Aula 12 Profa Ducati_Derivadas

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Aula 12 : Derivadas - 1
BC-0201 Funções de Uma Variável (F.U.V.)
Aula 12 – 04/04/2008
Professora: Gisele Cristina Ducati ducati@ufabc.edu.br
Home: http://gducati.googlepages.com
http://fuv1tri2008.googlepages.com
Regra de L'Hôpital
Pode ser usada em lim
x p
f x 
g x 
, quando o limite for
0
0 ou
∞
∞ .
Se f e g forem duas vezes derivaveis e ambas as funções, assim como as derivadas primeira, forem 
iquais a zero ou a infinito, dizemos que: 
lim
x p
f x 
g x 
= lim
x p
f ' x 
g ' x 
= lim
x p
f ' ' x 
g ' ' x 
Exemplo:
lim
x0
x ln x = lim
x0
ln x
1
x
= lim
x0
 ln x'
1x 
' = lim
x0
1
x
−
1
x 2
= lim
x0
−
x2
x = limx0
−x = 0
f '0 ⇒ f é crescente;
f '0 ⇒ f é decrescente;
f ' '0 ⇒ f tem concavidade para baixo;
f ' '0 ⇒ f tem concavidade para cima.
Exemplo:
f x =ln x , x ∈ℝ .
f ' x=ln x ' = 1
x f ' x0 , pois x0
Logo, f é crescente em (0, +∞).
f ' ' x  = 1x 
'
= − 1
x2
f ' ' x 0 , pois x2 0
Logo, f tem concavidade para baixo.
Aula 12 : Derivadas - 2
Máximo e Mínimos de uma Função
Um função f possui um máximo relativo (ou local) em x0 se houver um intervalo aberto em A 
ccontendo x0 no qual f x0 é o maior valor, isto é, f x0 f x  , ∀ x ∈ A . Neste caso,
x0 é chamado PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou local) de f em A e f x0 é chamado 
VALOR MÁXIMO RELATIVO (ou local) de f em A. 
Figura 12-1. Ponto de máximo relativo.
Definição:
Uma função f possui um MÍNIMO RELATIVO (ou local) em x0 se houver um intervalo aberto A 
contendo x0 no qual f  x0 é o menor valor, isto é, f x0 f x  , ∀ x ∈ A . Neste caso, 
dizemos que x0 é PONTO MÍNIMO RELATIVO (ou local) de f em A e f x0 é o VALOR 
MÍNIMO RELATIVO (ou local) de f em A. 
Exemplo:
f x =− x2 D f =ℝ
f ' x =−2 x
f ' x = −2 x {0 , x0=0 , x=00 , x0 }
Figura 12-2. Crescimento de decrescimento de f .
A função f cresce para valores de x menores que 0 e decresce para valores de x maiores que 0. 
Sendo o seu ponto de máximo em x=0.
Aula 12 : Derivadas - 3
Quando f tiver um máximo ou um mínimo relativo em x0 dizemos que f possui um EXTREMO 
RELATIVO em x0 .
Definição:
Dizemos que f x0 é o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO (ou global) de f quando
f x0  f x  , ∀ x ∈D f .
x0 é chamado PONTO MÁXIMO ABSOLUTO ou GLOBAL.
De forma análoga, f x0 é o valor mínimo absoluto (ou global) de f quando
f x0 f x  , ∀ x ∈ D f . x0 é chamado PONTO DE MÍNIMO ABSOLUTO (ou global).
Teorema:
Seja f derivável em x0 onde y0 é um ponto interior à D f . [isto é, existe um intervalo aberto 
I com I⊂D f e x0 ∈ I ]
Uma condição necessaria para que x0 seja ponto de máximo ou mínimo local é que
f ' x = 0 .
x0 é máximo ou mínimo ⇒ f '  x0 = 0 .
f ' x0 = 0 x0 é o ponto de máximo ou mínimo.
Exemplo:
f x  = x3−3 x23
(a) Estude f em relação a máximos e mínimos.
(b) Determine o valor de máximo e mínimo de f em [-2, 3]. Em que pontos estes valores são 
atingidos ?
Resolução:
(a)
f ' x = x3−3 x23' = 3 x2−6 x
Pontos de máximo ou mínimo:
f ' x = 0 = 3 x2−6 x
Raizes da derivada:
r 1 =0 , r 2 = 2
Figura 12-3. Crescimento e decrescimento de f .
Aula 12 : Derivadas - 4
No intervalo (0, 2) a derivada é negativa, sendo assim, f é decrescente. 
Nos intervalos (-∞, 0) e (2, +∞) a derivada é positiva, sendo assim, f é crescente.
f ' ' x  = 6x−6
Em x = 0 , f ' ' x  0 , o ponto é de máximo local.
Em x = 2 , f ' ' x  0 , o ponto é de mínimo local.
(b) A função é estritamente crescente para x ∈ −2,0∪2,3 e estritamente decrescente para 
x ∈ 0,2 , sendo assim, calculando os valores dos pontos críticos e o valor dos extremos do 
intervalo, é possivel encontrar os valores máximos e mínimos da função.
x f x 
0 3
2 −1
Tabela 12-1. Valores dos pontos críticos.
x f x 
−2 −17
3 3
Tabela 12-2. Valores dos extremos do intervalo.
Sendo assim, os pontos de máximo e mínimo no intervalo, respectivamente, são:
x = 0 ou x = 3 ;
x = −2 .
TEOREMA: (Teste de Derivada Segunda)
Seja f duas vezes diferenciavel no intervalo aberto I e seja x0 ∈ I .
(a) f ' x0 = 0 e f ' ' x0  0 então f possui um ponto de mínimo local em x0 ;
(b) f ' x0 = 0 e f ' ' x0  0 então f possui um ponto de máximo local em x0 ;
(c) f ' x0 = 0 e f ' ' x0 = 0 o teste é inclonclusivo.
Se f ' x0 = 0 dizemos que x0 é um PONTO DE CRÍTICO ou ESTACIONÁRIO da função f .
Exercícios:
(1) Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e o seu quadrado seja máximo.
Resolução:
Se o numero [x] deve ser real positivo [ x ∈ℝ ] , a função [ f x] que expressa a diferença 
entre ele e o seu quadrado é:
f x  = x−x2 , x ∈ℝ .
f ' x = x−x2' =−2 x
Aula 12 : Derivadas - 5
f ' x =0=−2 x , x=0 f ' ' x  = −2 x ' =−2
Como f ' ' x 0, o ponto x=0 é de máximo.
Sendo assim, o número real positivo cuja diferença entre ele e o seu quadrado é máximo é x=0.
(2) Deseja-se construir uma caixa de forma cilindrica de 1m³ de volume. Nas laterais e no fundo 
será utilizado um material que custa R$ 10 / m² e no topo, material que custa R$ 20 o m².
Figura 12-4. Caixa cilindrica.
Resolução:
O volume do cilindro é fixo [1m³], sendo assim,
1= r2 l .
A área do cilindro é dada por:
Figura 12-5. Área da caixa cilindrica.
Aula 12 : Derivadas - 6
Área = 2 r 2  2 r l .
Custo:
Custo = 20 r210 r 2 2 r l 
1 = r 2 l ⇒ l = 1
 r 2
Custo = 20 r2 10 r2  2r 1 r2  = 20 r 210 r2  2r 
Custo mínimo:
Custo ' = [20 r2 10 r2  2r ]
'
= 40 r  20r −20
r 2
Custo ' = 0 = 40r  20 r −20
r2
40 r  20r −20
r 2
⇒ 40r  20 r = 60r = 20
r2
60r = 20
r2
⇒ 60 r3 = 20 ⇒ r = 3 13m .
l = 1
 r2
= 1
 3 13 
2 =
332

= 3 9 m .
Custo ' ' = 6040
r3
, x  0 , Custo ' '  0.
Para que o custo das caixas seja mínimo, as dimensões devem ser:
r = 3 13m ;
l = 3 9 m .
(3) Do ponto A, situado em uma das margens de um rio de 100m de largura, deve-se levar energia 
elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa R$ 5 o 
metro, e que será utilizado fora, R$ 3 o metro.
Como deverá ser feito a ligação para que o custo com os fios seja o mínimo possível ?
Aula 12 : Derivadas - 7
Figura 12-6. Fornecimento de energia elétrica.
Resolução:
Distância entre os pontos A e C:
DAB = 0,12x2 , DBC = 100− x
DAC=0,12 x2 100− x
Figura 12-7. Distância entre A e C.
Custo:
Custo = Preço . Distância
Custo = 5 0,12  x23 100− x 
Custo mínimo:
Custo ' = 5 120,12  x2 2 x −3 = 5 x0,12 x2 −3
Custo ' = 0 = 5 x
0,12  x2
−3 ⇒ 5 x
0,12 x2
= 3
5 x = 30,12 x2 ⇒ 25 x2 = 90,12 x2
x2 = 90,1
2
16
⇒ x =  90,1216 = 30,14 = 75m
Custo ' ' = 5
0,12  x2
− 5 x 2 x 
20,12  x23 /2
= 10 0,1
2 x2− 10 x2
20,12  x23 /2
 0
Para que o custo seja mínimo, o comprimento de x deve ser 75m.