Aula 3 - Modelos no Espaço de Estados

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Instrumentação e Controle
Primeiro Quadrimestre de 2013
Prof. André Luís da Silva
Aula 2
Dia 25 de maio de 2013
Modelos de Sistemas Dinâmicos
Nesta aula, foi abordado o tema representação de espaço de estados. Este tema pode ser 
encontrado nas referências [1] e [2].
Para desenvolver o assunto, foi considerado o seguinte circuito RLC de terceira ordem:
Este circuito é de terceira ordem pois existe um indutor e dois capacitores independentes 
(não estão em paralelo). A representação dinâmica do mesmo requer o conhecimento da corrente 
inicial no indutor e das tensões inciais em ambos os capacitores.
As equações constitutivas são:
v R1=R1 i1 , v L=L
di1
dt
, vR2=R2i3 , i2=C1
dvC1
dt
, i3=C2
dvC2
dt
(1)
As leis de Kirchhoff das tensões e correntes fornecem:
−v t vR1v LvC1=0, −vC1vR2vC2=0, i1=i2i3 (2)
Manipulando estas equações, obtém-se o conjunto de equações diferencias de primeira 
ordem:
di1
dt
=−
R1
L
i1−
1
L
vC1
1
L
v t 
dvC1
dt =
1
C1
i1−
1
R2C1
vC1
1
R2C1
vC2
dvC2
dt
= 1
R2C2
vC1−
1
R2C2
vC2
(3)
O conjunto de equações diferenciais de primeira ordem em (3) pode ser escrito na forma 
matricial:
d
dt [ i1vC1vC2 ]=[−
R1
L
−1
L
0
1
C1
− 1
R2C1
1
R2 C1
0 1
R2C2
− 1
R2C2
] [ i1vC1vC2][ 1L00 ] v t  (4)
A equação matricial (4) é uma equação de estado do circuito. Para ela descrever 
completamente a evolução temporal das variáveis de estado i1, vC1 , vC2 , ainda é necessário 
especificar as condições iniciais:
[ i1vC1vC2]=[
i0
v0
a
v0
b] (5)
para determinada corrente i0 e tensões v0,
a v0
b dadas.
Definindo o vetor de estado
x=[ i1vC1vC2] (6)
e as matrizes:
A=[−
R1
L
−1
L
0
1
C1
−
1
R2C1
1
R2C1
0 1
R2C2
− 1
R2 C2
] , B=[ 1L00 ] (7)
a equação de estado (4) é escrita como:
d x
dt
=A xB v t  (8)
com condição inicial:
x 0=x0 (9)
onde x0=[ i0 v0
a v0
b]T .
Chamando a função forçante v(t) de entrada u(t) (v(t)=u(t)), tem-se a forma geral de uma 
equação de estado linear:
d x
dt
=A xBu t  (10)
onde u(t) está em negrito para levar em conta o caso geral de um vetor contendo mais de uma 
função forçante.
Agora, considere o problema de se observar variávies que não estão no vetor de estado. Será 
necessário determinar uma nova equação de estado para tal? Por exemplo, considere o problema de 
observar as duas correntes i2, i3 , das equações constitutivas dos capacitores:
i2=C 1
dvC1
dt
, i3=C2
dvC2
dt
no entanto, note que ambas equações são novas equações diferenciais. Será possível obter i2, i3
meramente por equações algébricas envolvendo as variáveis de estado e a tensão de entrada? Para 
isso, considere a lei das tensões de Kirchhoff e a tensão no resistor R2:
−vC1vR2vC2=0  −vC1R2i2vC2=0  i2=
1
R2
vC1−
1
R2
vC2 (11)
Assim, i2 é escrita como uma função algébrica das variáveis de estado vC1 , vC2 . 
Agora, considere a lei das correntes de Kirchhoff:
i1=i2i3,  i3=i1−i2
e pela equação (11):
i3=i1−
1
R2
vC1
1
R2
vC2 (12)
Assim, i3 é escrita em função das variáveis de estado i1 , vC1 , vC2 . Ambas as variáveis 
podem ser agrupadas em um vetor e escritas na forma de uma equação linear matricial:
[ i2i3]=[0 1R2 − 1R21 − 1R2 1R2 ] [
i1
vC1
vC2][00] v t  (13)
A equação (13) é chamada equação de saída, o vetor formado pelas correntes observadas é 
chamado vetor de saídas. Definindo as matrizes C e D e o vetor y, essa equação é escrita na forma 
geral abaixo.
y=[ i2i3] , C=[0 1R2 − 1R21 − 1R2 1R2 ] , D=[00]
y=C xD u
Com essas definições, temos a estrutura geral de um modelo de espaço de estados para 
sistemas lineares:
d x
dt
=A xBu t , x 0=x0
y=C xD u
Este modelo representa os principais conceitos envolvidos na definição de estado:
• Em um sistema dinâmico, estado é o conjunto mínimo de variáveis a partir do qual 
qualquer outra variável do sistema pode ser determinada, uma vez conhecidas as 
respectivas condições inicias e valores da função de entrada.
Em geral, encontrar as variáveis de estado de um sistema não é uma tarefa fácil. Inclusive, 
infinitas representações são possíveis, via transformações lineares ou mesmo difeomorfismos 
(sistemas não lineares). À critério de ilustração, em circuitos RLC, a corrente de cada indutor 
independente e a tensão de cada capacitor independente são respectivas variáveis de estado. Por 
independência, entende-se indutores que não estão em série e capacitores que não estão em paralelo. 
Em sistemas mecânicos, em geral, cada deslocamento de uma massa e respectiva velocidade são 
variáveis de estado. Então, se uma massa pode deslocar-sem duas dimensões, temos 4 variáveis de 
estado. Em corpos rígidos, além da translação, tem-se a rotação. Neste caso, tem-se duas variáveis 
de estado para cada grau de liberdade de rotação, um ângulo e uma velocidade.
Para o caso de sistemas não lineares, o conceito de estado é o mesmo, também os de 
equação de estado, de saída, variável de entrada e saída, o que muda é a natureza não linear das 
funções envolvidas.
d x
dt
=f x ,u t  , xt 0=x0
y=hx ,u t 
f x ,u=[ f 1x1 , x2 , ...xn ,u1, u2 , ...umf 2x1 , x2 , ...xn ,u1, u2 , ...um⋮f nx1 , x2, ...xn , u1, u2 , ...um]
h x ,u=[h1x1, x2, ... xn, u1 ,u2, ...umh2x1, x2, ... xn, u1 ,u2, ...um⋮hp x1 , x2 , ...xn ,u1, u2 , ...um]
para um sistema com n variáveis de estado, m entradas e p saídas.
Referências
[1] DORF, R.C., BISHOP, R.H. “Sistemas de Controle Modernos”, LTC, 11ª edição, 2009. 
Seções 3.1 a 3.3.
[2] OGATA, K. "Engenharia de Controle Moderno", Pearson Prentice Hall, 4ª edição, 
2003. Seções 11.1 e 11.2.