Lista 3 Fundamentos de Algebra com solução

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Semestre II, 2016. 30-1-2017. Fundamentos de A´lgebra
Terceira Tarefa.
Q 1
(i) Calcular as raizes terceiras de z4, onde z = 23/4(cos pi
8
+ i sin pi
8
).
(ii) Achar as soluc¸o˜es da equac¸a˜o x4 − z4 = 0, onde z e´ o mesmo de acima.
Resposta: (i): Temos que calcular as treˆs raizes terceiras de z4 = 23(cos pi
2
+ i sin pi
2
) = 8i.
As raizes terceiras de 8i las obtemos de sua representac¸a˜o trigonome´trica 8(cos pi
2
+ i sin pi
2
):{
81/3
[
cos
(
pi/2 + 2kpi
3
)
+ i sin
(
pi/2 + 2kpi
3
)]
, ∀k = 0, 1, 2
}
.
De onde:
• Para k = 0, obtemos: 2 (cos pi
6
+ i sin pi
6
)
=
√
3 + i;
• Para k = 1, obtemos: 2 (cos 5pi
6
+ i sin 5pi
6
)
= −√3 + i;
• Para k = 2, obtemos: 2 (cos 3pi
2
+ i sin 3pi
2
)
= −2i.
(ii): x4 − z4 = 0 ⇔ x4 − 8i = 0 ⇔ x4 = 8i. Portanto estamos procurando as quatro
raizes quartas de 8i = 8(cos pi
2
+ i sin pi
2
):{
81/4
[
cos
(
pi/2+2kpi
4
)
+ i sin
(
pi/2+2kpi
4
)]
, ∀k = 0, 1, 2, 3
}
=
=
{
23/4
[
cos
(
pi
8
+ kpi
2
)
+ i sin
(
pi
8
+ kpi
2
)]
, ∀k = 0, 1, 2, 3} .
1
Q 2
Sejam f = x6 + 2x3 + x2 + 2x+ 2 e g = x4 + 2x3 + 2x− 1.
(i) Ache MDC(f, g).
(ii) Determine polinoˆmios a, b ∈ Q[x] tais que MDC(f, g) = af + bg.
Resposta: (i): Para calcular o MDC, aplicamos o algoritmo euclidiano ”cum grano sa-
lis”(com um gra˜o de sal). Temos as identidades:
x6 + 2x3 + x2 + 2x+ 2 = (x4 + 2x3 + 2x− 1)(x2 − 2x+ 4)− 2(4x3 − 3x2 + 4x− 3);
x4 + 2x3 + 2x− 1 = (4x3 − 3x2 + 4x− 3) (x
4
+ 11
6
)
+ 17
16
(x2 + 1);
4x3 − 3x2 + 4x− 3 = (x2 + 1)(4x− 3) + 0.
Portanto MDC(f, g) = x2 + 1.
(ii): Das identidades acima, temos (cum grano salis...):
17
16
(x2 + 1) = (x4 + 2x3 + 2x− 1)− (4x3 − 3x2 + 4x− 3) (x
4
+ 11
6
)
=
= (x4 + 2x3 + 2x− 1)− 1
2
[(x6 + 2x3 + x2 + 2x+ 2)− (x4 + 2x3 + 2x− 1)(x2 − 2x+ 4)] (x
4
+ 11
6
)
=
= − (x
8
+ 11
12
)
(x6 + 2x3 + x2 + 2x+ 2) + 1
2
(x2 − 2x+ 6)(x4 + 2x3 + 2x− 1).
De onde:
x2 + 1 = −4
(
x
34
+
11
51
)
(x6 + 2x3 + x2 + 2x+ 2) +
8
17
(x2 − 2x+ 6)(x4 + 2x3 + 2x− 1).
Em conclusa˜o: a = −4 ( x
34
+ 11
51
)
e b = 8
17
(x2 − 2x+ 6).
2
Q 3
Sejam dados os polinoˆmios f = 2¯x5 + x3 + 4¯x por g = 5¯x2 + 1¯ em Z/7[x].
(i) Ache MDC(f, g).
(ii) Determine polinoˆmios a, b ∈ Q[x] tais que MDC(f, g) = af + bg.
Resposta: (i): Do Q 3 da Tarefa 1, resulta:
2¯x5 + x3 + 4¯x = (5¯x2 + 1¯)(6¯x3 + 6¯x) + 5¯x.
Ale´m disso, e´ fa´cil ver que:
5¯x2 + 1¯ = (5¯x)x+ 1¯.
Portanto MDC(f, g) = 1¯.
(ii): Agora:
1¯ = (5¯x2 + 1¯)− (5¯x)x = (5¯x2 + 1¯)− x[(2x5 + x3 + 4¯x)− (5¯x2 + 1¯)(6¯x3 + 6¯x)] =
= (6¯x3 + 6¯x+ 1¯)(5¯x2 + 1¯)− x(2x5 + x3 + 4¯x).
Assim que: a = −x e b = 6¯x3 + 6¯x+ 1¯.
3
Q 4
Seja dado o polinoˆmio x5 + x2 + 2¯ em Z/3[x].
(i) Determinar se o polinoˆmio tem raizes em Z/3.
(ii) O polinoˆmio e´ irredut´ıvel?
Resposta: (i): Seja P (x) = x5 + x2 + 2¯. Agora P (0¯) = 2¯, P (1¯) = 4¯ e P (2¯) = 5¯ = 2¯.
Portanto P na˜o tem raizes em Z/3.
(ii): O polinoˆmio P na˜o tem fatores lineares. Portanto, se ter, tem uma das duas fato-
rizac¸o˜es em irredut´ıveis seguintes:
(A) P = (x3 + ax2 + bx+ 2¯)(x2 + cx+ 1¯)
(B) P = (x3 + ax2 + bx+ 1¯)(x2 + cx+ 2¯).
Em caso ter a fatorizac¸a˜o (A), o coeficientes sa˜o soluc¸o˜es do sistema:
a+ c = 0¯
b+ ac+ 1¯ = 0¯
2¯ + bc+ a = 1¯
2¯c+ b = 0¯
A primeira equac¸a˜o da a = −c e a u´ltima b = −2¯c. Da segunda, enta˜o, segue c2+2¯c−1¯ = 0¯,
que na˜o tem raizes em Z/3. Portanto o sistema e´ incompat´ıvel.
Em caso ter a fatorizac¸a˜o (B), o coeficientes sa˜o soluc¸o˜es do sistema:
a+ c = 0¯
b+ ac+ 2¯ = 0¯
1¯ + bc+ 2¯a = 1¯
c+ 2¯b = 0¯
A primeira equac¸a˜o da a = −c e a u´ltima b = −2¯c. Da segunda, enta˜o, segue c2+2¯c− 2¯ = 0¯
que e´ equivalente a c2+2¯c+1¯ = (c+1¯)2 = 0¯ e tem a u´nica soluc¸a˜o c = 2¯. Depois calculamos
a = −2¯ = 1¯ e b = −4¯ = 2¯. Em conclusa˜o, temos a fatorizac¸a˜o:
P = (x3 + x2 + 2¯x+ 1¯)(x2 + 2¯x+ 2¯).
4
Q 5
Dado o polinoˆmio F = x5 + 2x3 − x + 2 ∈ Z[x], determinar uma fatorac¸a˜o de F em
Q[x] (Dica: achar os fatores lineares e depois utilizar a reduc¸a˜o modulo algu´m primo para
verificar se os outros fatores sa˜o irreduz´ıveis).
Resposta: As u´nicas ra´ızes racionais poss´ıveis de F sa˜o da forma r
s
com r | 2 e s | 1.
Portanto as u´nicas possibilidades sa˜o ±1,±2. Agora, de estas a u´nica raiz e´ −1. Portanto,
x+ 1 | F e, do algoritmo da divisa˜o euclidiana, segue:
F = (x+ 1)(x4 − x3 + 3x2 − 3x+ 2).
Agora verificamos se o polinoˆmio G = x4 − x3 + 3x2 − 3x + 2 for irredut´ıvel em Z,
reduzindo modulo 3. Temos G¯ = x4 − x3 + 2¯ ∈ Z/3[x]. O polinoˆmio G¯ na˜o tem ra´ızes em
Z/3, como e´ facil verificar. Portanto, se fatorar, so pode ter uma fatorizac¸a˜o da forma:
G¯ = x4 + 2¯x3 + 2¯ = (x2 + ax+ 2¯)(x2 + bx+ 1¯).
De onde obtemos o sistema: 
a+ b = 2¯
1¯ + ab+ 2¯ = 0¯
b+ 2¯a = 0¯
Da u´ltima equac¸a˜o segue a = b e da primeira enta˜o a = b = 1 que e´ incompat´ıvel com a
segunda. Portanto o sistema e´ incompat´ıvel e o polinoˆmio e´ irredut´ıvel em Z/3. Enta˜o e´
irredut´ıvel em Z tambe´m. Em conclusa˜o, por o teorema de Gauss, o polinoˆmio e´ irredut´ıvel
em Q.
5
Q 6
Dado o polinoˆmio P = x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1¯ ∈ Z/2[x], determinar uma fatorac¸a˜o de P
em Z/2[x].
Resposta: O polinoˆmio P tem 1¯ como u´nica raiz em Z/2. Portanto x + 1¯ | P em Z/2[x]
e, do algoritmo da divisa˜o euclidiana, resulta:
P = (x2 + 1¯)(x4 + x2 + 1¯).
Agora, em Z/2[x], temos x4 + x2 + 1¯ = (x2 + x + 1¯)2 e x2 + x + 1¯ e´ irredut´ıvel em Z/2,
porque na˜o tem ra´ızes. Portanto a fatorizac¸a˜o de P em fatores irredutive´ıs e´:
P = (x2 + 1¯)(x2 + x+ 1¯)2.
6
Q 7
Dado o polinoˆmio F = x6 − 4 ∈ Z[x], determinar uma fatorac¸a˜o de F nos ane´is:
Q[x], R[x], C[x].
Resposta: Resulta F = (x3 − 2)(x3 + 2) ∈ Z[x]. Agora ambos x3 − 2 e x3 + 2 sa˜o
irreducibles em Q[x] para o criterio de Eisenstein aplicado com p = 2 (em particular esta e´
outra demostrac¸a˜o do fato que 3
√
2 /∈ Q). Portanto a fatorac¸a˜o de F em fatores irredutive´ıs
no anel Q[x] e´:
.F = (x3 − 2)(x3 + 2)
Sejam G1 = x
3 − 2 e G2 = x3 + 2 e pongamos α1 := 3
√
2 ∈ R. Enta˜o α1 e´ o u´nica raiz
de G1 em R e −α1 e´ o u´nica raiz de G2 em R. Portanto fatorac¸oes de G1 e G2 em fatores
irredutive´ıs no anel R[x] sa˜o:
G1 = (x− α1)(x2 + α1x+ α21) G2 = (x+ α1)(x2 − α1x+ α21).
Enta˜o a fatorac¸a˜o de F em R[x] e´:
F = (x− α1)(x+ α1)(x2 + α1x+ α21)(x2 − α1x+ α21).
Sejam α1, α2, α3 as tres ra´ızes terceiras de 2 em C. Enta˜o −α1,−α2,−α3 sa˜o as tres
ra´ızes terceiras de −2 em C. Todas estas sa˜o ra´ızes do polinoˆmio F em C. Portanto a
fatorac¸a˜o de F em C[x] e´:
F = (x− α1)(x+ α1)(x− α2)(x+ α2)(x− α3)(x+ α3).
7
Q 8
Dado o polinoˆmio F = x6 − 4 ∈ Z[x], determinar uma fatorac¸a˜o de F em Z/5[x].
Resposta: Em Z/5[x] resulta: F¯ = x6 − 4¯ = (x3 − 2¯)(x3 + 2¯).
O polinoˆmio x3 − 2¯ ∈ Z/5[x] tem a raiz 3¯. Do algoritmo da divisa˜o euclidiana, segue:
x3 − 2¯ = x3 + 3¯ = (x− 3¯)(x2 + 3¯x+ 4¯) = (x+ 2¯)(x2 + 3¯x+ 4¯).
O polinoˆmio x2 + 3¯x+ 4¯ na˜o tem ra´ızes em Z/5 e portanto e´ irredut´ıvel.
O polinoˆmio x3 + 2¯ ∈ Z/5[x] tem a raiz 2¯. Do algoritmo da divisa˜o euclidiana, segue:
x3 + 2¯ = (x− 2¯)(x2 + 2¯x+ 4¯) = (x+ 3¯)(x2 + 2¯x+ 4¯).
O polinoˆmio x2 + 2¯x+ 4¯ na˜o tem ra´ızes em Z/5 e portanto e´ irredut´ıvel.
Em conclusa˜o, a fatorac¸a˜o de F em Z/5[x] e´:
F¯ = (x+ 2¯)(x+ 3¯)(x2 + 3¯x+ 4¯)(x2 + 2¯x+ 4¯).
8
Q 9
Utilizando o crite´rio de Eisenstein, demostrar que os seguintes polinoˆmios sa˜o irreduz´ıveis:
(i) xn − p, onde p ∈ N e´ um nu´mero primo.
(ii) x7 + 48x− 24.
Resposta: (i): Seja xn− p = anxn + . . .+ a0. Enta˜o an = 1, ai = 0, para 1 ≤ i ≤ n− 1, e
an = p. Agora:
• p | ai, para i 6= n;
• p - an;
• p2 - a0.
Portanto,para o crite´rio de Eisenstein, xn − p e´ irredut´ıvel.
(ii): Seja x7 + 48x− 24 = a7x7 + . . .+ a0. Enta˜o a7 = 1, ai = 0, para 2 ≤ i ≤ 6, a1 = 48 e
a0 = −24. Agora:
• 3 | ai, para i 6= 7;
• 3 - a7;
• 32 - a0.
Portanto, para o crite´rio de Eisenstein, x7 + 48x− 24 e´ irredut´ıvel.
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Q 10
Demostrar que um polinoˆmio P ∈ R[x] de grado impar tem um nu´mero ı´mpar de ra´ızes
reais. Em particular tem pelo menos uma raiz real.
Resposta: Seja α ∈ C r R uma raiz de um polinoˆmio P ∈ R[x], enta˜o o conjugado
α¯ ∈ C r R e´ tambe´m raiz e α¯ 6= α. Segue que P tem um numero par 2k de ra´ızes
complexas na˜o reais. Seja n o grau de P . Enta˜o P tem n− 2k ra´ızes reais, contadas com
multiplicidade. Se n e´ impar, n− 2k tambe´m e´ impar e, em particular, > 0.
10