2014_bases_e_dimensao.pdf

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Bases
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que B ⊂ V e´ uma base de V
quando sa˜o satisfeitas as seguintes propriedades:
1. V e´ gerado por B;
2. B e´ LI.
Bases
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que B ⊂ V e´ uma base de V
quando sa˜o satisfeitas as seguintes propriedades:
1. V e´ gerado por B;
2. B e´ LI.
Bases
Definic¸a˜o
Seja V um espac¸o vetorial. Dizemos que B ⊂ V e´ uma base de V
quando sa˜o satisfeitas as seguintes propriedades:
1. V e´ gerado por B;
2. B e´ LI.
Bases
Exemplo
O conjunto B = {e1, e2, . . . , en}, onde
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0);
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0);
...
...
...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1),
e´ denominado base canoˆnica do espac¸o vetorial Rn.
Exemplo
O conjunto B = {e1, e2, e3}, onde
e1 = (1, 1, 1) e2 = (0, 1, 1) e3 = (0, 0, 1)
e´ uma base de R3.
Bases
Exemplo
O conjunto B = {e1, e2, . . . , en}, onde
e1 = (1, 0, 0, . . . , 0, 0);
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0, 0);
...
...
...
en = (0, 0, 0, . . . , 0, 1),
e´ denominado base canoˆnica do espac¸o vetorial Rn.
Exemplo
O conjunto B = {e1, e2, e3}, onde
e1 = (1, 1, 1) e2 = (0, 1, 1) e3 = (0, 0, 1)
e´ uma base de R3.
Bases
Exemplo
O conjunto B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)} na˜o gera o R3,
logo na˜o e´ base de R3. Por outro lado, este conjunto e´ base do
subespac¸o W = {(x, y, 0) ; x, y ∈ R} do R3.
Exemplo
O conjunto B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), e3 = (1, 1)} gera R2,
mas na˜o e´ LI. Logo na˜o e´ base de R2.
Bases
Exemplo
O conjunto B = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0)} na˜o gera o R3,
logo na˜o e´ base de R3. Por outro lado, este conjunto e´ base do
subespac¸o W = {(x, y, 0) ; x, y ∈ R} do R3.
Exemplo
O conjunto B = {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), e3 = (1, 1)} gera R2,
mas na˜o e´ LI. Logo na˜o e´ base de R2.
Bases
Exemplo
O conjunto B = {pn = tn−1 + tn ; n ∈ N} na˜o e´ uma base para o
espac¸o P dos polinoˆmios em t.
Exemplo
O conjunto B = {1, t, t2, . . . , tn} e´ uma base para o espac¸o Pn dos
polinoˆmios em t de grau 6 n.
Bases
Exemplo
O conjunto B = {pn = tn−1 + tn ; n ∈ N} na˜o e´ uma base para o
espac¸o P dos polinoˆmios em t.
Exemplo
O conjunto B = {1, t, t2, . . . , tn} e´ uma base para o espac¸o Pn dos
polinoˆmios em t de grau 6 n.
Bases
Exemplo
Determine uma base para o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores
v1 = (1, 2, 1, 2), v2 = (1, 3, 2, 2) e v3 = (1, 1, 0, 2).
Exemplo
Determine uma base para o espac¸o-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
x + 2y − 4z + 3w = 0
x + 2y − 2z + 2w = 0
2x + 4y − 2z + 3w = 0
.
Bases
Exemplo
Determine uma base para o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores
v1 = (1, 2, 1, 2), v2 = (1, 3, 2, 2) e v3 = (1, 1, 0, 2).
Exemplo
Determine uma base para o espac¸o-soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
x + 2y − 4z + 3w = 0
x + 2y − 2z + 2w = 0
2x + 4y − 2z + 3w = 0
.
Bases
Propriedade
Seja V um espac¸o vetorial. Um subconjunto B ⊂ V e´ uma base de
V se, e somente se, qualquer elemento de V e´ escrito de maneira
u´nica como combinac¸a˜o linear dos elementos de B.
Propriedades
1. Se V = {v1, . . . , vn} e´ uma base de um espac¸o vetorial V,
enta˜o qualquer subconjunto de V com mais de n vetores e´
LD.
2. Se B = {v1, . . . , vn} e B′ = {v′1, . . . , v′n} sa˜o bases do espac¸o
vetorial V, enta˜o m = n.
Bases
Propriedade
Seja V um espac¸o vetorial. Um subconjunto B ⊂ V e´ uma base de
V se, e somente se, qualquer elemento de V e´ escrito de maneira
u´nica como combinac¸a˜o linear dos elementos de B.
Propriedades
1. Se V = {v1, . . . , vn} e´ uma base de um espac¸o vetorial V,
enta˜o qualquer subconjunto de V com mais de n vetores e´
LD.
2. Se B = {v1, . . . , vn} e B′ = {v′1, . . . , v′n} sa˜o bases do espac¸o
vetorial V, enta˜o m = n.
Bases
Propriedade
Seja V um espac¸o vetorial. Um subconjunto B ⊂ V e´ uma base de
V se, e somente se, qualquer elemento de V e´ escrito de maneira
u´nica como combinac¸a˜o linear dos elementos de B.
Propriedades
1. Se V = {v1, . . . , vn} e´ uma base de um espac¸o vetorial V,
enta˜o qualquer subconjunto de V com mais de n vetores e´
LD.
2. Se B = {v1, . . . , vn} e B′ = {v′1, . . . , v′n} sa˜o bases do espac¸o
vetorial V, enta˜o m = n.