Equação doPlano2014.1

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Matema´tica
para
Economia II -
GAN 00146
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸a˜o do
Plano
Exemplos
Teorema
Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Matema´tica para Economia II - GAN 00146
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2014
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Equac¸a˜o do
Plano
Exemplos
Teorema
Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Suma´rio
1 Equac¸a˜o do Plano
2 Exemplos
3 Teorema
4 Equac¸o˜es Sime´tricas
5 Distaˆncia de um ponto a um plano
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Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Suma´rio
1 Equac¸a˜o do Plano
2 Exemplos
3 Teorema
4 Equac¸o˜es Sime´tricas
5 Distaˆncia de um ponto a um plano
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Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Suma´rio
1 Equac¸a˜o do Plano
2 Exemplos
3 Teorema
4 Equac¸o˜es Sime´tricas
5 Distaˆncia de um ponto a um plano
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
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1 Equac¸a˜o do Plano
2 Exemplos
3 Teorema
4 Equac¸o˜es Sime´tricas
5 Distaˆncia de um ponto a um plano
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Teorema
Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Suma´rio
1 Equac¸a˜o do Plano
2 Exemplos
3 Teorema
4 Equac¸o˜es Sime´tricas
5 Distaˆncia de um ponto a um plano
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Plano
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Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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Distaˆncia de
um ponto a
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Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P
⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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um ponto a
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Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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um plano
Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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um ponto a
um plano
Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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Distaˆncia de
um ponto a
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Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
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Distaˆncia de
um ponto a
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Equac¸a˜o do Plano
Se P e´ um plano que conte´m o ponto P0(x0, y0, z0) e seu vetor
normal e´ −→n = (a, b, c).
Se P(x, y, z) e´ um ponto qualquer P, enta˜o
−→n ⊥ −−→P0P ⇔ −→n • −−→P0P = 0
Equivale
a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0
Logo, a equac¸a˜o geral do plano e´
ax + by + cz = d
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Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(5,−2, 4)
com vetor normal −→a = (1, 2, 3).
P : x + 2y + 3z − 13 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(5,−2, 4)
com vetor normal −→a = (1, 2, 3).
P : x + 2y + 3z − 13 = 0
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Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(5,−2, 4)
com vetor normal −→a = (1, 2, 3).
P : x + 2y + 3z − 13 = 0
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Teorema
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Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
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Exemplo 1
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(5,−2, 4)
com vetor normal −→a = (1, 2, 3).
P : x + 2y + 3z − 13 = 0
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Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(5,−2, 4)
com vetor normal −→a = (1, 2, 3).
P : x + 2y + 3z − 13 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 2
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano determinado por los pontos
P(4,−3, 1),Q(6,−4, 7) e R(1, 2, 2).
−→
PQ = (2,−1, 6), −→PR = (−3, 5, 1)
(2,−1, 6)× (−3, 5, 1) = (−31,−20, 7)
P : −31x − 20y + 7z + 57 = 0
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Exemplo 2
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano determinado por los pontos
P(4,−3, 1),Q(6,−4, 7) e R(1, 2, 2).
−→
PQ = (2,−1, 6), −→PR = (−3, 5, 1)
(2,−1, 6)× (−3, 5, 1) = (−31,−20, 7)
P : −31x − 20y + 7z + 57 = 0
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Ache a equac¸a˜o do plano determinado por los pontos
P(4,−3, 1),Q(6,−4, 7) e R(1, 2, 2).
−→
PQ = (2,−1, 6), −→PR = (−3, 5, 1)
(2,−1, 6)× (−3, 5, 1) = (−31,−20, 7)
P : −31x − 20y + 7z + 57 = 0
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Ache a equac¸a˜o do plano determinado por los pontos
P(4,−3, 1),Q(6,−4, 7) e R(1, 2, 2).
−→
PQ = (2,−1, 6), −→PR = (−3, 5, 1)
(2,−1, 6)× (−3, 5, 1) = (−31,−20, 7)
P : −31x − 20y + 7z + 57 = 0
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Exemplo 2
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Ache a equac¸a˜o do plano determinado por los pontos
P(4,−3, 1),Q(6,−4, 7) e R(1, 2, 2).
−→
PQ = (2,−1, 6), −→PR = (−3, 5, 1)
(2,−1, 6)× (−3, 5, 1) = (−31,−20, 7)
P : −31x − 20y + 7z + 57 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
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Exemplo 2
Exemplo
Ache a equac¸a˜o do plano determinado por los pontos
P(4,−3, 1),Q(6,−4, 7) e R(1, 2, 2).
−→
PQ = (2,−1, 6), −→PR = (−3, 5, 1)
(2,−1, 6)× (−3, 5, 1) = (−31,−20, 7)
P : −31x − 20y + 7z + 57 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 3
Exemplo
(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
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Exemplo 3
Exemplo
(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
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Exemplo 3
Exemplo
(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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um ponto a
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Exemplo 3
Exemplo
(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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Exemplo 3
Exemplo
(a) Ache a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto P0(2, 3,−5)
sendo ortogonal a
−→
PQ, onde P(3, -2, 1) e Q(1,3, 0).
(b) Determine o plano que conte´m os pontos P0,P e Q.
(a) P : 2x − 5y + z + 16 = 0
(b) P : 25x + 11y + 5z − 58 = 0
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Teorema
Teorema
O gra´fico de toda equac¸a˜o linear ax + by + cz + d = 0 e´ um
plano com vetor normal (a, b,c).
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Teorema
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O gra´fico de toda equac¸a˜o linear ax + by + cz + d = 0 e´ um
plano com vetor normal (a, b,c).
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Distaˆncia de
um ponto a
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Teorema
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O gra´fico de toda equac¸a˜o linear ax + by + cz + d = 0 e´ um
plano com vetor normal (a, b,c).
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Distaˆncia de
um ponto a
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Teorema
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O gra´fico de toda equac¸a˜o linear ax + by + cz + d = 0 e´ um
plano com vetor normal (a, b,c).
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Plano
Exemplos
Teorema
Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0,0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0, 0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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Distaˆncia de
um ponto a
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Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0, 0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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para
Economia II -
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Equac¸a˜o do
Plano
Exemplos
Teorema
Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0, 0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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Plano
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0, 0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0, 0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo 1
Exemplo
Exboce o gra´fico do plano 3x + y + 5z = 15
y = z = 0 ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 ⇒ (5, 0, 0)
x = y = 0 ⇒ 5z = 15 ⇒ z = 3 ⇒ (0, 0, 3)
x = z = 0 ⇒ y = 15 ⇒ (0, 15, 0)
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Plano
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Equac¸o˜es
Sime´tricas
Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Equac¸o˜es Sime´tricas
As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos. Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
a3
chamadas equac¸o˜es sime´tricas de L.
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um ponto a
um plano
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As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos.
Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
a3
chamadas equac¸o˜es sime´tricas de L.
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um ponto a
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Equac¸o˜es Sime´tricas
As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos. Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
a3
chamadas equac¸o˜es sime´tricas de L.
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um ponto a
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As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos. Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
a3
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um ponto a
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As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos. Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
a3
chamadas equac¸o˜es sime´tricas de L.
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um ponto a
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As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos. Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
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As retas podem ser escritas como intersec¸a˜o de planos. Se L e´
uma reta,das equac¸o˜es parame´tricas, obtemos:
t =
x − x1
a1
=
y − y1
a2
=
z − z1
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo
Exemplo
Ache as equac¸o˜es sime´tricas da reta L que passa por
P(3, 1, -2) e R(-2, 7, 4).
L : x = 3− 5t, y = 1 + 6t, z = −2− 2t, t ∈ R
x − 3
−5 =
y − 1
6
=
z + 2
−2
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo
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Ache as equac¸o˜es sime´tricas da reta L que passa por
P(3, 1, -2) e R(-2, 7, 4).
L : x = 3− 5t, y = 1 + 6t, z = −2− 2t, t ∈ R
x − 3
−5 =
y − 1
6
=
z + 2
−2
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um ponto a
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Exemplo
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Ache as equac¸o˜es sime´tricas da reta L que passa por
P(3, 1, -2) e R(-2, 7, 4).
L : x = 3− 5t, y = 1 + 6t, z = −2− 2t, t ∈ R
x − 3
−5 =
y − 1
6
=
z + 2
−2
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo
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Ache as equac¸o˜es sime´tricas da reta L que passa por
P(3, 1, -2) e R(-2, 7, 4).
L : x = 3− 5t, y = 1 + 6t, z = −2− 2t, t ∈ R
x − 3
−5 =
y − 1
6
=
z + 2
−2
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo
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Ache as equac¸o˜es sime´tricas da reta L que passa por
P(3, 1, -2) e R(-2, 7, 4).
L : x = 3− 5t, y = 1 + 6t, z = −2− 2t, t ∈ R
x − 3
−5 =
y − 1
6
=
z + 2
−2
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Exemplo
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Ache as equac¸o˜es sime´tricas da reta L que passa por
P(3, 1, -2) e R(-2, 7, 4).
L : x = 3− 5t, y = 1 + 6t, z = −2− 2t, t ∈ R
x − 3
−5 =
y − 1
6
=
z + 2
−2
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d= 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o.
Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥
=
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal
e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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um ponto a
um plano
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Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
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Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
Distaˆncia de um ponto a um plano
Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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um ponto a
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Seja P : ax + by + cz + d = 0 um plano e Q(x1, y1, z1) um
ponto do espac¸o. Se d e´ a distaˆncia de Q ao plano P, enta˜o
d =
∥∥∥Com−→n −−→P0Q∥∥∥ =
∣∣∣∣∣−−→P0Q • 1∥∥−→n ∥∥ −→n
∣∣∣∣∣
onde −→n = (a, b, c) e´ a normal e P0(x0, y0, z0) e´ um ponto do
plano P.
Temos que
1∥∥−→n ∥∥ −→n = 1√a2 + b2 + c2 (a, b, c)
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Distaˆncia de
um ponto a
um plano
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Logo,
d =
|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + (−ax0 − by0 − cz0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + D|√
a2 + b2 + c2
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um ponto a
um plano
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Logo,
d =
|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + (−ax0 − by0 − cz0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + D|√
a2 + b2 + c2
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um ponto a
um plano
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Logo,
d =
|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + (−ax0 − by0 − cz0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + D|√
a2 + b2 + c2
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um ponto a
um plano
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Logo,
d =
|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + (−ax0 − by0 − cz0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + D|√
a2 + b2 + c2
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um ponto a
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Logo,
d =
|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + (−ax0 − by0 − cz0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + D|√
a2 + b2 + c2
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um ponto a
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Logo,
d =
|a(x1 − x0) + b(y1 − y0) + c(z1 − z0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + (−ax0 − by0 − cz0)|√
a2 + b2 + c2
d =
|(ax1 + by1 + cz1) + D|√
a2 + b2 + c2
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	Equações Simétricas
	Distância de um ponto a um plano