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FÓRMULAS
DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS 2D: 
DISTÂNCIA ENTRE OS PONTOS 3D: 
PONTO MÉDIO – 2D: 
PONTO MÉDIO – 3D: 
ÁREA DE UM PARALELOGRAMO 
ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 
EXERCÍCIO
1) Calcule a distância entre os pontos:
A = (3, 2, 5) e  B = (5, -3, 7) 
A = (0, -4, -2) e B = (1, 3, 2)
A = (1, 2) e B = (3 , 4)
2) Calcule o ponto médio entre os pontos:
A = (3, 2, 5) e  B = (5, -3, 7) 
A = (0, -4, -2) e B = (1, 3, 2)
A = (1, 2) e B = (3 , 4)
3) Calcule a área e represente graficamente os triângulo com os vértices:
a) A = (-1,0,2),  B = (-4,1,1) e C = (0, 1,3).
b) A = (1,0,1),  B = (4,2,1) e C = (1,2,0).
c) A = (2,3,-1),  B = (3,1,-2) e C = (-1,0,2).
d) A = (-1,2,-2),  B = (2,3,-1) e C = (0,1,1).
Respostas:
4) Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores e .
5) Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores e
VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 
Consideremos os vetores u, v e w que definem as direções das arestas de um paralelepípedo e cujos módulos são iguais às medidas destas arestas. 
 O produto u x v é um vetor perpendicular ao plano formado por u e v. Conforme já foi visto, o produto (1/2) |u x v| é igual à área do triângulo formado pelas duas arestas AB e AC. Assim, |u x v| é igual à área do paralelogramo que constitui a base do paralelepípedo. 
A altura do paralelepípedo é igual ao módulo da projeção da aresta AD sobre a direção definida pelo vetor u x v. 
O volume do paralelepípedo é então V = |u x v|.h = |u x v|.|w|.cos = |(u x v).w| 
Portanto, V = |(u x v).w|. 
EXERCÍCIO
1) Três arestas de um paralelepípedo são determinadas pelos vetores u = (2, 3, 4), v = (5, -2, 4) e w = (4, 10,-3). Calcule o seu volume.
2) Quatro vértices consecutivos de um paralelepípedo são A = (1, 4, 12), B = (6, -8, 14), C = (-5, 12, 6) e D = (9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelepípedo.
3) Três arestas de um paralelepípedo são determinadas pelos vetores = (-2, 3, 2), = (2, -2, 4) e
= (4, 1,-3). Calcule o seu volume.