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A RETA EQUAÇÃO VETORIAL e EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 1º) No plano ( IR2 ) Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto e tem a direção do vetor não nulo . Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la como veremos a seguir. Seja um ponto qualquer de “r”. ( é ponto variável sobre “r”). Por construção qualquer vetor é paralelo ao vetor . Assim, para cada ponto o vetor é proporcional ao vetor , onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real chamada parâmetro. Assim, ou ou ou Equação Vetorial da Reta “r” Daí, Equações Paramétricas da Reta “r” Por exemplo: A reta “r” que passa pelo ponto e tem a direção do vetor tem equação vetorial Atribuindo valores reais para o parâmetro obtemos pontos de da reta “r”: 2º) No espaço ( IR3 ) O desenvolvimento é análogo mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e os vetores uma 3ª componente. Consideremos a reta “r”determinada por: o ponto o vetor não nulo Sendo um ponto qualquer (variável) de “r” temos: ou ou Equação Vetorial da Reta “r” Daí, Equações Paramétricas da Reta “r” ( Reta Definida por Dois Pontos ( A reta definida por dois pontos A e B, tem a direção do vetor . Exemplo: A reta r, determinada pelos pontos A(1, -2, -3) e B(3, 1 , -4), tem a direção do vetor = = (2, 3, -1) E as equações paramétricas com direção do vetor e passa pelo ponto A Analogamente com direção do vetor e passa pelo ponto B EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA Das equações paramétricas, supondo abc ( 0, vem: Logo Exemplo As equações simétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 0, -5) e tem a direção do vetor = (2, 2, -1) são: EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA Às equações simétricas da reta Pode-se dar outra forma, isolando as variáveis y e z e expressando em função de x Assim Fazendo: Fazendo: Vem: Vem: Estas equações são as equações reduzidas da reta RETAS PARALELAS AOS PALNOS E AOS EIXOS COORDENADOS Se uma das componentes de é nula Paralela ao plano e aos eixos Se duas componentes de são nulas Paralela ao eixo do vetor ÂNGULO DE DUAS RETAS Chama-se ângulo de duas retas (() r1 e r2o menor ângulo diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 . Observamos que ( ( [0 , 90º] CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DUAS RETAS A condição de paralelismos das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores diretores de r1 e r2. ou CONDIÇÃO DE ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS A condição de ortogonalidade das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores e que definem as direções dessas retas, isto é: . = 0 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS As retas r1 e r2 são coplanares se os vetores , e forem coplanares, isto é, ( , , ) = 0 ou seja ( , , ) = POSIÇÃO RELATIVAS DE DUAS RETAS Se duas retas estão contidas no mesmo plano dizemos que são coplanares. Caso contrário são denominadas reversas. As retas coplanares podem ser paralelas (distintas ou coincidentes) ou concorrentes. Resumindo, duas retas r1 e r2 podem ser: * Concorrentes : r1 r2 = {P} Paralelas: Distintas : r1 r2 Coincidentes : r1 r2 Reversas: Isto é, não situadas no mesmo plano, nesse caso r1 r2 O PLANO Equação geral do plano Seja A(x1,y1,z1) um ponto pertencente a um plano ( e um vetor normal (ortogonal) ao plano. O plano ( pode ser definido como sendo o conjunto de todos os pontos P(x,y,z) do espaço tais que o vetor é ortogonal a . O ponto P pertence a ( se, e somente se : Tendo em vista que: ou, ainda: Fazendo: �� EMBED Equation.3 . Esta é a equação geral ou cartesiana do plano (. Observações: a) Da forma com que definimos o plano (, vimos que ele fica perfeitamente identificado por um de seus pontos A e por um vetor normal não simultaneamente nulos. Qualquer vetor é também vetor normal ao plano. b) Sendo um vetor ortogonal ao plano (, ele será ortogonal a qualquer vetor representado no plano. Em particular, se são vetores não colineares, e paralelos ao plano, em virtude de ser ortogonal, ao mesmo tempo, a , tem-se: . c) É importante observar que os três coeficientes a, b e c da equação geral representam as componentes de um vetor normal ao plano. Por exemplo, se um plano ( é dado por: um de seus vetores normais é: Este mesmo vetor é também normal a qualquer plano paralelo a (. Assim, todos os infinitos planos paralelos a ( têm equação geral do tipo: na qual d é o elemento que diferencia um plano de outro. O valor de d está identificado quando se conhece um ponto do plano. Determinação de um plano Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos (ponto e vetor normal) ficam bem evidentes. Algumas destas formas serão a seguir apresentadas. Assim, existe apenas um plano que: passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores não colineares. Neste caso: . Passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor não colinear ao vetor . Neste caso: passa por três pontos A, B e C não em linha reta. Neste caso: contém duas retas r1 e r2 concorrentes. Neste caso: , sendo vetores diretores de r1 e r2 ; contém duas retas r1 e r2 paralelas. Neste caso: sendo um vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ( r1 e A2 ( r2. contém uma reta r e um ponto Neste caso: um vetor diretor de r e A( r. Observação: Nos seis casos apresentados de determinação de planos, um vetor normal sempre é dado pelo produto vetorial de dois vetores representados no plano. Estes dois vetores são chamados vetores-base do plano. Exemplos: 1º.) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores 2º.) Estabelecer a equação geral do plano determinado pelos pontos . 3º.) Estabelecer a equação cartesiana do plano que contém a reta . Planos Paralelos aos Eixos e aos Planos Coordenados Casos Particulares A equação na qual a, b e c não são nulos, é a equação de um plano . Quando uma ou duas das componentes de são nulas, ou quando d = 0, está-se em presença de casos particulares. i) Plano que passa pela origem Se o plano passapela origem: Assim a equação: representa a equação de um plano que passa pela origem. ii) Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Se apenas uma das componentes do vetor é nula, o vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, e, portanto, o plano é paralelo ao mesmo eixo: se e a equação geral dos planos paralelos ao eixo 0x é: A figura mostra o plano de equação: Com raciocínio análogo, vamos concluir que: os planos paralelos ao eixo 0y têm equação da forma: os planos paralelos ao eixo Oz têm equação da forma: Observações: a) A equação , como vimos, representa no espaço um plano paralelo ao eixo 0z. Porém, esta mesma equação, interpretada no plano , representa uma reta. b) Se na equação : representa um plano que passa pela origem e, portanto, contém o eixo 0z. iii) Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal são nulas, é colinear a um dos vetores ,e, portanto, o plano é paralelo ao plano dos outros dois vetores: se e a equação geral dos planos paralelos ao plano x0y é: Os planos cujas equações são da forma z = k são paralelos ao plano x0y. A figura abaixo mostra o plano de equação z = 4. A equação z = 4 pode também ser apresentada sob a forma na qual vemos que qualquer ponto do tipo A (x,y,4) satisfaz esta equação e é um vetor normal ao plano. Com raciocínio análogo, vamos concluir que: os planos paralelos ao plano x0z têm por equação: y = k; os planos paralelos ao plano y0z têm por equação: x = k. As figuras abaixo mostram os planos respectivamente EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Seja A (x0 , y0, z0) um ponto doe um plano e dois vetores não colineares. Um ponto P (x, y, z) pertence ao plano que passa por A e é paralelo aos vetores se ,e somente se, existem números reais h e t tais que : Escrevendo a equação em coordenadas, obtemos: (x-x0 , y – y0 , z – z0 ) = h(a1 , b1 , c1 ) + t (a2 , b2 ,c2) Donde: Estas são as equações paramétricas do plano. Ângulo entre dois planos Sejam os planos Então, e são vetores normais a e , respectivamente (figura abaixo) Chama-se ângulo de dois planos e o menor ângulo que um vetor normal de forma com um vetor normal de . Sendo ( este ângulo, tem-se: ou Posições de Paralelismo e Perpendicularismo de dois planos Sejam os planos Então, e As condições de paralelismo e de perpendicularismo de dois planos são as mesmas de seus respectivos vetores normais, isto é: I) Se Obs.: Se além das igualdades anteriores se tiver também os planos e serão coincidentes porque, nesse caso, a equação de é obtida de mediante a multiplicação por um número, o que não altera a equação de . II) Se Posições de Paralelismo e Perpendicularismo entre reta e plano Para a reta r e o plano ( anteriores, temos: Se O paralelismo de r e ( implica a ortogonalidade dos vetores Se O perpendicularismo de r e ( implica o paralelismo dos vetores . Exemplo: Verificar se a reta é perpendicular ao plano . Condições para que uma reta esteja contida num plano Uma reta r esta contida num plano ( se: O vetor diretor de r é ortogonal ao vetor , normal ao plano (; Um ponto A pertencente a r pertence também ao plano. Obs.: Uma reta r está também contida num plano ( se dois pontos A e B pertencentes a r pertencem a esse plano. Exemplo : Verificar se a reta está contida no plano . Solução: (a) O ponto A (2, 1, -3) pertence à reta r, verificaremos se : Logo A (2, 1, -3) também pertence ao plano (. Mas só essa condição não é suficiente para garantir que . Verificar se o é ortogonal a (vetor normal ao plano (). . Logo, é ortogonal a ; Conclusão: Como e , e é ortogonal a , então podemos afirmar que a reta r pertence ao plano (. Intersecção de dois Planos A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta. O nosso problema será determinar a equação que define esta reta. Sejam e planos não paralelos. Para determinar a reta intersecção de e resolveremos o sistema composto por suas equações. Exemplo: Determinar a equação da reta intersecção dos planos e . Solução: Montamos o seguinte sistema: O sistema acima é indeterminado. Isso é bastante claro quando entendemos que a intersecção de dois planos é uma reta e esta tem infinitos pontos. Para obtermos a equação da reta que representa os infinitos pontos de intersecção entre os dois planos procuramos escrever duas das variáveis em função de uma 3ª variável, que chamamos de variável livre. Como fazer então: Agora substituímos na primeira ou na segunda equação do primeiro sistema. Substituindo na equação , teremos: Agora isolando z, teremos: As equações reduzidas da reta r intersecção dos planos e serão: Interseção de reta e plano A intersecção entre uma reta r e um plano ( é um ponto, que chamaremos de I. Para determinar as coordenadas do ponto I resolvemos o sistema composto pelas equações REDUZIDAS da reta r e pela equação do plano (. Exemplo: Determinar o ponto de intersecção da reta com o plano . 1º passo: obter as equações reduzidas da reta r. Neste exemplo faremos y e z em função de x. e Logo as equações reduzidas de r são: Se I (x, y, z) é ponto de intersecção de r e (, então suas coordenadas devem verificar as equações do sistema formado pelas equações de r e de (: Resolve-se este sistema substituindo e na equação . Para e Logo I (-2, -1, -10) Interseção de Plano com os eixos e Planos Coordenados Seja o plano Como os pontos dos eixos são da forma (x, 0, 0), (0, y, 0) e (0, 0, z), basta fazer na equação do plano duas variáveis iguais a zero para se encontrar a terceira, e assim obter as interseções com os eixos. Assim: Se y = z = 0, e é a interseção do plano com o eixo dos x. Se x = z = 0, e é a interseção do plano com o eixo dos y. Se x = y = 0, e é a interseção do plano com o eixo dos z. Como as equações dos planos coordenados são x = 0, y= 0 e z = 0, basta fazer, na equação do plano, uma variável igual a zero para se encontrar uma equação nas outras duas variáveis e, assim, obter as interseções com os planos coordenados. Então: Se , a reta é a interseção de ( com o plano yOz. Se , a reta é a interseção de ( com o plano xOz. Se , a reta é a interseção de ( com o plano xOy. r 0 X Y � EMBED Equation.3 ��� A P P P P A 0 X Y r � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� r A 0Y X Z � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� A2 A1 v2 r2 r1 v1 A B � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� � EMBED MSPhotoEd.3 ��� z y x � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� _1105830282.unknown _1117376927.unknown _1117458131.unknown _1283323884.unknown _1283325541.unknown _1283752995.unknown _1283757870.unknown _1283763525.unknown _1283763720.unknown _1283758116.unknown _1283758813.unknown _1283757914.unknown _1283754912.unknown _1283756613.unknown _1283757750.unknown _1283756565.unknown _1283753361.unknown _1283339926.unknown _1283340935.unknown _1283327281.unknown _1283327877.unknown _1283325691.unknown _1283325697.unknown _1283327245.unknown _1283325570.unknown _1283324072.unknown _1283325361.unknown _1283325402.unknown _1283324919.unknown _1283324012.unknown _1283324040.unknown _1283323951.unknown _1117459107.unknown _1171378885.unknown _1283323658.unknown _1283323765.unknown _1283323862.unknown _1283323713.unknown _1283323112.unknown _1283323651.unknown _1283322818.unknown _1283322827.unknown _1283322335.unknown _1283322808.unknown _1283322215.unknown _1171372166.unknown _1171373028.unknown _1171378301.unknown _1171372225.unknown _1171372751.unknown _1171372202.unknown _1171372075.unknown _1171372109.unknown _1139743831.unknown _1171371944.unknown _1117459161.unknown _1117458849.unknown _1117459049.unknown _1117459091.unknown _1117458911.unknown _1117458186.unknown _1117458542.unknown _1117458575.unknown _1117458594.unknown _1117458198.unknown _1117458157.unknown _1117453048.unknown _1117458044.unknown _1117458070.unknown _1117458092.unknown _1117458126.unknown _1117453183.unknown _1117453841.unknown _1117457911.unknown _1117453165.unknown _1117377704.unknown _1117451859.unknown _1117451975.unknown _1117451803.unknown _1117377230.unknown _1117377239.unknown _1117376954.unknown _1117365461.unknown _1117366354.unknown _1117366994.unknown _1117367611.unknown _1117367740.unknown _1117375854.unknown _1117375929.unknown _1117375939.unknown _1117375891.unknown _1117375770.unknown _1117367798.unknown _1117367693.unknown _1117367704.unknown _1117367727.unknown _1117367680.unknown _1117367334.unknown _1117367576.unknown _1117367590.unknown _1117367565.unknown _1117367150.unknown _1117367204.unknown _1117367087.unknown _1117366677.unknown _1117366701.unknown _1117366953.unknown _1117366685.unknown _1117366472.unknown _1117366587.unknown _1117366418.unknown _1117365584.unknown _1117366014.unknown _1117366169.unknown _1117365631.unknown _1117365502.unknown _1117365559.unknown _1117365470.unknown _1117365501.unknown _1117364799.unknown _1117364982.unknown _1117365182.unknown _1117365248.unknown _1117365057.unknown _1117365169.unknown _1117364923.unknown _1117364946.unknown _1105862242.unknown _1117364681.unknown _1117364696.unknown _1117364780.unknown _1105866835.unknown _1117364239.unknown _1105866234.unknown _1105866737.unknown _1105862376.unknown _1105865259.unknown _1105861345.unknown _1105862177.unknown _1105862198.unknown _1105861659.unknown _1105830439.unknown _1105861295.unknown _1105830358.unknown _1003143884.unknown _1003149369.unknown _1105822998.unknown _1105827331.unknown _1105830198.unknown _1105829988.unknown _1105827249.unknown _1105826804.unknown _1003155790.unknown _1003156280.unknown _1003239326.bin _1105822753.unknown _1105822929.unknown _1105822474.unknown _1003319247.bin _1003157036.unknown _1003157772.unknown _1003156538.unknown _1003156507.bin _1003156106.unknown _1003156161.unknown _1003155887.unknown _1003151987.unknown _1003155754.unknown _1003151984.unknown _1003151986.unknown _1003149473.unknown _1003146524.unknown _1003147771.unknown _1003148351.unknown _1003148587.unknown _1003147968.unknown _1003147578.unknown _1003147704.unknown _1003147460.unknown _1003145198.unknown _1003145394.unknown _1003146336.unknown _1003145233.unknown _1003144505.unknown _1003144853.unknown _1003144751.bin _1003144471.unknown _1003144195.bin _1001419403.unknown _1001420371.unknown _1003142885.unknown _1003143360.unknown _1003143668.bin _1003143749.unknown _1003143482.bin _1003143117.unknown _1003143296.bin _1001421470.unknown _1003141998.bin _1003142093.unknown _1001421848.unknown _1001421288.unknown _1001419615.unknown _1001419962.unknown _1001419739.unknown _1001419462.unknown _1001417631.unknown _1001417871.unknown _1001417878.unknown _1001417950.unknown _1001417752.unknown _1001416896.unknown _1001417075.unknown _1001416853.unknown
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