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INTEGRAL DE LINHA -1/ Função Escalar Sabemos que integrais definidas (ou integrais duplas) de funções escalares cujas imagens são não negativas em todos os pontos do domínio D, são números também não negativos e que representam a área da região do plano acima de D e abaixo da curva gráfico da função de uma variável (ou o volume do sólido no espaço acima de D e abaixo da superfície gráfico da função de duas variáveis). Existem situações não contempladas nos casos acima descritos. Por exemplo, se quisermos calcular a área de um muro construído sobre uma curva e cuja altura é variável não é possível fazê-lo através de integral definida conhecida nem de integral dupla. Porém, o cálculo dessa área segue o mesmo princípio, dando origem a um novo tipo de integrais, as integrais de linha ou integrais curvilíneas. Problema: Consideremos uma curva C unindo dois pontos no plano XOY e uma função z = f(x, y) contínua em D onde D é uma região do plano contendo a curva C. Um muro é construído ao longo de C e tem altura igual a f(x, y) (supondo que f seja não negativa em D) em cada ponto (x,y) de C. Qual é a área deste muro? Para resolver o problema, tomamos um partição da curva C obtendo n arcos. Traçando retas verticais por esses pontos (inclusive os extremos) dividimos o muro em n “tiras”. Denotando por Ai a área da i-ésima tira, a área do muro é dada por A = A1 + A2 + ... + An = �� EMBED Equation.3 Ai Vejamos uma aproximação para a área da i -ésima tira, Ai. Para isso, tomemos no i-ésimo arco, Pi-1 Pi, um ponto Qi(x*i, y*i) e consideremos a altura f(x*i, y*i) do muro neste ponto. O comprimento do arco Pi-1 Pi denotaremos por si. Como f é uma função contínua e a i-ésima tira é estreita podemos aproximar o valor de f para f(x*i, y*i) em todo (x, y) do arco Pi-1 Pi. Assim, a área da i-ésima tira é aproximada por Ai f(x*i, y*i) si enquanto a área do muro tem aproximação A f(x*i, y*i) si Como podemos intuir, se aumentarmos indefinidamente o número de arcos na partição, em cada arco o comprimento tende a zero e a função f tende a assumir o valor constante f(x*i, y*i) . Desta forma a área do muro é A = �� EMBED Equation.3 f(x*i, y*i) si que sabemos tratar-se de uma integral e que é chamada integral de linha ou integral curvilínea da função f ao longo da curva C e denotaremos . Assim, A = Obs: Podemos calcular a integral de linha de uma função ao longo de uma curva, mesmo que ela assuma também valores negativos em pontos desta curva. Como nas integrais definidas o resultado será a diferença entre a área onde a f é não negativa e a área onde a f é negativa. Desta forma, não há restrição para o resultado da integral de linha, podendo ser positivo, negativo ou nulo. Assim, se C é uma curva suave e limitada no plano XOY e f é uma função (escalar) contínua em uma região D do plano e que contém C. A integral de linha ou integral curvilínea de f ao longo da curva C é denotada e dada por Analogamente, o acima exposto estendemos para a curva C no espaço-3D e a função f de três variáveis. Ou seja, Naturalmente o cálculo da expressão que acima envolvendo limite, não é viável na maioria dos casos. Vejamos um modo simplificado para esses cálculos. Consideremos uma parametrização para a curva suave e limitada C dada pela função vetorial r (t) = (x(t), y(t) ) com t [a, b], de onde, = f(x(t), y(t) ) ds. Como S é o comprimento da curva, s = logo ou Assim, = f(x(t), y(t) ) e analogamente = f(x(t), y(t), z(t) ) = f(r(t)) | r’(t) |dt Lembramos que ou As propriedades da integral de linha são as mesmas da Integral Definida. Exemplo 1 Calcule a integral de linha (xy + 3x) ds, sendo C o segmento que une o ponto A(-1, 0) ao ponto B(2,3). Solução: Primeiro temos de parametrizar a curva C para depois efetuar a integral Observe que quando parametrizamos uma função, poderemos atribuir a variável independente o papel do parâmetro. y – 0 = (x + 1) y = f(x) = x + 1 r(t) = (t, t + 1), t [-1, 2] r’(t) = (1, 1) | r’(t) | = = (xy + 3x) ds = [x(t) y(t) + 3x(t)] | r’(t) | dt = [t(t + 1) + 3t] dt = = (t2 + 4t) dt = �� EMBED Equation.3 = (8/3 + 8 + 1/3 - 2) = 9 Calcule: 1) onde C: x = cos(t); y=sen(t) t no intervalo [0, Pi/2] 2) onde C é a curva y = 2x com x no intervalo [-1; 1]. 3) ao longo de C dada por Obs: Se a curva C é limitada mas parcialmente suave, então a integral de linha de uma função pode ser calculada desde que C seja a união de uma seqüência finita de curvas suaves C1, C2, ..., Cn , unidas pelas extremidades. Para calcular a integral ao longo de C, calculamos a integral ao longo de cada uma das curvas que são suaves e somamos. Ou seja, = + + ... + Exemplo: Calcule 3xy ds, onde C é a curva dada pelo gráfico ao lado. Como vemos no gráfico, C é uma curva parcialmente suave, formada pela união de três curvas C1, C2 e C3,Essas curvas são, respectivamente, os segmentos de reta RS, ST e TR (orientados), onde R(0, 0), S(1, 0) e T(1, 2). Calculando a integral ao longo da curva temos 3xy ds = 3xy ds + 3xy ds + 3xy ds = 0 + 6 + 2 = 6 + 2 Calcule:4) , C é a fronteira da região limitada por Y = x2 e y = x. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA Curso de Engenharia - Cálculo IV P0 P1 P2 P3 Pn-1 Pn C f C f(x*i, y*i) Pi-1 Pi Qi � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� f(x*i, y*i) � EMBED Equation.3 ���si � EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� f(x*i, y*i, z*i) � EMBED Equation.3 ���si -1 0 2 X Y 3 A B C1 C2 C3 R S T C 0 1 X Y 2 _1142157337.unknown _1145276536.unknown _1145277036.unknown _1278836618.unknown _1278836626.unknown _1278836631.unknown _1278836621.unknown _1278836576.unknown _1145277418.unknown _1145276900.unknown _1145277007.unknown _1145276779.unknown _1142160218.unknown _1142330949.unknown _1142333452.unknown _1142334473.unknown _1142334958.unknown _1142333948.unknown _1142330983.unknown _1142160361.unknown _1142322172.unknown _1142160254.unknown _1142158151.unknown _1142160157.unknown _1142157423.unknown _1111389591.unknown _1111394579.unknown _1142110777.unknown _1142156305.unknown _1142156516.unknown _1142110842.unknown _1142110642.unknown _1111394890.unknown _1111395011.unknown _1111394695.unknown _1111393656.unknown _1111394563.unknown _1111393255.unknown _1111393488.unknown _1111389783.unknown _1111388808.unknown _1111388870.unknown _1111389502.unknown _1111384707.unknown _1111388133.unknown _1111384492.unknown
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