Elasticidade dos Sólidos

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Resistência dos Materiais III 
(parte 1) 
Teoria da Elasticidade aplicada aos sólidos: 
 
A teoria da elasticidade como a mecânica de sólidos deformáveis descreve como um ponto 
material se desloca gerando tensões e deformações internas em resposta às forças externas 
(carregamentos). 
A teoria da elasticidade estuda de forma rigorosa a determinação das tensões, deformações 
e da relação entre elas. 
A deformação depende da configuração geométrica do sólido, da forma de como é fixado ao 
meio externo e das propriedades mecânicas que o sólido possui. 
Um caso particular de sólido elástico ocorre quando as tensões e as deformações estão 
relacionadas linearmente (teoria da elasticidade linear). 
A teoria da elasticidade linear é valida para quando as deformações e os deslocamentos 
resultantes em um sólido forem suficientemente pequenos para justificar a linearização das 
equações de equilíbrio e das relações deslocamento–deformação e tensão. 
A elasticidade linear, entretanto, é uma aproximação uma vez que os materiais reais exibem 
certo grau de comportamento não-linear. 
 
 
Tensões resultantes de cargas externas: 
 
Um corpo sujeito a forças ou cargas externas 
desenvolve um sistema correspondente de 
forças internas por unidade de área denominada 
tensões. 
As forças internas que atuam nas pequenas 
áreas ou em determinado ponto material, 
possuem intensidades e direções variáveis. 
Considere um corpo em equilíbrio sujeito a Fig.1 
um conjunto de forças externas resultando 
em forças internas atuantes na seção em corte, figura 1. 
 
Como análise detalhada das tensões que atuam em 
um determinado ponto “O”, a figura 2 apresenta os 
componentes de uma força interna ∆F atuante em 
uma pequena área ∆A (na face X) centrada no ponto “O”. 
O” = ponto material pertencente ao ∆A e sujeito à ação 
 de uma força ∆F. 
∆A = elemento de área infinitesimal. 
∆F = força interna infinitesimal aplicada ao ponto “O” Fig.2 
2 
 
O sistema de eixos coordenados define: 
 Eixo “x” normal à área ∆A 
 Eixos “y e z” paralelos à área ∆A 
 As componentes da força ∆F paralelas aos eixos “x, y, z”, definidas por: ∆Fx, ∆Fy e ∆Fz 
 
 
Tensões geradas no ponto “O” para as quais a área ∆A é reduzida no limite, ou seja, 
tendendo a zero: 
 
Tensão normal (σ) ao ∆A: ( A tensão é normal à face e atua na direção do eixo x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão cisalhante (Ԏ) ao ∆A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Componentes de Tensão representadas por um elemento infinitesimal de volume dx dy dz, 
figura 3, onde as tensões atuantes são uniformes nas faces definidas pelas coordenadas x, 
y, z. 
σ = Tensão normal ao plano Ԏ = Tensão cisalhante (tangencial) ao plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3: Estado tridimensional de Tensões atuantes em um elemento isolado do corpo sólido. 
 
Pela análise das condições de equilíbrio (forças e momentos) atuantes no elemento 
volumétrico, cujos lados são dx, dy, dz, são identificadas as tensões cisalhantes atuantes em 
um ponto como: Ԏxy = Ԏyx Ԏxz = Ԏzx Ԏyz = Ԏzy 
Logo, o estado de tensão em um ponto é definido na elasticidade linear por seis 
componentes de tensão: σx, σy, σz, Ԏxy , Ԏxz, Ԏyz 
Analogamente, o estado de deformação em um ponto é definido na elasticidade linear por 
seis componentes de deformação: εx, εy, εz, Ϫxy ,Ϫxz,Ϫyz. 
3 
 
Representação do Tensor de Tensões em um ponto material: 
Os componentes do vetor de tensão em relação aos três planos mutuamente ortogonais que 
passam por um ponto é denominado tensor de tensão. 
Estado uniaxial de tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estado biaxial de tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estado triaxial de tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Estado plano de Tensões (estado bidimensional de tensão): 
As tensões são independentes de um dos eixos coordenados, em geral o eixo “z”. 
 
 
 
 
 
 
Fig.4: Cargas externas atuando somente nas direções das coordenadas x, y. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.5: Representação bidimensional do estado plano de tensões caracterizadas por: σx, σy, Ԏxy 
 
 
Relações tensão-deformação no regime elástico para o estado plano de tensões: 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
Para Ϫxz = Ϫyz = 0 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
G = módulo de elasticidade transversal Ʋ = coeficiente de Poisson 
Ϫ = deformação transversal ε = deformação longitudinal 
E = módulo de elasticidade longitudinal 
5 
 
Equações de transformação das tensões para planos inclinados: 
 
São equações utilizadas para a identificação das tensões atuantes em planos inclinados aos 
eixos coordenados x, y. Estas equações permitem uma análise dimensional e até mesmo 
uma avaliação do processo de falha gerado no sólido em função das cargas externas 
aplicadas. 
Para um plano inclinado que passa por um ponto material qualquer, as tensões atuantes 
devem atender à condição de equilíbrio do sólido. 
Considere os eixos coordenados (x’, y’) orientados de um ângulo “θ” a partir do eixo (x). 
Os novos pares de eixos (x’, y’) representam os planos inclinados do elemento de tensão. 
 
Convenção de sinais: 
Tensão normal de tração atuando na face do plano: valor positivo (+) 
Tensão normal de compressão atuando na face do plano: valor negativo (-) 
Tensão de cisalhamento atuando tangencialmente à face direita do elemento com direção e 
sentido do eixo “y”: valor positivo (+). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elemento de tensão bidimensional Eixo (x’) normal ao plano inclinado 
 
Obs.: σx + σy = σx’ + σy’ 
 
Áreas referentes aos eixos (x, y) projetadas em função da área (S) perpendicular (normal) ao 
eixo (x’): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
As forças atuantes em função de cada tensão e das suas respectivas áreas projetadas: 
σx → forças atuando na área S.cosθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
σy → forças atuando na área S.senθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ԏxy → forças atuando na área S.cosθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Ԏxy → forças atuando na área S.senθ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição de equilíbrio das forças atuando na direção do eixo (x’): 
 
σx'.S – σx.S.cos2θ - σy.S.sen2θ - Ԏxy.S.cosθ.senθ - Ԏxy.S.senθ.cosθ = 0 
 
σx' = σx.cos2θ + σy.sen2θ + Ԏxy.(2 senθ.cosθ) (1.1) 
 
 
Condição de equilíbrio das forças atuando na direção do eixo (y’): 
 
Ԏx’y’.S + σx.S.cosθ.senθ - σy.S. senθ.cosθ - Ԏxy.S.cos2θ + Ԏxy.S.sen2θ = 0 
 
Ԏx’y’ = - (σx – σy) senθ.cosθ + Ԏxy (cos2θ - sen2θ) (1.2) 
 
Pela trigonometria → sen 2θ = 2 senθ.cosθ 
 sen2 θ = ½ (1 – cos 2θ) (1.3) 
 cos2 θ = ½ (1 + cos 2θ) (1.3) 
 
Substituindo (1.3) em (1.1) e em (1.2) obtém-se as equações de transformação das tensões 
bidimensionais em uma determinada direção orientada pelo ângulo “θ”: 
 
 
( )
 
 
( )
 
 ( ) 
 
 
 
( )
 
 ( ) 
 
 
 
8 
 
Planose Tensões Principais (σ1 e σ2): 
Em um estado de tensão atuante em um ponto, os planos principais são definidos como 
aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tensão é nula. 
Nestes planos, atuam as tensões principais (σ1 e σ2), as quais correspondem às tensões 
normais, máxima e mínima. Lembrando que σ1 pode ser maior ou igual a σ2. 
Orientação angular para posicionamento das Tensões Principais: derivando a equação (1.4) 
e igualando a zero: 
 
 
 
Resulta em: - (σx – σy) . sen 2θ + 2 . Ԏxy . cos 2θ = 0 (1.6) 
 
ou tg 2θp = 
 
( )
 
 (1.7) 
 
Equação (1.7) em representação trigonométrica: 
Por Pitágoras: 
 
 R= √(
 
 
)
 
 ( ) (1.8) 
 
 
Representação gráfica dos ângulos que posicionam as Tensões Principais: 
Obs.: Os valores θp (eq. 1.7) representa os planos de localização de σ1 e σ2, 
respectivamente pela orientação dos ângulos θp1 e θp2. 
 Utiliza-se θp1 ou θp2 para identificar a orientação de σ1 e σ2 no elemento de tensão. 
 O ângulo θ é positivo quando medido no sentido anti-horário. 
 σ1 + σ2 = σx + σy. 
 . 
 
 
2θp2 = 2θp1 + 180º 
 
 
 
 
 
sen 2θp1 = 
 
 
 e cos 2θp1 = 
( )
 
 
 (1.9) 
 
 
sen 2θp2= 
 
 e cos 2θp2 = 
( )
 
 (1.10) 
 
 
9 
 
A equação (1.7) tem duas soluções definidas pelas equações (1.9) e (1.10). 
Substituindo (1.9) na equação (1.4): 
 
 
 
 
 
 
 
 √(
 
 
)
 
 ( ) ( ) 
 
Substituindo (1.10) na equação (1.4): 
 
 
 
 
 
 
 √(
 
 
)
 
 ( ) ( ) 
 
Substituindo tanto (1.9) como (1.10) na equação (1.6) resulta em tensões de cisalhamento 
igual a zero, ou seja, a tensão de cisalhamento é nula quando o plano é principal. 
Plano de atuação das Tensões Principais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
θp2 = θp1 + 90º 
 
 
Tensão normal média no plano x, y (eq. 1.13): 
 
 
 
 
 
 
Tensões Cisalhantes (Ԏmáx. e Ԏmín.): 
 
Os planos onde atuam as tensões cisalhantes máxima e mínima possuem inclinação de 45º 
em relação aos planos das tensões principais. 
 
Orientação angular para posicionamento das tensões cisalhantes: derivando a equação (1.5) 
e igualando a zero: 
 
 
 
 
Resulta em: - (σx – σy) . cos 2θ + 2 . Ԏxy . sen 2θ = 0 (1.14) 
 
ou tg 2θc = 
( )
 
 
 (1.15) 
10 
 
Representação gráfica dos ângulos que posicionam as Tensões Cisalhantes: 
Obs.: Os valores θc (eq. 1.15) representa os planos de localização de Ԏmáx. e Ԏmín., 
respectivamente pela orientação dos ângulos θc1 e θc2. 
 Utiliza-se θc1 ou θc2 para identificar a orientação de Ԏmáx. e Ԏmín no elemento de 
tensão. 
 O ângulo θ é negativo quando medido no sentido horário. 
 
 
 
 
2θc2 = 2θc1 + 180º 
 
 
 
 
 
 
 
sen 2θc1 = 
( )
 
 e cos 2θc1 = 
 
 
 (1.16) 
 
sen 2θc2 = 
( )
 
 
 e cos 2θc2= 
 
 (1.17) 
 
A equação (1.15) tem duas soluções definidas pelas equações (1.16) e (1.17). 
Substituindo (1.16) e (1.17) na equação (1.5): 
Ԏmáx. = R Ԏmáx. = √(
 
 
)
 
 ( ) (1.18) 
Ԏmín. = - R 
 
Nos planos onde atuam as tensões cisalhantes, para σx e σy ≠ zero, há tensões médias e 
normais associadas: 
 
 
 
 (1.19) 
 
Plano de atuação das tensões cisalhantes: 
 
 
 
θc2 = θc1 + 90º ou ainda, 
θc2 = θc1 ± 90º 
 
 
 
11 
 
Círculo de Mohr para representação do estado plano de Tensões 
 
As equações básicas de transformação das tensões de um plano para outro podem ser 
interpretadas graficamente pelo método originalmente desenvolvido pelo engenheiro Otto 
Mohr em 1882. 
Considere abaixo a representação gráfica para as tensões σx, σy e Ԏxy (tensões positivas). 
CIR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Orientações para a construção do Círculo de Mohr para o estado plano de 
Tensões: 
 
1- Estabelecer um sistema de coordenadas retangulares (σ) e (Ԏ) com eixos de mesma 
escala; 
2- Posicionar o centro “C” a partir da origem “O” calculando σm (tensão média); 
3- Determinar o raio “R” e traçar o círculo com centro em “C”; 
4- Localizar o ponto “A” pelas coordenadas da face X do elemento de tensão; 
5- Traçar uma linha “AB” passando por “C”; 
6- As tensões (MPa) e os ângulos ( º ) são obtidos com auxílio da trigonometria; 
7- Pontos A’ e B’ definem um plano qualquer do estado de tensão. 
 
Convenção de sinais: 
Tensão normal (σ) → valor positivo à direita do eixo (Ԏ); 
Tensão de cisalhamento (Ԏ) → valor positivo abaixo do eixo (Ԏ); 
2θp → valor positivo medindo no sentido anti-horário; 
2θc → valor negativo medindo no sentido horário. 
 
 
 
Interpretação do círculo de Mohr: 
 
→ 
 
 
 
 
→ R = raio da circunferência √(
 
 
)
 
 ( ) 
 
→ Os pontos “A1 e B1” correspondem às tensões principais (σ1 e σ2) respectivamente; 
 
→ 2θp define os ângulos de orientação para os planos das tensões principais (σ1 e σ2); 
→ Os pontos “D e E” correspondem às tensões cisalhantes, máxima e mínima. Estas 
tensões são posicionadas a 45º em relação aos planos das tensões principais. (Ԏmáx. = R); 
→ 2θc define os ângulos de orientação para os planos das tensões cisalhantes. 
 
 
 
 
 
 
13 
 
Resumo (parte 1): 
 
EQUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO 
 
 
( )
 
 
( )
 
 
 
 
 y’ → utilizar a equação acima com ( + 90º) 
 
 
 
( )
 
 
 
 
TENSÕES PRINCIPAIS 
tg 2θp = 
 
( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 √(
 
 
)
 
 ( ) 
 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO 
tg 2θc = 
( )
 
 
 
 
 
 (tensões associadas) 
 
Ԏmáx. = R Ԏmáx. = √(
 
 
)
 
 ( ) 
 
Obs.: Se σx e σy forem as tensões principais e Ԏxy = 0 →