P1.2010.1

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MAT1154 Prova 1 05/04/2010
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Matrícula: Turma: 33
Cabeçalho mal-preenchido implica perda de meio ponto! Consulta, calculadora e celular são
proibidos. Justifique as questões de forma clara. Escreva a resolução de cada questão na folha
correspondente; você pode usar o verso. Proibido destacar as folhas da prova. Escreva as
respostas finais a caneta.
Questão 1 2 3 4 5 Total
Valor: 2 11/2 3 2 11/2 10
Nota:
1. [2 pt] Considere o problema de valor inicial (PVI):
{
y′(t) = 2ty2
y(0) = a
(a) Supondo a = 1, encontre a solução do PVI y = y(t) como função explícita de t. Diga
também em qual intervalo a solução está definida.
(b) Supondo a = 0, encontre a solução do PVI y = y(t) como função explícita de t. Diga
também em qual intervalo a solução está definida.
(c) Supondo a = −1, encontre a solução do PVI y = y(t) como função explícita de t. Diga
também em qual intervalo a solução está definida.
MAT1154 Prova 1 Folha 2 de 5
2. [11/2 pt] Encontre o valor de b para o qual a equação abaixo é exata, e resolva a equação
para este valor de b.
(2x− 2y) + (bx + 2y)
dy
dx
= 0.
Desenhe os gráficos no plano cartesiano xy das soluções encontradas.
MAT1154 Prova 1 Folha 3 de 5
3. Um tanque contém 50 litros de água, inicialmente (isto é, em t = 0) pura. Por uma
mangueirinha entra continuamente no tanque, à taxa de 2 litros por hora, uma solução de
água doce com concentração de 5e−0,14t gramas de açúcar por litro de solução (sendo t o
tempo medido em horas). Por um buraco vaza solução à taxa de 2 litros por hora. Seja y(t)
a quantidade de açúcar em gramas no tanque após t horas.
(a) [1 pt] Mostre que a função y(t) satisfaz uma equação diferencial da forma
dy
dt
= aebt + cy,
e diga quanto valem a, b e c.
(b) [2 pt] Resolva o PVI e encontre uma fórmula para y(t).
MAT1154 Prova 1 Folha 4 de 5
4. [2 pt] Considere uma espécie cuja população y(t) no instante t satisfaz a equação diferencial
seguinte:
dy
dt
= −18y + 9y2 − y3
Responda:
(a) Se a população inicial é y(0) = 2, a população tenderá a longo prazo a um valor de
equilíbrio? Em caso positivo, qual?
(b) Se a população inicial é y(0) = 4, a população tenderá a longo prazo a um valor de
equilíbrio? Em caso positivo, qual?
(c) Se a população inicial é y(0) = 8, a população tenderá a longo prazo a um valor de
equilíbrio? Em caso positivo, qual?
MAT1154 Prova 1 Folha 5 de 5
5. [11/2 pt] A fim de comprar um apartamento, o Sr. Urbano contraiu hoje uma dívida de
R$ 100 000 com o Banco Sharks. Ao final de cada mês, o Banco Sharks cobrará 2% de juros
sobre a dívida, e o Sr. Urbano realizará um pagamento de a reais.
(Por exemplo, se o Sr. Urbano decidir pagar apenas a = 500 reais por mês, então após 1 mês
a sua dívida será de R$ 101 500, após 2 meses a dívida será de R$ 103 030, etc. (Neste
caso, a dívida não será quitada nunca, e de fato o Banco Sharks tomará o apartamento do
Sr. Urbano.))
O Sr. Urbano quer quitar a dívida em 120 meses. Qual deve ser o valor a do pagamento
mensal?