FATORAÇÃO DE EXPRESSÃO ALGÉBRICA

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FATORAÇÃO DE EXPRESSÃO ALGÉBRICA
 Fatorar consiste em representar determinado número de outra maneira, utilizando a multiplicação. A fatoração ajuda a escrever um número ou uma expressão algébrica como produto de outras expressões. Portanto, é preciso compreender cada método de fatoração a fim de se fatorar qualquer expressão algébrica
 No estudo das fatorações dos números aprendemos que fatorar consiste em escrever determinado número na forma de produto entre dois ou mais números. Por exemplo, o número 30 ao ser fatorado é representado da seguinte forma: 30 = 2.3.5
 Na fatoração de expressões algébricas estudaremos métodos para se fatorar uma expressão algébrica, ou seja, métodos que ajudem a escrever uma expressão algébrica como produto de outras expressões. As fatorações são formas diferentes de se representar um mesmo número. Vejamos alguns exemplos:
• Fatorando o número 50 em fatores primos, obtemos a seguinte representação: 2.52= 50
• Fatorar a expressão x2 – 4 consiste em determinar quais expressões algébricas devemos multiplicar para obtê-la. Portanto, veja que (x+2).(x–2)resulta na expressão inicial, ou seja, (x+2).(x–2) é a fatoração de x2 – 4;
 Na fatoração de números conhecidos, utiliza-se apenas uma maneira: a fatoração em fatores primos. Entretanto, na fatoração algébrica, cada expressão terá um método.
A fatoração surge como um recurso da Matemática para facilitar os cálculos algébricos; através dela conseguimos resolver situações mais complexas.
Os métodos de fatoração de expressões algébricas são:
Fator comum (coloca-se o fator comum em evidência);
Agrupamento de fatores comuns;
Trinômio Quadrado Perfeito;
Trinômio: x²-Sx+P = 0;
Diferença de dois quadrados (x²-y²);
Soma de dois cubos;
Diferença de dois cubos.
1º caso: FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA
 Na fatoração por fator comum em evidência, utilizamos a idéia de fazer grupos de polinômios, ao fatorar escrevemos a expressão na forma de produto de expressões mais simples. O polinômio x² + 2x possui forma fatorada, veja:
x² + 2x.: podemos dizer que o monômio x é comum a todos os termos, então vamos colocá-lo em evidência e dividir cada termo do polinômio x² + 2x por x.
Temos: x (x + 2)
Concluímos que x (x + 2) é a forma fatorada do polinômio x² + 2x.
Exercícios: Fatore
1)8x³ - 2x² + 6x  2)a6 – 4a²  3)4x³ + 2x² + 6x 
4)6x³y³ – 9x²y + 15xy 5)8b4 – 16b² – 24b  6)8x² – 32x – 24 
7)3x² – 9xy + 6x + 21x3 8)5a²b³c4 + 15 abc + 50a4bc2 
2º CASO: AGRUPAMENTO
 Agrupamento é o método pelo qual simplificamos uma expressão algébrica, agrupando os termos semelhantes (termos em comum).
 Ao usarmos o método do agrupamento, necessitamos fazer uso da fatoração: termo comum em evidência.
Observe no exemplo a seguir:
4x² + 8x + 6xy + 12y
Termo comum em evidência em cada agrupamento: 4x² + 8x e 6xy + 12y 
4x(x + 2) + 6y(x + 2)
Colocamos novamente em evidência, pois os termos 4x e 6y possuem termos em comum.
(x + 2) (4x + 6y)
Exercícios : Fatore
1)2xy – 12x + 3by – 18b 2)6x²b + 42x² – y²b – 7y²
3)x² – 10x + xy – 10y 4)a³b + a² + 5ab³ + 5b²
5)2xy – 4x + 3xy – 6x + 4xy – 8x
3º CASO: TRINÔMIO DO QUADRADO PERFEITO
 Trinômio do quadrado perfeito é o 3º caso de fatoração de expressão algébrica. Ele só pode ser utilizado quando a expressão algébrica for um trinômio (polinômio com três monômios) e esse trinômio formar um quadrado perfeito.
Como identificar um trinômio do quadrado perfeito?
Veja se o trinômio 16x2 + 8x + 1 é um quadrado perfeito, para isso siga as regras acima:
Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio 16x2 + 8x + 1 é quadrado perfeito.
Então, a forma fatorada do trinômio é 16x2 + 8x + 1 é (4x + 1)2, pois é a soma das raízes ao quadrado.
Exercícios : Fatore
1) m2 – 2m n + n2  2)4x2 – 4xy + y2
3)1 + 9a2 – 6a. 4) +10x + 25
4º CASO: TRINÔMIO DO TIPO X² + SX + P
 A fatoração do trinômio do tipo x2 + Sx + P é o caso de fatoração que vem logo após o trinômio do quadrado perfeito, pois também é utilizado quando a expressão algébrica é um trinômio. 
 Quando é necessário fatorar uma expressão algébrica e essa é um trinômio (três monômios), e verificamos que esse não forma um trinômio do quadrado perfeito, devemos então utilizar a fatoração do tipo x2 + Sx + P. 
 Dada a expressão algébrica x2 + 12x + 20, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito. Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x2 + Sx + P. Mas, como iremos aplicar essa fatoração na expressão x2 + 12x + 20? Veja a resolução abaixo: 
 Sempre devemos observar os coeficientes dos dois últimos termos, veja: x2 + 12x + 20. Os números 12 e 20 são os coeficientes dos dois últimos termos, agora devemos achar dois números que quando somamos o valor será igual a + 12 e quando multiplicamos o resultado será igual a + 20, chegaremos a esses números através de tentativas. 
Os números somados e multiplicados que dão como valor 12 e 20, respectivamente, é 2 e 10. 
2 + 10 = 12 
2 . 10 = 20 
Então, fatoramos utilizando os números encontrados que no exemplo é 2 e 10, portanto a forma fatorada de x2 + 12x + 20 será (x + 2) (x + 10). 
Veja outro exemplo que utilizam a mesma linha de raciocínio do exemplo acima: 
Exemplo  
x2 – 13x +42, para fatorarmos essa expressão algébrica devemos achar dois números que a sua soma seja igual a -13 e seu produto igual a 42. Esses números serão -6 e -7, pois: - 6 + (- 7) = -13 e – 6 . (- 7) = 42. Portanto, a fatoração ficará igual a: 
(x – 6) (x – 7).
Exercícios Fatore
1) +5x + 6 2) + x – 12 3)- x - 20
5º CASO: DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, veja os passos que devemos tomar para chegarmos a forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração. 
A forma fatorada será (4x – 5) (4x + 5). 
Exercícios
1) x2 – 64 2) 25x2 – 8  3) 4x2 – 81y2
6º CASO: SOMA DE DOIS CUB
 A Soma de dois cubos é o 6º caso de fatoração de expressões algébricas, para que entenda como e quando devemos utilizá-lo observe a sua demonstração abaixo: 
 Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas. 
(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva 
x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 unir os termos semelhantes 
x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados. 
Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde 
x e y poderão assumir qualquer valor real. 
A forma fatorada de + será (x + y) (x2 - xy + y2). 
Exercícios
1)a3 + 1000 2)27x3 + 1 3)8x3 + y3  
7º CASO: DIFERENÇA DE DOIS CUBOS
A Soma de dois cubos é o 7º caso de fatoração de expressões algébricas, o seu raciocínio é o mesmo da soma de dois cubos, raciocínio esse que esclarece como e quando devemos utilizá-lo, observe a demonstração abaixo: 
Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas. 
(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva; 
x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes; 
x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos. 
Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma dedois cubos onde 
x e y podem assumir qualquer valor real. 
A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2). 
Exercícios
1)8x3 – 27 2)r3 – 64 3)27 x3 - 125