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Dado o mecanismo cursor manivela abaixo, analisar sua geometria do movimento e
mostrar as curvas de Ɵ3 (posição angular da biela) e rb (posição linear do cursor) em
função de Ɵ2 (posição angular da manivela); para =r2=0,1m e =r3=0,2m.
Do polílgono de vetores:
Separando as componentes dos eixos x e y de (1)
X: rb=r2cos(Ɵ2)+r3cos(Ɵ3) (2)
Y: 0=r2se(Ɵ2)+r3sen(Ɵ3) (3)
De (3),
Ɵ
A' O2 A BB'
%programa cursor
clear all
close all
rd=pi/180;
Confecção do programa:
Cursor-manivela
sexta-feira, 14 de dezembro de 2012
10:20
Página 1 de Notas de aula de Márcio H Souto
rd=pi/180;
g=1/rd;
r2=0.1;
r3=0.2;
teta2=0*rd;
dteta2=1*rd;
for i=1:1:360;
r2v=[r2*cos(teta2);r2*sin(teta2);0];
teta3=asin(-r2v(2)/r3);
r3v=[r3*cos(teta3);r3*sin(teta3);0];
rbv=r2v+r3v;
teta2v(i)=teta2*g;
teta3v(i)=teta3*g;
rbxv(i)=rbv(1);
teta2=teta2+dteta2;
end
figure(1)
plot(teta2v,teta3v);grid;
figure(2)
plot(teta2v,rbxv);grid;
curso=max(rbxv)-min(rbxv)
Adiciona-se o comando para produzir um outro gráfico:
figure(3)
plot3(teta2v,teta3v,rbxv);grid;
Agora, queremos analisar alterações no braço da biela.
%programa cursor
clear all
close all
rd=pi/180;
g=1/rd;
r2=0.1;
r3=0.2;
dr3=0.05;
dteta2=1*rd;
for j=1:1:5
teta2=0*rd
for i=1:1:360;
r2v=[r2*cos(teta2);r2*sin(teta2);0];
teta3=asin(-r2v(2)/r3);
r3v=[r3*cos(teta3);r3*sin(teta3);0];
rbv=r2v+r3v;
teta2v(i,j)=teta2*g;
teta3v(i,j)=teta3*g;
rbxv(i,j)=rbv(1);
teta2=teta2+dteta2;
end
r3=r3+dr3;
end
figure(1)
Página 2 de Notas de aula de Márcio H Souto
figure(1)
plot(teta2v,teta3v);grid;
figure(2)
plot(teta2v,rbxv);grid;
curso=max(rbxv)-min(rbxv)
figure(3)
plot3(teta2v,teta3v,rbxv);grid;
Página 3 de Notas de aula de Márcio H Souto
fluido
d
H
1
2
Determinar a vazão do fluido no duto de diâmetro d.
Equação de Bernoulli:
Programa para analisar a variação de "d":
%programa vazão
clear all
close all
g=9.81;
h=0.5;
d=0.1;
deltad=0.05;
for i=1:1:6;
mecânica dos fluidos
sexta-feira, 14 de dezembro de 2012
11:33
Página 4 de Notas de aula de Márcio H Souto
for i=1:1:6;
v2=sqrt(2*g*h);
area=(pi*d^2)/4;
q=v2*area;
qv(i)=q;
dv(i)=d;
d=d+deltad;
end
figure(1)
plot(dv,qv);
grid;
Analisando agora as variações de "d" e de "h":
%programa vazão
clear all
close all
g=9.81;
h=5;
deltad=0.05;
deltah=0.5;
for j=1:1:10;
d=0.1;
for i=1:1:6;
v2=sqrt(2*g*h);
area=(pi*d^2)/4;
q=v2*area;
qv(i,j)=q;
dv(i,j)=d;
d=d+deltad;
end
h=h+deltah;
end
figure(1)
plot(dv,qv);
grid;
xlabel('diâmetro');
ylabel('vazão');
title('escoamento');
comandos para atribuir nomes aos eixos
e título ao gráfico
podemos adicionar este comando para analisar h também:
figure(2)
plot3(dv,hv,qv);
grid
e podemos alterar este comando para apresentar o gráfico pontilhado:
figure(2)
plot3(dv,hv,qv,'*');
Página 5 de Notas de aula de Márcio H Souto
plot3(dv,hv,qv,'*');
grid
Página 6 de Notas de aula de Márcio H Souto
Equação diferencial da força elástica:
Seccionando a viga numa posição x, tem-se:
Aplicando a condição de equilíbrio estático:
ω
a
a
x
y
Seção transversal
Temos agora uma viga em balanço com um carregamento
uniforme, conforme o esquema abaixo. Queremos analisar a
deflexão na viga.
Carregamento em vigas
sexta-feira, 25 de janeiro de 2013
10:48
Página 7 de Notas de aula de Márcio H Souto
Substituindo (2) em (1):
Aplicando as condições iniciais:
Temos:
•
•
Aplicando esses valores na equação (3)
Dados:
E=200GPa
a=0.1M
=30KN/m
L=2m
Fez-se o programa p10:
Página 8 de Notas de aula de Márcio H Souto
%Deflexão de viga
clear all
me = 200e9;
w = 30e3;
l = 2;
a = 0.1;
mi = (a^4)/12;
dx = 0.1;
x = 0;
for i = 1:1:21;
y = (w*((-x^4)/24 + ((l^3)*x)/6 -(l^4)/8))/(me*mi);
xv(i) = x;
yv(i) = y;
x = x+dx;
end
figure(1)
plot(xv,yv);grid;
%Deflexão de viga
clear all
close all
clc
me = 200e9;
w = 30e3;
l = 2;
dw = 10e3;
a = 0.1;
mi = (a^4)/12;
dx = 0.1;
for j = 1:1:8;
x = 0;
for i = 1:1:21;
y = (w*((-x^4)/24 + ((l^3)*x)/6 -(l^4)/8))/(me*mi);
xv(i,j) = x;
yv(i,j) = y;
wv(i,j) = w;
x = x+dx;
end
w = w + dw;
end
figure(1)
plot(xv,yv);grid;
figure(2)
plot3(xv,wv,yv,'*');grid;
Fazendo variar o , fez-se o programa p11:
Fazendo variar e o a, fez-se o programa p11
Página 9 de Notas de aula de Márcio H Souto
q'': taxa de transferência de calor por unidade de área
%programa
clear all
close all
R=1.7;
deltat=-250;
deltae=0.05;
area=1.5;
deltaarea=0.2;
for j=1:1:10;
e=0.15;
for i=1:1:15;
qm2=(-R*deltat)/e;
q=qm2*area;
ev(i,j)=e;
areav(i,j)=area;
qv(i,j)=q;
e=e+deltae;
end
area=area+deltaarea;
end
figure(1)
plot(ev,qv);grid;
xlabel('e')
ylabel('q')
figure(2)
plot3(ev,areav,qv)
xlabel('e')
ylabel('area')
zlabel('q')
Transferência de calor
sexta-feira, 1 de fevereiro de 2013
10:09
Página 10 de Notas de aula de Márcio H Souto
Modelo Caixa Branca - é o modelo gerado a partir das leis físicas aplicadas aos sistemas, com o apoio da matemática.
Modelo Caixa Preta: observa-se a relação entrada/saída do sistema
Representação de sistemas dinâmicos no espaço de estados:
Um sistema dinâmico pode ser representado por um modelo, através de equações diferenciais
ordinárias, onde o tempo é a variável independente.
Uma equação diferencial de ordem "n" pode ser representada por uma equação matricial-vetorial
diferencial de 1ª ordem. Se os "n" elementos do vetor são um conjunto de variáveis de estado, então a
equação matricial-vetorial diferencial é chamada de Equação de Estado.
Representação no Espaço de Estados de sistemas descritos por Equações Diferenciais Lineares de
ordem "n" sem derivadas de excitação.
Considere o sistema representado pelo modelo abaixo
De (1), temos
Definindo "n" novas variáveis: pelas equações:
Modelos
sexta-feira, 1 de fevereiro de 2013
10:32
Página 11 de Notas de aula de Márcio H SoutoAs novas variáveis de (3) são interligadas pelas equações representadas por (4)l
Escrevendo a eq.(2) em função das novas variáveis dadas em (3):
Diferenciando a última equação de (3):
Substituindo (6) em (5):
Adicionando (7) ao sistema (4):
Representando (8) na forma matricial:
Página 12 de Notas de aula de Márcio H Souto
De (9),
Fazendo em (10);
onde:
A = Matriz de Estados ou Dinâmica
B = Matriz de entrada
X = vetor de estados
u = Excitação ou entrada
A resposta ou saída u(t) do sistema é dada por
C = Matriz de saída
D= Matriz transmissão direta
De (11) e (12),
Diagrama de Blocos das equações (13);
Página 13 de Notas de aula de Márcio H Souto
Após a dedução física em aula do modelo simplificado do pêndulo simples, chegou-se à equação:
ou
com
e
Espaço de Estado
ordem de (a5):
Mudança de variáveis:
De (a9), (a10) e (a5),
Pêndulo simples
sexta-feira, 22 de fevereiro de 2013
10:44
Página 14 de Notas de aula de Márcio H Souto
Escrevendo (a11) e (a12) na forma matricial:
A=
,
, ,
===========================================================
No simulink, criamos o seguinte modelo:
Clicando duas vezes no State-space colocamos os parâmetros
Página 15 de Notas de aula de Márcio H Souto
no menu Simulation->configurate parameters colocamos os parâmetros da simulação:
Fazendo a simulação, o resultado no osciloscópio é
Página 16 de Notas de aula de Márcio H Souto
============================================================
Agcoora se o pêndulo estiver oscilando em um fluido visso, haverá uma resistência ao movimento,
e a equação diferencial que descreve o movimento será
A=
,
, ,
Fazendo a alteração no valor da matriz A no modelo criado no simulink:
Página 17 de Notas de aula de Márcio H Souto
Obtemos no osciloscópio após a simulação:
Se aumentarmos muito o valor da resistência, colocando A como [0 1; -100 -20] obtemos no
osciloscópio:
Página 18 de Notas de aula de Márcio H Souto
Este é o caso de vibração superamortecida.
==========================================================================
Podemos trabalhar com uma equação não linear, com uma excitação no sistema:
A solução do sistema será:
(solução geral = solução da homogênea + 1 solução da não-homogênea)
A=
,
, ,
A simulação no simulink é alterada para inserir a pertubação:
Página 19 de Notas de aula de Márcio H Souto
Com o Signal Generator configurado como
Fazendo a simulação, o osciloscópio apresenta:
Página 20 de Notas de aula de Márcio H Souto
Nota-se que neste gráfico há uma pertubação no início, e após isso uma estabilização em forma de
senóide. Isso porque a solução da equação homogênea é amortecida, e após o tempo prevalece
.
================================================================
Se a frequência natural
for próximo da frequência de excitação, o sistema entra em
ressonância. Fazendo isso na nossa simulação:
Obtemos no osciloscópio
Página 21 de Notas de aula de Márcio H Souto
Para evitar a ressonância, coloca-se a frequência distante da frequência de excitação. Fazendo
obtemos:
Página 22 de Notas de aula de Márcio H Souto
Página 23 de Notas de aula de Márcio H Souto
Ex.: Determinar a EDM do sistema abaixo e elaborar um programa computacional para sua solução.
k=constante de rigidez (N/m)
fm= -kx
c= coeficiente de amortecimento (Ns/m)
DCL:
A solução de (1) é dada por:
xH: solução da EDM homogênea
xP: solução da EDM não homogênea
ou
Massa-mola-amortecedor
sexta-feira, 1 de março de 2013
10:16
Página 24 de Notas de aula de Márcio H Souto
onde:
: fator de amortecimento
c: coeficiente de amortecimento
cc: coeficiente de amortecimento crítico
amplitude de vibração(parte homogênea)
amplitude de vibração(parte permanente)
frequência de excitação
Transformação de (1) para Espaço de EstadoDe (a1), (a2) e (1),
Escrevendo (a3) na forma matricial:
De (a4)
onde:
Página 25 de Notas de aula de Márcio H Souto
onde:
%Programa massa-mola
clear all
close all
m=1.0;
k=100.0;
ca=2.0;
a=[0 1; -k/m -ca/m];
b=[0;1/m];
c=[1 0];
d=[0];
x0=[0.4 0];
t=0;
dt=0.1;
for j=1:1:200;
u=10*sin(2*t);
tv(j)=t;
uv(j)=u;
t=t+dt;
end
y=lsim(a,b,c,d,uv,tv,x0);
figure(1)
plot(tv,uv);grid;
figure(2)
plot(tv,y);grid;
figure(3)
plot(tv,uv,tv,y);grid;
comando preparado para
resolver problemas como
das equações (a5) e (a6)
Utiliza algorítimos numéricos
(huge-kuta e outros)
Retirando a exitação sistema, fazendo u=0 no laço, temos um sistema amortecido.
Página 26 de Notas de aula de Márcio H Souto
Retirando a exitação sistema, fazendo u=0 no laço, temos um sistema amortecido.
Fizemos também ca=0.2. Percebeu-se que o sistema oscilou por um tempo maior. De fato, xH é o
produto de uma exponencial decrescente por uma senoide:
Sistemas como esse são ditos sub-amortecidos. Quando isso acontece, a teoria de vibrações diz que que
prova-se na teoria de vibrações que
que é a constante de amortecimento crítico. Por isso, quando colocamos ca=20 no programa, o sistema
não oscila.
Se retirarmos o amortecedor, fazendo , ou ca=0 no programa, então xH será uma senoide simples.
Vamos procurar a ressonância agora. Alterando os valores de ω (no programa u=10*sin(ω*t)), vemos
que aumentando ω para 2, 4, 8, 10, a amplitude da vibração observada nos gráficos no regime
permanente vai aumentando; mas fazendo ω=20 temos uma baixa na amplitude, e fazendo igual a 100
quase não há mais oscilação. Vemos portanto que se ω está perto da frequencia natural do sistema
(calculado fazendo =0 em xH) a vibração vibra com amplitudes grandes.
Quando temos um sistema em resonancia com o meio, ele tende a entrar em colapso, pois os apoios
não resistirão muito tempo sob vibração. Vemos portanto que devemos fazer o sistema com frequência
natural muito diferente da frequência de carregamento a que ele é submetido.a
Página 27 de Notas de aula de Márcio H Souto
As equações diferenciais ordinárias não lineares são resolvidas numericamente usando os métodos numéricos de
Runge-Kutta, quando transformadas em equações diferenciais de 1ª ordem.
Ex. Considere o pêndulo simples abaixo determine a EDM e as soluções: não linear e linear.
Solução de (1).
Transformação de variáveis
De (3) e (1):
%programa: pendulo não linear
Clear all
Close all
t0=0.0;
tf=2.0;
dt=0.1;
x0=[0.1 0];
[t y1]=ode45('se',[t0:dt:tf],x0);
figure(1)
plot(t,y1);grid
Criaremos agora uma função correspondente ao 'se' para o programa acima
comentários do [t y1]=ode45('se',[t0:dt:tf],x0):
t é o intervalo de tempo [t0:dt:tf]
x0 são as condições iniciais
'se' é a função que contém as equações (4) e (5)
o comando ode45 utiliza o método Runge-Kutta45 e descarrega o valor em y1
Solução de EDOs não lineares
sexta-feira, 15 de março de 2013
10:14
Página 28 de Notas de aula de Márcio H Souto
%programa se.m das derivadas;
%equações (4) e (5)
function dx=se(t,y)
dx=[y(2);-20*sin(y(1))];
Vamos resolver agora e equação (2)
%programa: pendulo não linear
clear all
close all
t0=0.0;
tf=4.0;
dt=0.1;
x0=[0.1 0];
[t y1]=ode45('se',[t0:dt:tf],x0); %solucao da nao-linear
[t y2]=ode45('se1',[t0:dt:tf],x0); %solucao da linear
figure(1)
plot(t,y1(:,1),'r',t,(y2(:,1),'k');grid
%programa se1.m das derivadas das equações (6) e (7)
function dx=se1(t,y)
dx=[y(2);-20*y(1)];
Curiosamente, as soluções lineares e não lineares são bem parecidas. Isso acontece porque para ângulos
pequenos senθ. Se colocarmos condição inicial como x0=[3.0 0], teremos os gráficos bastante diferente.
Página 29 de Notas de aula de Márcio H Souto
Considere o modelo de um sistema representado pela equação (1):
onde: y — variável
u ― exitação
Definindo as "n" variáveis na eq. (2) como um conjunto de variáveis de estado:
onde:
De (2) e (1)
Escrevendo a eq (4) na forma matricial
A eq (5) é da forma
Da Eq. (2):
ou
onde
Representação no espaço de estados de sistemas descritos por
equações diferenciais lineares de ordem "n" com derivadas de
excitação
sexta-feira, 5 de abril de 2013
10:25
Página 30 de Notas de aula de Márcio H Souto
Ex. Determinar a EDM do sistema abaixo, representa-lo na
forma de espaço de estados e resolvê-la.
DCL:De (a1):
ou
onde:
Da eq(5), fazendo n=2,
y=CX+Du
considerando:
Página 31 de Notas de aula de Márcio H Souto
teremos:
Utilizamos no simulink o seguinte modelo
com as configurações:
Signal generator
State-Space
Página 32 de Notas de aula de Márcio H Souto
State-Space
Fazendo a simulação em 40s, o osciloscópio mostra o seguinte
gráfico:
Alterando a frequência do gerador de sinal para a frequência
natural de oscilação do sistema, , obtemos o
seguinte resultado:
Página 33 de Notas de aula de Márcio H Souto
Página 34 de Notas de aula de Márcio H SoutoMateriais relacionados
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