Aula 6 Profa Ducati_Derivadas

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Aula 6 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 6 – 07/03/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Derivadas
y− y0=mx− x0
f x − f  p =m  x− p 
m1=
f x − f  p
x− p
m=lim
x p
f x − f  p
x−p
f '  p= lim
x p
f x− f  p
x− p
Se f x =x2 , então:
f '  p=lim
x p
f x− f  p
x− p
=lim
x p
x 2− p2
x−p
=lim
x p
 x−p  xp 
x−p
= lim
x p
 xp =pp=2p
Def.: Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio. O limite lim
x p
f x − f  p
x− p
quando existe 
e é finito, denomina-se derivada de f no ponto p e indica-se por f '  p [lê-se: f linha de p]. 
Assim f '  p= lim
x p
f x− f  p
x− p
.
Aula 6 : Derivadas - 2
Se f admite devivada no ponto p então dizemos que f é DERIVÁVEL ou DIFERENCIÁVEL em p.
Se f for diferenciável em A⊂D f , ou seja, em todos os pontos de a, dizemos que f derivável ou 
diferenciável em A. Se f for diferenciável em todos os pontos de seu domínio, dizemos 
simplesmente que f é derivável ou diferenciável.
Se não existir o limite da função no ponto p, dizemos que f não é diferenciável.
A derivada pode ser expressa em outra forma.
f '  p= lim
x p
f x− f  p
x− p
x− p=h Quando x p ,h0
lim
h0
f  ph− f  p
h
f ' x= lim
h0
f  xh− f x 
h
Derivada da Função f (x)
Equação da reta tangente no ponto p.
y− f  x= f '  p x−p 
Exemplo:
1) Cálcule a derivada de f x =∣x∣ no ponto x = 0.
f '  p= lim
x p
f x− f  p
x− p
f ' x=lim
x0
∣x∣−∣0∣
x−0
f ' x= lim
x0
∣x∣
x
 Nãoexiste
 
Não há derivada para x = 0.
2) Seja
f x  =
x2 sen 1x  x≠0
0 x=0
Calcule f ' 0 , caso exista.
f ' 0=lim
x0
f x − f 0
x−0
Aula 6 : Derivadas - 3
 
f ' 0=lim
x0
x2 sen 1x−0
x−0
f ' 0=lim
x0
x sen 1x 
Independente do valor do arco de sen 1x , a função está limitade entre -1 e 1.
Sendo assim, f ' 0=lim
x0
x sen 1x =0
• A derivada depende do limite, para existir derivada, deve existir limite no ponto.
• As retas tangentes dos pontos ao redor do analizado devem convergir para que haja derivada.
• Sempre que uma função tiver “bico”, não haverá derivada no “bico” da função.
Diferenciabilidade (ou Derivabilidade) e Continuidade
Vimos que f x =∣x∣, apesar de contínua, não é derivável em x = 0, o que mostra que uma função 
pode ser contínua em um ponto sem ser derivável em um ponto.
CONTINUIDADE DIFERENCIABILIDADE
Entretanto,
DIFERENCIABILIDADE CONTINUIDADE
TEOREMA: Se f for derivável em p, então f será contínua em p.
• Para ser derivável tem que existir o limite;
• Para ter limite deve ser contínua.
Segue do Teorema
Se p então q
Se não q então não p
Se f não for contínua em p, então f não será derivável em p.
Derivadas nos extremos de um limite
Se f estiver definida no intervalo [a,b] então f '(x) não está definida no extremos deste intervalo.
Para contornar esse problema, definimos
f ' x= lim
h0−.
f xh− f x 
h
Aula 6 : Derivadas - 4
f ' x= lim
h0.
f xh− f x 
h
Chamadas, respectivamente de DERIVADA LATERAL À ESQUERDA e DERIVADA LATERAL À 
DIREITA de f em relação a x.
f x =c⇒ f ' x=0
f x =xn⇒ f ' x =n x n−1
[ f xg x ] '= f '  xg '  x
[ f x g x ]'= f ' x g x  f x  g ' x
Prova das derivadas:
f x =c⇒ f ' x=0
f x =c⇒ f xh=c
* Funções constantes tem os seus valores mantidos independente do valor de x.
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
c−c
h
c=a.h
lim
h0
a.h−a.h
h
=lim
h0
h a−a
h
=lim
h0
a−a=0
f x =xn⇒ f ' x =n x n−1
Para n> 0
Binômio de Newton
xan= xnna x n−1...n xan−1an
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
xhn−xn
h
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
xnn. h. xn−1...n. x.hn−1hn− xn
h
lim
h0
n.h. xn−1...n. x.hn−1hn
h
=lim
h 0
n. xn−1...n. x.hn−2hn−1=n. xn−1
Aula 6 : Derivadas - 5
f x =xn⇒ f ' x =n x n−1
Para m < 0, m = -n
lim
h0
f xh− f  x
h
=lim
h0
1
xhn
− 1
xn
h
lim
h0
1
xnn.h. xn−1...n. x.hn−1hn
− 1
xn
h
lim
h0
1
xn1n.h. x−1...n. x1−n.hn−1x−n .hn
− 1
xn
h
lim
h0
[ 1−1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n .hnxn1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n .hn ]
h
lim
h0
1−1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n .hn
h.xn1n.h. x−1 ...n. x1−n .hn−1 x−n.hn
lim
h0
−n. h. x−1...n. x1−n . hn−1x−n . hn
h.xn1n. h. x−1 ...n. x1−n . hn−1 x−n . hn
lim
h0
−n. x−1−n...n. x1−2n .hn−2x−2n .hn−1
1n.h. x−1...n. x1−n .hn−1x−n . hn
Como h0 todos os termos que triverem h serão zero.
−n.x−1−n
1
como m=−n
f x =xm⇒ f ' x =m xm−1
[ f xg x ] '= f '  xg '  x
lim
h0
[ f  xh g xh]−[ f  xg x ]
h
Aula 6 : Derivadas - 6
lim
h0
f xhg xh− f x −g x 
h
=lim
h0
f xh− f x 
h
lim
h0
g  xh−g x 
h
[ f xg x ] '= f '  xg '  x
[ f x g x ]'= f ' x g x  f x  g ' x
lim
h0
f  xh g  xh− f  x g x 
h
Sabemos que
f a − f a =0
então,
f xhg x − f xhg  x=0
lim
h0
 f xhg  xh− f x g x  f xh g x − f xhg x
h
lim
h0
f xh g xh− f x g x  f xhg  x− f  xh g x 
h
lim
h0
f xh[ g xh−g x]g x [ f xh− f x ]
h
lim
h0
f xh[ g  xh−g  x]
h
lim
h 0
g x [ f xh− f  x]
h
lim
h0
f xh[limh0 [ g xh−g  x]h ] limh0 g  x[limh0 [ f  xh− f  x]h ]
lim
h0
[g xh−g  x]
h
=g ' x  limh0
g x =g  x
lim
h0
[ f  xh− f x]
h
= f ' x  limh0
f xh= f x0= f  x
Então, 
f x g '  x f ' x g x
[ f x g x ]'= f ' x g x  f x  g ' x