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EAETI – ESCOLA DE ARQUITETURA ENGENHARIA E TI Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Curso: Engenharias Produção: Equipe GAAL Professora: Ana Matos - ana.matos@pro.unifacs.br 1a Lista de Exercícios – Vetores – 2017.1 Com base na figura, sobre os vetores coloque Verdadeiro ou Falso: AB = GH = LJ LM, GH e FA são coplanares. LE, JI e IH são coplanares. (BC + CI + IB) e MF são coplanares. GM e 2AH são coplanares. FA, FE e FM não são coplanares. FA é oposto a JL. ML, GM, IJ, AB, FE, CD são coplanares. F = E + LM H = I + LM Com base na figura abaixo, escreva o vetor em função de , , , e : Verdadeiro ou falso? Para as falsas dê um contraexemplo. a) Se então . e) Se então . b) Se então . f) Se então . c) Se então . g) Se então são paralelos. d) ABCD é paralelogramo. h) i) e são paralelos e de mesmo sentido. Dados os vetores e , determine o vetor tal que (G1 - cftce 2007) Os deslocamentos A e B da figura formam um ângulo de 60° e possuem módulos iguais a 8,0 m. Calcule os módulos dos deslocamentos A + B, A - B e B - A e desenhe-os nessa sequência. Considere no plano os pontos: A(1,1), B(1,3) e C(3,-2) e o vetor . Represente, no mesmo sistema de coordenadas, o vetor posição (localizado na origem) e um representante do vetor , com origem no ponto A1 (-3,1), indicando o ponto B1 tal que . Determine o ponto D (algebricamente), sabendo que A, B, C e D são vértices consecutivos de um paralelogramo. Represente o paralelogramo no plano cartesiano. No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): Represente o triângulo no plano cartesiano. a) determinar a natureza do triângulo; b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC. Força é uma grandeza vetorial, e a força resultante é a soma das forças. Sabendo disso, determine o módulo e a representação da força resultante do sistema abaixo em cada caso (Geometricamente e algebricamente): O elo da figura está submetido as forças F1 e F2. Dados: considere . Dados: considere *Elo (Designação de cada uma argola que faz conexão entre a peça e os cabos ou com outras argolas) Considere os vetores ; e . Determine: a) b) As coordenadas do ponto B, onde A = (1, 0, -2) e = c) As coordenadas do ponto M, onde M é o ponto médio do segmento AB do item b. d) O versor de , onde é paralelo a . Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são e Calcule as coordenadas dos outros três vértices. Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: se eles formam alguma figura. Em caso afirmativo, qual? o ângulo entre as retas paralelas aos vetores . Considere os vetores ; ; e . Determine: 1 Sabendo que | | = 3, | | = 2 e , calcule: a) b) c) d) Calcular: a) , b) , sabendo que e e o ângulo entre e é de 60º Determinar o vetor tal que , o ângulo entre e = (1, -1, 0) é 45º e é ortogonal a = (1,1,0). Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores = (1, -2, 1) e = (-2, 1, m + 1). Determine o que se pede: os ângulos diretores de v=(1,-1,0); os ângulos diretores de um vetor são α, 45° e 60°. Determine α; calcule o vetor u sendo é obtuso e |u|=5. Calcular o valor de m para que o vetor + seja ortogonal ao vetor – , sendo = (2, 1, m), = (m+2, -5, 2) e = (2m, 8, m). Dados os vetores , determine: ; b) um vetor unitário ortogonal a e a ; c) área do triângulo ABC, sendo = e= De um triângulo ABC sabemos que | | = 2 , | | = 3 e . = . Determine a área desse triângulo. Dados A = (1,0,1), B = (-2,0,-3) e C = (1,5,1) a) mostre que . b) verifique se o triângulo ABC é isósceles. Determinar o vetor , sabendo que ele é ortogonal ao vetor =(2,3,1) e ao vetor =(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; . Dados os vetores = (0,1,1), = (2,0,0) e = (0,2,3). Determine um vetor , tal que e . Os pontos A = (2,3,0), B = (2,5,0) e C = (0,6,2) são vértices consecutivos de um paralelogramo. Determine o quarto vértice, a área desse paralelogramo e o sen (,). Dados os vetores = (1,1,1) e = (2,3,4), calcular: a) a área do paralelogramo determinado por e ; b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor . Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as coordenadas do vetor , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. De um triângulo ABC, sabemos que A(1,0,2) , B(3,1,1) e o = . Determine a altura do triângulo ABC em relação à base AC. Sabendo que A = (0,0,0), B = (2,1,-2) e C = (0,0,5) são vértices de um triângulo, determine um vetor que tem a direção da bissetriz do ângulo interno BÂC. Do cubo a abaixo, sabemos que: A (2,1,0), B(2,4,0) e = (0,0,3). Determine as coordenadas: Do vetor ; Do ponto E; Do vetor projeção sobre . Na figura ao lado, achar as coordenadas dos pontos A, B, C e P. Do cubo ao lado, sabemos que A(2,1,0), B(2,4,0) e Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao segmento AB tais que e . Construir o gráfico, marcando os pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que . Questões Fechadas Dados os vetores "a", "b", "c", "d" e "e" a seguir representados, obtenha o módulo do vetor soma: R = a + b + c + d + e a) zero b) c) 1 d) 2 e) (UFC-CE) Analisando a disposição dos vetores BA, EA, CB, CD e DE, conforme figura a seguir, assinale a alternativa que contém a relação vetorial correta. (Mackenzie 98) Com seis vetores de módulo iguais a 8u, construiu-se o hexágono regular a seguir. O módulo do vetor resultante desses 6 vetores é: 40 u b) 32 u c) 24 u d) 16 u e) zero (Unifesp 2002) Na figura, são dados os vetores . Sendo u a unidade de medida do módulo desses vetores, pode-se afirmar que o vetor = tem módulo: a) 2uc, e sua orientação é vertical, para cima. b) 2uc, e sua orientação é vertical, para baixo. c) 4uc, e sua orientação é horizontal, para a direita. d) uc , e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido horário. e) uc, e sua orientação forma 45° com a horizontal, no sentido anti-horário. (PUC-SP) Uma senhora sai de casa para fazer uma caminhada num circuito retangular cujos lados possuem 300 m e 400 m. Ela inicia a caminhada por uma das entradas do circuito que corresponde ao vértice do circuito. Após completar 10,5 voltas, podemos dizer que a distância percorrida e o módulo do deslocamento vetorial foram, respectivamente, de: a) 14700 m e 700 m b) 7350 m e 700 m c) 700 m e 14700 m d) 700 m e 7350 m e) 14700 m e 500 m Uma das aplicações importantes do produto vetorial à Física é no cálculo do torque, que é uma grandeza definida pelo produto vetorial, representado , e está relacionado com a possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar seu movimento de rotação. A equação para o cálculo do torque é , onde é a distância do ponto de aplicação da força ao eixo de rotação, ao qual o corpo está vinculado. Sendo assim, se uma força vetorial dada por newtons é aplicada emuma barra, onde , ao longo de uma barra (linha reta), então a intensidade (módulo) do torque sobre a barra no deslocamento , é: (-6) mN 6 mN (6) mN 2 mN -(6) mN Uma partícula está sujeita a duas forças, conforme a figura. Considere sen530=0,8 e cos530=0,6 e |F1|=|F2|=10N. Grandezas vetoriais são grandezas que precisam de módulo, direção e sentido para serem definidas, por exemplo força, velocidade e aceleração. Considere as afirmações e de acordo com a teoria de vetores analise as afirmativas dadas para os vetores : Se u=v, então |u| =|v| Os vetores 2u e -4u são paralelos de mesmo sentido. u x v =0 então u é ortogonal a v Se então Se u = (1,2), v = (-2, 5) e w = (x, y) são vetores de R2, então para que w = 3u – v, x + y deve ser igual a: 2 6 0 12 18 Considere os vetores u e v unitários, tais que o produto escalar u.v = -1, a soma u + v será o vetor: Unitário De módulo 2 Nulo - u Igual à diferença u - v Respostas: a b c d e f g h i j F V F V V V V V F V 1) 2) a b c d e f g h i V F F F F V V V F 3 ) 4) ; 5) |A+B| = ; |A - B| = |B - A| = 8 m Observe a figura a seguir: 6) a) A1(-3, 1); b) D(3, -4); B1(-3, 3) 7) a) Isósceles; b) |AM| = 8) a) b) 9) a) (-6, 8, -2); b) (2,-3,-4); c) (3/2, -3/2, 1); d) 10) C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3); 11) -1 e 13/5 12) a) Paralelogramo b) ; 13) a) u . v = -10 e u . w = 0 b) | u | = 5uc e u o = (-4/5, 0, 3/5); c) (u , v) = arccos () e (u , w) = 900 d) ( -2, 0, 4); e) (-4/5, 0, 3/5); f) (-36/5, 0, 27/5); g) (4, -1, 2) ou (-4,1,-2) h) (-4/5, 0, 3/5) i) j) 5/2 ua. 14) a) 11 b) -29 c) -18 d) 13; 15) a) b) 16) 17) m = 0 ou m = -18 18) 19) -6 ou 3 20) a) (1, -1, -3); b) ; c) ; 21) 22) b) sim 23) 24) 25) D = (0, 4, 2) 26) a b) 27) (2,2,1); 28) 29) 30) a) (2, 4, 3); b) (5, 1, 0); c) (0, -6, -6) 31) a) (2, 4, 0); b) (2, 0, 3); c) (0, 4, 3); p) (2, 4, 3); o) (0, 0, 0) 32) a) (0, 3, 3); b) (5, 1, 0); c) (3, 2, 0) 33) y ± 2 34) ; Questões Fechadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 e d b b e c b c b c ...Ainda que eu falasse A língua dos homens E falasse a língua dos anjos Sem amor eu nada seria... (I cor – 13,1)
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