ep10 metdet ii 2017 1 tutor

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2017
Resoluc¸o˜es dos Exerc´ıcios Programados 10
Questa˜o 1: Nos itens 1 a 10, ache as derivadas aplicando as regras ba´sicas:
1) f(x) = x5 − 3x3 + 1 2) f(x) = 5x6 − 9x4
3) f(x) = x8 − 2x7 + 3x+ 1 4) f(x) = (x2 + 1)(2x3 + 5)
5) f(x) =
3
√
x4 6) f(x) = 3x
4
4 +
4
5x
7) f(x) = e−x2 8) f(t) = ln(t2 + 3t+ 9)
9) f(x) = x
3−1
3x2−x 10) f(x) =
2x+7√
3x+1
Em todos os 10 itens vamos admitir conhecido que (xn)′ = nxn−1, x
1
n = 1nx
1−n
n , (ln(x))′ = 1x e ainda
que (ex)′ = ex.
Soluc¸a˜o: 1) f ′(x) = (x5)′ − 3(x3)′ + (1)′ = 5x4 − 9x2. Inicialmente usamos que (f + g)′ = f ′ + g′
depois que (kf)′ = kf ′; se k ∈ R e´ uma constante e por fim que (xn)′ = nxn−1.
2) dydx = f
′(x) = 5(x6)′ − 9(x4)′ = 30x5 − 36x3.
3) f ′(x) = (x8)′ − 2(x7)′ + 3(x)′ + (1)′ = 8x7 − 14x6 + 3.
4) f ′(x) =
[
(x2 + 1)(2x3 + 5)
]′
= (x2+1)′(2x3+5)+ (x2+1)(2x3+5)′ = 2x(2x3+5)+ (x2+1)6x2 =
10x4 + 6x2 + 10x.
5) Queremos derivar f(x) =
3
√
x4 vamos usar a regra da cadeia, para isto considere g(x) = x4 e
h(x) = 3
√
x = x
1
3 , e logo
f ′(x) = h′(g(x))g′(x) =
1
3
g(x)−
2
3 4x3 =
4x3
3 3
√
g(x)2
=
4x3
3
3
√
x8
.
6) f ′(x) =
(
3x4
4
)′
+
(
4
5x
)′
= 3x3 + (4)
′5x−4(5x)′
(5x)2
= 3x3 − 4
5x2
.
7) Queremos derivar f(x) = e−x2 . Veja que g(x) = −x2 e h(x) = ex enta˜o
f ′(x) = h(g(x))′ = h′(g(x))g′(x) = e−x
2
(−2x) = − 2x
ex2
.
8) Queremos derivar f(t) = ln(t2+3t+9), e novamente usando a regra da cadeia. Seja g(t) = t2+3t+9
e h(x) = ln(x) enta˜o,
f ′(t) = h(g(t))′ = h′(g(t))g′(t) =
1
t2 + 3t+ 9
(2t+ 3) =
2t+ 3
t2 + 3t+ 9
.
9)
f ′(x) =
(x3 − 1)′(3x2 − x)− (x3 − 1)(3x2 − x)′
(3x2 − x)2 =
3x2(3x2 − x)− (x3 − 1)(6x− 1)
(3x2 − x)2
=
3x4 − 2x3 + 6x− 1
x2(1− 3x)2 .
1
10) Queremos derivar f(x) = 2x+7√
3x+1
Vamos comec¸ar aplicando a regra do quociente, mas vai chegar
um momento que precisaremos derivar o denominador
√
3x+ 1 enta˜o chamando g(x) = 3x + 1 e de
h(x) =
√
x = x1/2, logo (
√
3x+ 1)′ = h′(g(x))g′(x) = 3
2(3x+1)1/2
e, portanto,
f ′(x) =
(2x+ 7)′(
√
3x+ 1)− (2x+ 7)(√3x+ 1)′
(
√
3x+ 1)2
=
2(
√
3x+ 1)− (2x+ 7)( 3
2(3x+1)1/2
)
3x+ 1
=
4(3x+ 1)− 3(2x+ 7)
2(3x+ 1)
√
3x+ 1
=
6x− 17
2(3x+ 1)3/2
.
Questa˜o 2: Para as pro´ximas 4 func¸o˜es calcule f ′(4):
a) f(x) = x
3
3 − 1 b) f(x) = 4√x
c) f(x) = 4x√
x
d) f(x) = (x2 + 1)(1− x).
Soluc¸a˜o: a) Vamos comec¸ar derivando, enta˜o f ′(x) = 3x
2
3 = x
2 e f ′(4) = 16.
b) Calculando f ′(x) = (4)
′√x−4(√x)′
(
√
x)2
=
−4
(
1
2
√
x
)
x =
−2
x3/2
. E f ′(4) = − 23√16 = −
1
4 .
c) Comece obsevando que f(x) = 4x√
x
= 4
√
x e da´ı, f ′(x) = 2√
x
e, portanto, f ′(4) = 1.
d) f ′(x) = (x2 + 1)′(1− x) + (x2 + 1)(1− x)′ = 2x(1− x)− (x2 + 1) = −3x2 + 2x− 1, e f ′(4) = −41.
Questa˜o 3: O custo de produc¸a˜o de x unidades de uma mercadoria e´ dado por C(x) = 40+3x+16
√
x
reais. Ache o custo marginal quando sa˜o produzidas 64 unidades.
Soluc¸a˜o: Para calcular o custo marginal precisamos derivar C(x), enta˜o C ′(x) = 3+ 8√
x
e C ′(64) = 4
reais por unidade.
Questa˜o 4: Um fabricante observa que quando vende x caixas de chocolate por semana, o lucro
(em reais) e´ dado por L(x) = 0, 02x2 + 15x− 1.000. Qual e´ o lucro marginal para um n´ıvel de venda
de 100 caixas por semana?
Soluc¸a˜o: O Lucro marginal e´ dado pela derivada de L(x), enta˜o derivando L(x) obtemos L′(x) =
0, 04x+ 15 e avaliando em 100 caixas temos que o lucro marginal e´ L′(100) = 19 reais por caixa.
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