EP12 GP 2013 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – EP12 – Tutor
Prezado(a) aluno(a),
o conteu´do desta semana voceˆ encontra no seguinte cap´ıtulo do livro de Geometria Ba´sica - Mo´dulo
1 - Volume 1,(Autores:Dirce Uesu Pesco/Roberto Geraldo Tavares Arnaut),
Aula 9: Triaˆngulos Semelhantes.
Exerc´ıcio 1: Em um retaˆngulo ABCD os lados medem AB = 8 cm e BC = 16 cm. Trace uma
paralela EF ao lado AB de modo que os retaˆngulos ABEF e ABCD sejam semelhantes. Determine
a medida de AF .
Soluc¸a˜o: Seja EF//AB tal que os retaˆngulos ABEF e ABCD sa˜o semelhantes. Denote x a
distaˆncia AF .
x
16
8
Temos que
x
AB
=
AB
AD
⇒ x
8
=
8
16
=
1
2
⇒ x = 4 cm
Exerc´ıcio 2: O per´ımetro de um paralelogramo ABCD vale 64 cm sendo o lado AB igual a
1
3
do
lado BC. Calcule os lados de um outro paralelogramo semelhante ao primeiro, sabendo, tambe´m,
que a raza˜o de semelhanc¸a vale
3
8
.
Soluc¸a˜o: Seja o paralelogramo ABCD, tal que per´ımetro vale 64 cm. Se AB =
BC
3
Geometria Plana – EP12 Tutor 2
Temos que AB +BC + CD + AD = 64
⇒ AB +BC + AB +BC = 64
⇒ 2 ·BC
3
+ 2 ·BC = 64⇒ 8 ·BC
3
= 64
⇒ BC = 64 · 3
8
= 24 e AB =
24
3
= 8
Seja o paralelogramo A′B′C ′D′ semelhante ao paralelogramo ABCD.
Como
A′B′
AB
=
3
8
, enta˜o
A′B′ =
3 · 8
8
= 3 e B′C ′ = 3A′B′ = 3 · 3 = 9.
Exerc´ıcio 3: A planta de um edif´ıcio foi desenhada na escala de 1:50. Quais sera˜o as dimenso˜es que
deveremos atribuir,em cent´ımetros no desenho, a uma sala que tem comprimento igual a 8 metros e
largura igual a 3,5 metros?
Soluc¸a˜o: Temos que a escala e´
1
50
,
enta˜o
x
8 m
=
1
50
⇒ 50x = 800 cm ⇒ x = 16 cm
y
3, 5 m
=
1
50
⇒ 50y = 350 cm ⇒ y = 7 cm
Portanto as dimenso˜es no desenho sa˜o 16 cm e 7 cm.
Exerc´ıcio 4: Sa˜o dados dois pol´ıgonos regulares com igual nu´mero de lados. O per´ımetro do primeiro
mede 120 metros e a raza˜o entre suas diagonais vale
4
5
. Encontre o per´ımetro do segundo pol´ıgono.
Soluc¸a˜o: Temos que o per´ımetro dos dois pol´ıgonos esta˜o entre si na raza˜o das diagonais. Seja 2p′
o per´ımetro do segundo pol´ıgono regular. Enta˜o
120
2p′
=
4
5
⇒ 2p′ = 5 · 120
4
= 5 · 30 = 150 metros
Portanto o per´ımetro do segundo pol´ıgono regular mede 150 metros.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ