aula 5 SISTEMAS2-handout

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Sist. Lin. II
Sistemas
Lineares
Após Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Sistemas Lineares – 2a Parte
Paulo Goldfeld Marco Cabral
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28
Sist. Lin. II
Sistemas
Lineares
Após Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Existência de Solução
Notação:
{
0 − zero − não-zero
1 − um ? − qualquer quantidade
1o caso: sistema totalmente escalonado da forma
? ? · · · ? ?
...
...
. . .
...
...
? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0 1

0x1 + 0x2 + · · ·+ 0xn = 1 ⇒ conjunto-solução = { }
sistema inconsistente
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Após Escalonamento
Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Exemplos
Exemplo (sistema inconsistente)
 1 0 00 1 0
0 0 1

Exemplo (sistema inconsistente)
 1 −3 0 5 00 0 1 2 0
0 0 0 0 1

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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Solução Única
2o caso: sistema totalmente escalonado da forma
1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 1 ?


x1 = ?
x2 = ?
...
...
xn = ?
⇒ conjunto-solução = {(?, ?, . . . , ?)}
solução única
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Exemplos
Exemplo (sistema com solução única)
 1 0 0 −20 1 0 0
0 0 1 11

Exemplo (sistema com solução única)

1 0 0 0 7
0 1 0 0 −4
0 0 1 0 −3
0 0 0 1 13

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Casos Especiais
Infinitas Soluções
3o caso: sistema totalmente escalonado
não se enquadra nos casos anteriores 1 −3 0 5 0 40 0 1 2 0 0
0 0 0 0 1 −2

Suponha conhecidos os valores de x2 e x4:
{
x2 = r
x4 = s
O sistema pode ser reescrito:
1x1 = 4 +3r −5s
1x3 = −2s
1x5 = −2
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.

1x1 = 4+ 3r − 5s
1x3 = −2s
1x5 = −2
r e s conhecidos; sistema em 3 incógnitas: x1, x3 e x5: 1 0 0 4+ 3r − 5s0 1 0 −2s
0 0 1 −2

Solução única: (4+ 3r − 5s, −2s, −2)
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Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Sistema em x1, x3 e x5:
Reintroduzindo x2 e x4:
x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = r
x3 = −2 s
x4 = s
x5 = −2
x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 s
x3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 s
x5 = −2 +0 r +0 s
x1 = 4 +3 r −5 s
x2 = 0 +1 r +0 s
x3 = 0 +0 r −2 s
x4 = 0 +0 r +1 s
x5 = −2 +0 r +0 s
Conj.-solução: {(4+ 3r − 5s, r , −2s, s, −2) | r , s ∈ R}
=

( 4, 0, 0, 0, −2 ) +
( 3r , r , 0, 0, 0 ) +
( −5s, 0, −2s, s, 0 )
∣∣∣∣∣∣ r , s ∈ R

= {(4,0,0,0,−2)+r(3,1,0,0,0)+s(−5,0,−2,1,0) | r , s ∈ R}
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Casos Especiais
Infinitas Soluções – cont.
Nomenclatura:

x2, x4 − variáveis livres
r , s − parâmetros
x1, x3, x5 − variáveis dependentes
Variáveis Livres
Tomam-se como variáveis livres aquelas associadas a
colunas sem pivots.
Número de variáveis livres = n − p, onde
n = (no de incógnitas) = (no de colunas)
p = (no de pivots) = (no de linhas após escalonamento)
p
{ [
0 1 0 ?
0 0 1 ?︸ ︷︷ ︸
n
?
?
]
variáveis livres: x1 e x4
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Casos Especiais
Outro Exemplo com Infinitas Soluções
[
0 1 3 0 −7
0 0 0 1 4
]
variáveis livres: x1 = r
x3 = s
Sistema original: Com eqs. p/ variáveis livres:
x1 = 1 r
x2 = −7 −3 s
x3 = 1 s
x4 = 4

x1 = 0 1 r 0 s
x2 = −7 0 r −3 s
x3 = 0 0 r 1 s
x4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:
{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0) | r , s ∈ R}
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Gerando Soluções
Conjunto-solução:
{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0) | r , s ∈ R}
Fazendo r = 0 e s = 0, obtemos a solução
(0,−7,0,4) + 0(1,0,0,0) + 0(0,−3,1,0) = (0,−7,0,4).
Fazendo r = 3 e s = −2, obtemos a solução
(0,−7,0,4) + 3(1,0,0,0)− 2(0,−3,1,0) = (3,−1,−2,4).
Infinitas Soluções
Cada escolha dos parâmetros r e s gera uma solução
distinta e toda solução corresponde a alguma escolha dos
parâmetros.
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Casos Especiais
Conjunto-Solução e Subespaço Afim
Um sistema linear pode ter ou não soluções (ser
consistente ou inconsistente).
Teorema (Caracterização do Conjunto-Solução)
Se um sistema linear é consistente, o seu conjunto-solução
é um subespaço afim, ou seja, é da forma
xp +
〈
xh1 , . . . ,xhr
〉
.
Prova
Eliminação de Gauss.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma totalmente escalonada:
? ? · · · ? ?
...
...
. . .
...
...
? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0 1
 − inconsistente

1 0 · · · 0 ?
0 1 · · · 0 ?
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · 1 ?
 − solução única
caso contrário − infinitas soluções
(n − p) variáveis livres
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Casos Especiais
Relação entre Forma Escalonada e
Forma Totalmente Escalonada
 0 ? ? ?0 0 0 ?
0 0 0 0
 −→
 0 1 ∗ 0 00 0 0 1 0
0 0 0 0 1

 ? ? ? ?0 ? ? ?
0 0 0 ?
 −→
 1 0 ∗ 0 ∗0 1 ∗ 0 ∗
0 0 0 1 ∗


? ? ? ?
0 ? ? ?
0 0 ? ?
0 0 0 ?
 −→

1 0 0 0 ∗
0 1 0 0 ∗
0 0 1 0 ∗
0 0 0 1 ∗

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Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
A partir da forma escalonada (Parte I do algoritmo):
? ? · · · ? ?
...
...
. . .
...
...
? ? · · · ? ?
0 0 · · · 0
 − inconsistente

? · · · ? ?
0 · · · ? ?
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · ?
 − solução única
caso contrário − infinitas soluções
(n − p) variáveis livres
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Casos Especiais
Discussão de Existência e Unicidade
Exemplos: 0 −3 0 −1 60 0 0 √pi 9
0 0 0 0 311
 −→ inconsistente
 13 2 0 −6 330 10−7 2 9 1
0 0 0 3 0
 −→ infinitas soluções
1 variável livre

2 2 −8 12 0
0 e3 11 1 12
0 0 log(3) 2 0
0 0 0 77 −3
 −→ solução única
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor
Definição (Produto Matriz-Vetor)
Dados a matriz Am×n =
 a1 · · · an
 e o vetor
x =
 x1...
xn
, define-se o produto Ax = n∑
j=1
xjaj .
Em palavras, o produto matriz vetor Ax é a combinação
linear das colunas de A, usando por coeficientesas
entradas do vetor x.
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Produto Matriz-Vetor: exemplo
Exemplo
[
1 2 3
4 5 6
] 20
−1

= 2
[
1
4
]
+ 0
[
2
5
]
−1
[
3
6
]
=
[
(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)
(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)
]
=
[ −1
2
]
[
1 2 3
4 5 6
] 20
−1

= 2
[
1
4
]
+ 0
[
2
5
]
−1
[
3
6
]
=
[
(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)
(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)
]
=
[
(1× 2) + (2× 0) + (3×−1)
(4× 2) + (5× 0) + (6×−1)
]
=
[ −1
2
]
[
1 2 3
4 5 6
] 20
−1

= 2
[
1
4
]
+ 0
[
2
5
]
−1
[
3
6
]
=
[
(2× 1) + (0× 2) + (−1× 3)
(2× 4) + (0× 5) + (−1× 6)
]
=
[
(1× 2) + (2× 0) + (3×−1)
(4× 2) + (5× 0) + (6×−1)
]
=
[ −1
2
]
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Produto Matriz-Vetor
Produto Matriz-Vetor (outra interpretação)
A i-ésima entrada do vetor b = Ax é dada pelo produto
escalar da i-ésima linha de A com o vetor b.
Definição (produto escalar)
O produto escalar (ou produto interno) dos vetores u ∈ Rn e
v ∈ Rn é dado por
〈u,v〉 = u · v =
n∑
j=1
ujvj .
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Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
O sistema linear

a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 · · · amn bm

pode ser reescrito como Ax = b, isto é,

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 .
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Casos Especiais
Sistemas Lineares x Produto Matriz-Vetor
As duas interpretações do produto matriz Ax vetor
correspondem a duas interpretações geométricas do
sistema linear Ax = b.
por linhas:
interseção de hiperplanos;
por colunas:
b como combinação linear das colunas de A.
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Casos Especiais
Propriedades do Produto Matriz-Vetor
Ax é linear em x
A(x+ y) = Ax+ Ay
A(αx) = α(Ax)
Corolários
Se Axp = b e Axh = 0, então A(xp + xh) = b.
Se Ax2 = Ax1 = b, então A(x2 − x1) = 0.
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Sistemas Homogêneos
Definição (sistema homogêneo)
Ax = 0,

a11x1 +a12x2 · · · +a1nxn = 0
a21x1 +a22x2 · · · +a2nxn = 0
...
...
. . .
...
...
am1x1 +am2x2 · · · +amnxn = 0
Definição (solução trivial)
O vetor nulo 0 = (0,0, . . . ,0) é sempre solução do sistema
homogêneo. Esta solução é chamada solução trivial.
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Casos Especiais
Sistemas Homogêneos
Lado direito de zeros preservado por oper. fundamentais. ? · · · ? 0... . . . ... ...
? · · · ? 0
 ∼
 ∗ · · · ∗ 0... . . . ... ...
∗ · · · ∗ 0

Forma escalonada nunca apresenta linha
[
0 · · · 0 ].
Determina-se p (escalonamento):
p = n ⇒ solução única (apenas a trivial)
p < n ⇒ infinitas soluções, (n − p) variáveis livres
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Relação entre Sistema Não-Homogêneo e
Sistema Homogêneo Associado
[
0 1 3 0 −7
0 0 0 1 4
] 
x1 = 1 r
x2 = −7 −3 s
x3 = 1 s
x4 = 4

x1 = 0 1 r 0 s
x2 = −7 0 r −3 s
x3 = 0 0 r 1 s
x4 = 4 0 r 0 s
Conjunto-solução:
{(0,−7,0,4) + r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0) | r , s ∈ R}
[
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
] 
x1 = 1 r
x2 = −3 s
x3 = 1 s
x4 = 0

x1 = 1 r 0 s
x2 = 0 r −3 s
x3 = 0 r 1 s
x4 = 0 r 0 s
Conjunto-solução:
{r(1,0,0,0) + s(0,−3,1,0) | r , s ∈ R}
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo e
Sistema Homogêneo Associado
Sistema homogêneo com solução única:
? · · · ? 0
? · · · ? 0
...
. . .
...
...
? · · · ? 0
 ∼
 · · · ∗ 0... . . . ... ...
0 · · · 0

Sistema não-homogêneo com mesma matriz:
? · · · ? ?
? · · · ? ?
...
. . .
...
...
? · · · ? ?
 ∼
 · · · ∗ ∗... . . . ... ...
0 · · · ∗
 ou

· · · ∗ ∗
...
. . .
...
...
0 · · · ∗
0 · · · 0

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Sistemas
Lineares
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Produto Matriz-Vetor
Casos Especiais
Relação entre Sistema Não-Homogêneo e
Sistema Homogêneo Associado
Ax = b
sol. = xp +
〈
xh1 , . . . , xhr
〉
ouou
sol. = { }sol. = { }
⇒ ⇐ Ax = 0
sol. =
〈
xh1 , . . . , xhr
〉
Se um sistema não-homogêneo é consistente, o subespaço
afim que forma o seu conjunto-solução é uma translação do
subspaço vetorial que forma o conjunto-solução do sistema
homogêneo associado.
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Casos Especiais
Sistemas com Mesma Matriz de Coeficientes
[
1 2 4
2 5 9
]
l2 ← l2 − 2l1
[
1 2 4
0 1 1
]
l1 ← l1 − 2l2
[
1 0 2
0 1 1
]
[
1 2 3
2 5 7
]
l2 ← l2 − 2l1
[
1 2 3
0 1 1
]
l1 ← l1 − 2l2
[
1 0 1
0 1 1
]
[
1 2 4 3
2 5 9 7
]
∼
[
1 2 4 3
0 1 1 1
]
∼
[
1 0 2 1
0 1 1 1
]
Evitamos retrabalho aumentando a matriz
com vários lados direitos de uma vez.
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