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MÁXIMOS E MÍNIMOS

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 	Capítulo 7 – Análise do Comportamento das Funções - � PAGE �84� 	
análise do comportamento das funções
Neste capítulo analisaremos as funções e seus gráficos, identificando em que intervalo a função é crescente ou decrescente, onde ocorrem os picos ( pontos mais altos ou mais baixos dos gráficos) e a construções destes gráficos. Analisaremos também a “melhor” maneira de se realizar uma tarefa, o que denominamos de problemas de otimização. Esta é também uma das importantes aplicações do cálculo. Por exemplo, qual deve ser a melhor forma de um recipiente para minimizar o custo de fabricação? qual é a aceleração máxima que se pode chegar um ônibus espacial? quais as 
dimensões de uma peça retangular de forma que se tenha uma área útil máxima? qual é a quantidade ideal de fabricação de uma mercadoria para que se tenha um lucro máximo? 
Estes problemas de otimização muitas vezes podem ser reduzidos à determinação do maior ou do menor valor de uma função em algum intervalo e onde ocorre este valor.
Assim, um dos objetivos neste capítulo será estudar soluções para problemas de otimização.
Crescimento e decrescimento de funções
Para descrever o comportamento de uma função em um intervalo, analisamos o seu gráfico percorrendo-o da esquerda para a direita. Desta maneira podemos verificar se esta é crescente, decrescente ou constante neste intervalo.
Por exemplo, analisemos a Figura 1. Conforme percorremos o gráfico da esquerda para a direita no intervalo de 
 aumentamos o valor de x e f(x) decresce, assim, podemos dizer que f(x) é decrescente no intervalo 
.
Do mesmo modo, ao analisarmos o intervalo 
 verificamos que f(x) cresce, logo a função é crescente neste intervalo. O mesmo fazemos no intervalos 
 e verificamos que a função é constante neste intervalo.
A definição a seguir expressa precisamente essas idéias que acabamos de intuir.
Definição
Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos do intervalo:
a) f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x2) para x1 < x2.
b) f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x2) para x1 < x2.
c) f é constante no intervalo se f(x1) = f(x2) para x1 < x2.
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Importância da derivada na análise gráfica das funções
Considere a função f diferenciável e crescente em um intervalo, conforme a Fig 2.
Podemos observar que as retas tangentes a esta curva neste intervalo (intervalo crescente) possuem inclinações positivas.
Do mesmo modo, analisando as Fig. 3 e 4, observamos que:
- as retas tangentes à curva no intervalo decrescente possuem inclinações negativas, 
- as retas tangentes à curva no intervalo constante possuem inclinações iguais a zero.
Como a inclinação da reta tangente é a derivada da função naquele ponto, podemos enunciar o seguinte teorema:
Teorema
Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável no intervalo aberto (a,b).
- Se f ((x) > 0 para todo x em (a,b) então f é crescente em [ a, b] .
- Se f ((x) < 0 para todo x em (a,b) então f é decrescente em [ a, b] .
- Se f ((x) =0 para todo x em (a,b) então f é constante em [ a, b] .
Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento das funções abaixo:
Resolução:
Para verificarmos o comportamento das funções, precisamos analisar o sinal da derivada primeira desta função. 
Assim, primeiramente derivamos a função:
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Observamos que
f ((x) é positiva para todo x > 2 e negativa para todo x < 2, isto é:
f ((x) > 0 para x > 2 e f ((x) < 0 para x < 2
Logo:
- a função é crescente no intervalo 
- a função é decrescente no intervalo 
Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 5.
Resolução
Para verificarmos o comportamento das funções, precisamos analisar o sinal da derivada primeira desta função. Assim, primeiramente derivamos a função:
A figura 6 apresenta o gráfico da função derivada.
Observamos pela figura 6 que:
f ((x) é positiva para todo x > 2 e x < -2 e negativa para todo -2 < x < 2 , isto é:
f ((x) > 0 para x > 2 ou x < - 2 e 
f ((x) < 0 para -2 < x < 2
Logo:
- a função é crescente no intervalo 
- a função é decrescente no intervalo 
.
Estas conclusões estão em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 7.
Resolução:
Primeiramente derivamos a função:
A figura 8 apresenta o gráfico desta função derivada.
Observamos pela Figura 8 que:
f ((x) é positiva para todo x 
, isto é:
f ((x) > 0 para qualquer x 
.
Logo a função é crescente em todo intervalo real. 
Esta conclusão está em conformidade com o gráfico de f representado na Figura 9.
MÁXIMOS E MÍNIMOS 
Suponha que o gráfico da Fig. 10 tenha sido feito por um instrumento registrador usado para medir a variação de uma quantidade física em relação ao tempo. Em tal caso, o eixo dos x representa o tempo e as ordenadas dos pontos do gráfico, os valores da quantidade f(x).
Por exemplo, os valores de y podem representar medidas de temperaturas, pressão , corrente em um circuito elétrico, pressão sangüínea de um indivíduo, quantidade de um produto químico em um solução, bactérias em um cultura, etc. 
Observemos que há intervalos em que a função é crescente e outros nos quais ela é decrescente.
A figura 10 mostra que f é crescente no intervalo de 
 , decrescente de 
, crescente de 
 e decrescente de 
.
Se restringirmos nossa atenção ao intervalo de 
 , veremos que a quantidade atingiu seu máximo ( maior valor) em d e seu mínimo em c.
Observe que em outros intervalos existem diferentes máximos e mínimos.
O ponto M da curva de abscissa x = b , situa-se exatamente no ponto onde a função passa de crescente para decrescente. Dizemos então que a função apresenta um máximo local em x = b, ou que f (b) é um máximo local da função. Isto é , o valor de f(b) é o maior valor que a função assume para valores de x , próximos de b.
Convém observar que o ponto M, não é o ponto mais alto do gráfico, M é o ponto mais alto dos que lhe são próximos. Por isso o adjetivo “local”. 
Vejamos agora que a função é decrescente no intervalo de 
 e crescente de 
. O ponto N da curva situa-se exatamente no ponto em que a função passa de decrescente para crescente e sua abscissa é x = c. Observamos que N é o mais baixo ponto entre os que lhe são próximos. Dizemos que a função apresenta aí um mínimo local, ou que f(c ) é um mínimo local de f. O valor de f (c ) é o menor valor que a função assume para valores de x, próximos de b.
Notemos que a função pode apresentar outros máximos e mínimos locais.
Diante das observações acima podemos apresentar as seguintes definições:
 Definição
Seja f uma função definida em um intervalo I e c um número em I. Então :
i) f(c) é máximo de f em I se 
 para todo x em I.
ii) f(c) é mínimo de f em I se 
 para todo x em I.
 
Suponha que uma função f seja derivável. Neste caso o seu gráfico admite tangente em cada ponto, conforme o gráfico apresentado na Fig.11:
Observamos que no ponto B, de máximo local , e A de mínimo local, a tangente ao gráfico é uma reta horizontal , paralela ao eixo x, isto é , seu coeficiente angular é igual a zero. Logo 
f ((a) = f ((b) = 0 , pois o coeficiente angular da reta tangente é igual a derivada da função no ponto.
Teorema
Se uma função f tem extremo local para um valor c, então f ((c) = 0 ou f ((c) não existe.
Definição
Se f é uma função derivável e c um ponto tal que f ((c) = 0 ou não exista, dizemos que c é a abscissa de um ponto crítico da função f.