aula 15 DET-handout

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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Introdução ao determinante
O que é?
Quais são suas propriedades?
Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o
cálculo)?
Para que serve?
Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44
Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Área e Determinante em R2
A =
 ↑u
↓
↑
v
↓
 matriz 2× 2.
P paralelogramo com arestas u e v.
u
0
v
u+ v
Definição
detA é a área (com sinal) do paralelogramo P.
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Volume e Determinante em R3
A =
 ↑u
↓
↑
v
↓
↑
w
↓
 matriz 3× 3.
P paralelepípedo com arestas u, v e w.
0
v uw
Definição
detA é o volume (com sinal) do paralelepípedo P.
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Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Determinante Matriz Diagonal
Exemplo
Considere A =
[
a 0
0 b
]
, com a,b > 0. Calcule detA.
Pela definição, detA é a área do retângulo com lados de
tamanho a e b. Portanto, detA = ab.
Isto ilustra o caso geral: o determinante de uma matriz
diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal.
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R2 e R3
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Fórmula Matriz
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Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
O que significa det(A) = 0?
O que significa det(A) = 0 em R2?
Área do paralelogramo
é zero.
=⇒ Um vetor é múltiplo
do outro.
O que significa det(A) = 0 em R3?
Volume do
paralelepípedo é zero.
=⇒
Um vetor pertence ao
plano gerado pelos
outros dois.
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Propriedades
Fórmula Matriz
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Fórmula Modo
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Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
det(A) = 0 em R2: Exemplos
Exemplo
det
[
12 −4
−9 3
]
= 0 Por quê?
1a col = −3× 2a col
Exemplo
det
[
3 3
3 3
]
= 0 Por quê?
3a col = 1a col
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R2 e R3
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Propriedades
Fórmula Matriz
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Fórmula Modo
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Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
det(A) = 0 em R3: Exemplos
Exemplo
det
 1 3 11 7 1
1 9 1
 = 0 Por quê?
3a col = 1a col
Exemplo
det
 1 2 31 2 3
1 2 3
 = 0 Por quê?
3a col = 1a col + 2a col
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Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Sinal do Determinante
Mantendo fixo u e variando v, como varia o sinal do
determinante?
determinante positivo
determinante zero
determinante negativo
u0
vu+ vu0
vu+ v
u0
vu+ v
u0
vu+ v
u0
vu+ v u0
vu+ v
u0
vu+ v
u
0 vu+ v
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Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedade (a)
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero:
paralelogramo ou paralelepípedo degenerado.
Exemplo
det
[
2 2
−3 −3
]
= 0
det
 ↑u
↓
↑
v
↓
↑
u
↓
 = 0
det
 ↑u
↓
↑
v
↓
↑
v
↓
 = 0
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R2 e R3
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Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedade (b1)
(b1) Se multiplicarmos uma coluna por k (constante) o
determinante será multiplicado por k :
a altura (ou base) será multiplicada por k .
0
v
u
2u
3u
3,5u
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedade (b1): Exemplo
Exemplo
det
[
5 0
0 1
]
= 5 det
[
1 0
0 1
]
.
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedade (b2)
(b2) det
 ↑u + v
↓
↑
w
↓
 = det
 ↑u
↓
↑
w
↓
+ det
 ↑v
↓
↑
w
↓

0 w
u
v
u+ v
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedade (b2): Exemplo
Exemplo
det
[
2 0
8 3
]
= 6 = det
[
1+ 1 0
5+ 3 3
]
=
det
[
1 0
5 3
]
+ det
[
1 0
3 3
]
= 3+ 3 = 6
Exemplo
Note que não é verdade que det(A+ B) = det(A) + det(B)!
det
([
1 0
0 1
]
+
[
1 0
0 1
])
= det
[
2 0
0 2
]
= 4 6=
det
[
1 0
0 1
]
+ det
[
1 0
0 1
]
= 1+ 1 = 2.
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
linearidade
Exemplo
Utilize a linearidade na primeira coluna para calcular
det
[
2 0
6 3
]
.
Como
[
2
6
]
=
[
2+ 0
0+ 6
]
=
[
2
0
]
+
[
0
6
]
,
det
[
2 0
6 3
]
= det
[
2+ 0 0
0+ 6 3
]
=
det
[
2 0
0 3
]
+ det
[
0 0
6 3
]
= 6+ 0 = 6. O primeiro
determinante é 6 por ser matriz diagonal, o segundo é zero
pois uma coluna é múltipla da outra.
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R2 e R3
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Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de ÁreaPropriedade (c)
(c) o determinante da matriz identidade é 1:
área de um quadrado de lado 1
= volume de um cubo de lado 1
= 1.
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R2 e R3
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Definição Algébrica
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Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Definição Algébrica em Rn
Um fato surpreendente é:
Teorema
Considere o conjuntoMn×n, o conjunto das matrizes
quadradas n × n. Existe uma única função det :Mn×n → R
com as seguintes propriedades:
(a) se duas colunas são iguais o valor é zero;
(b) é linear em cada coluna;
(c) na matriz identidade o valor é 1.
Definição
O determinante é a função dada pelo teorema acima.
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R2 e R3
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Definição Algébrica
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Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Comentários
Embora completa, a definição acima não apresenta
uma fórmula para calcular o determinante.
Segundo Klaus Jänich:
“Se você ainda acha que a informação mais
importante acerca de um objeto matemático é
uma fórmula para calcular o seu valor,
certamente você compartilha o pensamento
da maioria das pessoas medianamente
educadas, mas com conhecimentos apenas
superficiais de matemática.”
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedade Equivalente
Lema
As propriedades abaixo são equivalentes:
(a) Se duas colunas são iguais o determinante é zero.
(a’) Se trocarmos duas colunas o determinante troca de
sinal
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Determinante
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Prova do Lema
Prova
Vamos provar para matriz 2x2.
Suponha (a). Então det
 ↑u+ v
↓
↑
u+ v
↓
 = 0
(colunas iguais)
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Determinante
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Prova do Lema (continuação)
Prova
Por (b) (linearidade) 0 = det
 ↑u+ v
↓
↑
u+ v
↓
 =
det
 ↑u
↓
↑
u+ v
↓
+ det
 ↑v
↓
↑
u+ v
↓
 =
det
 ↑u
↓
↑
u
↓
+ det
 ↑u
↓
↑
v
↓
+ det
 ↑v
↓
↑
u
↓
+
det
 ↑v
↓
↑
v
↓

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Determinante
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R2 e R3
Algumas
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Prova do Lema (continuação)
Prova
Por (a) novamente det
 ↑u
↓
↑
u
↓
 = det
 ↑v
↓
↑
v
↓
 = 0.
Logo 0 = det
 ↑u
↓
↑
v
↓
+ det
 ↑v
↓
↑
u
↓

det
 ↑u
↓
↑
v
↓
 = −det
 ↑v
↓
↑
u
↓
.
Suponha (a’). Tomando u = v, det(u|u) = −det(u|u).
Portanto 2 det(u|u) = 0. Logo det(u|u) = 0.
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Determinante
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Propriedades do Determinante
Das três propriedades básicas do determinante podemos
deduzir de forma direta as seguintes propriedades:
1 trocando uma coluna por sua soma com um múltiplo de
outra, aj ← aj + αak , k 6= j , o determinante não se
altera;
2 determinante de matriz diagonal é igual ao produto dos
elementos da diagonal;
3 determinante de matriz triangular é igual ao produto
dos elementos da diagonal;
4 determinante é zero se uma coluna é combinação
linear das outras. (De fato, se e somente se.)
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Produto de Matrizes
Lema
det(AB) = det(A)det(B)
Prova
Se det(A) 6= 0, defina fA(B) = det(AB)/det(A). É fácil ver
que possui as propriedades da definição (fA(I) = 1, linear
nas colunas, zero se colunas são iguais). Logo
fA(B) = det(B).
Corolário
det(A) 6= 0 se, e somente se, A possui inversa.
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
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Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Transposta de Matrizes
Lema
det(At) = det(A).
Corolário
Todas as propriedades do determinante para colunas
podem ser enunciadas como propriedades das linhas.
Portanto, o determinante:
é linear por linhas;
troca de sinal quando se trocam as linhas.
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplos
Exemplo
Considere A = [u|v |w |z] 4× 4.
det(3A) = det[3u|3v |3w |3z] = 3 det[u|3v |3w |3z] =
32 det[u|v |3w |3z] = 33 det[u|v |w |3z] = 34 det[u|v |w |z] =
34 det(A) 6= 3 det(A)!
Exemplo
Considere A = [u|v |w ] 3× 3.
det[v |3u + 2v |w ] = 3 det[v |u|w ] + 2 det[v |v |w ] =
− 3 det[u|v |w ] + 2 · 0 = − 3 det(A).
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplos
Exemplo
det(P−1) =?
det(I) = 1 = det(PP−1) = det(P)det(P−1).
Conclusão: det(P−1) = 1/det(P).
Exemplo
det(PAP−1) = det(P)det(A)det(P−1) =
det(P)det(P−1)det(A) = 1 · det(A) = det(A).
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Fórmula para 2× 2: parte 1
Vamos deduzir fórmula do determinante de
[
a c
b d
]
utilizando somente propriedades básicas.
Como
[
a
b
]
=
[
a
0
]
+
[
0
b
]
, linearidade na primeira
coluna implica:
det
[
a c
b d
]
= det
[
a c
0 d
]
+ det
[
0 c
b d
]
.
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Fórmula para 2× 2: parte 2
det
[
a c
b d
]
= det
[
a c
0 d
]
+ det
[
0 c
b d
]
.
Como
[
c
d
]
=
[
c
0
]
+
[
0
d
]
, linearidade na segunda
coluna implica:
det
[
a c
0 d
]
= det
[
a c
0 0
]
+ det
[
a 0
0 d
]
det
[
0 c
b d
]
= det
[
0 c
b 0
]
+ det
[
0 0
b d
]
.
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Fórmula para 2× 2: parte 3
Portanto, obtemos:
colocando constantes em evidência:
det
[
a c
b d
]
=
det
[
a c
0 0
]
+ a det
[
1 c
0 0
]
+ ac det
[
1 1
0 0
]
+
det
[
a 0
0 d
]
+ ad det
[
1 0
0 1
]
+
det
[
0 c
b 0
]
+ bc det
[
0 1
1 0
]
+
det
[
0 0
b d
]
bd det
[
0 0
1 1
]
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Determinante
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R2 e R3
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Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Fórmula para 2× 2: parte 4
Portanto, obtemos:
det
[
a c
b d
]
=
ac det
[
1 1
0 0
]
ac · 0 (colunas iguais)
+ad det
[
1 0
0 1
]
+ad · 1 (identidade)
+bc det
[
0 1
1 0
]
−bc det
[
1 0
0 1
]
−bc · 1 (troca colunas) (identidade)
+bd det
[
0 0
1 1
]
+bd · 0 (colunas iguais)
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Determinante
Introdução
R2 e R3
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Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Fórmula para 2× 2: Fim!
Finalmente,
det
[
a c
b d
]
= ac · 0+ ad · 1− bc · 1+ bd · 0 = ad − bc
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R2 e R3
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Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Regra de Sarrus
Podemos repetir o que foi feito para matriz 2× 2 para matriz
3× 3.
Obtemos a fórmula conhecida, que pode ser recordada
através da Regra de Sarrus:
[
a11 a12
a21 a22
]
+−
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 a11 a12a21 a22
a31 a32
+− +− +−
Observação (regra se Sarrus)
A regra de Sarrus NÃO generaliza para dimensão maior
que 3: Não existe procedimento semelhante a este para
matrizes 4× 4.
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Como calcular de forma eficiente?
Existem diversas formas de cálculo do determinante.
A maneira mais eficiente, utilizada nos algoritmos
numéricos, é:
Fazer eliminação de Gauss, reduzindo matriz a forma
diagonal superior (ou inferior);
Levar em conta a cada operação elementar o efeito
sobre o determinante:
troca de linhas =⇒ determinante troca de sinal;
multiplicar linha por constante =⇒ determinante é
multiplicado pela constante;
substituir linha por combinação linear dela com outra
linha =⇒ determinante não se altera.
Calcular determinante da matriz resultante pelo
produto dos elementos da diagonal;
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo de cálculo de modo eficiente
Exemplo
Considere a matriz A =
 0 4 82 1 8
3 6 9
.
Troque l1 com l3: detA = −det
 3 6 92 1 8
0 4 8
.
Coloque 3 em evidência em l1: detA = −3 det
 1 2 32 1 8
0 4 8
.
Faça l2 ← l2 − 2l1: detA = −3 det
 1 2 30 −3 2
0 4 8
.
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo de cálculo de modo eficiente
(continuação)
Exemplo
detA = −3 det
 1 2 30 −3 2
0 4 8
.
Faça l3 ← l3 + 4l2/3:
detA = −3 det
 1 2 30 −3 2
0 0 8+ 8/3 = 32/3
.
Agora a matriz é triangular: calcule produto dos elementos
da diagonal: detA = −3(1)(−3)(32/3) = 96.
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Determinante
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R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Matrizes em Blocos
Lema (determinante de matrizes triangulares por blocos)
Suponha que M =
[
A B
0 D
]
ou ou M =
[
A 0
C D
]
, com A
e D matrizes quadradas. Então det(M) = det(A)det(D)
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Determinante
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Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
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Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Sistemas e Determinante
Seja A matriz quadrada. Quando Av = b tem solução?
se det(A) 6= 0, A possui inversa e portanto existe uma
única solução v = A−1b;
se b = 0 e det(A) 6= 0, a única solução será v = 0;
se det(A) = 0 podemos garantir que o sistema
homogêneo Av = 0 possui solução v 6= 0, isto é,
possuirá solução não-trivial (solução diferente de zero).
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
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Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Sistemas e Determinante
Concluímos que:
Teorema
Se A é matriz quadrada, são equivalentes:
1 o sistema homogêneo Av = 0 possui solução diferente
de zero;
2 A não possui inversa;
3 det(A) = 0.
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Determinante
Introdução
R2 e R3
Algumas
Propriedades
Definição Algébrica
Equivalências
Propriedades
Fórmula Matriz
2 × 2
Fórmula Modo
Eficiente
Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Exemplo Sistema Homogêneo
Exemplo
Considere a matriz A =
[
1 2
2 1
]
. Determine valores para λ
tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial.
Podemos reescrever o sistema introduzindo a matriz
identidade I. Assim temos que resolver Av = λIv ou
(A− λI)v = 0. Como queremos soluções não-triviais,
queremos que o núcleo de A− λI seja não-trivial, que pelo
Teorema acima implica que det(A− λI) = 0. Agora
det(A− λI) = det
[
1− λ 2
2 1− λ
]
= (1− λ)2 − 4 = 0.
Resolvendo esta equação do segundo grau em λ obtemos
que λ = 3 ou λ = −1.
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DefiniçãoAlgébrica
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Fórmula Modo
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Sistemas
Transformações
Lineares
Mudança de Área
Determinante de TLs
Como definir o determinante de transformações
lineares T : V → V?
T pode ter matrizes distintas A e B que a represente
pois depende da base escolhida para o espaço V .
No entanto, A e B estão relacionadas por mudança de
base P: B = PAP−1.
Pela propriedade do produto,
det(B) = det(PAP−1) = det(P)det(A)det(P−1) =
det(P)det(P−1)det(A) = det(A).
Logo podemos definir det(T ) por det(A), o
determinante da matriz que a representa numa base
qualquer.
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Eficiente
Sistemas
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Lineares
Mudança de Área
Definição de Determinante de TL
Definição
Dada transformação linear T : V → V, seja A uma matriz
que a represente. Definimos det(T ) como det(A).
Lema
Seja T uma transformação linear de V em V. São
equivalentes:
(a) o núcleo de T é não-nulo;
(b) T não possui inversa;
(c) det(T ) = 0.
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Lineares
Mudança de Área
Mudança de Área e Determinante
Seja T : R2 → R2 uma transformação linear e Ω ⊂ R2
um conjunto limitado qualquer.
Qual a relação entre volume de Ω e a área de T (Ω)?
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Lineares
Mudança de Área
Relação Determinante e Mudança de Área
Teorema
Área de T (Ω) é igual a área de Ω vezes |det(T )|.
Ω
T (Ω)
Qi
T
T (Qi)
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Lineares
Mudança de Área
Uma aplicação deste Teorema é em cálculo de várias
variáveis. Uma função qualquer f : R2 → R2 pode ser
aproximada localmente por uma transformação linear.
Por este resultado, a distorção local de área será dado
pelo determinante desta transformação linear, o
chamado jacobiano de f .
Este mesmo resultado poder ser generalizado para
três dimensões: Seja T : R3 → R3 uma transformação
linear e Ω ⊂ R3 um conjunto qualquer. O volume de
T (Ω) é igual ao volume de Ω vezes |det(T )|.
Podemos reinterpretar a propriedade do determinante
do produto da seguinte forma. Dado C = AB,
composição das TLs A e B, a distorção de área (ou
volume) de C é igual ao produto da distorção de A e
distorção de B.
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