Provas 3

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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - MTM 125 - 2012/2 - Turma 81
Prof. Fabiana Fernandes
Prova 3 � Valor: 3,2 pontos � 12/04/2013 � 13:30 às 15:10
Instruções: Cada questão deve ser resolvida de maneira organizada, clara e objetiva, explicitando, em cada passo,
os recursos utilizados, tais como fórmulas, cálculos, desenhos, etc. A interpretação das questões faz parte da
resolução da prova. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis. Não é permitido consulta a qualquer tipo
de formulário, exceto à Tabela de Transformadas de Laplace contida no verso desta folha.
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1.(1,0) Considere a equação diferencial y′′ + y = 0.
(a) (0,6) Encontre a fórmula de recorrência e a fórmula do termo geral para os coeficientes da
expansão em série de potências da solução geral dessa equação em torno de x0 = 0.
(b) (0,1) Escreva a solução geral como y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), em que y1(x) e y2(x) formam
um conjunto fundamental de soluções em série de potências em torno de x0 = 0 da equação
diferencial dada.
(c) (0,2) Determine o raio de convergência da solução encontrada, isto é, determine o intervalo
no qual a solução está definida.
(d) (0,1) Resolva o problema de valor inicial{
y′′ + y = 0
y(0) = y0, y
′(0) = y′0
,
em que y0 e y
′
0 são, respectivamente, o último e o penúltimo dígito de seu número de matrícula.
Questão 2.(2,2) Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial abaixo.
(a)
{
y′′ + 3y′ + 2y = 0
y(0) = 1, y′(0) = 0 .
(b)
{
y′′ + y = f(t)
y(0) = 0, y′(0) = 1 , em que f(t) =
{
1, 0 ≤ t < pi2
0, t ≥ pi2
Boa prova e boas férias! :)
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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - MTM 125 - 2012/2 - Turma 82
Prof. Fabiana Fernandes
Prova 3 � Valor: 3,2 pontos � 12/04/2013 � 10:20 às 12:00
Instruções: Cada questão deve ser resolvida de maneira organizada, clara e objetiva, explicitando, em cada passo,
os recursos utilizados, tais como fórmulas, cálculos, desenhos, etc. A interpretação das questões faz parte da
resolução da prova. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis. Não é permitido consulta a qualquer tipo
de formulário, exceto à Tabela de Transformadas de Laplace contida no verso desta folha.
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1.(1,0) Considere a equação diferencial 2y′′ + xy′ + y = 0.
(a) (0,6) Encontre a fórmula de recorrência e a fórmula do termo geral para os coeficientes da
expansão em série de potências da solução geral dessa equação em torno de x0 = 0.
(b) (0,1) Escreva a solução geral como y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), em que y1(x) e y2(x) formam
um conjunto fundamental de soluções em série de potências em torno de x0 = 0 da equação
diferencial dada.
(c) (0,2) Determine o raio de convergência da solução encontrada, isto é, determine o intervalo
no qual a solução está definida.
(d) (0,1) Resolva o problema de valor inicial{
2y′′ + xy′ + y = 0
y(0) = y0, y
′(0) = y′0
,
em que y0 e y
′
0 são, respectivamente, o último e o penúltimo dígito de seu número de matrícula.
Questão 2.(1,0) Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial{
y′′ + 2y′ + 5y = 0
y(0) = 2, y′(0) = −1 .
Questão 3.(0,6) Expresse f em termos da função degrau unitário e calcule sua transformada de
Laplace.
(a) f(t) =
{
0, 0 ≤ t < 2
(t− 2)2, t ≥ 2 (b) f(t) =
{
sen t, 0 ≤ t < pi
sen t+ sen (t− pi), t ≥ pi
Questão 4.(0,6) Escolha uma das funções f(t) da Questão 3 e encontre a transformada de Laplace
da solução do problema de valor inicial{
y(4) − y = f(t)
y(0) = 1 = y′′(0), y′(0) = 0 = y′′′(0)
.
Boa prova e boas férias! :)
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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - MTM 125 - 2012/2 - Turma 84
Prof. Fabiana Fernandes
Prova 3 � Valor: 3,2 pontos � 12/04/2013 � 15:20 às 17:00
Instruções: Cada questão deve ser resolvida de maneira organizada, clara e objetiva, explicitando, em cada passo,
os recursos utilizados, tais como fórmulas, cálculos, desenhos, etc. A interpretação das questões faz parte da
resolução da prova. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis. Não é permitido consulta a qualquer tipo
de formulário, exceto à Tabela de Transformadas de Laplace contida no verso desta folha.
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1.(1,0) Considere a equação diferencial y′′ − 2y = 0.
(a) (0,6) Encontre a fórmula de recorrência e a fórmula do termo geral para os coeficientes da
expansão em série de potências da solução geral dessa equação em torno de x0 = 0.
(b) (0,1) Escreva a solução geral como y(x) = a0y1(x) + a1y2(x), em que y1(x) e y2(x) formam
um conjunto fundamental de soluções em série de potências em torno de x0 = 0 da equação
diferencial dada.
(c) (0,2) Determine o raio de convergência da solução encontrada, isto é, determine o intervalo
no qual a solução está definida.
(d) (0,1) Resolva o problema de valor inicial{
y′′ − 2y = 0
y(0) = y0, y
′(0) = y′0
,
em que y0 e y
′
0 são, respectivamente, o último e o penúltimo dígito de seu número de matrícula.
Questão 2.(1,0) Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial{
y′′ − y′ − 6y = 0
y(0) = 1, y′(0) = −1 .
Questão 3.(0,6) Calcule a transformada inversa de Laplace das funções a seguir.
(a) F (s) =
2s+ 2
s2 + 2s+ 5
(b) G(s) =
2e−2s
s2 − 4
Questão 4.(0,6) Encontre a transformada de Laplace da solução do problema de valor inicial
abaixo. {
y(4) − 2y′′ + y = 1− upi(t)
y(0) = 0 = y′(0), y′′(0) = 1 = y′′′(0)
.
Boa prova e boas férias! :)
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Universidade Federal de Ouro Preto
Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - MTM 125 - 2013/1 - Turma 76
Prof. Fabiana Lopes Fernandes
Prova 3 � Valor: 3,2 pontos � 04/09/2013 � 19:00 às 21:40
Instruções: Cada questão deve ser resolvida de maneira organizada, clara e objetiva, explicitando, em cada passo,
os recursos utilizados, tais como fórmulas, cálculos, desenhos, etc. A interpretação das questões faz parte da
resolução da prova. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis. Não é permitido consulta a qualquer tipo
de formulário.
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1.(1,0) Considere a equação diferencial (4− x2)y′′ + 2y = 0.
(a) (0,3) Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da expansão em série de potências
da solução geral dessa equação em torno de x0 = 0.
(b) (0,4) Encontre a fórmula do termo geral da solução e a escreva como y(x) = a0y1(x)+a1y2(x),
em que y1(x) e y2(x) formam um conjunto fundamental de soluções em série de potências
em torno de x0 = 0 da equação diferencial dada.
(c) (0,2) Determine o raio de convergência da solução encontrada.
(d) (0,1) Resolva o problema de valor inicial{
(4− x2)y′′ + 2y = 0
y(0) = y0, y
′(0) = y′0,
em que y0 e y
′
0 são, respectivamente, o último e o penúltimo dígito de seu número de matrícula.
Questão 2.(0,6) Seja
f(t) =
 e
−pit, 0 ≤ t < pi
cos 2t, pi ≤ t < 2pi
sen t, t ≥ 2pi
Expresse f em termos da função degrau unitário e calcule sua transformada de Laplace.
Questão 3.(0,6) Seja F (s) =
1
s2 + s− 12 . Determine a transforma inversa de Laplace de F (s):
(a) Usando frações parciais.
(b) Usando o Teorema da Convolução.
Questão 4.(1,0) Resolva o problema de valor inicial
{
y′′ + y′ = tu1(t) + δ(t− 2)
y(0) = 0, y′(0) = 1
Boa prova!
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Universidade Federal de Ouro Preto
Institutode Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias - MTM 125 - 2013/1 - Turma 77
Prof. Fabiana Lopes Fernandes
Prova 3 � Valor: 3,2 pontos � 04/09/2013 � 21:00 às 22:40
Instruções: Cada questão deve ser resolvida de maneira organizada, clara e objetiva, explicitando, em cada passo,
os recursos utilizados, tais como fórmulas, cálculos, desenhos, etc. A interpretação das questões faz parte da
resolução da prova. Não é permitido o uso de calculadoras programáveis. Não é permitido consulta a qualquer tipo
de formulário.
Respostas sem justificativa não serão consideradas.
Questão 1.(1,0) Considere a equação diferencial y′′ − xy = 0.
(a) (0,3) Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da expansão em série de potências
da solução geral dessa equação em torno de x0 = 0.
(b) (0,4) Encontre a fórmula do termo geral da solução e a escreva como y(x) = a0y1(x)+a1y2(x),
em que y1(x) e y2(x) formam um conjunto fundamental de soluções em série de potências
em torno de x0 = 0 da equação diferencial dada.
(c) (0,2) Determine o raio de convergência da solução encontrada.
(d) (0,1) Resolva o problema de valor inicial{
y′′ − xy = 0
y(0) = y0, y
′(0) = y′0,
em que y0 e y
′
0 são, respectivamente, o último e o penúltimo dígito de seu número de matrícula.
Questão 2.(0,6) Seja
f(t) =
 sen t, 0 ≤ t < picos t, pi ≤ t < 2pi
e−t, t ≥ 2pi
Expresse f em termos da função degrau unitário e calcule sua transformada de Laplace.
Questão 3.(0,6) Seja F (s) =
1
s2 − 3s− 4 . Determine a transforma inversa de Laplace de F (s):
(a) Usando frações parciais.
(b) Usando o Teorema da Convolução.
Questão 4.(1,0) Resolva o problema de valor inicial
{
y′′ − 2y′ + y = f(t)
y(0) = y′(0) = 0 , em que
f(t) =
{
e2t, 0 ≤ t < 1
0, t ≥ 1
Boa prova!
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