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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 2016-1 Nome: Matr´ıcula: Polo: Data: Atenc¸a˜o! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto, Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta; • E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas. • Devolver a prova e a folha de respostas ao res- • As respostas devem estar acompanhadas de justificativa. ponsa´vel; Respostas sem justificativa na˜o sera˜o consideradas. Este texto e´ comum as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir. Considere o conjunto A = { x ∈ Z : ( − √ 17 < x < 5 3 ) ∧ (x > −4) } isto e´, A e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta( −√17 < x < 5 3 ) ∧ (x > −4). Considere tambe´m o conjunto B = { x ∈ Z : (−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0)} isto e´, B e´ o conjunto formado pelos nu´meros inteiros que tornam verdadeira a proposic¸a˜o composta (−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0). Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 1, 2, 3 e 4 a seguir. Questa˜o 1 (0.5 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto A. Soluc¸a˜o: Como a proposic¸a˜o “ ( −√17 < x < 5 3 ) ∧ (x > −4)”e´ uma conjunc¸a˜o, para que ela seja verdadeira, e´ preciso que as duas proposic¸o˜es simples envolvidas sejam verdadeiras. Isto e´, x deve ser um inteiro que satisfaz, ao mesmo tempo, a restric¸a˜o −√17 < x < 5 3 e a restric¸a˜o x > −4. Como −5 = −√25 < −√17 < −√16 = −4 e 1 = 3 3 < 5 3 < 6 3 = 2, temos que{ x ∈ Z : − √ 17 < x < 5 3 } = {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1} . Por outro lado, {x ∈ Z : x > −4} = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . } . Portanto, A = {−4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1} ∩ {−3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , . . . } = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1} Me´todos Determin´ısticos I AP3 2 Questa˜o 2 (0.7 pt) Escreva os nu´meros que esta˜o no conjunto B Soluc¸a˜o: Como a proposic¸a˜o “(−3 < x ≤ 1) ∨ (x2 − x− 42 = 0)”e´ uma disjunc¸a˜o, para que ela seja verdadeira, basta que uma das proposic¸o˜es simples envolvidas seja verdadeira. Isto e´, x deve ser um inteiro que satisfaz a restric¸a˜o −3 < x ≤ 1, ou a restric¸a˜o x2 − x− 42 = 0. Observe que {x ∈ Z : −3 < x ≤ 1} = {−2 , −1 , 0 , 1} Por outro lado, { x ∈ Z : x2 − x− 42 = 0} = {−6 , 7} , uma vez que, x2 − x− 42 = 0 ⇐⇒ x = −(−1)± √ (−1)2 − 4(1)(−42) 2 ⇐⇒ x = 1± √ 1 + 168 2 ⇐⇒ x = 1± √ 169 2 ⇐⇒ x = 1± 13 2 ⇐⇒ x = 1− 13 2 ou x = 1 + 13 2 ⇐⇒ x = −12 2 ou x = 14 2 ⇐⇒ x = −6 ou x = 7. Portanto, B = {−2 , −1 , 0 , 1} ∪ {−6 , 7} = {−2 , −1 , 0 , 1 , −6 , 7} Questa˜o 3 (0.5 pt) Verifique se a proposic¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa. ∃x ∈ A ∩B, (−x2 + x ≥ −6) . Soluc¸a˜o: Em primeiro lugar, observe que A ∩B = {−3 , −2 , −1 , 0 , 1} ∩ {−2 , −1 , 0 , 1 , −6 , 7} = {−2 , −1 , 0 , 1} . Por tratar-se de uma proposic¸a˜o do tipo “∃x ∈ A ∩ B”, devemos analisar se ha´ um elemento de A ∩ B, para o qual a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira. Analisando os elementos do conjunto A ∩B, observamos que, para para x = −2, segue que −(−2)2 + (−2) = −4− 2 = −6. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 3 desta forma, para x = −2, a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira. Conclu´ımos, assim, que existe um elemento do conjuntoA∩B, para o qual, a proposic¸a˜o “(−x2 + x ≥ −6)”e´ verdadeira. Portanto, ∃x ∈ A ∩B, (−x2 + x ≥ −6) e´ verdadeira. Questa˜o 4 (0.7 pt) Verifique se a proposic¸a˜o abaixo e´ verdadeira ou falsa. ∀x ∈ B, ( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0). Soluc¸a˜o: Vamos chamar de a a proposic¸a˜o simples “x e´ ı´mpar”e de b a proposic¸a˜o simples “x ≤ 0”. Isto e´ a: “x e´ ı´mpar.” b: “x ≤ 0.” A proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ uma disjunc¸a˜o. Portanto, para que ela seja verdadeira, basta que uma das proposic¸o˜es simples envolvidas seja verdadeira. Como trata-se de uma proposic¸a˜o do tipo “∀x ∈ B”, devemos analisar se a proposic¸a˜o “a ∨ b”e´ verdadeira ou falsa para cada elemento do conjunto B. Para x = 1 e x = 7, temos que, a proposic¸a˜o a e´ verdadeira, pois 1 e 7 sa˜o nu´meros ı´mpares. Logo, para x = 1 e x = 7, temos que a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, ““( x e´ ı´mpar )”e´ verdadeira. Para x = −2, x = −1, x = 0 e x = −6, a proposic¸a˜o b verdadeira, pois −2, −1, 0 e −6 sa˜o menores ou iguais a zero. Desta forma, para x = −2, x = −1, x = 0 e x = −6 a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”tambe´m e´ verdadeira, pois, para estes valores de x, “(x ≤ 0)”e´ verdadeira. Conclu´ımos, portanto, que a disjunc¸a˜o “( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0)”e´ verdadeira, para todo x ∈ B. Logo, ∀x ∈ B, ( x e´ ı´mpar ) ∨ (x ≤ 0) e´ verdadeira. Este texto e´ comum as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir. Considere as func¸o˜es f(x) = 3x 2 − 4 e g(x) = −2x2 + 18x − 28. A func¸a˜o h e´ definida como h(x) = √ f(x)√ g(x) . Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 5, 6 e 7 a seguir. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 4 Questa˜o 5 (1.3 pt) Determine, na forma de intervalo ou de uma unia˜o finita de intervalos, o dom´ınio da func¸a˜o h Soluc¸a˜o: Observe que na definic¸a˜o da func¸a˜o h, tomamos a raiz quadrada da func¸a˜o f , da func¸a˜o g e ainda realizamos o quociente entre as duas raizes. Portanto, para que a func¸a˜o h esteja bem definida, precisamos que todas estas operac¸o˜es sejam va´lidas. Isto significa que, o que for radicando, ou seja, o que estiver dentro do s´ımbolo de raiz quadrada, precisara´ ser maior ou igual a zero e, o que for denominador, precisara´ ser diferente de zero. Desta forma, o dom´ınio de h e´ formado pelos valores de x ∈ R, tais que f(x) ≥ 0 e g(x) > 0. Desta forma, temos que f(x) ≥ 0 ⇔ 3 2 x− 4 > 0 ⇔ 3 2 x ≥ 4 ⇔ x ≥ 2 3 · 4 ⇔ x ≥ 8 3 ⇔ x ∈ [ 8 3 ,∞ ) e g(x) > 0 ⇔ −2x2 + 18x− 28 > 0 ⇔ 2 < x < 7 ⇔ x ∈ (2, 7) . Portanto, o dom´ınio de h e´ dado por x ∈ [ 8 3 ,∞ ) ∩ (2, 7) x ∈ [ 8 3 , 7 ) Explicamos a seguir como resolver a inequac¸a˜o −2x2 + 18x − 28 > 0 ou, equivalentemente, −x2 + 9x− 14 > 0, onde dividimos a inequac¸a˜o por 2, para simplificarmos as contas. Podemos resolver a inequac¸a˜o utilizando nossos conhecimentos de para´bola. Desta forma, cha- mando y de −x2 + 9x − 14, isto e´ y = −x2 + 9x − 14, podemos estudar o sinal da inequac¸a˜o −x2 + 9x− 14 > 0 estudando o sinal do y da para´bola. Primeiro, vamos determinar as ra´ızes da equac¸a˜o −x2 + 9x− 14 = 0. Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = −1, b = 9 e c = −14, temos que ∆ = b2 − 4ac = (9)2 − 4(−1)(−14) = 81− 56 = 25. Logo, P = −b±√∆ 2a = −(9)±√25 2(−1) = −9± 5 −2 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 5 Ou seja, as soluc¸o˜es de 8−x2+9x− 14 = 0 sa˜o x = −9 + 5−1 = −4 −2 = 2 e x = −9− 5 −2 = −14 −2 = 7. De posse das ra´ızes e, como a = −1 < 0, temos que a para´bola possui concavidade para baixo e corta o eixo x em x = 2 e x = 7. Desta forma, y sera´ positivo para valores de x, tais que, 2 < x < 7. Uma forma alternativa de fazer a ana´lise de sinal para a inequac¸a˜o −x2 + 9x− 14 = − (x− 2) (x− 7) > 0 e´ utilizar a tabela abaixo. (−∞, 2) (2, 7) (7,∞) sinal de −1 − − − sinal de (x− 2) − + + sinal de (x− 7) − − + sinal de − (x− 2) (x− 7) − + − Como vemos na tabela acima, −x2 + 9x− 14 = − (x− 2) (x− 7) > 0 ⇐⇒ 2 < x < 7. Questa˜o 6 (1.0 pt) Calcule ( − 4 √ 5 2 )2 · h(3) Soluc¸a˜o: Temos que ( − 4 √ 5 2 )2 · h(3) = ( 4 √ 5 )2 (2)2 · h(3) = ( 51/4 )2 4 · h(3) = (5)1/24 · h(3) = √ 5 4 · h(3). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 6 Vamos agora calcular o valor de h(3). h(3) = √ f(3)√ g(3) = √ 3 2 · 3− 4√−2(3)2 + 18 · 3− 28 = √ 9 2 − 4 √−2 · 9 + 54− 28 = √ 9− 2 · 4 2√−18 + 54− 28 = √ 9− 8 2√ 8 = √ 1 2√ 8 = 1√ 2 · √8 = 1√ 16 = 1 4 . Substituindo agora, h(3) = 1 4 , segue que( − 4 √ 5 2 )2 · h(3) = √ 5 4 · 1 4 = √ 5 16 . Questa˜o 7 (0.8 pt) Qual o valor ma´ximo de g? Em que ponto x esse valor ma´ximo ocorre? Soluc¸a˜o: Observe que a func¸a˜o g e´ uma func¸a˜o quadra´tica, de modo que seu gra´fico e´ uma para´bola. Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o g e´ a para´bola y = −2x2 + 18x − 28. Note que esta para´bola possui concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de x2 e´ negativo. O valor do ma´ximo de g e´ dado pelo y do ve´rtice da para´bola, calculado abaixo, e o ponto em que a func¸a˜o g atinge seu ma´ximo e´ dado pelo x do ve´rtice da para´bola, calculado abaixo. yv = −∆ 4a = −(18) 2 − 4(−2)(−28) 4(−2) = 324− 224 8 = 100 8 = 25 2 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 7 e xv = − b 2a = − 18 2(−2) = − 18−4 = 9 2 . Portanto, o valor ma´ximo de g e´ igual a yv = 25 2 e ocorre no ponto xv = 9 2 . Este texto e´ comum as Questo˜es 8, 9, 10, 11 e 12 a seguir. O sala´rio de um vendedor e´ formado de uma parte fixa igual a R$ 1.050,00, mais 2, 5% do va- lor das vendas efetivadas no meˆs. Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 8, 9, 10, 11 e 12 a seguir. Questa˜o 8 (0.6 pt) Considere que a varia´vel x representa o valor das vendas efetivadas. Determine uma expressa˜o que relacione o sala´rio em func¸a˜o de x. Soluc¸a˜o: Chamando de S a func¸a˜o que define o sala´rio do vendedor, temos que S(x) = 1.050 + 2, 5 100 · x, x ≥ 0. Questa˜o 9 (0.3 pt) Em um meˆs que o sala´rio foi de R$ 1.730,00, qual foi o valor das vendas? Soluc¸a˜o: Para descobrir o valor das vendas quando o sala´rio foi de R$ 1.730,00, precisamos resolver a equac¸a˜o 1.730 = 1.050 + 2, 5 100 · x. Desta forma, segue que 1.730 = 1.050 + 2, 5 100 · x ⇔ 2, 5 100 · x = 1.730− 1.050 ⇔ 2, 5 100 · x = 680 ⇔ x = 680 · 100 2, 5 ⇔ x = 68.000 2, 5 ⇔ x = 68.0000 25 ⇔ x = 27.200. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 8 Portanto, quando o sala´rio foi de R$ 1.730,00, o valor das vendas foi de R$ 27.200,00. Questa˜o 10 (0.8 pt) Seu empregador lhe fez uma proposta de diminuir a parte fixa em 15% e aumentar a porcentagem sobre o valor das vendas realizadas para 3%. Determine a func¸a˜o sala´rio que representa a proposta feita pelo empregador. Soluc¸a˜o: Vamos chamar de PF a parte fixa da proposta feita pelo empregador. Desta forma, como ele propo˜e uma diminuic¸a˜o de 15%, temos que PF = 1.050− 15% · 1.050 = 1.050− 15 100 · 1.050 = 1.050− 15 · 1.050 100 = 1.050− 15.750 100 = 1.050− 157, 50 = 892, 50. Chamando de Sp a func¸a˜o que define a proposta de sala´rio feita pelo empregador, temos que Sp(x) = = 892, 50 + 3 100 · x, x ≥ 0. Questa˜o 11 (0.8 pt) Esboce o gra´fico da func¸a˜o sala´rio da Questa˜o 8 e o da func¸a˜o sala´rio pro- posto na Questa˜o 10 em um mesmo sistema de eixos. Soluc¸a˜o: Observe que as func¸o˜es S e Sp sa˜o func¸o˜es afins, de modo que seus gra´ficos sa˜o retas. Mais especificamente, o gra´fico da func¸a˜o S e´ a reta y = 1.050 + 2, 5 100 · x, x ≥ 0, e o gra´fico da func¸a˜o Sp e´ a reta y = 892, 50+ 3 100 ·x, x ≥ 0 . Desta forma, para determinar o gra´fico da func¸o˜es S e Sp, basta determinarmos dois pontos de cada reta. Gra´fico de S: Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que • x = 0⇐⇒ y = 1.050. Ou seja, (0, 1.050) e´ um ponto da reta. • y = 0⇐⇒ 1.050+ 2, 5 100 ·x = 0⇐⇒ 2, 5 100 ·x = −1.050⇐⇒ x = −1.050 · 100 2, 5 = −105.000 2, 5 = −42.000. Ou seja, (−42.000 , 0) e´ um ponto da reta. Gra´fico de Sp: Vamos determinar as intersec¸o˜es da reta com os eixos y e x. Neste caso, temos que Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 9 • x = 0⇐⇒ y = 892, 50. Ou seja, (0 ; 892, 50) e´ um ponto da reta. • y = 0 ⇐⇒ 892, 50 + 3 100 · x = 0 ⇐⇒ 3 100 · x = −892, 50 ⇐⇒ x = −892, 50 · 100 3 = −892.500 3 = −29.750. Ou seja, (−29.750 , 0) e´ um ponto da reta. Para o esboc¸o ficar mais preciso, vamos identificar a abscissa do ponto de intersec¸a˜o das duas retas. 1.050 + 2, 5 100 · x = 892, 50 + 3 100 · x ⇔ 3 100 · x− 2, 5 100 · x = 1.050− 892, 50 ⇔ 0, 5 100 · x = 157, 50 ⇔ x = 157, 50 · 100 0, 5 ⇔ x = 31.500 Na Figura 1 plotamos o gra´fico das func¸o˜es S e Sp. S Sp -42 000 -29 750 31 500 x 892.5 1050 1837.5 y Figura 1: Questa˜o ?? Questa˜o 12 (0.4 pt) O funciona´rio possui uma me´dia de vendas em torno de R$ 28.000,00. Ele deve aceitar a proposta do empregador, pois sera´ mais vantajosa para ele, ou deve recusar, pois lhe sera´ prejudicial? Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 10 Soluc¸a˜o: Graficamente, podemos observar que quando x > 31.500, a reta y = 892, 50 + 3 100 · x, gra´fico da func¸a˜o Sp, esta´ acima da reta y = 1.050 + 2, 5 100 · x, gra´fico da func¸a˜o S. Isto significa que para x > 31.500, Sp(x) > S(x). Ja´ para 0 ≤ x < 31.500, a reta y = 1.050 + 2, 5 100 · x, gra´fico da func¸a˜o S, esta´ acima da reta y = 892, 50 + 3 100 · x, gra´fico da func¸a˜o Sp. Isto significa que para 0 ≤ x < 31.500, S(x) > Sp(x). Como a me´dia de vendas do vendedor e´ em torno de R$ 28.000,00, que e´ um valor entre 0 e 31.500, a proposta do empregador e´ prejudicial, pois, ele ganharia menos com o sala´rio calculado pela func¸a˜o Sp do que com o sala´rio calculado pela func¸a˜o S. Este texto e´ comum as Questo˜es 13 e 14 a seguir. Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, res- pectivamente, por D(P ) = −8P 2 + 16P + 330 e Q(P ) = 20P + 218, P > 0 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em milho˜es de unidades. Com base nestas informac¸o˜es, responda as Questo˜es 13 e 14 a seguir. Questa˜o 13 (0.7 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades? Soluc¸a˜o: Para encontrar o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades, devemos igualar a func¸a˜o demanda D a 330 e encontrar os valores de P correspondentes. −8P 2 + 16P + 330 = 330 ⇔ 8P 2 − 16P = 0 ⇔ P (P − 2) = 0 ⇔ P = 0 ou P = 2. Como P > 0, desprezamos o zero e ficamos apenas com P = 2. Resposta: O prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 330 milho˜es de unidades e´ R$2,00. Questa˜o 14 (0.9 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Soluc¸a˜o: Pela definic¸a˜o de prec¸o de equil´ıbrio, precisamos determinar o prec¸o P em que D = Q, ou seja, −8P 2+16P +330 = 20P +218⇐⇒ 8P 2−16P +20P −330+218 = 0⇐⇒ 8P 2+4P −112 = 0. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 11 Pela fo´rmula de Bhaskara, com a = 8, b = 4 e c = −112, temos que ∆ = b2 − 4ac = (4)2 − 4(8)(−112) = 16 + 3584 = 3600. Logo, P = −b±√∆ 2a = −(4)±√3600 2(8) = −4± 60 16 . Ou seja, as soluc¸o˜es de 8P 2 + 4P − 112 = 0 sa˜o P1 = −4 + 60 16 = 7 2 , P2 = −4− 60 16 = −4. Como, o prec¸o de equil´ıbrio P deve satisfazer P > 0, ficamos apenas com P = 7 2 = 3, 5. Resposta: O prec¸o de equil´ıbrio e´ de R$3,50. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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