Equação da Reta2014.1

Prévia do material em texto

Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Matema´tica para Economia II - GAN 00146
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2014
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Suma´rio
1 Equac¸o˜es da Reta
2 Exemplos
3 Aˆngulos entre Retas
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Suma´rio
1 Equac¸o˜es da Reta
2 Exemplos
3 Aˆngulos entre Retas
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Suma´rio
1 Equac¸o˜es da Reta
2 Exemplos
3 Aˆngulos entre Retas
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo.
A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja
−−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1)
= (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Seja −→a = (a1, a2, a3) ∈ R3 um vetor na˜o nulo. A reta L que
passa pelo ponto P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a e´ o
conjunto de pontos P(x, y, z) tais que
−−→
P1P e´ paralelo ao vetor−→a , ou seja −−→
P1P = t
−→a , t ∈ R
Equivale
(x − x1, y − y1, z − z1) = (ta1, ta2, ta3)
⇔
∣∣∣∣∣∣
x = x1 + a1t
y = y1 + a2t
z = z1 + a3t
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t,
y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t,
z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t,
t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a ,
ou seja,
−→
b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v ,
y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v ,
z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor−→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v ,
v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Equac¸a˜o da Reta
Definic¸a˜o
As equac¸o˜es parame´tricas da reta L que conte´m o ponto
P1(x1, y1, z1) paralela ao vetor
−→a = (a1, a2, a3) sa˜o:
x = x1 + a1t, y = y1 + a2t, z = z1 + a3t, t ∈ R
t = paraˆmetro.
Observac¸a˜o
Para obter a mesma reta L podemos usar outro vetor na˜o nulo
paralelo ao vetor −→a , ou seja, −→b = c−→a , as equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o:
x = x1 + (ca1)v , y = y1 + (ca2)v , z = z1 + (ca3)v , v ∈ R
v = t/c.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 1
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P(5,−2, 4) e paralela a −→a = (1, 2,−2).
(b) Onde L intercepta o plano XY ?
(c) Interpretar geome´tricamente o vetor −→a e a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 1
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P(5,−2, 4) e paralela a −→a = (1, 2,−2).
(b) Onde L intercepta o plano XY ?
(c) Interpretar geome´tricamente o vetor −→a e a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 1
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P(5,−2, 4) e paralela a −→a = (1, 2,−2).
(b) Onde L intercepta o plano XY ?
(c) Interpretar geome´tricamente o vetor −→a e a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 1
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P(5,−2, 4) e paralela a −→a = (1, 2,−2).
(b) Onde L intercepta o plano XY ?
(c) Interpretar geome´tricamente o vetor −→a e a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 1
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P(5,−2, 4) e paralela a −→a = (1, 2,−2).
(b) Onde L intercepta o plano XY ?
(c) Interpretar geome´tricamente o vetor −→a e a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 1
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P(5,−2, 4) e paralela a −→a = (1, 2,−2).
(b) Onde L intercepta o plano XY ?
(c) Interpretar geome´tricamente o vetor −→a e a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 2
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P1(3, 1,−2) e P2(−2, 7,−4).
(b) Onde L intercepta o plano YZ ?
(c) Interpretar geome´tricamente a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 2
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P1(3, 1,−2) e P2(−2, 7,−4).
(b) Onde L intercepta o plano YZ ?
(c) Interpretar geome´tricamente a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 2
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P1(3, 1,−2) e P2(−2, 7,−4).
(b) Onde L intercepta o plano YZ ?
(c) Interpretar geome´tricamente a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 2
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P1(3, 1,−2) e P2(−2, 7,−4).
(b) Onde L intercepta o plano YZ ?
(c) Interpretar geome´tricamente a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 2
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P1(3, 1,−2) e P2(−2, 7,−4).
(b) Onde L intercepta o plano YZ ?
(c) Interpretar geome´tricamente a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo 2
Exemplo
(a) Escreva as equac¸o˜es parame´tricas da reta L que passa por
P1(3, 1,−2) e P2(−2, 7,−4).
(b) Onde L intercepta o plano YZ ?
(c) Interpretar geome´tricamente a reta L.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente,
e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b .
Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Aˆngulos entre Retas
Definic¸a˜o
Sejam L1 e L2 retas paralelas aos vetores
−→a e −→b ,
respectivamente, e θ o aˆngulo entre −→a e −→b . Definimos
(i) Os aˆngulos entre L1 e L2 sa˜o θ e pi − θ.
(b) L1 ‖ L2 se e somente se −→a ‖ −→b .
(c) L1 ⊥ L2 se e somente se −→a ⊥ −→b .
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸o˜es da
Reta
Exemplos
Aˆngulos entre
Retas
Exemplo
Exemplo
Sejam
L1 : x = 1 + 2t, y = 3− 4t, z = −2 + t
L2 : x = −5− t, y = 2− 3t, z = 4 + 3t
Ache os aˆngulos entre L1 e L2.
	Equações da Reta
	Exemplos
	Ângulos entre Retas