Máximos e Mínimos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
FACULDADE DE MATEMÁTICA
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a
Lista de Exercícios de Cálculo I - Derivadas 4
Prof: Rafael Antônio Rossato
1) Expresse
dy
dx em termos de x e y, onde y = f(x) é uma função derivável dada implicitamente pela equação:
a) xey + xy = 3
b) y + ln
(
x2 + y2
)
= 4
c) 5y + cos y = xy
d) 2y + sen y = x
2) A função y = f(x), y > 0, é dada implicitamente por x2+4y2 = 2. Determine a equação da reta tangente
ao gráfico de f , no ponto de abscissa 1.
3) Determine a equação da reta tangente à elipse
x2
a2 +
y2
b2 = 1 no ponto (x0, y0), com y0 6= 0.
4) A função derivável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ Df , o ponto (x, f(x)) é solução da equação
xy3 + 2xy2 + y = 4. Se f(1) = 1, qual o valor de f ′(1)?
5) Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y+x = 3 e tangente ao gráfico de f(x) = x2−3x.
6) Mostre que a função f(x) = x3 + ax2 + bx + c, x ∈ R, onde a, b, c são constantes reais fixadas, não tem
máximo e nem mínimo locais se, e somente se, a2 ≤ 3b.
7) Deseja-se construir um oleoduto ligando dois pontos A e B distantes 4km um do outro e situados nas
margens opostas de um rio que tem 1km largura, cujas margens são paralelas. Do ponto A até um ponto
C na margem oposta, a construção será feita sob a água e de C até B, a construção será feita à superfície.
Sabendo-se que o custo da construção sob a água é 4 vezes o custo à superfície, qual é a localização do
ponto C para que o custo total da obra seja o menor possível?
8) Um fazendeiro quer construir um galinheiro retangular de modo que um dos lados seja uma parte de um
muro. Sabendo-se que o fazendeiro possui l metros de tela, dimensionar o galinheiro de modo que este
possua a área máxima. Justifique sua resposta.
9) O muro de 8 pés mostrado na figura a seguir está a 27 pés do edifício. Determine o comprimento da viga
mais curta que alcançará o edifício, apoiado no solo do lado de fora do muro.
10) Um vitral tem o formato de um retângulo com um semicírculo em cima. O vidro utilizado na parte
semicircular é menos translúcido, de sorte que a quantidade de luz que passa por unidade de área é de
2
3 do permitido pelo vidro da parte retangular. Sendo o perímetro do vitral fixado em 6m, calcule as
dimensões do vitral que permita maior passagem de luz. Justifique sua resposta.
11) Encontrar um ponto no gráfico de f : R→ R dada por f(x) = 11+x2 , x ∈ R, de modo que a reta tangente
à representação geométrica do gráfico da função f , nesse ponto, tenha coeficiente angular máximo.
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12) Deve-se construir uma caixa em forma de um paralelepípedo reto, sem tampa, de base retangular a partir
de um pedaço de cartolina de 32cm por 42cm, retirando-se 4 quadrados, de mesmas dimensões, sendo um
de cada um dos vértices e dobrando-se os lados. Determine as dimensões dos quadrados extraídos, que
produz a caixa de volume máximo.
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