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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 2 e nas pa´ginas 144 e 145 da Aula 12, do Caderno Dida´tico. Uma expressa˜o matema´tica e´ uma combinac¸a˜o finita de nu´meros ou letras, as quais chamamos de varia´veis, que sa˜o ligadas por operac¸o˜es matema´ticas, tais como, soma, diferenc¸a, multiplicac¸a˜o, divisa˜o, etc e que tambe´m envolvem chaves, colchetes e pareˆnteses para indicar a ordem em que as operac¸o˜es devem ser efetuadas. As expresso˜es matema´ticas podem ser nume´ricas, quando envolvem apenas combinac¸o˜es de nu´meros ou alge´bricas, quando envolvem combinac¸o˜es de nu´meros e letras. Na Aula 2 do Caderno Dida´tico, voceˆ estudou as regras das operac¸o˜es com nu´meros naturais, inteiros e racionais e, nos pro´ximos exerc´ıcios, voceˆ praticara´ estas regras. Esteja especialmente atento a` ordem com que as operac¸o˜es devem ser realizadas. Exerc´ıcio 1 Resolva as expresso˜es nume´ricas abaixo. Lembre-se que as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o e de divisa˜o devem ser realizadas antes das operac¸o˜es de adic¸a˜o e subtrac¸a˜o. a) 5 + 7× (−3)× (−2)− (−4)× 5 b) (−16)÷ 4 + (−3)× (−2) c) 12× 4÷ (−3)× 9 Exerc´ıcio 2 Efetue as operac¸o˜es com frac¸o˜es, e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irre- dut´ıvel a) 2 5 ÷ 1 40 b) −2 15 × 9−11 c) −7 3 − 4−5 d) 2 5 − 3 4 × 6−5 Exerc´ıcio 3 Compare as frac¸o˜es a seguir, completando a lacuna de cada item com >, < ou =. a) 12 7 . . . 5 7 b) 6 4 . . . 6 8 c) 2 3 . . . 5 7 d) 8 9 . . . 9 8 e) −3 4 . . . −7 4 f) 6 −5 . . . 1 3 g) −12 9 . . . 4 −3 Me´todos Determin´ısticos I EP2 2 Exerc´ıcio 4 Desenvolvendo as expresso˜es nume´ricas de ambos os lados das desigualdades, decida se as desigualdades abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. a) 3 7 · −5 2 < −3 2 + 1 3 b) −8 3 · −7 8 > 4 5 − 6 8 c) − (−5 9 ÷ −2 7 ) ≤ 4 7 · ( −3 5 ) d) −4 5 + 3 −8 ≥ − 47 40 e) −10 > 20−3 Exerc´ıcio 5 Efetue as expresso˜es nume´ricas indicadas e obtenha o resultado na forma de uma frac¸a˜o irredut´ıvel. a) 12 8 + 8 5 b) 2 7 − 5 4 × 2−3 c) 1 + 2 [ 3− 1 4 ( 4 6 − 1 2 ) + 5 ] + 7 d) 2 { −1 + 12 [ −13 + 4 ( 1− 1 3 )] + 5 } e) [( 3 6 − 12 48 ) ÷ 7 6 + 1 7 ( 13 4 − 7 3 + 1 12 )] × 1 3 ÷ 1 7 f) ( 2 3 − 7 4 × 5 6 ) ÷ 5 3 − 1 2 × 3 4 g) 1 6 15 3 + 7 −4 × 9 8 ÷ −2 3 . Lembrete: Lembre-se de que primeiro resolvemos o que esta´ entre pareˆnteses, depois o que esta´ entre colchetes e, finalmente, o que esta´ entre chaves. Observe ainda que quando temos dois termos lado a lado sem nenhum sinal entre eles (como ocorre apo´s 1/7 no item e) a operac¸a˜o a ser realizada e´ multiplicac¸a˜o. Exerc´ıcio 6 Simplifique as expresso˜es alge´bricas a seguir, onde a, b e c sa˜o nu´meros com a 6= 0 e b 6= 0. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 3 a) (7a+ b− 2c) + (2a− 5b− 3c) b) (a+ 5b)− (4a+ 5b) c) (3a) · (−9b) d) 2(a− b) + 2b e) (25a)÷ (5a) f) 3a 6 ÷ 6 3b g) a− 3ba 3a + b Equac¸o˜es de primeiro grau (com uma varia´vel) Uma Equac¸a˜o e´ toda sentenc¸a matema´tica aberta que exprime uma relac¸a˜o de igualdade entre ex- presso˜es matema´ticas. Exemplos de equac¸o˜es: • 3x+ 9 = 0 • 4x− 2 = 6x+ 7 • a+ b+ c = 0. Exemplos de expresso˜es que na˜o sa˜o equac¸o˜es: • 3 + 7 = 5 + 5 (Na˜o e´ uma sentenc¸a aberta) • 2x− 4 < 0 (Na˜o e´ uma igualdade) • 3 6= 7 (na˜o e´ uma sentenc¸a aberta, nem uma igualdade). Uma equac¸a˜o do primeiro grau e´ toda equac¸a˜o que, depois de simplificada, pode ser escrita na forma ax+ b = 0, onde a e b sa˜o nu´meros conhecidos e a e´ diferente de zero. A letra x e´ a inco´gnita da equac¸a˜o. Para resolver essa equac¸a˜o efetuamos os seguintes passos: ax+ b−b = 0−b (subtra´ımos b dos dois lados da equac¸a˜o) ax = −b ax a = − b a (dividimos por a os dois lados da equac¸a˜o) x = − b a . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 4 Portanto, x = − b a e´ a soluc¸a˜o da equac¸a˜o ax + b = 0, isto e´, o valor de x que torna correta (isto e´, verdadeira) a igualdade ax + b = 0. Note que quando substitu´ımos x = − b a na equac¸a˜o, obtemos, de fato, a igualdade, veja: a · ( − b a ) + b = −ab a + b = −a/b a/ + b = − b 1 + b = −b+ b = 0. Numa equac¸a˜o, tudo que antecede o sinal da igualdade e´ chamado de primeiro membro, e o que sucede, de segundo membro. Por exemplo, em 3x + 8 = 2x − 7 temos que 3x + 8 e´ o primeiro membro e 2x − 7 e´ o segundo membro da equac¸a˜o. Qualquer parcela, do primeiro ou do segundo membro, e´ um termo da equac¸a˜o. Resolver uma equac¸a˜o consiste em realizar uma se´rie de operac¸o˜es que nos conduzam a equac¸o˜es equivalentes cada vez mais simples e que nos permitam determinar as suas soluc¸o˜es. Exerc´ıcio 7 Resolva as equac¸o˜es: a) 4x 3 = 11 5 b) 3 (x− 4)− 2 (1− x) = 2 (x− 1) c) 3 ( 1− x− 1 3 ) = 1 3 (3x− 7) d) 6− 3x 5 = 1 10 e) 3x− 8 4 = 4x− 20 5 Uma observac¸a˜o! As equac¸o˜es de primeiro grau na˜o devem ser pensadas apenas como “questo˜es”ou “exerc´ıcios”por si so´. Muitas vezes, elas aparecem quando se esta´ tentando relacionar as informac¸o˜es dadas em problemas, servindo assim, como ferramenta de modelagem destes problemas. Nos exerc´ıcios abaixo, equac¸o˜es de primeiro grau sera˜o utilizadas como ferramentas em problemas envolvendo conjuntos. Experimente utilizar uma varia´vel para representar a quantidade que voceˆ quer determinar, ou alguma outra quantidade relacionada ao problema. Tente resolver o primeiro deles, o Exerc´ıcio 8 e, caso na˜o consiga (depois de tentar muito!), leia o comec¸o do gabarito. Depois, volte ao exerc´ıcio e tente seguir sozinho ate´ o fim. Nos exerc´ıcios 10 e 11, voceˆ utilizara´ equac¸o˜es de primeiro grau para descobrir nu´meros de elementos de conjuntos. Experimente denotar por uma varia´vel (x, por exemplo) a quantidade de elementos de algum dos conjuntos envolvidos. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP2 5 Exerc´ıcio 8 Numa produc¸a˜o caseira de uma quantidade q de bombons, sabe-se que o custo C e´ igual a soma do dobro da quantidade a ser produzida com um custo fixo de R$ 16,00. A receita R obtida pela comercializac¸a˜o deste produto e´ igual a 5 vezes a quantidade produzida. Sabendo que o lucro L e´ dado pela diferenc¸a entre a receita e o custo, escreva a equac¸a˜o que representa uma produc¸a˜o com lucro igual a R$ 50,00. Neste caso, determine quantos bombons sa˜o produzidos. Exerc´ıcio 9 Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano, sendo que cada um deveria contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a escola antes da arrecadac¸a˜o e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais do que antes. No entanto, o diretor, para ajudar, contribuiu com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa? Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio foi retirado do livro Matema´tica e Lo´gica para Concursos de Jose´ Luiz de Morais, da Editora Saraiva. Exerc´ıcio 10 Em uma cidade de 100 habitantes, sa˜o vendidas duas marcas de sabonetes, A e B. Sabe-se que 12 pessoas compram ambas as marcas; que o nu´mero de pessoas que compra a marca A e´ o triplo do que compra a marca B; e que apenas 16 pessoas na˜o compram A e nem B. Determinequantas pessoas compram apenas a marca A. Exerc´ıcio 11 Na cidade de Sa˜o Miguel de Longe a` Bec¸a, com populac¸a˜o de 300 habitantes, circu- lam apenas dois jornais, a Folha da Madrugada e o Correio da Noite Alta. Sabe-se que a Folha da Madrugada possui o triplo de leitores que seu concorrente e que 50 pessoas sa˜o leitoras de ambos os jornais. Sabe-se tambe´m que 150 pessoas na˜o leem jornal algum. a) Quantos moradores desta cidade leem apenas o Correio da Noite Alta? b) Quantos leitores possui a Folha da Madrugada? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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