação (9.1) 
Aplicando a fórmula aos valores já tabelados com os prévios cálculos: 
Vídeo 3 
9 
 
Posição Medida na tela x Medida real X 
0 para 1 15,00 cm 22,98 cm 
1 para 2 15,00 cm 22,98 cm 
2 para 3 15,00 cm 22,98 cm 
3 para 4 15,00 cm 22,98 cm 
4 para 5 14,53 cm 22,26 cm 
5 para 6 14,16 cm 21,70 cm 
6 para 7 13,47 cm 20,64 cm 
7 para 8 13,21 cm 20,24 cm 
8 para 9 13,02 cm 19,95 cm 
9 para 10 12,06 cm 18,48 cm 
10 para 11 12,23 cm 18,74 cm 
11 para 12 12,28 cm 18,81 cm 
12 para 13 12,01 cm 18,40 cm 
13 para 14 11,86 cm 18,17 cm 
14 para 15 11,80 cm 18,08 cm 
15 para 16 11,67 cm 17,88 cm 
16 para 17 11,17 cm 17,11 cm 
17 para 18 11,09 cm 16,99 cm 
18 para 19 11,04 cm 16,91 cm 
19 para 20 10,96 cm 16,79 cm 
 
 
2.4 Resultados obtidos: 
Abaixo a tabela com as massas do puck; 
 
 Massa m ± 𝚫m (Kg) 
1 (178,0 ± 0,1)x10-3 
2 (213,4 ± 0,1) x10-3 
3 (248,5 ± 0,1) x10-3 
 
a) Comparação das constantes elásticas: 
Da filmagem podemos encontrar o período de oscilação e pela equação, 
𝜔 =
2𝜋 
𝑇
 = 
𝐾
𝑚
 Equação (10) 
 encontrar a constante elástica equivalente do sistema, assim podemos compará-la 
com o valor obtido anteriormente. Para cada vídeo, foi calculado o período de cada 
oscilação obtendo os seguintes dados; 
Primeiro vídeo 
Número da Oscilação Período(s) 
1 (1,00 ±0,03) 
2 (1,01 ±0,03) 
10 
 
3 (1,00 ±0,03) 
4 (0,97 ±0,03) 
5 (1,01 ±0,03) 
6 (0,97 ±0,03) 
7 (1,00 ±0,03) 
8 (0,99 ±0,03) 
9 (0,99 ±0,03) 
10 (1,01 ±0,03) 
 
Segundo vídeo 
Número da Oscilação Período(s) 
1 (1,03 ±0,03) 
2 (1,04 ±0,03) 
3 (1,01 ±0,03) 
4 (1,00 ±0,03) 
5 (1,03 ±0,03) 
6 (1,03 ±0,03) 
7 (1,00 ±0,03) 
8 (1,03 ±0,03) 
9 (1,00 ±0,03) 
10 (1,03 ±0,03) 
 
Terceiro vídeo 
Número da Oscilação Período(s) 
1 (1,06 ±0,03) 
2 (1,03 ±0,03) 
3 (1,05 ±0,03) 
4 (1,03 ±0,03) 
5 (1,06 ±0,03) 
6 (1,03 ±0,03) 
7 (1,03 ±0,03) 
8 (1,06 ±0,03) 
9 (1,03 ±0,03) 
10 (1,03 ±0,03) 
 
Com esses dados calculamos o período médio para os vídeos e com esse período, 
encontramos a constante elástica através da equação (8) 
Vídeo Média dos Períodos (T ± 
∆T)s 
Média das constantes 
elásticas (K ± ∆k)N/m 
1 (0,995 ± 0,14) (7,09 ± 0,23) 
2 (1,02 ± 0,01) (8,09 ± 0,21) 
3 (1,04 ± 0,01) (9,03 ± 0,22) 
 
11 
 
E na tabela abaixo, calculamos a média dos valores médios de período e da constante 
para os três vídeos; 
 Períodos (T ± ∆T)s Constantes elásticas (K ± 
∆k)N/m 
Média dos valores para os 
três vídeos 
(1,02 ± 0,04) (8,1 ± 1,7) 
 
O valor obtido para a constante equivalente em paralelo no item 1.3 (d) foi de 
(7,57 ± 0,16) N/m. Já o da média foi de (8,1 ± 1,7) N/m. Observa-se que tais valores 
estão próximos e que estão dentro da incerteza. 
 
3 - Discussões 
 
4 - Conclusão 
 Neste experimento podemos concluir que houve sim a conservação da 
energia mecânica mesmo havendo a variação da energia potencial e da energia 
cinética, portanto o objetivo deste relatório foi atingido com sucesso. 
 
5 - Bibliografia 
 
 H.M. NUSSENZVEIG, curso de Física Básica. S.Paulo, E. Blucher, 1983, 
V.2. 
 R.RESNICK E D.HALLIDAY, Física. Rio de Janeiro, LTC, 1983 - V.2.