Lista 4 - Geometria Analítica

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Universidade Federal Fluminense 2010.2 pasta 5
GGM00160-Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I Turma A1
Professora: Dirce Uesu Pesco dirce.u¤09@gmail.com
4a Lista de Exercícios
1. Determine a projeção ortogonal de �!u sobre �!v :
(a) �!u = (2; 4) e �!v = (�3; 5) (b) �!u = (�6;�2) e �!v = (4; 0) (c) �!u = (�1;�2) e �!v = (�2; 3)
2. Para cada item do exercício (1) encontre a norma do vetor projeção ortogonal de �!u
sobre �!v :
3. Para cada item do exercício (1), determine a projeção ortogonal de �!v sobre �!u .
4. Dado um triângulo cujos vértices são A(1; 1); B(4; 0) e C(3; 4), determine:
(a) o ângulo formado por A;B e C;
(b) as projeções ortogonais de AC e BC sobre AB.
5. Se a projeção ortogonal de �!v sobre �!u é (2; 1), �!u = (4; 2) e k�!v k = 6, determine �!v :
6. Determine a altura (relativa ao lado AD)do paralelogramo cujos vértices são: A(1; 0); B(2; 2); C(5; 3)
e D(4; 1).
7. Mostre que se �!u e �!v são vetores tais quek�!u k = k�!v k, então �!u +�!v e �!u ��!v são vetores
ortogonais
8. Sejam �!u e �!v dois vetores não paralelos. Mostre que os vetores : �!a =
�!u
k�!u k e
�!
b =
�!v � (�!v � �!a )�!a são ortogonais:
9. Mostre que A(2; 7); B(2;�6) e C(5;�6) são vértices de um triângulo retângulo . Em qual
vértice está o ângulo reto?
10. Dê dois exemplos de vetores �!u e �!v tal que a projeção ortogonal de �!u sobre �!v e de �!v
sobre �!u tenham normas iguais.
11. Dados �!p = (2; t) e �!q = (3; 5). Encontre t tal que:
(a) �!p e �!q são paralelos;
(b) �!p e �!q são ortogonais;
(c) o ângulo entre �!p e �!q é �3 ;
(d)o ângulo entre �!p e �!q é �4
12. Sejam �!u e �!v vetores unitários e ortogonais, �!w = a1�!u + b1�!v e �!z = a2�!u + b2�!v :Calcule:
(a) k�!w k e k�!z k ;
(b) �!w � �!z ;
(c) o ângulo entre �!w e �!z :
13. Se �!u +�!v +�!w = �!0 , k�!u k = 5; k�!v k = 6 e k�!w k = 7, calcule:
(a) �!u � �!v (b) �!u � �!w (c) �!v � �!w
14. Mostre que se �!v é ortogonal a �!w1 e �!w2 , então �!v é ortogonal a k1�!w1 +k2�!w2, para quaisquer
escalares k1 e k2:
Bibliogra…a usada:
- Geometria Analítica: Reis/Silva; Ed. LTC, 2a edição, 1996
1
- Geometria Analítica: Lehmann, Charles; Ed. Globo, 1942.
- Geometria Analítica: Murdoch, David; Ed. LTC, 1969
- Cálculo Diferencial a Várias Variáveis:Uma Introdução à Teoria de Otimização; H. J. Bor-
tolossi, Ed. PUC-Rio,2002.
- Álgebra Linear com Aplicações; H. Anton e C. Rorres; Ed.Bookman, 8a edição, 2001.
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