Cálculo 2 Capítulo 1

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Métodos Quantitativos – página � PAGE �15�
Capítulo 1
Funções de várias variáveis e suas derivadas
Funções de várias variáveis
	Funções que possuem várias variáveis independentes são muito comuns na vida prática. Por exemplo, a temperatura numa cidade depende do dia do ano, mas também depende da hora do dia considerado. Podemos escrever a temperatura em função das variáveis independentes da seguinte forma:
		
	Onde d é o dia do ano e h é a hora do dia.
Gráficos de funções de duas variáveis
	Enquanto o gráfico de uma função de uma variável independente é representado por uma curva no espaço bidimensional (espaço IR2), o gráfico de uma função de duas variáveis é dado por uma superfície no espaço tridimensional (espaço IR3).
	
	
	Gráfico da função 
	Gráfico da função 
	Veja o gráfico de algumas funções de duas variáveis:
	
	
	Gráfico da função 
	Gráfico da função 
	
	
	Gráfico da função 
	Gráfico da função 
Derivadas parciais
	Uma função que possui várias variáveis pode ser derivada em relação a cada uma das suas variáveis. Denominamos esse tipo de derivada de derivada parcial, ou seja, a derivada da função em relação a uma determinada variável, considerando as outras constantes. Para termos uma idéia do que é a derivada parcial, vamos inicialmente calcular a derivada de uma função de 1 variável através da definição de derivada.
	Considere a função de 1 variável:
		
, onde k é uma constante
	Vamos calcular a derivada dessa função através da definição:
		
	Primeiramente, vamos calcular 
:
		
	Agora vamos subtraí-la de 
, colocando (x em evidência:
		
	Dividindo ambos o membros por (x temos que:
		
	Ao aplicarmos o limite quando (x(0 aos dois membros:
		
	Portanto, a derivada da função 
 é igual a :
		
	Observe que o resultado é a constante multiplicada pela derivada da função 
.
	Agora vamos considerar a função de 2 variáveis:
		
	Definimos a derivada parcial da função em relação a x através do seguinte limite:
		
	O símbolo ( (que se pronuncia del ou round-d – d arredondado. Em português, é frequentemente chamado de derronde) indica que a derivação é parcial.
	Vamos inicialmente calcular 
 e subtraí-la de 
:
		
	Agora vamos subtraí-la de 
, colocando (x em evidência:
		
	Dividindo ambos o membros por (x:
		
	Ao aplicarmos o limite quando (x(0 aos dois membros:
		
	A derivada da função 
 é igual a :
		
	Observe a semelhança com o cálculo realizado para a função de uma variável. Nesse último caso, a variável y assume o papel da constante k no cálculo da derivada da função de uma variável.
	Seguindo raciocínio análogo, podemos calcular a derivada parcial da função em relação a y considerando x constante:
		
	
		Na derivação parcial da função em relação a x, consideramos y constante. Na derivação parcial da função em relação a y, consideramos x constante.
	As derivadas parciais que acabamos de calcular representam as taxas de crescimento ou de decrescimento da função 
 em cada uma das direções.
	Graficamente podemos visualizar melhor o significado das derivadas parciais. Considere a função dada pelo gráfico:
	As derivadas parciais calculam as taxas de crescimento/decrescimento da função nas direções x e y conforme mostram os gráficos a seguir:
			
	As derivadas parciais obedecem às mesmas regras válidas para funções de 1 variável como a regra do produto, a regra do quociente e a regra da cadeia.
Exemplo
	Calcular as derivadas parciais em relação a x e y da seguinte função:
		
Solução
	Vamos fazer a seguinte mudança de variáveis na função 
:
		
	Temos então que:
		
	A derivada parcial de z em relação a x é dada pela aplicação da regra da cadeia:
		
	Onde:
		
 e 
	Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia:
		
	Por outro lado, a derivada parcial de z em relação a y é dada por:
		
	Onde:
		
 e 
	Substituindo esses resultados na expressão da regra da cadeia:
		
Exemplo
	Calcular as derivadas parciais em relação a x e y da seguinte função:
		
Solução
	Observe que a função 
 é o produto das funções 
 e 
, ambas dependentes de x. Portanto, para calcularmos a derivada parcial de z em relação a x, devemos aplicar a regra do produto.
	Em termos de derivadas parciais, a derivada do produto pode ser expressa por:
		
	A derivada parcial de u em relaçao a x é dada por:
		
	Conforme a questão anterior, a derivada parcial de v em relaçao a x é dada por:
		
	Aplicando os resultados na regra do produto:
		
	No cálculo da derivada parcial de z em relação a y devemos fazer:
		
	A derivada parcial de u em relaçao a y é dada por:
		
	Conforme a questão anterior, a derivada parcial de v em relaçao a y é dada por:
		
	Aplicando os resultados na regra do produto:
		
	Observe que não é adequado aplicarmos a regra do produto na questão apresentada, pois ambas as funções u e v não dependem de y. Nesse caso devemos derivar normalmente sem aplicar a regra do produto, ou seja, se 
, a derivada parcial de z em relação a y é igual a:
		
Aplicações de derivadas parciais
	Os economistas necessitam quantificar o impacto do aumento de preço de um determinado bem de consumo na demanda da população por esse bem, para isso, utilizam um índice chamado elasticidade. A elasticidade é definida como a taxa de variação da demanda por um bem em relação ao seu preço. Matematicamente, a elasticidade ( é definida por:
		
	Onde D representa a função demanda pelo bem e P é o preço do bem. Embora essa definição seja interessante do ponto de vista didático, na prática se revela muito dependente das quantidades utilizadas. Em outras palavras, não podemos comparar a elasticidade no consumo de combustível com a elasticidade no consumo de arroz já que uma é dada em litros/moeda (litros/Reais no Brasil) e a outra em kg/moeda (kg/Reais no Brasil). Para resolver essa desvantagem, os economistas preferem falar de elasticidade em termos percentuais. Nesse novo ponto de vista, a elasticidade é definida como a relação entre a variação percentual na demanda e a variação percentual no preço. Matematicamente, podemos expressar o novo conceito de elasticidade através da expressão:
		
	Em termos de derivadas parciais temos que:
		
	Em geral a elasticidade assume valores negativos, o que significa que o aumento do preço do bem resulta numa queda da demanda pelo bem. Se ( ficar entre -1 e 0, o bem é dito inelástico. Se a elasticidade ficar entre -( e -1 o bem é dito elástico, o que significa que uma pequena variação percentual no seu preço implica uma grande variação percentual na quantidade demandada.
	Para finalizar, suponha uma função demanda pelo bem 1, aqui representada por D1, que depende do preço de um bem 1 (representado por P1), do preço de um bem 2 (representado por P2) e da renda R da população. Podemos escrever a relação funcional da seguinte forma:
		
	Podemos definir três tipos de elasticidade a partir da função demanda. Cada uma possui um significado especial para os economistas.
	( Elasticidade – preço definida por:
		
	Essa elasticidade mede a influência do preço do bem 1 na sua própria demanda.
	( Elasticidade – preço cruzada definida por:
		
	Essa elasticidade mede a influência do preço do bem 2 na demanda pelo bem 1. Por exemplo, imagine duas marcas de feijão concorrentes. Se o preço da marca 2 aumentar, qual seria o impacto na demanda pelo feijão da marca 1?
	( Elasticidade – renda definida por: 
		
	Essa elasticidade mede a influência da renda na demanda pelo bem 1. Suponha que o poder aquisitivo da população sofra um aumento, qual é o impacto na demanda pelo bem 1?
Derivadas de ordens superiores
	As derivadas parciais de ordem superior são decorrênciade derivações parciais sucessivas da função. Por exemplo, as derivadas parciais de segunda ordem são definidas por:
		
 e 
	As derivadas parciais de terceira ordem são dadas por:
		
 e 
	Generalizando, as derivadas parciais de ordem n podem ser calculadas pelas expressões:
		
 e 
Exemplo
	Calcular as derivadas parciais de segunda ordem da seguinte função:
		
Solução
	Primeiramente, devemos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
		
		
	A partir dessas derivadas podemos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
		
		
	Todas as derivações parciais mostradas são derivações sucessivas em relação a x ou em relação a y. Um outro tipo de derivada, chamada de derivação parcial mista, permite que se possa derivar a função parcialmente em relação a uma variável, depois em relação a outra variável e assim por diante. Existem duas derivadas parciais mistas de segunda ordem:
		
 e 
	As derivadas parciais mistas de terceira ordem são:
	
	
Exemplo
	Calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem da função dada no exemplo anterior:
		
Solução
	Partindo das derivadas parciais de primeira ordem, podemos calcular as derivadas parciais mistas de segunda ordem:
		
		
	Perceba que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais. Isso acontece quando as funções são contínuas e deriváveis até segunda ordem (nesse caso dizemos que a função é de classe C2). O matemático alemão Hermann Amandus Schwarz emprestou seu nome ao teorema que afirma que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais.
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)
	
		O matemático alemão dedicou-se ao cálculo de superfícies de mínima área, um problema característico do campo de estudo denominado cálculo de variações. Schwarz também demonstrou uma importante relação matemática chamada desigualdade triangular (ou desigualdade de Cauchy-Schwarz).
Para saber mais:
www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Schwarz.html
	Alguns autores preferem representar as derivações parciais através de índices na função. Por exemplo, as derivadas parciais de segunda ordem podem ser representadas por:
	
	
	Note que a primeira letra à esquerda no índice indica a derivada parcial mais interna, ou seja, a notação fxy significa que primeiro devemos derivar parcialmente a função em relação a x e o resultado devemos derivar parcialmente em relação a y.
Diferencial total
	Toda função 
 que possua derivadas parciais contínuas até a ordem n pode ser aproximada por uma soma (série) de termos de potências de x e y conforme a seguinte expressão:
		
		
		
	A diferencial total surge a partir da aproximação linear local da função 
, ou seja, devemos considerar apenas os três primeiros termos da série, desprezando os demais. A aproximação então se torna:
		
	Precisamos calcular os coeficientes dessa última expressão para desenvolvermos o conceito de diferencial total. Fazendo 
 e 
 na expressão completa da aproximação:
		
	Para calcularmos 
, devemos encontrar a primeira derivada parcial da série em relação a x, considerando em seguida que 
 e 
:
		
	Para calcularmos 
, devemos encontrar a primeira derivada parcial da série em relação a y, considerando em seguida que 
 e 
:
		
	Substituindo os coeficientes na expressão da aproximação linear local:
		
	Fazendo 
, 
 e 
 obtemos a expressão da diferencial total da função 
:
		
	A diferencial total permite o cálculo aproximado do desnível sofrido pela função 
de um ponto 
 a um ponto 
 conhecendo apenas as derivadas parciais em relação a x e a y no ponto 
 e os deslocamentos 
 e 
 conforme mostra a figura:
	Considerando uma função de n variáveis independentes:
		
	A expressão da diferencial total é dada por:
		
Aplicação da diferencial total a experimentos
	Todo experimento possui uma parcela de erro, chamada de incerteza, pois os instrumentos de medição não produzem medidas exatas. A expressão da diferencial pode ser utilizada para descobrir a incerteza total num experimento dado que existem n instrumentos de medida na experiência.
	Considere que não seja possível medir diretamente uma grandeza z, porém, essa grandeza depende de outras grandezas que podem ser medidas diretamente através de n instrumentos. Matematicamente, podemos expressar a relação de dependência como:
		
	Desejamos saber qual é o erro na grandeza z, sabendo que cada instrumento possui uma incerteza de medição 
 (
) informada pelo fabricante. A diferencial total da função mostra como encontrar o erro 
 a partir dos erros individuais de cada grandeza medida:
		
	As derivadas parciais 
 são chamadas de coeficientes de sensibilidade e medem a influência de cada grandeza medida (x1, x2, x3, ..., xn) na variável z. As variações 
 são as incertezas de cada instrumento de medição informadas pelo fabricante de cada equipamento presente na experiência.
	Como é possível que os coeficientes de sensibilidade sejam negativos, devemos tomar os seus módulos na diferencial total:
		
	Essa última expressão é chamada de equação do erro indeterminado.
Exemplo
	Calcular o volume V do cilindro e a sua incerteza de medição considerando que a sua altura é h=5cm, sabendo que o erro do instrumento de medida é 0,02cm (para mais ou para menos), e o seu diâmetro é D=2cm, sabendo que o erro de medida é 0,01cm (para mais ou para menos).
Solução
	O volume do cilindro é dado pela seguinte equação:
		
	Onde r é o raio da base do cilindro e é dado por:
		
	Substituindo na expressão do volume:
		
	As derivadas parciais de V em relação a D e a h são iguais a:
		
 e 
	A equação do erro indeterminado se torna:
		
	Substituindo os valores, temos que:
		
	A incerteza na medição do volume é igual a:
		
	Conforme os dados, o resultado final do volume é dado por:
		
	Representamos o volume e a sua incerteza da seguinte forma:
		
Desdobramentos da diferencial total – Regra da cadeia
	Diferentemente de uma função de uma variável, a função de várias variáveis possui diversas expressões para a regra da cadeia, dependendo da necessidade de cálculo:
	( Funções dadas por equações paramétricas
	( Função composta
Regra da cadeia – Funções dadas por equações paramétricas
	Seja 
 em que 
 e 
. Considere a expressão da diferencial total:
		
	Dividindo a expressão por 
:
		
	Fazendo o limite quando 
:
		
	A expressão para a regra da cadeia de funções dadas por equações paramétricas é dada por:
		
Exemplo
	Suponha que a parte utilizável de uma árvore na indústria madeireira é um cilindro circular reto. Se a altura utilizável da árvore cresce a uma taxa de 60cm por ano e o diâmetro cresce a 7cm por ano, com que velocidade cresce o volume de madeira útil quando a altura utilizável da árvore for 6m e o diâmetro for 70cm?
Solução
	Observe que o volume útil da árvore depende da altura e do diâmetro do cilindro. Sabemos também que esses dois parâmetros estão variando ao longo do tempo. Podemos exprimir essa relação entre o volume, a altura, o diâmetro e o tempo da seguinte forma:
		
 em que 
 e 
	Onde V é o volume útil da árvore, h é a altura utilizável da árvore, D é o diâmetro do cilindro e t é o tempo.
	Aplicando a regra da cadeia, temos que:
		
	Onde 
, 
, 
 são as taxas de crescimento do volume, da altura e do diâmetro ao longo do tempo.
	A expressão do volume do cilindro é dada por:
		
	As derivadas parciais do volume em relação à altura e ao diâmetro são dadas por:
		
		
	Conforme os dados do problema, temos que h=6m e D=0,7m. Substituindo esses valores nas derivadas parciais temos que:
		
 e 
	As taxas de crescimento da altura e do diâmetro ao longo do tempo são:
		
 e 
	Substituindo todos esses dados na expressão da regra da cadeia:
		
	A taxa instantâneacom que está crescendo o volume é de aproximadamente 0,6927 metros cúbicos por ano na situação dada no problema. Suponha que você esteja interessado em cortar a árvore quando a taxa de crescimento do seu volume estiver abaixo de 0,8 metros cúbicos por ano. Conforme o resultado obtido, chegou o momento de cortar a árvore.
Regra da cadeia – Função composta
	Seja 
 em que 
 e 
. Dividindo a expressão da diferencial total por 
 e por 
 temos que:
		
 e 
	O limite quando 
 e 
 faz com que as duas expressões se tornem:
		
 e 
	Em muitos problemas de Física, precisamos utilizar um sistema de coordenadas adequado para a representação de um problema de maneira a aproveitar alguma característica geométrica para simplificar o modelo matemático.
	O sistema que utiliza as coordenadas (x,y,z) é conhecido como sistema de coordenadas retangulares ou sistema cartesiano. Nesse sistema de coordenadas, qualquer ponto é localizado através de um prisma retangular de arestas x, y e z conforme mostra a figura a seguir:
	No estudo de antenas, por exemplo, não é interessante representar o problema em termos de coordenadas retangulares porque as equações se tornam mais complicadas.
	Suponha que exista uma antena de tamanho infinito localizada ao longo do eixo z. O sinal eletromagnético emitido pela antena é constante para pontos à mesma distância do eixo z. Em outras palavras, o sinal eletromagnético emitido pela antena é constante para pontos sobre uma circunferência centrada no eixo z a uma determinada altura z. Esse fato requer que o sistema de coordenadas seja o cilíndrico, conforme mostra a figura:
	Observando o lado inferior da área hachurada na figura a seguir, podemos perceber a seguinte relação geométrica:
	Considerando a figura anterior, podemos mostrar que são válidas as equações:
		
		
		
	Essas equações convertem o sistema de coordenadas cilíndricas para coordenadas cartesianas. As equações que convertem o sistema de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas são dadas por:
		
 ou 
		
 ou 
		
Exemplo
	Considere a função em coordenadas cartesianas:
		
	a) Observando a mesma função em coordenadas cilíndricas, encontre as expressões para as derivadas parciais 
 e 
.
	b) Calcule as derivadas parciais 
 e 
 em função de r e (.
Solução
	a) Considerando a função:
		
	Em coordenadas cilíndricas, sabemos que:
		
		
	Derivando z em relação a r e (:
		
 e 
	Conforme as equações do sistema de coordenadas cilíndricas, sabemos que:
		
 e 
		
 e 
	Substituindo nas expressões da regra da cadeia:
		
							(1.1)
		
							(1.2)
	b) Vamos aproveitar os dois resultados anteriores nos cálculos do item b.
	Multiplicando a expressão (1.2) por 
 e a expressão (1.1) por 
 e, depois, somando-se os resultados temos que:
		
	Multiplicando a expressão (1.2) por 
 e a expressão (1.1) por 
 e, depois, somando os resultados temos que:
		
Derivação de funções definidas implicitamente
	Suponha uma função implícita definida pela equação:
		
, onde 
	Derivando essa equação em relação a x:
		
	Vamos aplicar a regra da cadeia para funções dadas por equações paramétricas para encontrar a derivada de 
 em relação a x:
		
	Igualando os dois resultados:
		
	O que resulta em:
		
Exemplo
	Aplique o conceito de derivação de função implícita para encontrar 
 na equação:
		
	a) Resolver conforme o conceito de funções de 1 variável
	b) Resolver conforme o conceito de funções de várias variáveis
Solução
	a) Derivando a expressão em relação a x:
		
		
	b) Antes de aplicar a fórmula de derivação, precisamos modificar a equação da função implícita dada no problema:
		
	Assim:
		
	Aplicando a fórmula de derivação de função implícita usando derivadas parciais:
		
inclinação da reta tangente:
�EMBED Equation.3���
inclinação da reta tangente:
�EMBED Equation.3���
Regra da cadeia
Prof. Fábio Nogueira Batista (fbatista@bol.com.br)
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